专题03 二次根式重难点九大题型突破 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以九大题型系统覆盖二次根式核心考点，从概念理解到性质应用，逐步递进培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的概念|3题|辨析二次根式定义|概念奠基，为性质学习铺垫| |有意义的条件|4题|考查被开方数取值范围|深化概念理解，关联不等式| |性质化简|4题|结合数轴化简二次根式|体现几何直观，强化推理意识| |同类二次根式|4题|判断最简二次根式合并|衔接运算基础，培养符号意识| |混合运算|4题|含加减乘除的综合运算|提升运算能力，巩固法则应用| |化简求值|5题|代入字母值计算代数式|综合性质与运算，培养应用意识| |二次根式的应用|4题|解决面积、周长等实际问题|建立模型观念，联系现实世界| |新定义问题|4题|结合新规则处理根式问题|发展创新意识，提升逻辑思维| |分母有理化|3题|利用共轭式化简求值|强化运算技巧，培养转化思想|

专题03 二次根式重难点九大题型突破 【题型01：二次根式的概念】 【题型02：二次根式有意义的条件】 【题型03：判断二次根式的性质化简】 【题型04：同类二次根式的概念】 【题型05：二次根式的混合运算】 【题型06：二次根式的化简求值】 【题型07：二次根式的应用】 【题型08：二次根式中新定义问题】 【题型09：利用分母有理化化简求值】 【题型01：二次根式的概念】 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】二次根式需满足根指数为2，且被开方数大于等于0．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．的被开方数，它不是二次根式，故本选项不合题意； B．的根指数为2，被开方数，它是二次根式，故本选项符合题意； C．的根指数为3，它不是二次根式，故本选项不合题意； D．是整数，不含二次根号，它不是二次根式，故本选项不合题意． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵选项A中，的符号不确定，当时，不是二次根式，∴A错误． ∵选项B中，根指数为，被开方数，满足二次根式的定义，∴B正确． ∵选项C中，的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式，∴C错误． ∵选项D中，当即时，不是二次根式，∴D错误． 3．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 【题型02：二次根式有意义的条件】 4．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 5．式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，先根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项中符合条件的值即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，被开方数需为非负数， ， ， 选项中只有满足， 因此选D． 6．当_________时，式子在实数范围内有意义． 【答案】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到结果． 【详解】解：若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数满足 ， 解得． 7．当_____时二次根式有最小值． 【答案】12 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的被开方数为非负数，二次根式的最小值为0，据此列方程求解x即可． 【详解】解： 二次根式的被开方数满足非负要求， ， 的最小值为，此时， 解得， 即当时二次根式有最小值． 8．若，则______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：要使二次根式和有意义，满足 ， 解得， 将代入，得：， 所以． 【题型03：判断二次根式的性质化简】 9．实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】观察数轴可知，再根据化简二次根式，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图知， ∴，， ∴ ． 10．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴判断、的大小关系，确定的符号，利用二次根式的性质及绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴可知． ∴ ∴． 11．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴． 12．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】由数轴可知：，得到，进而化简代数式即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 【题型04：同类二次根式的概念】 13．下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：化简各选项二次根式：，，此时被开方数与相同，是最简二次根式，， ∴只有可与合并． 14．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据能合并的最简二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：，是最简二次根式，且与可以合并， 两个最简二次根式的被开方数相等，即，解得． 15．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：选项A：，与化简后被开方数不同，A不符合要求； 选项B：，与化简后被开方数不同，B不符合要求； 选项C：，，化简后被开方数都是3，C符合要求； 选项D：与都是最简二次根式，被开方数不同，D不符合要求． 16．如果最简二次根式与能合并，则______ 【答案】0 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得：． 【题型05：二次根式的混合运算】 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，再计算； （2）先根据二次根式的乘法，再根据二次根式的加减法计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．二次根式计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式中的各二次根式化简，再根据运算法则进行计算即可． （2）先利用二次根式乘法法则和平方差公式进行计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由二次根式性质、二次根式除法运算法则化简，然后合并同类二次根式，最后化简即可； （2）先由平方差公式、完全平方公式展开，再由二次根式性质化简，最后由加减运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型06：二次根式的化简求值】 21．已知 ，求的值． 【答案】3 【分析】先整理，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 把代入，得． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 23．已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式的变形公式求解即可； （2）根据平方差公式求解即可. 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ，， ； （2）解：∵ ，， ∴ ，， . 24．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，，3 (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减乘除运算法则分别计算，乘法可以利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式将所求代数式变形为，再代值计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ； （2）解：，， ． 25．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 【题型07：二次根式的应用】 26．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)能围成这两个正方形，理由如下： ∵ 两个正方形的周长之和为，又∵ ，，， ∴ ， ∴ 用长为的铁丝能围成这两个正方形． 【分析】（1）根据，利用完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可； （2）计算两个正方形的周长，与已知铁丝的长度比较，解答即可 【详解】（1）解：根据题意，得， ， 故． （2）解：略． 27．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 28．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出大正方形的边长为，小正方形的边长为，即可求出答案； （2）用长方形面积减去正方形面积即可． 【详解】（1）解：小正方形的边长为：， 大正方形的边长为：， 所以长方形的周长为：． （2）解：由第一问可知： 长方形的长为，长方形的宽为， 长方形的面积为：， 所以阴影部分的面积和为：． 29．秦九韶（1208~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．如图，在中，，，，，垂足为D，请利用上面的公式求的长． 【答案】 【分析】根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可． 【详解】解：由题意，， ∴． 即的面积为， 由得． 【题型08：二次根式中新定义问题】 30．对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 【答案】(1)5，2，1 (2)1，2，3 (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式，求最大整数解即可； （2）根据题意由，确定的范围，找出整数值即可； （3）根据题意分别求出及的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：, ； , ， ； ， ． （2）解：， ， ， 又∵为整数， ． （3）解：， ,， ，， 原式． 31．【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由如下： ，， ，其结果15，10，6都是整数， ，，这三个互不相等的负整数是“完美组合数”． (2) 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“完美组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验． （1）根据“完美组合数”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美组合数”的定义，以及题意，分两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：①当时，， 解得不符合题意，舍去； ②当时，， 解得， 此时，， 且结果10，40，20都是整数，，，这三个数是“完美组合数”，符合题意． 综上所述，． 32．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 【答案】(1)2， (2) (3)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （3）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （3）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 33．我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 【答案】(1) (2)是关于7的对称数 【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可． （2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可． 【详解】（1）解：∵数与是关于的对称数， ∴， ． ∴． （2）解：是关于7的对称数，理由如下： ， ∵；， ∴， ∴与是关于7的对称数． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 34．观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 35．已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接分母有理化即可得到答案； （2）可求出（n为正整数），据此把所求式子的每一项分母有理化，再计算即可； （3）分母有理化得到，则，进而得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设n为正整数， 则， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 36．阅读材料，理解定义，完成下列问题： 在二次根式运算中，我们常遇到分母含有根号的式子．为了使分母不含根号，我们引入一种新的运算——“共轭化简法”． 定义：共轭化简法 对于形如或的式子，通过乘以一个适当的根式，使分母变为有理数，这个过程称为共轭化简． 1．若分母为单根号，则分子分母同乘； 2．若分母为，则分子分母同乘（称为“共轭式”）． 示例： 问题： (1)利用共轭化简法化简_____；_____． (2)方法迁移，解决变式问题：化简_____． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中定义的方法直接计算； （2）应用分母为二项式的有理化方法进行计算； （3）将每一项分式进行分母有理化，可以发现原式是一个各项可以前后相消的裂项和，合并后即可求值； 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式重难点九大题型突破 【题型01：二次根式的概念】 【题型02：二次根式有意义的条件】 【题型03：判断二次根式的性质化简】 【题型04：同类二次根式的概念】 【题型05：二次根式的混合运算】 【题型06：二次根式的化简求值】 【题型07：二次根式的应用】 【题型08：二次根式中新定义问题】 【题型09：利用分母有理化化简求值】 【题型01：二次根式的概念】 1．下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D．4 2．下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型02：二次根式有意义的条件】 4．若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 6．当_________时，式子在实数范围内有意义． 7．当_____时二次根式有最小值． 8．若，则______． 【题型03：判断二次根式的性质化简】 9．实数a在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C． D． 10．实数，在数轴上的位置如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 11．若，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 12．已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【题型04：同类二次根式的概念】 13．下列二次根式中能与合并的是（     ） A． B． C． D． 14．若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则是（     ） A．7 B．5 C．2 D．1 15．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 16．如果最简二次根式与能合并，则______ 【题型05：二次根式的混合运算】 17．计算： (1) (2) 18．二次根式计算 (1) (2) 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2)． 【题型06：二次根式的化简求值】 21．已知 ，求的值． 22．先化简，再求值：，其中． 23．已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 24．已知， (1)直接写出，，的值； (2)求代数式的值． 25．已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【题型07：二次根式的应用】 26．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 27．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 28．如图，长方形内两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)求图中两块阴影部分的面积和． 29．秦九韶（1208~1268年），字道古，南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，S为三角形的面积，那么．如图，在中，，，，，垂足为D，请利用上面的公式求的长． 【题型08：二次根式中新定义问题】 30．对于实数a，如果我们规定：用符号表示不大于的最大整数，则称为a的根整数．例如：，． (1)仿照以上算法计算：________，________，________； (2)若，写出满足题意的b的整数值________； (3)计算： 31．【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． (2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 32．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． (1)计算：______；______； (2)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (3)计算． 33．我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)若数与是关于的对称数，求数的值； (2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由． 【题型09：利用分母有理化化简求值】 34．观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 35．已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 36．阅读材料，理解定义，完成下列问题： 在二次根式运算中，我们常遇到分母含有根号的式子．为了使分母不含根号，我们引入一种新的运算——“共轭化简法”． 定义：共轭化简法 对于形如或的式子，通过乘以一个适当的根式，使分母变为有理数，这个过程称为共轭化简． 1．若分母为单根号，则分子分母同乘； 2．若分母为，则分子分母同乘（称为“共轭式”）． 示例： 问题： (1)利用共轭化简法化简_____；_____． (2)方法迁移，解决变式问题：化简_____． (3)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $