专题03 勾股定理的应用 重难点题型专项训练（2个知识点+12大题型+自我检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 以2个核心知识点为统领，通过14类梯度题型构建“问题建模-方法提炼-迁移应用”的训练体系，强化几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个（含即时训练）|实际问题→直角三角形建模；空间路径→平面展开转化|从基础应用步骤到最短路径方法，形成“概念-原理-应用”递进链| |基础题型|12类（每类含例题+练习）|构造直角三角形求边长；利用勾股定理解决距离/高度/判断问题|覆盖生活场景（旗杆、航海等），实现知识向实践的迁移| |提高题型|2类（含综合应用）|多面体表面展开求最短路径；动态问题中的最值计算|深化空间观念与推理能力，对接中考复杂情境|

专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求旗杆高度 1 题型二、求小鸟飞行距离 2 题型三、求大树折断前的高度 3 题型四、求梯子滑落高度 4 题型五、解决水杯中筷子问题 5 题型六、解决航海问题 6 题型七、求河宽 7 题型八、求台阶上地毯长度 8 题型九、判断汽车是否超速 9 题型十、判断是否受台风影响 10 题型十一、选址使到两地距离相等 11 题型十二、求最短路径 12 第二部分·练提高题型 题型一、求最短路径一一蚂蚁爬行问题 1 题型二、勾股定理的应用一一最值问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米． 知识点02 利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（    ） A．12cm B．10cm C．15cm D．17cm 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，长方形操场的长为，宽为，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 【基础题型一 求旗杆高度】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【例2】（25-26八年级下·吉林·阶段检测）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为（）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．则风筝离地面高度为___________米．    1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）《九章算术》中有这样一个问题，“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？”题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直，这根绳索有多长？                                                                                                            3．（25-26八年级上·四川成都·期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 【基础题型二 求小鸟飞行距离】 【例1】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（25-26八年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m． 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【基础题型三 求大树折断前的高度】 【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在一棵树上米高的处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树米处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处直跃向池塘的处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？ 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【基础题型四 求梯子滑落高度】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端滑动，可得方程__________________． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 2．（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【基础题型五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为___________m． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，水池中离岸边点4米的处，直立长着一根芦苇，出水部分的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端恰好落到点，则水池的深度为多少米． 2．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？ 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【基础题型六 解决航海问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【例2】（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意．反走私艇和走私艇的距离是13海里，、两艇的距离是5海里；反走私艇测得距离艇12海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 【基础题型七 求河宽】 【例1】（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 3．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【基础题型八 求台阶上地毯长度】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 3．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【基础题型九 判断汽车是否超速】 【例1】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由． 【例2】 （25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 2．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【基础题型十 判断是否受台风影响】 【例1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：______． 【例2】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是_________． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________． 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？ 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）一艘轮船以10海里/时的速度由西向东航行，某台风中心正以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属台风影响区．如图，当轮船行至处时，接到台风警报；台风中心正位于处正南方向的处，且海里．从接到台风警报开始，最早经过多长时间轮船就会进入台风影响区？ 3．（25-26八年级下·湖北荆门·阶段检测）在某台风登陆期间，市接到台风警报时，在该市正南方向的点处台风中心正以20km/h的速度沿方向移动，已知城市到的距离AD=90km． (1)台风中心经过多长时间从点移动到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点的人脱离危险．人必须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为6km/h）？ 【基础题型十一 选址使到两地距离相等】 【例1】（25-26八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为__________ ． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【基础题型十二 求最短路径】 【例1】（2026八年级上·吉林长春·专题练习）如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 【例2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 2．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 3．（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 【提高题型一 求最短路径一一蚂蚁爬行问题】 【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图①，创意小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到如图②所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短路程为___________cm． 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为_____．（杯壁厚度不计） 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【提高题型二 勾股定理的应用一一最值问题】 【例1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 【例2】（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知的最小值为_______． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 1．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，一根长为25m的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动至D处则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为(   )    A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D．  4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 7．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    9．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 10．（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 11．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 14．（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 15．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的应用重难点题型专训（2个知识点+12大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求旗杆高度 1 题型二、求小鸟飞行距离 2 题型三、求大树折断前的高度 3 题型四、求梯子滑落高度 4 题型五、解决水杯中筷子问题 5 题型六、解决航海问题 6 题型七、求河宽 7 题型八、求台阶上地毯长度 8 题型九、判断汽车是否超速 9 题型十、判断是否受台风影响 10 题型十一、选址使到两地距离相等 11 题型十二、求最短路径 12 第二部分·练提高题型 题型一、求最短路径一一蚂蚁爬行问题 1 题型二、勾股定理的应用一一最值问题 2 第三部分・自我检测 知识点01 勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接，则，，，在中，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接， ∴，，， 在中，， ∴小鸟至少飞行． 故答案为：． 知识点02 利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（    ） A．12cm B．10cm C．15cm D．17cm 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图，勾股定理等知识．画出圆柱侧面展开图，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程，求出，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，矩形为圆柱侧面展开图，B为边中点，根据“两点之间，线段最短”，线段长度即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程． 由题意得， 在中，根据勾股定理得． 故选：C 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，长方形操场的长为，宽为，小明站在A处，足球落在C处，小明要想捡到足球，他最少应跑_________． 【答案】 【分析】根据长方形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：长方形操场的长为，宽为， ，， ． 【基础题型一 求旗杆高度】 【例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的正确应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．旗杆的长，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·吉林·阶段检测）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为（）；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．则风筝离地面高度为___________米．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：由题意可得：， 在中， 由勾股定理得，， ∴米， 答：风筝的高度为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 1．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 【答案】木马上升的高度为1米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 2．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）《九章算术》中有这样一个问题，“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？”题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直，这根绳索有多长？                                                                                                            【答案】绳索长为尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】解：如图， 设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ， 解得：， 答：绳索长为尺． 3．（25-26八年级上·四川成都·期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 【答案】(1)米 (2)26 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可求解； （2）根据勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． （2）解： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， 即的长度为26米． 【基础题型二 求小鸟飞行距离】 【例1】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·辽宁本溪·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m． 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 1．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高______米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【答案】是安全的 【分析】根据勾股定理可得米，然后问题可求解 【详解】解：∵， 由勾股定理得：米， 根据题意可得米， ∴， ∴此时风筝的高度是安全的． 【基础题型三 求大树折断前的高度】 【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 【例2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米． 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，由于台风的影响，一棵树在离地面6米处（点）折断，树顶部（点）落在离树干底部（点）8米处，则这棵树在折断前的高度（不包括树根）为多少米？ 【答案】16米 【详解】解：由题意可知：米，米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：这棵树在折断前的高度为16米． 2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在一棵树上米高的处有两只猴子，其中一只猴子沿树爬下，走到离树米处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处直跃向池塘的处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？ 【答案】这棵树的高度为米 【分析】要求树的高度，已知的长，则只需求的长，设米，根据已知“两只猴子所经过的路程相等”可表示出的长，在中运用勾股定理可以列出方程式，解方程即可得解． 【详解】解：根据题意得，米，米， 设米，则米， 两只猴子所经过的路程相等， ，即， ， ，即， 整理得，解得， 即米， （米）． 答：这棵树的高度为米． 3．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)风筝距离地面的高度AB为12米 (2) 如图，点D为所求作的点． 【分析】本题考查勾股定理、角平分线、尺规作图、一元一次方程等基础知识， （1）设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． （2）根据尺规作图即可； 【详解】（1）解：依题意：在中，，米，． 设米，则米． 在中，根据勾股定理，，    即． 化为，解得． 所以风筝距离地面的高度AB为12米． （2）略 【基础题型四 求梯子滑落高度】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，一架长的梯子靠在墙上，梯子底端离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将滑动（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．利用勾股定理进行解答，求出下滑后梯子底端距离墙角的距离，再计算梯子底端滑动的距离即可． 【详解】解：梯子顶端距离墙角的距离为： ， 梯子的顶端下滑后，顶端距离墙角的距离： ， 顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为： ， 梯子的底端滑动的距离为： ． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，梯子的底端滑动，可得方程__________________． 【答案】 【分析】利用勾股定理算出未滑动前梯子底端距墙的水平距离，设梯子顶端向下滑动1m，则梯子底端滑动，利用勾股定理列方程，即可解答． 【详解】解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为， 此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为， 可得方程：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系列方程是解题的关键． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度，进而即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ， ， 在中，， ∴， ． 答：梯子底端外移的距离为． 2．（25-26八年级下·江西南昌·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答； （2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度． 【详解】（1）解：由题可知，，， 绳长， 答：绳子的总长度为． （2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则， ， 在直角三角形中， ， ， 物体升高， 答：物体升高了． 【基础题型五 解决水杯中筷子问题】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，将一根长为的筷子斜置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确求出杯子内筷子的长度是解题关键．利用勾股定理求出杯子内筷子的长度，再利用筷子的总长度减去杯子内筷子的长度即可得． 【详解】解：由题意得：杯子内筷子的长度为， 则筷子露在杯子外面的长度为， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，露在水面的鱼线长为3m，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为4m，若的长为1m，则钓鱼竿的长为___________m． 【答案】5 【分析】根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键． 1．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，水池中离岸边点4米的处，直立长着一根芦苇，出水部分的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端恰好落到点，则水池的深度为多少米． 【答案】水池的深度为3米． 【分析】首先设水池中水的深度为x米，则米，然后再利用勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】解：设水池中水的深度为x米， 则米． 在中，根据勾股定理，得， 即． 解得． 所以水池的深度为3米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法． 2．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是长度单位，1丈10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处，问水的深度是多少？ 【答案】12尺 【分析】设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺，根据勾股定理列方程，解出h即可． 【详解】解：设水深为h尺，则芦苇长为(h + 1)尺，根据勾股定理列方程，解出h即可． 设水深为h尺，则芦苇长为(h+ 1)尺， 根据勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12， ∴水深为12尺， 故答案是： 12尺． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练根据勾股定理列出方程是解题的关键． 3．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； (2)如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】(1)18 (2) 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 【基础题型六 解决航海问题】 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，甲货船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船乙以12海里/小时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，甲、乙两轮船相距多少海里？（　　） A．35海里 B．50海里 C．60海里 D．40海里 【答案】C 【分析】本题考查了方向角、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．如图（见解析），先根据方向角可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 离开港口3小时后，（海里），（海里）， ∴海里， 即甲、乙两轮船相距60海里， 故选：C． 【例2】（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为______． 【答案】26 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，小明计划周末到离家正东方向的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向的体育中心打篮球，求小明家和体育中心的距离． 【答案】小明家和体育中心的距离为． 【分析】根据方向角的定义得出，，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由题意得，，，， ∴在中，． ∴小明家和体育中心的距离为． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港沿正东方向向海港行驶，点处有一座灯塔，轮船行驶了后到达点处（即），此时轮船正好位于灯塔的正南方，继续向东行驶了到达海港处（即），已知灯塔到海港的距离为，求灯塔到海港的距离． 【答案】 【分析】由题意可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，南北向为我国领海线，即以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意．反走私艇和走私艇的距离是13海里，、两艇的距离是5海里；反走私艇测得距离艇12海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 【答案】若走私艇的速度不变，最早会在上午10点41分进入我国领海 【分析】可证明得到，利用等面积法可求出的长，则可利用勾股定理求出的长，根据垂线段最短可得点C到的最短距离为的长，再根据时间等于路程除以速度求出走私艇最早进入我国领海需要的时间即可得到答案． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 由题意得于点E， ∴， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 由垂线段最短可知，点C到的最短距离为的长，即走私艇进入我国领海的最短路程为海里， 分， 上午9时50分再过51分钟是上午10点41分， 答：若走私艇的速度不变，最早会在上午10点41分进入我国领海． 【基础题型七 求河宽】 【例1】（25-26八年级上·山西长治·期末）如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【答案】B 【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 【例2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为__________． 【答案】2 【分析】根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】根据题意画出示意图，如图，则AC=0.5m，，，    所以BC即为河水深度，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：BC=2（m）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，求出图中、两点之间的距离． 【答案】A、B两点之间的距离是． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（），从而确定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中是直角三角形且，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即．要求、两点间的距离即求的长度，已知，，需将已知数值代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出的长度． 【详解】解：是直角三角形且， 和为直角边，为斜边． 根据勾股定理可得：． ，，将其代入上述公式，可得： ， ， 由于线段长度为正数，得： ． 故A、B两点之间的距离是． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【答案】 解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： ∵正中间有宽的双黄线， ∴点O到右边黄线的距离为 ∵现有一辆货运卡车高，宽， ∴如图，在上取G，使， 过G作于F反向延长交半圆于点E，则． 圆的半径， 在中，由勾股定理得：， ∴点E到的距离为， ∴货车可以通过该隧道． 【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆于点E，则，利用勾股定理求得，再与车高比较即可． 【详解】略 3．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1) 证明：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 【基础题型八 求台阶上地毯长度】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【分析】先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解∶在中，米， 故可得地毯长度米， 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，属于基础题，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为______． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 【答案】1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 3．（25-26八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米． (1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？ (2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？ 【答案】(1)每一级台阶的高为2分米． (2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论； （2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米， 根据题意得，18×（4＋x）×4＝432， 解得x＝2， 答：每一级台阶的高为2分米； （2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米， 则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：AC＝（分米）， 答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【基础题型九 判断汽车是否超速】 【例1】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由． 【答案】李叔叔不超速，理由见解析 【分析】先根据勾股定理计算BC的长，可计算李叔叔行驶的速度，统一单位后与60km/h作比较可得结论． 【详解】解：李叔叔不超速，理由如下： 如图， Rt△ABC中，AC=7，AB=25， 由勾股定理得：BC==24， v=24÷1.5=16（m/s）=57.6（km/h）， ∵57.6＜60， ∴李叔叔不超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是把速度的单位统一． 【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】 解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】略 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【答案】 解：此车超速． 理由：，， 是等腰直角三角形． 米． 在中，， ． 米． 由勾股定理得米， 米． 汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时． 答：此车超速． 【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出汽车的速度，再与此路段限速每小时千米比较，由此即可求解． 【详解】略 2．（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 【基础题型十 判断是否受台风影响】 【例1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）某地产开发商在笔直的公路旁有一块山地正在施工，现有工地一处需要小型爆破，经测量，已知点与公路上的停靠站的距离为30米，与公路上的另一停靠站的距离为40米．且．为了安全起见，已知进入爆破点周围半径25米范围内有危险．问在进行爆破时，公路段是否因有危险而需要暂时封锁？答：______． 【答案】需要封锁 【分析】过C作CD⊥AB于D．狗跟勾股定理可得AB=50米，再由，可得CD=24米，即可求解． 【详解】解：公路AB需要暂时封锁．理由如下： 如图，过C作CD⊥AB于D． 根据题意得：BC=40米，AC=30米，∠ACB=90°， ∴米， ∵， ∴米， ∵24米＜25米， ∴有危险，公路段需要暂时封锁． 故答案为：需要封锁 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股定理． 【例2】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．       （1）学校C到铁路AB的距离是_________． （2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______． （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________． 【答案】 240 12 60 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可； （2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可； （3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解． 【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，   ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， 解得， 故答案为：240； （2）如图，    当时，正好影响学校， ∴， ∴， ∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B， ∴， 故答案为：12； （3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（）， ∴， ∴其行驶速度至少应增加到． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键． 1．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？ 【答案】A处受噪音影响的时间为 【分析】过点A作，根据题意可知的长与相比较，发现受到影响，然后过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，， ∵公路上A处点距离O点，距离MN为， ∴， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时，当货车到达D点后继续再运动时，对A处不再产生影响，此时， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 2．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）一艘轮船以10海里/时的速度由西向东航行，某台风中心正以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属台风影响区．如图，当轮船行至处时，接到台风警报；台风中心正位于处正南方向的处，且海里．从接到台风警报开始，最早经过多长时间轮船就会进入台风影响区？ 【答案】3 【分析】设最早经过x小时轮船就会进入台风影响区，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为t 小时,此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE， 则AC＝10t，AE＝AB−BE＝100−20t， ∵． ∴ ， 解得（不合题意舍去）． 答：最早经过3小时轮船就会进入台风影响区． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． 3．（25-26八年级下·湖北荆门·阶段检测）在某台风登陆期间，市接到台风警报时，在该市正南方向的点处台风中心正以20km/h的速度沿方向移动，已知城市到的距离AD=90km． (1)台风中心经过多长时间从点移动到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让处于点的人脱离危险．人必须在接到台风警报后的几时内撤离（撤离速度为6km/h）？ 【答案】(1)台风中心经过6小时从点移动到点 (2)游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离 【分析】（1）首先根据勾股定理计算的长，再根据时间＝路程÷速度进行计算； （2）根据在30千米范围内都要受到影响，可以根据游人的速度求游人撤离的时间，再结合第一问的结论进行分析． 【详解】（1）在直角三角形中，根据勾股定理，得． （小时）； 即台风中心经过6小时从点移动到点； （2）根据垂线段最短，可知游人最好选择沿所在的方向撤离． 根据在30千米范围内都要受到影响， 可得撤离的时间为：（小时）， 又台风到点的时间是6小时， 即游人必须在接到台风警报后的1小时内撤离． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、垂线段最短的应用．明确题意是解答本题的基础． 【基础题型十一 选址使到两地距离相等】 【例1】（25-26八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，应建在距点处． 故选：． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为，公交公司拟在公路l上建一个公交车停靠站（点P），要求停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等，则停靠站到车站的距离（）为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了选址使到两地距离相等(勾股定理的应用)，解题关键是掌握勾股定理． 连结，利用勾股定理列出关于待求线段的方程求解． 【详解】解：连结， ∵停靠站（点P）到商场（点M）与到车站（点N）的距离相等， ∴， ∴， ∵商场（点M）距公路（直线l）的距离（）为，在公路上有一车站（点N），车站距商场（）为， ∴，， ∴（），（）， 解得：，， ∴停靠站到车站的距离（）为． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，公路上A，B 两站相距8千米，C，D为两村庄， 垂足分别为点A，B．已知长3 千米， 长5千米，现要在公路 上建一个日用品大卖场E，使得C，D两村到大卖场E 的距离相等，那么大卖场E应建在距A站多远处? 【答案】大卖场E应建在离A站千米处 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是关键．设千米，则千米，在和中，利用勾股定理可用x表示出和；接下来根据列方程求出x的值即可． 【详解】解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 因为，所以，解得， 所以大卖场E应建在离A站千米处． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 【基础题型十二 求最短路径】 【例1】（2026八年级上·吉林长春·专题练习）如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 【答案】B 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 【例2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】把正方体侧面展开图，根据两点之间线段最短，画出昆虫沿盒子表面爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：正方体侧面展开图如图所示，线段即为昆虫沿盒子表面爬行的最短路程， 根据勾股定理得，， ∴昆虫沿盒子表面爬行的最短路程是． 2．（25-26八年级上·甘肃白银·期末）你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． 3．（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，在一张长方形纸板上放着一根长方体木块．已知，，该木块的长与平行，横截面是边长为的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木块到达点C需要走的最短路程． 【答案】米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 【提高题型一 求最短路径一一蚂蚁爬行问题】 【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】圆柱的展开图如图： 根据题意：，，， ， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是． 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图①，创意小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到如图②所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点，则它爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短线段问题，把书架的侧面展开，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点，求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图是书架的侧面展开图，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点， ，， ∴在中，， ∴蜘蛛爬行的最短距离为， 故选：． 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短路程为___________cm． 【答案】15 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，涉及到勾股定理，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短是解题的关键． 要求正方体中两点之间的最短距离，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下： ∴，， ∴； 按照正面和下面展开，如下： ∴，， ∴， 按照上面和右面展开，如下： ∴，， ∴， ∴需要爬行的最短距离为． 故答案为：15． 2．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为_____．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？画出侧面展开图，并解答． 【答案】蚂蚁爬行的最短路径长为． 长方体侧面展开图如图所示． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意，得，． 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【提高题型二 勾股定理的应用一一最值问题】 【例1】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）如图，圆柱形杯子底面直径为，高为．将一根长的木棒斜放在杯中，设木棒露在杯子外面的长度为，则h的最小值是（    ）    A．9 B．11 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】 解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 即h的最小值是． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 【例2】（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短．连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，由两点之间线段最短知的最小值即的长，过点E作，交的延长线于点F，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值． 【答案】 点即为中转站的位置； 的最小值为． 【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点， 过作的延长线于点， 则，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 的最小值为． 2．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）如图，​为线段上一动点，分别过点、作，​，连接、．已知，，，设． (1)用含​的代数式表示的长； (2)请问点​满足什么条件时的值最小；并求出的最小值． (3)参照上面构图的思想方法，构图求代数式​的最小值． 【答案】(1)； (2)点C满足、、三点共线时，的值最小；的最小值是； (3)． 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）根据两点之间线段最短可得点C满足、、三点共线时，的值最小，过点作的延长线于点，得到四边形为长方形，利用长方形性质和勾股定理可得的最小值； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，设， ， ，，，， ，， ∴，， ； （2）解：点C满足、、三点共线时，的值最小， 过点作的延长线于点， 则四边形为长方形， ，， ， ； （3）解：如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 1．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，一根长为25m的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B离墙根E的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动至D处则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可得，，，由，，即可求解． 【详解】解：由题意得 ，，， ， 在中 ， 在中 ， （）， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握解法是解题的关键． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是，内壁高为．将一根长的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据杯子内筷子的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中， 在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度， 当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，， 最长时等于杯子斜边长度是：， 此时， 的取值范围是：， 故选：D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点知道校车自点处沿轴向原点方向匀速驶来，去截汽车．若点的坐标为，点的坐标为，则小蓓最快截住汽车的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，根据题意画出图形的能力．在点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为，设，在中，为斜边，已知，，即可求，且，根据的等量关系可以求得，即可求相遇点的坐标．找到并且根据其求点坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，设在点小蓓与汽车相遇，且设，过点轴， ∴，， ∵的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ，在中， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 故选：C． 5．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图所示的示意图是滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，米，点E在CD上，米．若一名滑板爱好者从点A滑到点E，则他滑行的最短距离为（   ） A．18米 B．20米 C．30米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，再根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图是其侧面展开图： （米），（米），（米）， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， 故他滑行的最短距离为米． 故选：B． 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 10．（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 11．（25-26八年级下·甘肃张掖·期末）小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为. 【分析】作，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 答：旗杆的高度为. 12．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，某医院高12米的大楼上有一块高3米的宣传牌，为美化环境，对宣传牌进行维护．一辆工程车在大楼前点处，伸长20米的云梯（云梯最长20米）刚好接触到的底部点处．问工程车向大楼方向行驶多少米时，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处？（结果保留根号） 【答案】工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 【分析】本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在根据勾股定理求出米，在中根据勾股定理求出米，根据计算即可． 【详解】解：由题意得：（米），（米）， 在中，由勾股定理得： （米） 在中，由勾股定理得： （米） （米） 答：工程车向大楼方向行驶米，长20米的云梯刚好接触到的顶部点处． 13．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 14．（25-26八年级上·广东茂名·期中）我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)证明：，，， ． 是直角三角形，即； (2)解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $