专题01 从自然数到有理数 同步培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义围绕“从自然数到有理数”核心知识点，以数系发展为主线构建学习支架，先阐述自然数（计数、测量等）和分数（测量计算需要）的产生，再通过相反意义的量引入负数，最终形成有理数概念及按定义、符号两种标准的分类体系。 该资料亮点在于题型归纳全面（含8类题型），结合实际应用案例（如收入支出、体重记录）培养数感与应用意识，通过有理数分类及带“非”字集合训练提升推理意识和抽象能力，知识框架图直观辅助理解，课中助力教师系统授课，课后便于学生回顾强化、查漏补缺。

专题01 从自然数到有理数 同步培优讲义 ✺知识框架 1.数的产生：自然数用于计数、测量、标号或排序；分数产生于测量与计算的需要。 2.正数与负数：大于 0 的数是正数，小于 0 的数是负数，0 是正数与负数的分界；正、负数用于表示相反意义的量。 3.有理数：整数和分数统称有理数。按定义分为整数（正整数、零、负整数）与分数（正分数、负分数）；按符号分为正有理数、零和负有理数。 ✅本节沿着数的发展主线展开：自然数与分数源于计数、测量和计算的需要；为表示相反意义的量引入负数，使数扩充到有理数。学习的核心是会用正、负数表示相反意义的量，理解有理数的概念，并能按定义和符号两种标准对有理数进行分类。 ✺学习目标 1.了解自然数、分数在计数、测量、标号与排序等方面的作用，体会数系扩展的必要性。 2.理解正数、负数的意义，能用正数、负数表示具有相反意义的量，知道0 既不是正数也不是负数。 3.理解有理数的概念，会按定义和符号两种标准对有理数进行分类，能正确判断一个数是否是有理数。 ✺题型归纳 题型1.正负数的定义 题型2.相反意义的量 题型3.正负数的实际应用 题型4.有理数的定义 题型5.0的意义 题型6.有理数的分类 题型7.带“非”字的有理数集合 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、数的产生与作用　 自然数（包括0），有两类作用： 一是计数与测量，表示数量的多少；二是标号与排序，表示次序或编码。 在测量和计算中，仅用自然数往往不够，于是产生了分数。 知识点二、正数与负数　 大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0 既不是正数，也不是负数。 现实中的量常具有相反意义（如收入与支出、零上与零下、上升与下降），规定其中一种意义为正，与之相反的意义即为负。 具有相反意义的量须同时具备两个要素：意义相反，且都带有数量（数量不一定相等）。 0除表示 "没有" 外，还表示正数与负数的分界，如 0℃、海拔 0 米。 知识点三、有理数的概念与分类　 整数和分数统称有理数。分类有两种标准： 按定义分：有理数分为整数和分数：整数包括正整数、零、负整数；分数包括正分数、负分数。 按符号分：有理数分为正有理数、零和负有理数：正有理数包括正整数、正分数；负有理数包括负整数、负分数。 知识点四、有理数的判定　 分数都可以化为小数，化得的结果是有限小数或无限循环小数； 反过来，有限小数和无限循环小数也都能化为分数，所以它们都是有理数。无限不循环小数（如 π）不能化为分数，不是有理数。 ✺题型精讲 题型1.正负数的定义 1．下列四个数中，是负数的是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：是负数． 2．在，0，，13，，102和中，自然数有______个，负数有______个． 【答案】 【详解】解：∵自然数包含和正整数，负数是小于的数， ∴在这些数中，属于自然数的有，，，共有3个；属于负数的有，，共有个． 3．下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 【答案】0，是整数但不是正数；，是分数但不是负数 【分析】本题考查整数、正数、分数、负数的定义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．先从给定数中筛选出符合条件的整数，再筛选出符合条件的分数，注意区分整数和分数的定义，以及正负数的判断标准． 【详解】解：是整数但不是正数的有：0，； 是分数但不是负数的有：，． 题型2.相反意义的量 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【详解】解：∵风车顺时针旋转，记作， ∴正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转； ∴表示逆时针旋转. 2．中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量，且进行负数运算的国家．手机支付如今已是人们常用的支付方式，若收入10元记作元，则支出6元应记作________元． 【答案】 【详解】解：∵收入与支出是一对具有相反意义的量，收入元记作元， ∴支出元应记作元． 3．（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 【答案】（1）；（2）在银行取出3000元；（3） 【分析】本题考查了相反意义的量“用正负数表示两种具有相反意义的量，具有相反意义的量都是相互依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是他们都是数量”，熟记相反意义的量的定义是解题关键．根据相反意义的量的定义求解即可得． （1）根据上升与下降的意义相反解答即可得； （2）根据存入与取出的意义相反解答即可得； （3）根据超过与低于的意义相反解答即可得． 【详解】解：（1）因为上升与下降的意义相反， 所以如果升降机下降记作，那么上升记作． （2）因为存入与取出的意义相反， 所以如果元表示在银行存入40000元，那么元表示在银行取出3000元． （3）因为超过与低于的意义相反， 所以如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作． 题型3.正负数的实际应用 1．以聪聪的身高为标准，高于的记作正，低于的记作负，城城的身高记为，芳芳的身高记为，则三个小朋友的平均身高是（     ）． A．152 B．154 C．147 D．151 【答案】D 【分析】明确正负数表示与标准身高的差值，计算两人实际身高后求三人平均身高． 【详解】解：城城的身高为，芳芳的身高为， 三人平均身高为． 2．下面是某小学一（5）班5名同学的体重： 姓名 李强 张云 赵冬 汪兵 陈红 体重 如果把他们的平均体重记作，那么张云的体重记作__________，李强的体重记作__________． 【答案】 【分析】先计算5名同学的平均体重，规定平均体重记作，超过平均体重记为正，不足平均体重记为负，计算两人体重与平均体重的差值即可得到结果． 【详解】解：由题意得这5名同学的平均体重为， 平均体重记作，超过平均体重记为正，不足平均体重记为负 张云体重与平均体重的差为，记作， 李强体重与平均体重的差为，记作． 3．某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数． 【答案】一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． 【分析】用每月实际生产的数量减去计划每月生产的数量可得答案． 【详解】解：吨，吨，吨， 即一月份超额完成计划吨，二月份超额完成计划吨，三月份超额完成计划吨． 题型4.有理数的定义 1．下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查有理数的定义．有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，据此求解即可． 【详解】解：，，0，，都是有理数，共有5个； 只有是无理数； 故选：D． 2．在20、、、、、0、中，有理数有_________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在20、、、、、0、中，有理数有20、、、、0、，共6个， 故答案为：6． 3．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 【答案】，，，；，，，；， ； 【分析】分别根据整数、非负整数、正分数的定义得出即可． 【详解】解：整数集：，，，； 非负整数集：，，，； 正分数集：， ； 故答案为：，，，；，，，；，. 【点睛】此题主要考查了有理数的有关定义，熟练掌握相关的定义是解题关键． 题型5.0的意义 1．下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 2．下列关于“0”的说法正确的有________个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 【答案】4 【分析】本题考查了对数字0的认识，注意：负数都小于零，正数都大于零，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数；零不仅表示没有，还表示一个介于负数与正数之间的一个数． 依据题意，零大于负数，小于正数，零既不是正数也不是负数，整数包括正整数、零、负整数，零是自然数，零是偶数，从而即可根据以上内容判断求解． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故答案为：4． 3．如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【答案】(1)收入元 (2)收入元 (3)支出元 (4)没有收入也没有支出 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果把收入为正，则支出就是负． 【详解】（1）解：元是正数，所以表示收入元； （2）解：元是正数，所以表示收入元； （3）解：元是负数，所以表示支出元； （4）解：元既不是正数也不是负数，所以表示没有收入也没有支出． 【点睛】本题考查正负数的实际意义，理解“正”和“负”的相对性，把握题中具有相反意义的量是解决问题的关键． 题型6.有理数的分类 1．下列实数中，正整数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正整数的概念，根据正整数是大于0的整数的定义，逐一判断各选项即可得出结果． 【详解】解：A、是大于的整数，符合题意； B、是无理数，不是整数，不符合题意； C、是负整数，不是正整数，不符合题意； D、是分数，不是整数，不符合题意． 2．把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 【答案】 【分析】根据正数、负数、分数、有理数的定义，对给出的数逐一分类即可. 【详解】解：大于的数是正数，正数集为； 小于的数是负数，负数集为； 分数包括正分数和负分数，有限小数、无限循环小数和百分数都属于分数，分数集为； 整数和分数统称为有理数，本题给出的所有数都为有理数，有理数集为. 3．把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里： ，，，，，，，． 【答案】 【分析】根据有理数的分类，可得答案． 【详解】略 题型7.带“非”字的有理数集合 1．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题考查非负数的定义，非负数包含正数和0，只需找出题干中属于正数和0的数，统计其个数即可． 【详解】解：∵非负数是指正数和0， ∴在，12，，0，5，中，非负数为12，0，5， ∴非负数的个数为3个． 故答案为：B． 2．在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】2 【详解】解：在，，0，这四个有理数中， 非负数有：，0共2个． 3．把下列各数填在相应的大括号内： ，1，，6,0,，，，，，2013，，． 正数集合：{ 　 　 …}； 非负整数集合：{ 　 　 …}． 【答案】1，6，，，2013，；1，6，0，2013 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正数、非负整数的定义． 根据正数、非负整数的定义解答即可． 【详解】解：正数集合：{1，6，，，2013，}； 非负整数集合：{1，6，0，2013} ✺课堂小结 一、单选题 1．在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． 2．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：∵收入元记作元，支出与收入是具有相反意义的量， ∴支出元记作元. 3．如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 【答案】B 【详解】解：∵收入万元记作万元，即收入记为正， ∴支出记为负， ∴万元表示支出万元. 二、填空题 4．下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正数和负数的认识，熟练掌握正负数的基础知识是关键； 根据正负数的定义和0既不是正数也不是负数解答即可. 【详解】解：是正数， 是负数， 0既不是正数也不是负数； 故答案为：；；0 ． 5．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 【答案】，，，， 【详解】解：是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 小于，所以不是正有理数； 是大于的整数，整数属于有理数，所以是正有理数； 既不是正数也不是负数，所以不是正有理数； 是大于的有限小数，有限小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 是大于的分数，分数属于有理数，所以是正有理数； 是大于的无限循环小数，无限循环小数可以化为分数，属于有理数，所以是正有理数； 综上可知，正有理数有：，，，，． 6．在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 【答案】正数集：，；负整数集：；整数集：，， 【分析】利用正数，负整数以及整数的定义填数即可． 【详解】解：正数是大于0的数，有，； 负整数是小于0的整数，有； 整数是指不含小数部分的数，有，，． 三、解答题 7．解答下列问题： (1)某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 【答案】(1) 解：沿顺时针方向转了12圈表示为圈； (2) 解：表示乒乓球的质量低于标准质量； (3) 解：“”表示大米的标准净含量为，实际每袋大米的净含量允许的误差范围为上下，即合格净含量范围是到． 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．将下列有理数分类： ． (1)正有理数集合： (2)负有理数集合： (3)整数集合： (4)非负整数集合： 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握正数，整数，分数，非负数的定义，进行解答，即可． （1）根据正数的定义进行解答，即可； （2）根据负数的定义进行解答，即可； （3）根据整数包括正整数，零，负整数，进行解答，即可； （4）根据非负整数包括正整数和零，进行解答，即可． 【详解】（1）解：， 正有理数集合：； （2）解：负有理数集合：； （3）解：整数集合：； （4）解：非负整数集合：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 从自然数到有理数 同步培优讲义 ✺知识框架 1.数的产生：自然数用于计数、测量、标号或排序；分数产生于测量与计算的需要。 2.正数与负数：大于 0 的数是正数，小于 0 的数是负数，0 是正数与负数的分界；正、负数用于表示相反意义的量。 3.有理数：整数和分数统称有理数。按定义分为整数（正整数、零、负整数）与分数（正分数、负分数）；按符号分为正有理数、零和负有理数。 ✅本节沿着数的发展主线展开：自然数与分数源于计数、测量和计算的需要；为表示相反意义的量引入负数，使数扩充到有理数。学习的核心是会用正、负数表示相反意义的量，理解有理数的概念，并能按定义和符号两种标准对有理数进行分类。 ✺学习目标 1.了解自然数、分数在计数、测量、标号与排序等方面的作用，体会数系扩展的必要性。 2.理解正数、负数的意义，能用正数、负数表示具有相反意义的量，知道0 既不是正数也不是负数。 3.理解有理数的概念，会按定义和符号两种标准对有理数进行分类，能正确判断一个数是否是有理数。 ✺题型归纳 题型1.正负数的定义 题型2.相反意义的量 题型3.正负数的实际应用 题型4.有理数的定义 题型5.0的意义 题型6.有理数的分类 题型7.带“非”字的有理数集合 题型8.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、数的产生与作用　 自然数（包括0），有两类作用： 一是计数与测量，表示数量的多少；二是标号与排序，表示次序或编码。 在测量和计算中，仅用自然数往往不够，于是产生了分数。 知识点二、正数与负数　 大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0 既不是正数，也不是负数。 现实中的量常具有相反意义（如收入与支出、零上与零下、上升与下降），规定其中一种意义为正，与之相反的意义即为负。 具有相反意义的量须同时具备两个要素：意义相反，且都带有数量（数量不一定相等）。 0除表示 "没有" 外，还表示正数与负数的分界，如 0℃、海拔 0 米。 知识点三、有理数的概念与分类　 整数和分数统称有理数。分类有两种标准： 按定义分：有理数分为整数和分数：整数包括正整数、零、负整数；分数包括正分数、负分数。 按符号分：有理数分为正有理数、零和负有理数：正有理数包括正整数、正分数；负有理数包括负整数、负分数。 知识点四、有理数的判定　 分数都可以化为小数，化得的结果是有限小数或无限循环小数； 反过来，有限小数和无限循环小数也都能化为分数，所以它们都是有理数。无限不循环小数（如 π）不能化为分数，不是有理数。 ✺题型精讲 题型1.正负数的定义 1．下列四个数中，是负数的是（     ） A． B．0 C．1 D． 2．在，0，，13，，102和中，自然数有______个，负数有______个． 3．下列各数，哪些是整数但不是正数，哪些是分数但不是负数？ 2，，0，，，，． 题型2.相反意义的量 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 2．中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量，且进行负数运算的国家．手机支付如今已是人们常用的支付方式，若收入10元记作元，则支出6元应记作________元． 3．（1）如果升降机下降记作，那么上升记作什么？ （2）如果元表示在银行存入40000元，那么元表示什么？ （3）某盐业公司加工的袋装食盐，如果超过标准质量记作，那么低于标准质量记作什么？ 题型3.正负数的实际应用 1．以聪聪的身高为标准，高于的记作正，低于的记作负，城城的身高记为，芳芳的身高记为，则三个小朋友的平均身高是（     ）． A．152 B．154 C．147 D．151 2．下面是某小学一（5）班5名同学的体重： 姓名 李强 张云 赵冬 汪兵 陈红 体重 如果把他们的平均体重记作，那么张云的体重记作__________，李强的体重记作__________． 3．某厂计划每月生产化肥800吨，一月份实际生产750吨，二月份实际生产800吨，三月份实际生产950吨，用正数、负数和0表示每月超额完成计划的吨数． 题型4.有理数的定义 1．下列各数：，，，0，，，其中有理数有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．在20、、、、、0、中，有理数有_________个． 3．把下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 整数集： ； 非负整数集： ； 正分数集： ； 题型5.0的意义 1．下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列关于“0”的说法正确的有________个． ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． 3．如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 题型6.有理数的分类 1．下列实数中，正整数是（   ） A．2 B． C． D． 2．把下列各数分别填在相应的集合内． －17、 25%、－4.7、 、3.14 、0、、 、2017、 －19 正数集：__________________________ 负数集：__________________________ 分数集：_________________________ 有理数集：________________________ 3．把下列各数填入表示它们所在的数集的圈里： ，，，，，，，． 题型7.带“非”字的有理数集合 1．在，12，，0，5，中，非负数的个数有（    ） A．2个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 2．在，，0， 这四个有理数中，非负数有___________个． 3．把下列各数填在相应的大括号内： ，1，，6,0,，，，，，2013，，． 正数集合：{ 　 　 …}； 非负整数集合：{ 　 　 …}． ✺课堂小结 一、单选题 1．在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入元记作元，则支出元可记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．如果某商家某天的收入3万元记作万元，那么万元表示（     ） A．收入5万元 B．支出5万元 C．盈利5万元 D．亏损万元 二、填空题 4．下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ． 5．在，，，，，，，中，正有理数有__________． 6．在下列各数中选出符合条件的数填入相应的集合内： ，0，，，，． 三、解答题 7．解答下列问题： (1)某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示? (2)在某次乒乓球质量检测中，如果一个乒乓球的质量高于标准质量记作，那么表示什么? (3)某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么? 8．将下列有理数分类： ． (1)正有理数集合： (2)负有理数集合： (3)整数集合： (4)非负整数集合： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $