第三章 代数式（复习讲义）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学代数式单元复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，分“用字母表示数、代数式概念、整式、合并同类项、整式加减”五个知识点构建知识脉络，清晰呈现核心概念的内在联系与易错点分布。 讲义亮点在于“题型分层+难点突破”设计，如数字类规律探究题引导学生观察归纳培养抽象能力，图形类规律题结合几何直观发展空间观念，基础达标与能力进阶练习满足分层需求，助力教师实施精准教学，提升学生符号意识与运算推理能力。

第三章 代数式 复习要点 1. 掌握字母表示数意义，读懂实际情境数量关系，正确列代数式，规范书写代数符号格式。 2. 分清代数式、等式、不等式区别，识别单项式多项式，掌握系数、次数、项等核心概念。 3. 熟练代数式求值运算，代入负数、分数勿忘加括号，掌握直接代入与整体代入两种方法。 4. 理解同类项概念，熟练合并同类项，牢记去括号法则，准确完成整式加减化简计算。 5. 会利用代数式解释实际意义，结合题型辨析易错点，提升符号意识与代数运算推理能力。 复习重难点 重点：掌握列代数式、整式相关概念，熟练化简与求值，会直接及整体代入开展计算。 难点：准确辨析概念易错点，灵活运用整体代入，结合实际情境完成文字到符号的转化。 知识点 用字母表示数 用字母表示数 用字母表示数，使得字母和数一样可以参与运算，用式子把数量关系简明地表示出来. 1.用字母表示数的特点： （1）任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2）限制性：字母的取值应使式子有意义； （3）确定性：字母的取值一旦确定了，式子的值也会随之确定； （4）一般性：用字母表示数可以反映出事物的规律，更具有一般性. 2.用字母表示数的注意点： （1）同一个问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示； （2）用字母表示数时，某些特定的字母只能表示特定的数，如“π”表示圆周率； （3）用字母表示数时，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写成“·”或直接省略不写（数字要写在字母的前面）； （4）当“1”与任何字母相乘时，“1”可以省略不写； （5）用含字母的式子表示问题的最终答案时，除数一般写成分母，若式子是和或差的形式，要用括号把含有字母的式子括起来，再在括号的后面写上单位. 要点速测 1．（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 2．（是有理数）表示的数是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．任意有理数 知识点 代数式的概念 代数式的相关概念 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式； 代数式的书写要求 1.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 代数式的值概念及求法 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 注意 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2.代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 要点速测 3．在，，，，， 0， 中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．在下列各式中：①x；②；③5；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点 整式 单项式、多项式、整式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 注意 （1）单项式包括三种类型： · 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； · 单独的一个数； · 单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 注意 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数， 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 注意 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 注意 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 注意 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 注意 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 要点速测 5．在代数式，，0，，，中，整式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．在，，，，，0，，中，整式的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 知识点 合并同类项 同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 注意 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 注意 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 注意 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 要点速测 7．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．化简： (1)； (2)． 知识点 整式的加减 1.整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 注意 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 要点速测 9．已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 10．已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 题型1 代数式的相关概念 ▌例1用代数式表示： (1)a的3倍与b的平方的差； (2)x与y平方的和； (3)x、y两数的平方和减去它们积的2倍； (4)x的相反数与y的倒数的和． 解题要点 解题要分清代数式、等式、不等式，掌握单项式、多项式的系数与次数判断。列代数式规范书写格式；求值注意负数、分数代入添加括号。 ▌迁移练1-1一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 题型2 已知字母、式子的值，求代数式的值 ▌例2回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． ▌迁移练2-1若 ， ，且．则的值为____________． ▌迁移练2-2已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3． (1)填空________ (2)填空________ (3)求的值． 题型3 程序流程图与代数式求值 ▌例3如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． ▌迁移练3-1按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． ▌迁移练3-2古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，如图所示的程序框图就是源于《九章算术》中的“更相减损术”．如果输入的值为，那么输出的值为（    ） A． B． C． D． 题型4 单项式相关概念 ▌例4在下列代数式：，，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ▌迁移练4-1若单项式与的和仍是单项式，则的值为______． ▌迁移练4-2若与关于的二项式的和是单项式，则（   ） A． B． C． D． 题型5 多项式相关概念 ▌例5下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 ▌迁移练5-1代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． ▌迁移练5-2把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 题型6 多项式升降幂排列问题 ▌例6对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 解题要点 先认准指定字母，分清各项次数，移动项时连同前面符号一起迁移。升幂按次数从小到大排列，降幂按次数从大到小排列。不含该字母项视为 0 次，排列后不改变原式大小，注意不要漏项，检查各项次数顺序，防止符号出错。 ▌迁移练6-1已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． ▌迁移练6-2在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了．（温馨提示：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的降幂排列．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的升幂排列．） 比如，计算就可以列竖式为： 根据上述阅读材料，解决下列问题：已知，，， (1)将按的降幂排列：______； (2)请仿照上述方法计算：； (3)请写出一个多项式：______，使其与的和是二次三项式． 题型7 整式的判断 ▌例7关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 ▌迁移练7-1下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 ▌迁移练7-2给出下列说法：①是三次三项式；②单项式m的次数是1，没有系数；③单项式的系数是，次数是4；④的一次项的系数是1；⑤0是单项式；⑥代数式0，，，中整式有2个．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型8 合并同类项及其求值 ▌例8下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 解题要点 先准确识别同类项，合并时只把系数相加减，字母和指数保持不变。去括号注意符号变化，化简后代入数值计算。负数、分数代入务必添加括号，灵活运用整体代入，计算完成仔细检查系数、符号，减少运算失误。 ▌迁移练8-1先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． ▌迁移练8-2化简 (1) (2) 题型9 整式的加减运算 ▌例9化简： 解题要点 整式加减先去括号，括号前是负号要逐项变号，再找出同类项合并。只合并系数，字母与指数不变；化简后再求值，负数分数代入需加括号。留意符号失误，不漏项，可结合整体代入简化运算，做完核对结果。 ▌迁移练9-1若，则__________． ▌迁移练9-2以下是圆圆化简代数式的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 题型10 整式的化简求值问题 ▌例10先化简，再求值：，其中，． 解题要点 先利用去括号、合并同类项法则化简整式，括号前为负号注意逐项变号。化简完成再代入数值，负数、分数代入必须添加括号。灵活使用整体代入简化计算，仔细核对符号与系数，规避漏项，最后准确算出结果。 ▌迁移练10-1有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． ▌迁移练10-2化简求值 已知，化简求值： 题型11 整式加减中的无关型问题 ▌例11已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 解题要点 先对整式去括号、合并同类项，整理成关于字母的多项式。代数式取值与某字母无关，则该字母对应项的系数为 0。据此列方程求出参数，再将参数值代入式子完成计算，重点检查系数化简，避免符号处理出现错误。 ▌迁移练11-1已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． ▌迁移练11-2小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求原题中的正确结果； (2)若的结果与的值无关，求的值． 题型12 整式加减的应用 ▌例12一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ ▌迁移练12-1对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ ▌迁移练12-2如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 题型13 数字类规律探究 ▌例13下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 ▌迁移练13-1已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． ▌迁移练13-2某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 题型14 图形类规律探究 ▌例14完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． ▌迁移练14-1用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． ▌迁移练14-2三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； 难点一 带有字母的绝对值化简问题 需根据字母取值判断绝对值内式子正负，再依据绝对值性质去绝对值符号。关键确定分界零点，分类讨论，去掉符号注意添加括号。容易搞错符号，忽略分类情况，不会结合数轴判断式子正负，造成化简结果出错。 难点精练 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 2．如果，求代数式的值． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 难点二 整式加减的综合计算 难点精练 4．定义新运算：，例如．回答下面问题： (1)计算：_____． (2)已知，求的值． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是_____． 5．已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 6．已知关于的代数式：，，且代数式． (1)当时，化简代数式 (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值； (3)已知，求下列代数式的值 难点三 整式化简的无关型问题（几何类） 结合几何背景的无关型问题，难点在于把几何边长转化为整式代数式。容易混淆几何数量关系，化简后难以理解与字母无关的本质是对应系数为 0。常忽略几何条件限制，不会联立求参数，符号处理失误，造成结果出错。 难点精练 7．如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 8．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 9．【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 难点四 整式加减的应用综合 难点精练 10．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 11．将一些正整数填写在如表所示的一个表格，从上往下分别记为第行、第行、……，从左往右分别记为第列、第列、……．用如图所示的方框同时框住表格中的个数，其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为，，，．若数A在第行，第列． 1 2 3 4 5 … 2 4 6 8 … 3 6 9 … 4 8 … … … … … … … … … (1)设，请用含，的代数式表示． (2)若，求出表示的数． 12．【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 难点五 裂项相消法 难点精练 13．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如： ①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”． 类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果： ①________；②__________； (2)计算： (3)计算： 14．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 15．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； 【方法提示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2） （3）． 难点六 整式加减的新定义问题 难点精练 16．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 17．已知有理数 a，b 满足 ，定义新运算 “⊙”：对于任意有理数 m，n，都有 . (1)先化简运算式 ，再将 a，b 的值代入，计算 的结果； (2)若整式，整式 ，求当 时， 的值． 18．定义：对于个关于的一次整式，若存在均不为零的数，使，其中是常数．则称这个一次整式为常数的“相关整式”．例如：对于一次整式，，存在，，，使，所以一次整式，，为常数的“相关整式”． (1)若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数________，________； (2)若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； (3)已知整式，，，若整式是关于，的四次三项式，且为常数0的“相关整式”，求出的值． 基础达标 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 3．（2026·江苏无锡·一模）下列式子中，与单项式是同类项的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·北京·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，将一个边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，再选右下角的小正方形进行第二次操作重复这样的操作，则经过2025次操作后右下角的小正方形面积是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 7．（2026·内蒙古通辽·二模）蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 8．（2026·江苏徐州·二模）观察下列由边长为1的小正方形组成的图形规律，照此规律，第个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数可表示为______． 9．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 10．（25-26七年级下·江苏·开学考试）若减去的差不含项，则______． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 12．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 13．（25-26七年级上·江苏·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 14．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ； (1)用代数式表示的结果为_______________； (2)若，则___________（填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 能力进阶 16．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是（   ） A．符号相反的数互为相反数 B．绝对值越大的数离原点越远 C．一定是一个负数 D．单项式的次数是3 17．（2026·江苏徐州·二模）观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级下·江苏南通·自主招生）已知是由2022个或1组成的数组，，则的值为（   ） A．2021 B．4042 C．3640 D．4846 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 22．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 23．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______． 24．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 25．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知m，n，p是三个互不相等的整数，且，记，，，则的最大值为______，的最小值为______． 26．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 27．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点把数轴分成①②③④四部分，点对应的数分别是，已知． (1)请说明原点在第几部分； (2)若，，，求；（注：表示点之间的距离．） (3)若且，求的值． 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 29．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 30．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 代数式 复习要点 1. 掌握字母表示数意义，读懂实际情境数量关系，正确列代数式，规范书写代数符号格式。 2. 分清代数式、等式、不等式区别，识别单项式多项式，掌握系数、次数、项等核心概念。 3. 熟练代数式求值运算，代入负数、分数勿忘加括号，掌握直接代入与整体代入两种方法。 4. 理解同类项概念，熟练合并同类项，牢记去括号法则，准确完成整式加减化简计算。 5. 会利用代数式解释实际意义，结合题型辨析易错点，提升符号意识与代数运算推理能力。 复习重难点 重点：掌握列代数式、整式相关概念，熟练化简与求值，会直接及整体代入开展计算。 难点：准确辨析概念易错点，灵活运用整体代入，结合实际情境完成文字到符号的转化。 知识点 用字母表示数 用字母表示数 用字母表示数，使得字母和数一样可以参与运算，用式子把数量关系简明地表示出来. 1.用字母表示数的特点： （1）任意性：字母可以表示任意的数或式子； （2）限制性：字母的取值应使式子有意义； （3）确定性：字母的取值一旦确定了，式子的值也会随之确定； （4）一般性：用字母表示数可以反映出事物的规律，更具有一般性. 2.用字母表示数的注意点： （1）同一个问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示； （2）用字母表示数时，某些特定的字母只能表示特定的数，如“π”表示圆周率； （3）用字母表示数时，数字与字母或字母与字母相乘，通常将乘号写成“·”或直接省略不写（数字要写在字母的前面）； （4）当“1”与任何字母相乘时，“1”可以省略不写； （5）用含字母的式子表示问题的最终答案时，除数一般写成分母，若式子是和或差的形式，要用括号把含有字母的式子括起来，再在括号的后面写上单位. 要点速测 1．（代数式应用）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是6，表示这个两位数的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解决问题的关键是读懂题意，掌握两位数=十位数字个位数字． 根据：两位数=十位数字×10+个位数字，代入数值，解答即可． 【详解】解：； 故选：D． 2．（是有理数）表示的数是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．任意有理数 【答案】D 【分析】根据有理数分为正有理数，零和负有理数，计算判断即可． 【详解】∵是有理数， ∴a可以是正有理数，零和负有理数， ∴可以是负有理数，零和正有理数， ∴是有理数， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的分类，相反数的意义，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 知识点 代数式的概念 代数式的相关概念 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式； 代数式的书写要求 1.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略不写； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 代数式的值概念及求法 1.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 注意 · 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； · 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 2.代数式的值求法一般有两种常用的： · 直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； · 整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 要点速测 3．在，，，，， 0， 中，代数式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的定义，关键区分代数式与方程、不等式．代数式是由数字、字母和运算符号（如加、减、乘、除、乘方）组成的式子，不包括等号或不等号．因此，从给定项中识别出符合条件的代数式． 【详解】解：是常数，为代数式； 是含变量和运算的式子，为代数式； 含等号，是方程，不是代数式； 是乘积，为代数式； 含不等号，是不等式，不是代数式； 0是数字，为代数式； 是分数，为代数式。 代数式有，，， 0， ，共5个， 故选：B． 4．在下列各式中：①x；②；③5；④；⑤．其中代数式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义． 代数式是由数或字母通过运算符号连接而成的式子，单独的数或字母也是代数式，但等式和不等式不是代数式． 【详解】解：①x是字母，属于代数式； ②是等式，不属于代数式； ③5是数，属于代数式； ④是不等式，不属于代数式； ⑤是加法式子，属于代数式； ∴代数式有①、③、⑤，共3个． 故选：C． 知识点 整式 单项式、多项式、整式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； 注意 （1）单项式包括三种类型： · 数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； · 单独的一个数； · 单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 注意 （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数， 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 注意 （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 注意 （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 注意 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 1.整式的概念：单项式与多项式统称为整式． 注意 （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 要点速测 5．在代数式，，0，，，中，整式的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的概念．整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式，逐一判断每个代数式是否符合定义，即可作答． 【详解】解：分母含，不是整式； 是单项式，是整式； 0是常数，是整式； 是多项式，是整式； 分母是常数2，是整式； 分母含，不是整式； ∴整式有、0、、，共4个， 故选：C． 6．在，，，，，0，，中，整式的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，抓住分母中不含字母是解题的关键． 根据整式的定义逐个判断代数式是否为整式即可解答． 【详解】解：分母为数字5，是整式；分母含字母y，不是整式；分母含字母x，不是整式；是常数，是整式；分母为数字2，是整式；0是常数，是整式； 分母含字母b，不是整式； 是多项式，分母无字母，是整式．综上整式有5个． 故选B． 知识点 合并同类项 同类项的概念 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 注意 · 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． · 所有的常数项都是同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 注意 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 注意 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 要点速测 7．合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点 整式的加减 1.整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 注意 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： · 要合并到不能再合并为止； · 一般按照某一字母的降幂或升幂排列； · 不能出现带分数． 要点速测 9．已知，． (1)若，求．（用含，的式子表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，利用合并同类项运算法则进行化简即可； （2）由（1）可知，令，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）可知：， 的值与的取值无关， ， 解得． 10．已知． (1)化简； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减和整式加减中的化简求值． （1）根据整式的加法计算即可； （2）根据整式的加减法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 当时， ． 题型1 代数式的相关概念 ▌例1用代数式表示： (1)a的3倍与b的平方的差； (2)x与y平方的和； (3)x、y两数的平方和减去它们积的2倍； (4)x的相反数与y的倒数的和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先求的倍、的平方，再做减法； （2）先求的平方，再与相加； （3）先分别求、的平方，再求和，减去与乘积的倍； （4）先求出的相反数、的倒数，再求和． 【详解】（1）解：的倍：，的平方：， ∴差为：； （2）解：的平方：，和为：； （3）解：平方：，平方：，两数积的倍：， ∴代数式为：； （4）解：的相反数：，的倒数：， ∴和为：． 解题要点 解题要分清代数式、等式、不等式，掌握单项式、多项式的系数与次数判断。列代数式规范书写格式；求值注意负数、分数代入添加括号。 ▌迁移练1-1一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 【详解】解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． ▌迁移练1-2下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有______．（请填写序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了代数式的，用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式，据此进行判断即可求解，掌握代数式的定义是解题的关键． 【详解】解：下列各式：①，②，③，④，⑤，⑥．其中属于代数式的有①③⑤， 故答案为：①③⑤． 题型2 已知字母、式子的值，求代数式的值 ▌例2回答下列问题 (1)若，求的值 (2)若，则 ． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解之得， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ． ▌迁移练2-1若 ， ，且．则的值为____________． 【答案】 【分析】先根据平方根的定义求出的值，再根据绝对值的定义求出的值，结合，得到与异号，分情况计算，即可得到结果． 【详解】解：由 ，可得； 由 ，可得． ， 与 异号，故分两种情况讨论： 当 时， ，； 当 时， ，， 综上，的值为． ▌迁移练2-2已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是3． (1)填空________ (2)填空________ (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据相反数的性质直接得出结果． （2）根据倒数的性质直接得出结果． （3）先由绝对值的定义确定m的取值，再代入前两问的结果计算代数式的值． 【详解】（1）解：∵a、b互为相反数， ∴； （2）解：∵c、d互为倒数， ∴； （3）解：∵m的绝对值是3， ∴或， 当，，时， ， 当，，时， ， ∴该式子的值为或． 题型3 程序流程图与代数式求值 ▌例3如图是一个运算程序，若开始输入x的值为25，则第2025次输出的结果为__________． 【答案】5 【分析】根据运算程序图可知输出结果按5和1一循环，然后问题可求解． 【详解】解：由运算程序图可知： 第一次输出结果为，第二次输出结果为，第三次输出结果为，第四次输出结果为，…..；由此可知：输出结果按5和1一循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为5． ▌迁移练3-1按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是4，则输出y的值为1．若输出y的值为8，则输入x的值是________． 【答案】18或 【分析】本题考查了代数式求值与流程图，理解图示，掌握代数式的计算是关键，根据题意，分类讨论即可求解． 【详解】解：输入x的值是4，则输出y的值为1， ∵， ∴， 解得，， ∴输出y的值为8时， 第一种情况，，则，解得，，符合题意； 第二种情况，，则，解得，，符合题意； 故答案为：或 ． ▌迁移练3-2古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，如图所示的程序框图就是源于《九章算术》中的“更相减损术”．如果输入的值为，那么输出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序框图中代数式求值，根据程序框图把代入即可求解，理解程序框图中的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 题型4 单项式相关概念 ▌例4在下列代数式：，，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的概念是解决本题的关键．数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【详解】解：在这一组数中只有代数式：，，是单项式，共3个； 分母中含有字母，故不是单项式． 故选：A ▌迁移练4-1若单项式与的和仍是单项式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义、同类项、代数式求值等知识点，利用同类项定义确定出m与n的值是解题的关键． 由题意得到两单项式为同类项，再利用同类项定义确定出m与n的值，最后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与为同类项， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． ▌迁移练4-2若与关于的二项式的和是单项式，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，单项式的定义，代数式求值，先列式求出整式的和，再根据单项式的定义求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵与关于的二项式的和是单项式， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 题型5 多项式相关概念 ▌例5下列说法正确的是（　　） A．是整式 B．的系数是，次数是4 C．的次数为5 D．是三次二项式 【答案】A 【分析】本题考查了整式、单项式的次数、系数、多项式的次数的定义的应用，关键是能准确理解并运用以上知识．根据整式、系数和次数的定义逐一判断各选项. 【详解】∵ 整式是分母中不含字母的代数式， 选项A: 的分母为数字3，不含字母， ∴ 它是整式，A正确，符合题意； 选项B: 的系数应为，次数为x和y的指数之和， ∴ B错误，不符合题意； 选项C: 即，次数为， ∴ C错误，不符合题意； 选项D: 中π为常数，r为变量，最高次数为2，是二次二项式． ∴ D错误，不符合题意. 故选：A． ▌迁移练5-1代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1) 解：根据多项式以及单项式定义可得： (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． ▌迁移练5-2把下列各代数式的序号填在相应的位置： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨中． (1)单项式有：____________； (2)多项式有：____________； (3)整式有：____________； (4)代数式有：____________． 【答案】(1)④⑤⑥⑧ (2)①②③⑦ (3)①②③④⑤⑥⑦⑧ (4)①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ 【分析】此题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式的定义．单项式及相关概念：数或字母的积叫单项式．（单独的一个数或一个字母也是单项式）多项式及相关概念：几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称为整式． 根据单项式，多项式，整式，代数式的定义即可求解． 【详解】（1）解：单项式有：④⑤⑥⑧； （2）解：多项式有：①②③⑦； （3）解：整式有：①②③④⑤⑥⑦⑧； （4）解：代数式有：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； 题型6 多项式升降幂排列问题 ▌例6对于整式表述正确的是（    ） A．该整式已按字母升幂排列 B．该整式已按字母降幂排列 C．该整式的常数项是4 D．该整式最高次项的系数是1 【答案】B 【分析】根据几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，逐项分析判断即可． 本题主要考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的次数、项和项数是解题的关键． 【详解】解：整式为， 选项A：按字母升幂排列需指数从小到大，但各项指数依次为1、3、0，非升幂排列，故A错误； 选项B：按字母降幂排列需指数从大到小，各项指数依次为2、1、0，是降幂排列，故B正确； 选项C：常数项为不含字母的项，即，非4，故C错误； 选项D：最高次项为，次数为4，系数为，非1，故D错误； 故选：B． 解题要点 先认准指定字母，分清各项次数，移动项时连同前面符号一起迁移。升幂按次数从小到大排列，降幂按次数从大到小排列。不含该字母项视为 0 次，排列后不改变原式大小，注意不要漏项，检查各项次数顺序，防止符号出错。 ▌迁移练6-1已知关于、的多项式是五次四项式（、为有理数），且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求、的值； (2)将这个多项式按x的降幂重新排列． 【答案】(1) ，； (2) ． 【分析】本题考查了多项式的项与次数，单项式的次数，熟练掌握以上定义是解题的关键． （1）根据关于、的多项式是五次四项式，求出，根据单项式的次数与该多项式的次数相同，可得：，解方程求出的值； （2）由、的值分别为2、5，可知多项式为，再按的降幂排列即可． 【详解】（1）解：关于、的多项式是五次四项式， ， 解得：， 单项式的次数与该多项式的次数相同， ， 解得：， 、的值分别为2、5； （2）解：由（1）可知、的值分别为2、5， 多项式为， 按的降幂排列为：． ▌迁移练6-2在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母降幂（或升幂）排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了．（温馨提示：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的降幂排列．把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做多项式按照这个字母的升幂排列．） 比如，计算就可以列竖式为： 根据上述阅读材料，解决下列问题：已知，，， (1)将按的降幂排列：______； (2)请仿照上述方法计算：； (3)请写出一个多项式：______，使其与的和是二次三项式． 【答案】(1) (2) (3)（答案不唯一） 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减法是关键． （1）根据降幂排列的定义进行解答即可； （2）利用题中的方法计算即可； （3）选取合适的多项式，进行整式的加减法进行验证即可． 【详解】（1）解：按的降幂排列为， 故答案为：； （2）解： 即 （3）当时， 故答案为： 题型7 整式的判断 ▌例7关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．的次数是 B．是七次三项式 C．是单项式 D．的系数是 【答案】D 【分析】根据单项式的次数为单项式中所有字母的指数和，单项式的系数为单项式中的数字因数，多项式的次数为多项式中最高次项的次数，分母含有字母的式子不是整式，也不是单项式，即可逐一判断． 【详解】解：A 、的次数是，A错误； B、是五次三项式，B错误； C、分母含有字母，不是单项式，C错误； D、的系数是，D正确． ▌迁移练7-1下列说法正确的有（   ）个 ①单项式x的系数和次数都是0； ②的次数是11； ③多项式是由1，，三项组成； ④在，，中整式有2个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和项、整式的定义，需逐一判断各说法的正确性． 【详解】解：单项式x的系数是1，次数是1，①说法错误； 多项式中，最高次项次数为4，因此该多项式的次数是4，②说法错误； 多项式是由1，，三项组成，③说法错误； 在，，中，，是整式，共2个整式，④说法正确； 故正确的说法有1个， 故选：A． ▌迁移练7-2给出下列说法：①是三次三项式；②单项式m的次数是1，没有系数；③单项式的系数是，次数是4；④的一次项的系数是1；⑤0是单项式；⑥代数式0，，，中整式有2个．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了多项式、单项式、整式的相关定义，根据多项式、单项式、整式的相关定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握多项式、单项式、整式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：①是二次三项式，故原说法错误，不符合题意； ②单项式m的次数是1，系数为1，故原说法错误，不符合题意； ③单项式的系数是，次数是3，故原说法错误，不符合题意； ④的一次项的系数是，故原说法错误，不符合题意； ⑤0是单项式，故原说法正确，符合题意； ⑥代数式0，，，中整式有0，，，共3个，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有⑤，共个， 故选：A． 题型8 合并同类项及其求值 ▌例8下列每组单项式中是同类项的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【详解】解：A、与所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，所以是同类项，故选项A符合题意； B、与，字母的指数不同，字母的指数也不同，所以不是同类项，故选项B不符合题意； C、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项C不符合题意； D、与所含字母不相同，所以不是同类项，故选项D不符合题意 解题要点 先准确识别同类项，合并时只把系数相加减，字母和指数保持不变。去括号注意符号变化，化简后代入数值计算。负数、分数代入务必添加括号，灵活运用整体代入，计算完成仔细检查系数、符号，减少运算失误。 ▌迁移练8-1先化简，再求的值，其中单项式与是同类项． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减运算，代数式的代入求值．先进行整式的加减运算，先去括号，再合并同类项，根据同类项的含义列方程解得，，将数值代入化简后的代数式计算即可得到答案． 【详解】∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ， 当，时， 原式． ▌迁移练8-2化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出式子中的同类项，再分别合并同类项即可得到结果； （2）先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型9 整式的加减运算 ▌例9化简： 【答案】 【详解】解：原式． 解题要点 整式加减先去括号，括号前是负号要逐项变号，再找出同类项合并。只合并系数，字母与指数不变；化简后再求值，负数分数代入需加括号。留意符号失误，不漏项，可结合整体代入简化运算，做完核对结果。 ▌迁移练9-1若，则__________． 【答案】 【分析】先进行去括号，再用整体思想用，数据代入即可． 【详解】原式 ▌迁移练9-2以下是圆圆化简代数式的解答过程． 解：． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误．见解析 【分析】用完全平方公式、单项式与多项式相乘计算后，合并同类项． 【详解】解：有错，正确的解答过程如下： ． 题型10 整式的化简求值问题 ▌例10先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则即可求解，先对原式去括号，合并同类项得到最简结果，再代入、的值计算即可求解． 【详解】解： ． 当，时 原式． 解题要点 先利用去括号、合并同类项法则化简整式，括号前为负号注意逐项变号。化简完成再代入数值，负数、分数代入必须添加括号。灵活使用整体代入简化计算，仔细核对符号与系数，规避漏项，最后准确算出结果。 ▌迁移练10-1有这样一道题：求的值，其中，；有位同学把错抄成，但他的计算结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【答案】见解析，12 【分析】先把原式去括号，然后合并同类项化简，再代值计算出最后的结果，根据化简的结果可知原式的值只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同，故这位同学的结果正确． 【详解】解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵原式化简的结果为， ∴计算的结果与x的符号无关，只与x的绝对值有关，而时和时的x的绝对值相同， ∴这位同学的计算结果也正确． ▌迁移练10-2化简求值 已知，化简求值： 【答案】； 【分析】先根据整式的加减相关运算法则化简，再根据“”得到x、y的值，代入化简的结果计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴ ∴原式． 题型11 整式加减中的无关型问题 ▌例11已知：，．若的取值与y无关，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的加减； 先计算，化简得，根据取值与y无关，得y的系数为0，即，解得，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵的取值与y无关， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 解题要点 先对整式去括号、合并同类项，整理成关于字母的多项式。代数式取值与某字母无关，则该字母对应项的系数为 0。据此列方程求出参数，再将参数值代入式子完成计算，重点检查系数化简，避免符号处理出现错误。 ▌迁移练11-1已知，． (1)化简：，将结果用含有、的式子表示； (2)若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号法则、合并同类项法则以及代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，以及代数式的值与某字母取值无关时，该字母的系数为0这一性质是解题的关键． （1）先对进行去括号、合并同类项化简，再将、的表达式代入，整理得到含、的式子． （2）根据（1）中化简结果与取值无关的条件，求出的值，再将所求式子变形为与相关的形式，代入计算． 【详解】（1）解：，， ． ； （2）解：由（1）可知：， （）中式子的值与字母的取值无关， ， 解得， ， ． ▌迁移练11-2小张在完成一道整式运算题：“已知两个多项式和，计算的值”时，不小心将看成了，结果为．已知． (1)求原题中的正确结果； (2)若的结果与的值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减运算，解题的关键是根据已知条件建立等式，通过移项．合并同类项求解多项式，再代入计算正确结果． （1）根据错误的计算，结合的表达式，通过移项、合并同类项求出，再求出即可； （2）先求出，再根据的结果与的值无关，得出，再求出m的值即可． 【详解】（1）解：已知，且，则： ， ∴ ； （2）解： ∵， ∴ ， ∵的结果与的值无关， ∴， 解得：． 题型12 整式加减的应用 ▌例12一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b．若把它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数. (1)计算新数与原数的和，这个和能被11整除吗？为什么？ (2)计算新数与原数的差，这个差会被什么数整除？ 【答案】(1)能，理由：根据题意得原数为，调换后的新数为． 因为新数与原数的和为， 所以新数与原数的和能被11整除． (2)这个差会被9整除，理由：新数与原数的差为， 所以这个差会被9整除． 【分析】（1）根据题意表示出新数与原数，求出之和，即可作出判断； （2）求出新数与原数的差，即可作出判断． 【详解】（1）略 （2）略 ▌迁移练12-1对于任意一个四位正整数，若满足千位数字比百位数字大3，个位数字比十位数字大3，且各个数位上的数字均不为零且互不相等，我们就把这个数叫作“叁叁数”，将“叁叁数”的千位、十位上的数字交换位置，百位、个位上的数字也交换位置，得到一个新的数，记． (1)最小的“叁叁数”是_____． (2)已知都是“叁叁数”，其中（，且a，b，c，d，均为整数），若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则的值为多少？ 【答案】(1)4125 (2)6314 【分析】（1）设，，则，要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1，又各个数位上的数字均不为零且互不相等，所以d取最小值5，则c最小值为2，从而求得结果； （2）先表示出，从而得，然后求出，则有，然后可得或或或，再求出，即可求出结果． 【详解】（1）解：设， ， ∵各个数位上的数字均不为零且互不相等， ∴要取最小的“叁叁数”，则a取最小值4，则b最小值为1， d取最小值5，则c最小值为2， 最小的“叁叁数”是4125； （2）解：设，， ． ， ， ， ，， ， 除以5的余数为1，， 或， 当时，不是“叁叁数”舍去， 当时，， ， 或或或， 即或或或， ∵b，c均为正整数， 或（舍） ， 若为完全平方数，且满足除以5的余数为1，则s的值为6314． ▌迁移练12-2如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个长为米、宽为b米的小长方形花园． (1)请用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简） (2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若，，预计每平方米地砖的价格是50元，求购买所需地砖的费用． 【答案】(1) (2)9400元 【分析】（1）计算解答即可； （2）求代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：当，时， （平方米）， 故购买所需地砖的费用为：（元）； 题型13 数字类规律探究 ▌例13下图给出的各组数字中，空白处应该填写的数字依次是（     ） A．7，8，12，18 B．7，13，12，17 C．13，8，12，15 D．7，13，14，17 【答案】B 【分析】由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍；再由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7；由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍；由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9；最后选出答案． 【详解】解：由第一个图得，上面一行数字是下面所对应数字的3倍， ∴第一个图空白处的数字为； 由第二个图得，上一行数字分别比下一行数字大7， ∴第二个图空白处的数字为； 由第三个图得，上面一行数字是下面所对应数字的2倍， ∴第三个图空白处的数字为； 由第四个图得，下面一行数字比上面所对应数字分别大3、6、9， ∴第四个图空白处的数字为； ∴空白处应该填写的数字依次是7，13，12，17． ▌迁移练13-1已知下列等式：①；②；③，… (1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子： ； (2)请你找出规律，写出第n个式子 ． (3)利用（2）中发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前三个式子的特点，写出第④个式子即可； （2）根据前三个式子的特点，找出规律，进行作答即可； （3）用规律表示出相应的数字，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，可得：第④个式子为； 故答案为：； （2）解：①第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； ∴第n个式子：； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． ▌迁移练13-2某校数学兴趣小组开展探究活动，他们结合所学内容，决定研究数的一些“神秘”性质． (1)任何一个大于1的整数m的平方都可以写成m个连续奇数之和．举例论证：；；．请你按照规律写出：①______． (2)当m是奇数（如9）时，则等号右边式子中的中间数（即第5个数）为m（即9）．当m为偶数（如10）时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）分别为②______、______（即______、______）． (3)利用上面结论计算：③______． (4)若n表示正整数，则的值为（④______）． 【答案】(1) (2)，，9，11 (3)2601 (4) 【分析】（1）根据题干中的规律解答即可； （2）根据题干中的规律求解； （3）首先求出中间数为51，然后根据结论求解即可； （4）首先求出中间数为，然后根据结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴的中间数为51， ∴； （4）解：∵， ∴的中间数为， ∴． 题型14 图形类规律探究 ▌例14完成下列小题 (1)观察下面图中小圆圈的排列方式，你发现了什么规律？ (2)根据（1）中的规律猜想： __________． (3)一般地，你能得到什么猜想？请用代数式表示． 【答案】(1)解：由图可得，图1由1个小圆圈组成，图2由4个小圆圈组成，图3由9个小圆圈组成，图4由16个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； 还可以发现图1由1个小圆圈组成，图2由个小圆圈组成，图3由个小圆圈组成，图4由个小圆圈组成，…，图n由个小圆圈组成； (2) (3)(n为正整数） 【分析】（1）根据图形的变化寻找规律进行求解即可； （2）由（1）求解即可； （3）由（1）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）可得：(n为正整数）． ▌迁移练14-1用长度相同的小棒按下图中的方式拼摆图形． (1)按图示规律填空； 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2)按照这种方式拼摆下去，第n个图形需要______根小棒． 【答案】(1) 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 小棒根数 (2) 【分析】第一个图形有小棒根，第二个图形有小棒根，第三个图形有小棒根，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，根据此规律可得答案． 【详解】（1）解：第一个图形小棒根数，第二个图形小棒根数为，第三个图形小棒根数为，于是可找得规律，后面的图形都比前面相邻的图形多根，所以第四个图形小棒根数为，第五个图形小棒根数为． （2）解：由小问1可知后面的图形都比前面相邻的图形多根， 第一个图形小棒根数为，可表示为， 第二个图形小棒根数为，可表示为， 第三个图形小棒根数为，可表示为， 第个图形可表示为． ▌迁移练14-2三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．下图1给出了七边形的三角剖分的两种方法。 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有______种剖分方法； (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法； (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：当时，，其中规定．请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意画出四边形的不同三角剖分方法数； （2）根据题意画出五边形的三角剖分的一种方法； （3）根据公式进行计算即可求解． 【详解】（1）如图， 将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法； （2）略 （3）由题意得，， ∵ 时，， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴， 时，， ∴． 难点一 带有字母的绝对值化简问题 需根据字母取值判断绝对值内式子正负，再依据绝对值性质去绝对值符号。关键确定分界零点，分类讨论，去掉符号注意添加括号。容易搞错符号，忽略分类情况，不会结合数轴判断式子正负，造成化简结果出错。 难点精练 1．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简：． 【答案】0 【详解】解：∵且， ∴， ∴ ． 2．如果，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据的范围得出，， ，再由绝对值的性质化简、计算即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ． 3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 难点二 整式加减的综合计算 难点精练 4．定义新运算：，例如．回答下面问题： (1)计算：_____． (2)已知，求的值． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“◎”运算，则所有运算结果中最大的值是_____． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的加减运算，解题的关键是正确理解新定义运算． （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）先确定的结果为中较小的数，则由得，，而，，故； （3）根据的结果为中较小的数，则需在所有中找最大的较小值，故选取最大的两个数，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：2； （2）解： 当时，； 当时，， 所以的结果为中较小的数， 由得，， 因为， 所以； （3）解：将这些数从大到小排列为：， 因为的结果为中较小的数， 所以需在所有中找最大的较小值， 所以选取最大的两个数， ∴， 故答案为：． 5．已知两个多项式A和B，其中，小勤在计算时，误看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)若的值与a无关，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及整式加减中的无关型问题，掌握运算法则并正确计算是解题的关键 （1）由的结果为得：，利用整式减法进行计算即可； （2）先化简求出，的值与a无关，可列，然后解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：∵，， ∴ ， ∵的值与a无关， ∴， ∴． 6．已知关于的代数式：，，且代数式． (1)当时，化简代数式 (2)若代数式是关于的一次多项式，求的值； (3)已知，求下列代数式的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将，代入，先去括号，再合并同类项，最后将代入上式即可； （2）根据多项式的次数的定义，结合（1）中计算结果可得，，进而求出的值，即可求解； （3）根据绝对值和平方的非负性求出的值，利用裂项相消的方法进行简便运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 当时，原式； （2）解：∵代数式是关于的一次多项式，， ∴，， 解得：，， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∴， ∴将，代入中， 即 ． 【点睛】本题考查整式的加减运算，绝对值的非负性，多项式的次数和项数，有理数混合运算的简便计算等，解题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 难点三 整式化简的无关型问题（几何类） 结合几何背景的无关型问题，难点在于把几何边长转化为整式代数式。容易混淆几何数量关系，化简后难以理解与字母无关的本质是对应系数为 0。常忽略几何条件限制，不会联立求参数，符号处理失误，造成结果出错。 难点精练 7．如图，数轴上有两条线段，，，点表示的数是，点表示的数是，且满足． (1)点在数轴上表示的数是___________，点在数轴上表示的数是___________ (2)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为4个单位长度？ (3)若线段、线段分别以2个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．当相遇时停止运动，在运动过程中为定值，求出这个定值及的值 【答案】(1)；10 (2)或 (3)这个定值为15； 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）先表示出t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为，再根据点与点之间的距离为4个单位长度，列出方程，解方程即可； （3）先表示出t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：，再表示出，然后根据在运动过程中为定值，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是10； （2）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点D表示的数为， ∵点与点之间的距离为4个单位长度， ∴， 解得：或， 即当或时，点与点之间的距离为4个单位长度； （3）解：根据题意得：t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，点P表示的数为：， 当P、D相遇时，， ∵当相遇时停止运动， ∴， ∵， ， ∴ ， ∵在运动过程中为定值， ∴， 解得：， ∴这个定值为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，绝对值方程，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式 8．【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 已知代数式，． （1）化简：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设． ①当时，求． ②当的长变化时，下列代数式值不变的是( ) A．    B．    C．    D． 【答案】（1） （2）   （3）①  ②D 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将，，代入中，化简即可； （2）的值与的取值无关，即的系数为0，由此解答即可； （3）①先将表示出来，再将代入求解即可； ②分别计算，，，，判断哪一项与的取值无关即可． 【详解】解：（1） ． （2） 又的值与的值无关   ，． （3）①∵阴影部分的面积=大长方形的面积－7个小长方形的面积， ． 当时，． ②由①得，； ； ； ； 与的取值无关． 故选：D． 9．【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）略 难点四 整式加减的应用综合 难点精练 10．项目式学习 【项目背景】为培养学生劳动技能，学校规划了一块长方形劳动实践基地，用于种植蔬菜．现需设计一套灌溉系统． 【任务规划】基地长为a米，宽为b米．计划沿基地两条长边铺设主输水管道，沿宽边等间距地安装若干条支管道，每条支管道负责灌溉一个矩形区域． 【数学抽象】如图，将基地抽象成长方形，，．在和边上铺设主管道．从边开始（不用安装），每间隔d米安装一条与平行的支管道（d为正整数），直到边，恰好将基地完全覆盖． 【解决问题】 (1)请用含a，b，d的代数式表示需要的支管道总条数n． (2)已知，，．求n的值，并计算所有支管道的总长度． (3)预算主管道每米成本元，支管道每米成本元，每条支管道两端需安装固定装置（每个装置成本5元）（固定装置成本仅与支管道条数有关）．总预算为C元， ①请推导C与a，b，d的数量关系式． ②当，，总预算元时，探究支管道间距d是否可以是2？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，所有支管道的总长度为米 (3)①由题意得主管道共有米，所需成本为（元）， 支管道共有米，所需成本为（元），所需固定装置成本为（元）， ， ， ， ； ②当，，时， ， ， ， ，超出了给定总预算， 支管道间距d不可以是2； 【分析】（1）由基地宽和支管间距得出总区域数，结合边界不需要安装支管道即可得到需要的支管道总条数； （2）代入，，算出，再计算可得支管总长； （3）①分别算出主管道、支管道、固定装置成本，把这些成本加起来可得到总成本关系式；②将，，代入求得的值，将这个值与进行比较可得支管道间距d不可以是2． 【详解】（1）解：由题意得基地宽度为，每间隔米划分一个灌溉区域， 总区域数为， 边界不需要安装支管道， 需要的支管道总条数； （2）解：，，， ， 所有支管道的总长度为（米）； （3）略 11．将一些正整数填写在如表所示的一个表格，从上往下分别记为第行、第行、……，从左往右分别记为第列、第列、……．用如图所示的方框同时框住表格中的个数，其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为，，，．若数A在第行，第列． 1 2 3 4 5 … 2 4 6 8 … 3 6 9 … 4 8 … … … … … … … … … (1)设，请用含，的代数式表示． (2)若，求出表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由表格中数据的规律可知，每格中的数等于它所在的行与列的乘积，可得：，，代入即可求出结果； （2）根据表格中数据的规律，把、、、分别用含、的代数式表示出来，根据可得，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ；     （2）解：，，，， ， ， 化简得：， ． 12．【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 难点五 裂项相消法 难点精练 13．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减．例如： ①，我们将上述计算过程倒过来，得到； ②，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，分数裂项的本质其实是异分母加减法的逆运算． 请你观察： 以上方法称为“裂项相消求和法”． 类比上述方法，解决以下问题： (1)直接写出计算结果： ①________；②__________； (2)计算： (3)计算： 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）①根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可；②根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可； （2）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可； （3）根据题意把所求式子裂项得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 14．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论，在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______________． (2)探究并计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，猜想， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 15．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； 【方法提示】 ．这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 根据上面获得的经验完成下面的计算： （2） （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）利用裂项公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， ； ； ； ； …… 所以第个数为：． 当时，．即第6个数为． 当时，， 所以． 即是第11个数． 故答案为：，11． （2）原式 ． （3） 难点六 整式加减的新定义问题 难点精练 16．新定义型阅读理解题 【知识背景】 定义1：一个关于，的多项式，如果把其中，互换，所得的结果都与原式相同，则称此多项式是关于，的二元对称多项式．如，都是关于，的二元对称多项式． 定义2：若多项式组（，，是关于，的整式）中的三个整式满足两个条件： ①多项式是二元对称多项式； ②整式，通过加减运算后可得到整式，我们把这样的多项式组称为“二元对称关联式”． 例如：，，都是“二元对称关联式”． 【知识应用】 (1)若是“二元对称关联式”，写出所有符合条件的多项式． (2)已知是关于，多项式组（，为常数，），这个多项式组能否为“二元对称关联式”？若可以，分别求出，的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)多项式可以是，， (2)这个多项式组能为“二元对称关联式”，此时， 【分析】本题主要考查了整式的加减，读懂题意并进行计算是解题的关键． （1）根据整式的加减分三种情况，计算即可； （2）根据相关运算后的的系数对比可确定符合，利用系数对应相等即可求解． 【详解】（1）解：令，， ①当时， 则； ②当时， 则； ③当时， 则． 综上所述，多项式可以是，，． （2）令，，． 当时， ． ，，． ，． 当时，； 当时，，此时，舍去． ②当时， ． 此时，，，不符合题意，舍去． ③当时， 此时，，，不符合题意，舍去． 综上所述，当时，，这个多项式组能为“二元对称关联式” ． 17．已知有理数 a，b 满足 ，定义新运算 “⊙”：对于任意有理数 m，n，都有 . (1)先化简运算式 ，再将 a，b 的值代入，计算 的结果； (2)若整式，整式 ，求当 时， 的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，有理数的混合运算，理解新定义，熟练掌握有理数的加减运算法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减化简，根据绝对值与偶次幂的非负性求得，，再代入，即可求解； （2）先根据，化简，再计算，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】（1）化简 ， 由， ∴，， 得，， ； （2）由，，， ， ， ， 代入得：． 18．定义：对于个关于的一次整式，若存在均不为零的数，使，其中是常数．则称这个一次整式为常数的“相关整式”．例如：对于一次整式，，存在，，，使，所以一次整式，，为常数的“相关整式”． (1)若整式，，为常数的“相关整式”，其中，则常数________，________； (2)若整式，，为常数2的“相关整式”，其中，，，求，的值； (3)已知整式，，，若整式是关于，的四次三项式，且为常数0的“相关整式”，求出的值． 【答案】(1)； (2)， (3) 【分析】本题考查了整式加减的应用、解一元一次方程，理解“相关整式”的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，再结合是常数，得到关于、的方程，即可求解； （2）根据题意可得，整理得到关于、的方程，即可求解； （3）根据整式的相关概念得到，再根据题意得到，则有，，再根据等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 整理得：， ∵是常数， ∴，， 解得，， 故答案为：；； （2）解：由题意得，， ∴， 整理得：， ∵2是常数， ∴，， 解得， ∴综上所述，，； （3）解：， ∵整式是关于，的四次三项式， ∴且， ∴， ∵为常数0的“相关整式”， ∴， ∴， 整理得：， ∵0是常数， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 解得． 基础达标 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题利用“总价=单价×数量”的基本数量关系计算总花费，即可得到结果． 【详解】解：∵水彩笔每支单价为元，小明购买数量为2支， ∴总花费为元． 2．（2026·海南省直辖县级单位·二模）当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】将给定的的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得， 即代数式的值为． 3．（2026·江苏无锡·一模）下列式子中，与单项式是同类项的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义逐一判断选项即可得到结果，同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 【详解】∵ 原单项式为，所含字母为和，其中的次数为，的次数为. 对选项逐一判断： A选项所含字母为、，与原单项式字母不同，不符合要求； B选项所含字母为、，但次数为，次数为，相同字母指数不同，不符合要求； C选项所含字母为、，与原单项式字母不同，不符合要求； D选项所含字母为、，次数为，次数为，完全符合同类项定义. 故选：D． 4．（25-26七年级上·北京·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项与去括号的运算法则，逐一验证各选项的正确性，即可求解． 【详解】解： A、和不是同类项，不能合并，则选项A错误，不符合题目要求； B、和为同类项，相减后为0，则选项B正确，符合题目要求； C、，则选项C错误，不符合题目要求； D、，则选项D错误，不符合题目要求． 故选：B． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，将一个边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，再选右下角的小正方形进行第二次操作重复这样的操作，则经过2025次操作后右下角的小正方形面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由特殊情况总结出一般的规律，即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形的面积为， 第1次操作后右下角小正方形的面积为， 第2次操作后右下角小正方形的面积为， 第3次操作后右下角小正方形的面积为， 第次操作后右下角小正方形的面积为， ∴重复这样的操作，则经过次操作后右下角小正方形的面积为． 6．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）若，则________． 【答案】4 【分析】先将代数式进行提公因数，然后将代入即可求出答案． 【详解】解： ， 7．（2026·内蒙古通辽·二模）蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据总价等于单价乘以数量，分别求出购买蒙古馅饼和稀果羹的费用，再将两者相加，即可得到总费用． 【详解】解：由题意可得：购买张蒙古馅饼的总费用为元， 购买杯稀果羹的总费用为元， 总费用为元. 8．（2026·江苏徐州·二模）观察下列由边长为1的小正方形组成的图形规律，照此规律，第个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数可表示为______． 【答案】 【详解】解：第1个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为1； 第2个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； 第3个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； 第4个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为； …… 第n个图形中，未被涂上阴影的小正方形个数为． 9．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）把多项式按字母的降幂排列是：_____． 【答案】 【分析】先确定多项式各项中字母的指数，再按照的指数从大到小的顺序重新排列各项即可. 【详解】解：原多项式的各项分别为，，，， 各项中的指数依次为，，，， 按字母的降幂排列得： 10．（25-26七年级下·江苏·开学考试）若减去的差不含项，则______． 【答案】 【分析】将已知整式相减，然后去括号，合并同类项进行化简，令含项的系数之和为，列方程求解． 【详解】解： ， 结果中不含项， ， 解得． 11．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题考查了整式加减的化简求值； 先去括号，再合并同类项得到最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 12．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 13．（25-26七年级上·江苏·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数、利用数轴判断式子的正负性，整式的加减运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由数轴可知，则，，，即可作答； （2）根据（1）中结论及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：观察数轴，得， ∴，，； （2）解：由（1）得，，； ． 14．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）对于多项式（其中、均是大于的整数）． (1)若为最小的正整数，求此多项式的次数； (2)若，且该多项式是关于的八次四项式， ①求的值；②把原多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)多项式的次数为6 (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数的定义及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式次数的确定方法（最高次项的次数为多项式的次数）是解题的关键． （1）先确定最小的正整数的值，代入多项式后，根据多项式次数的定义（最高次项的次数）计算次数． （2）①代入，根据八次四项式的定义（最高次项次数为8）列方程求；②根据的次数从高到低重新排列多项式各项． 【详解】（1）解：由题意知，此时原多项式变为， 所以此时多项式的次数为6； （2）解：①时，原多项式变为， 因为该多项式是关于的八次四项式， 所以， 解得； ②由题意得，原多项式为， 则按的降幂重新排列为：． 15．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ； (1)用代数式表示的结果为_______________； (2)若，则___________（填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和，可得结果； （3）写出，计算的值，再求． 【详解】（1）解：由已知可知， 故答案为：； （2）解：，， ∴， 故答案为； （3）解：， ∵的值与无关， ， ， ． 能力进阶 16．（25-26六年级下·四川成都·期中）下列说法正确的是（   ） A．符号相反的数互为相反数 B．绝对值越大的数离原点越远 C．一定是一个负数 D．单项式的次数是3 【答案】B 【分析】根据相反数、绝对值、单项式次数的概念，对每个选项逐一判断，即可得到正确结果． 【详解】解：A、互为相反数的定义是只有符号不同的两个数，故A错误； B、绝对值的几何意义是数轴上表示数的点到原点的距离，故绝对值越大的数，对应点离原点越远，B正确； C、当时，，故不一定是负数，C错误； D、单项式的次数是，故D错误． 17．（2026·江苏徐州·二模）观察下列各数：，1，，，⋯，按此规律，第12个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据前4个数的数字变化特点得出规律，再根据规律解答． 【详解】解：第1个数为：； 第2个数为：； 第3个数为：； 第4个数为：； …； 第n个数是， 第12个数是． 18．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 19．（25-26九年级下·江苏南通·自主招生）已知是由2022个或1组成的数组，，则的值为（   ） A．2021 B．4042 C．3640 D．4846 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴的个数比的个数多个， ∵，， ∴的个数有个，的个数有个， ∴ ． 20．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）观察下列计算结果：通过分析计算结果中个位数字的变化规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．5 C．9 D．2 【答案】A 【分析】先确定的个位数字循环节为1，5，9，5，循环周期为；再计算的余数，根据余数确定的个位数字． 【详解】解：当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 当时，，个位数字是； 的个位数字以1，5，9，5为周期循环，周期为． ， 的个位数字与时相同，为． 故选：A． 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）“燕几”由两张同款长桌、两张同款中桌、三张同款小桌构成，七张桌面皆为长方形，桌宽均为尺．如图，将燕几拼成一个“回文”造型桌面，该桌面的周长为_______尺（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】分析得造型桌面的长、宽分别为，则可求得该桌面的周长． 【详解】解：造型桌面的长为，宽为， 则该造型桌面的周长为． 22．（25-26七年级上·上海·阶段检测）若，则_____________． 【答案】2024 【分析】利用已知条件得到，对所求多项式进行降次变形，再整体代入计算，运用整式的变形和整体代入的思想求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 23．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）现有若干张卡片，分别写有1，，4，，16，，……，小明从中取出三张卡片，要满足三张卡片上的数字乘积为，其中三数之和的最大值记为，最小值记为，则的值等于______． 【答案】 【分析】根据规律，第n个数为，时，三个数的和最大；时，三个数的和最小； 【详解】解：根据题意，得1，，4，，16，，……， 其规律是，，， ，，， 故第n个数为， 由三张卡片上的数字乘积为， 故三数之和的最大值为； 由三张卡片上的数字乘积为， 故三数之和的最小值为； 故 24．（25-26七年级上·江苏南京·期末）若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 25．（25-26七年级上·江苏南通·期末）已知m，n，p是三个互不相等的整数，且，记，，，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 6 24 【分析】由题意，a、b、c是互不相等的整数，且．列举所有满足条件的整数三元组，计算 的可能值，最大值为6；由，当最小时最小，最小值为24． 【详解】解：∵m，n，p是三个互不相等的整数，，，， ∴a、b、c是互不相等的整数，且， ∴可能的三元组有 ，和为6； ，和为4； ，和为2； ，和为0； ，和为． 故的最大值为6，最小值为， 由， 当最小时，取最小值，且最小值为． 故答案为 6；24． 26．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点把数轴分成①②③④四部分，点对应的数分别是，已知． (1)请说明原点在第几部分； (2)若，，，求；（注：表示点之间的距离．） (3)若且，求的值． 【答案】(1)③ (2) (3)7 【分析】（1）根据异号两数相乘结果为负可知b，异号，即可求解； （2）根据线段的和差可得，再根据点在数轴上的位置即可求解； （3）利用整体代入法即可求解． 【详解】（1）解：， ，异号． 原点在第③部分； （2）解： ，， ． ， ； （3）解：，， 即， ， ∴ ． 28．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某超市在中秋期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：根据优惠方案解决下列问题： 消费金额 少于200元 高于200元但低于400元 400元或超过400元 优惠办法 不予优惠 九折优惠 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，她实际付款__________元； (2)王老师在该超市一次性购物元，她实际付款多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购物货款合计800元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示王老师两次购物实际付款多少元？ 【答案】(1)270 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分析题意并列出代数式是解题关键． （1）300元处于中间档次，按九折计算即可； （2）处于第三档，根据对应的优惠办法列代数式计算； （3）分析出第二次购物的货款不超过400元，第一次购物的钱数高于400元，再分两段求出二次购物的钱数，再相加即可． 【详解】（1）解：由题得，， ∴她实际付款270元； 故答案为：270； （2）解：由题得，， ∴她实际付款元； （3）解：∵第一次购物的货款为元， ∴第二次购物的货款为元，，享受9折优惠， ∴王老师两次购物实际付款元． 29．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）把原多项式去括号后合并同类项，再仿照题意求解即可； （2）根据整式的加减运算法则求出的结果，再根据的值与x无关得到的结果中含x的项的系数为0，据此列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与x无关， ∴， ∴． 30．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据，，，得出一般规律即可得出； （2）①可根据（1）的结论进行解答； ②可类比（1）的裂项方法，将其通项分解后再进行计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $