专题3.4 数字类与图形类规律问题 代数式（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题3.4 数字类与图形类规律问题（代数式） （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：数列的规律 2 考点2：数（图）表的规律 3 考点3：算式的规律 4 考点4：图形的规律（一次类） 6 考点5：图形的规律（二次类） 7 考点6：图形的规律（指数类） 8 考点7：循环规律类问题 11 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 16 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 考点1：数列的规律 【技巧点拨】 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和，那么在前2020个数中有 个奇数． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·期中）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数 ．（用含n的式子表示） 考点2：数（图）表的规律 【技巧点拨】 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)图中阴影部分的面积为 ； (2)受此启发，得到＝ ； (3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【变式训练2】（24-25七年级上·山东滨州·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 考点3：算式的规律 【技巧点拨】 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一组数据：，，…，．记，则① ；② ． 【变式训练1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列等式，再解答问题． ，，， 把以上三个等式两边分别相加得： ． (1)第四个等式为 ；猜想并写出： ． (2)根据你发现的规律计算：    (3)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ． 【变式训练2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想： ； (2)规律应用：计算； (3)拓展提高：计算 考点4：图形的规律（一次类） 【技巧点拨】 图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 【变式训练1】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案．照这样的规律摆下去，第n个图案中白色地砖有 块． 考点5：图形的规律（二次类） 【技巧点拨】 递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去： 摆成第⑤个图案需要棋子的个数为 ； 摆成第n个图案需要棋子的个数为 ； 【变式训练1】（24-25七年级上·福建漳州·期中）汉字文化源远流长，现在它以一种独特的方式融入了我们的日常消费生活．以下是一系列由相同大小的圆点和线段组成的图形，它们按照某种特定的规律排列，形成了篆书简化“文”字的形状．其中，图①中共有个圆点，图②中共有个圆点，图③中共有个圆点，图④中共有个圆点，依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是 ． 【变式训练2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 考点6：图形的规律（指数类） 【技巧点拨】 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 【变式训练1】（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【变式训练2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“数形结合”的数学思想，下面是数学兴趣小组运用数形结合思想探索求的值的过程：他们设计了如图（1）所示的几何图形，将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)部分②的面积是______；阴影部分的面积是______； (2)利用图形求出的值； (3)受此启发，请写出的值； (4)小明发现，若把边长为1的正方形进行分割也可以得出同样的结果，请在图（2）和图（3）中再设计两个求的值的几何图形． 考点7：循环规律类问题 【技巧点拨】 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（22-23七年级上·广西河池·期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2）． 利用以上规律计算： ）等于（    ） A．2021 B．2022 C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，则经过2024次操作后得到的结果是（   ） A． B． C．5 D．11 1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 5.（2023·四川甘孜·中考真题）有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为 ． 基础夯实 1．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．例如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，，以此类推，则（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）有一数列…，…，其中从开始，每一个数都是1与它前面那个数的差的倒数，如：，……，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列算式： ， 根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察数组：、、1、…依此规律，第6个数是 ． 5.（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为54，我们发现第1次输出的结果为27，第2次输出的结果为30，…则第2023次输出的结果为 ． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 7.（24-25七年级上·安徽池州·期末）下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数，第n行共有______个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是______，最后一个数是______． 8．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 9．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 10．（24-25七年级上·北京·期中）如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 培优拔高 1．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第100个图案中三角形的个数有（   ） A．300 B．301 C．302 D．303 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用棋子摆出一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第100个图形里棋子的个数为（    ） A．302 B．303 C．304 D．305 3．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为____________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________． 5．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）将如图1的正方形进行如下操作：第1次，分别连接对边中点，得到如图2的5个正方形；第2次，将图2左上角正方形按上述方法再分割，得到如图3的9个正方形．依此类推，第5次，同样的操作后会得到 个正方形．根据以上操作，若要得到201个正方形，需要操作 次． 6.（2025·贵州贵阳·二模）如图是用棋子摆成的“小房子”，按照这样的规律，摆第8个图形需要 枚棋子． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”： (1)观察与探究：图1~4都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 结点数 网眼数 边数 图1 2 5 图2 4 6 图3 5 4 图4 8 12 (2)猜想与验证：上述V、F、E之间具有怎样的数量关系？再画一个类似的平面图形，验证你的猜想． (3)应用与拓展：科研人员要考察水域中某类型鱼的种群密度，经过对该水域某种鱼体型大小的初步判断，认为使用单位面积中含485~525个网眼的渔网效果最佳，上图中的渔网单位面积有530个“结点”，每个“结点”处有4条“边”，通过计算说明这张渔网是否符合这次鱼群考察． 8．（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下列三行数 ① ② ③ (1)第①行中第9个数与第③行中第9个数的和为___________，第①行中第9个数与第③行中第9个数的差为___________． (2)将第③行中的每个数替换为它的倒数，再取替换后三行数中每行的第15个数，求这三个数的积． 9．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①； ②； ③． (1)通过观察，计算的值． (2)探究运算规律，根据等式，求出n的值． 10．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 数字类与图形类规律问题（代数式） （知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：数列的规律 2 考点2：数（图）表的规律 4 考点3：算式的规律 8 考点4：图形的规律（一次类） 12 考点5：图形的规律（二次类） 14 考点6：图形的规律（指数类） 16 考点7：循环规律类问题 22 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 27 基础夯实 27 培优拔高 35 知识点梳理01：规律探索型问题解题技巧 1）抓住条件中的变与不变：找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2）化繁为简，形转化为数：有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3）要进行计算尝试：找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4）寻找事物的循环节：有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 知识点梳理02：规律探索型问题常见类型 1）数式规律：通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 2）图形规律：根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。 3）数表规律：解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律。 考点1：数列的规律 【技巧点拨】 数列的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系。 速记口诀‌：‌一验差值、二联序号、三拆因式、四建函数‌。 验证规律完整性‌：至少验证3项是否符合推导公式，避免片面规律。 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆渝北·自主招生）有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…从第3个数开始，每一个数都是它前面2个数的和，那么在前2020个数中有 个奇数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可得从第1个数开始，每3个数中有2个奇数，据此求出2020除以3的商和余数即可得到答案． 【规范解答】解：这数列的奇偶排列规律是：奇、奇、偶、奇、奇、偶…… ∴从第1个数开始，每3个数中有2个奇数， ∵， ∴在前2020个数中有个奇数， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东东莞·期中）仔细观察下列三组数 第一组： ，，，，， … 第二组： ，，，，，… 第三组： ，，，，，… 解答下列问题： (1)每一组的第6个数分别是_____，______，_____； (2)分别写出各组的第n个数_____，_____，_____； (3)取每组数的第10个数，计算它们的和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字规律探究题，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键； （1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以，第三组数据是第一组和第二组对应数据的和，据此求得每一组第6个数，即可求解． （2）根据（1）的规律，即可求解； （3）根据题意列式计算，即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，每一组的第6个数分别是 ，，， 故答案为：，，． （2）解：各组的第n个数分别为， 故答案为：． （3）解：每组数的第10个数，分别为， 其和为． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·期中）观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第n个数 ．（用含n的式子表示） 【答案】 【思路引导】本题主要考查整式里数字类的规律题，根据题意先观察分子和第个数之间关系为，再观察分母和第个数之间关系为，即可得到答案； 【规范解答】解：， 当时，，； ， 当时，，； ， 当时，，； ， 当时，，； ， 当时，，； ∴当当时，分子，分母； ∴； 故答案为： 考点2：数（图）表的规律 【技巧点拨】 数（图）表的规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系。 口诀速记‌：‌图形数一数，增减看清楚；表格分行列，验证第一步！ 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)图中阴影部分的面积为 ； (2)受此启发，得到＝ ； (3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题； （2）利用数形结合的思想即可解决问题； （3）根据（3）中的结论即可解决问题； 本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键； 【规范解答】（1）解：由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． （2）解：由（1）知， ， 所以． 故答案为：． （3）解：由题知， 原式． 令①， 则②， 得， ， 即， 所以原式 ． 故答案为：． 【变式训练1】（2025七年级上·全国·专题练习）在数学习题课中，同学们为了求的值，进行了如下探索： (1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为的长方形纸片对折． （）求图中部分的面积； （）请你利用图形求的值； (2)请你利用备用图，再设计一个能求与的值的几何图形． 【答案】(1)（）；（）； (2)见解析． 【思路引导】本题主要考查了图形与数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解答本题的关键． （）（）由对折可知，每一个图形的面积都是上一个图形面积的，由规律可得的面积是； （）由图形可知，，所以可得：； （）首先利用对角线把矩形分成两个面积相等的三角形，然后依次作点为的中点，点为的中点，点为的中点． 【规范解答】（1）解：（）由图可知，的面积为， 的面积为， 的面积为， 的面积为； （）如下图所示， 由图可知， ， ； （2）解：可设计如下图所示： 点为的中点，点为的中点，点为的中点， 由图可知， ， ； 【变式训练2】（24-25七年级上·山东滨州·期中）数学老师根据○中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码a是（   ） A．322448 B．324824 C．468468 D．324880 【答案】D 【思路引导】本题考查数字的变化规律的探索．根据所给密码可知，第一个数与最后一个数的乘积的结果是密码的前两位，第二个数与最后一个数的乘积的结果是密码的中间两位，第一个数与第二个数的和与最后一个数的乘积的结果是密码的最后两位，由此求解即可． 【规范解答】解：由前3个密码与三个数字的关系可以发现： 第1、2个数字为最上面的数与下面右边的数的积； 第3、4个数字为下面的两个数的积； 第5、6个数字为最上面的数与下面左边的数的和与右边的数的积． ∵， ∴该校的密码a是324880； 故选D． 考点3：算式的规律 【技巧点拨】 ‌口诀速记‌：‌符号增减看指数，分项拆解再重组；递推关系抓前项，验证三步防错误！ 算式的规律：用含有字母的算式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系。 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）有一组数据：，，…，．记，则① ；② ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数字的变化类规律、有理数的混合运算等知识点，找到数字的变化规律是解题的关键． 现把分子进行拆项，再进行整体拆项再求和即可解答． 【规范解答】解：①： ， ， ……， ∴； ② ． 故答案为：，． 【变式训练1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）观察下列等式，再解答问题． ，，， 把以上三个等式两边分别相加得： ． (1)第四个等式为 ；猜想并写出： ． (2)根据你发现的规律计算：    (3)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ． 【答案】(1)， (2) (3)①；② 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算和规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意和归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）原式利用拆项法变形，计算即可求出值； （3）①原式利用拆项法变形，计算即可求出值；②原式利用拆项法变形，计算即可求出值． 【规范解答】（1）解：由题意可得，第四个等式为， 猜想 故答案为：， （2） （3）① ② 【变式训练2】（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）观察下列等式：，把以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想： ； (2)规律应用：计算； (3)拓展提高：计算 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，有理数混合运算，根据已知等式得出一般规律是解题关键． （1）根据已知等式分析即可； （2）根据（1）所得规律裂项计算即可； （3）根据裂项计算即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为： （2）解： ； （3）解：， 则 考点4：图形的规律（一次类） 【技巧点拨】 图形的规律（一次型）特点‌：每步增加相同数量的元素；观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 口诀速记‌：‌图形拆解是根基，固定递变看差异（若图形拆解不易，也可以观察图形数量的变化规律）；三项验证防陷阱！ 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解： 【变式训练1】（24-25七年级上·湖北十堰·开学考试）下列几何体都是用小正方体堆放而成的．照这样的规律，第个几何体是用 个小正方体堆放而成的：第个几何体是用 个小正方体堆放而成的． 【答案】 【思路引导】本题考查图形的变化类问题，根据各图形中小正方体的个数，找到小正方体排列的规律，再利用规律解决问题即可．找到小正方体排列的规律是解题的关键． 【规范解答】解：第个几何体中的小正方体的个数为：， 第个几何体中的小正方体的个数为：， 第个几何体中的小正方体的个数为：， ∴第个几何体中的小正方体的个数为：， …… ∴第个几何体中的小正方体的个数为：． 故答案为：；． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）某市民广场地面铺设地砖，决定采用两种颜色的正六边形地砖，按如图所示的规律摆成若干个图案．照这样的规律摆下去，第n个图案中白色地砖有 块． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据图形可得每一个图案中白色地砖的块数比它前面一个图案中白色地砖的块数多4块，据此归纳类推出一般规律即可得． 【规范解答】解：由图可知，第1个图案中白色地砖的块数为块， 第2个图案中白色地砖的块数为块， 第3个图案中白色地砖的块数为块， 归纳类推得：第个图案中白色地砖有块， 故答案为：． 考点5：图形的规律（二次类） 【技巧点拨】 递变累加型‌‌特点‌：增量本身成等差（二阶等差）。公式‌：总数 = an² + bn + c。 分区域累加型‌‌特点‌：图形由多个独立部分构成。‌步骤‌：拆解区域→各部分分别列式→求和。 【典例精讲】（24-25七年级上·北京·期中）如图是用棋子摆成的图案，按照这样的规律摆下去： 摆成第⑤个图案需要棋子的个数为 ； 摆成第n个图案需要棋子的个数为 ； 【答案】 【思路引导】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第个图案需要黑色棋子个数为是解题的关键． 根据图形的变化归纳出第个图案需要棋子个数为：，即可求解． 【规范解答】解：由图知，第①个图案中棋子的个数为， 第②个图案中棋子的个数为， 第③个图案中棋子的个数为， 第④个图案中棋子的个数为， ， ∴第⑤个图案中棋子的个数为； ∴第个图案需要棋子个数为． 故答案为：，． 【变式训练1】（24-25七年级上·福建漳州·期中）汉字文化源远流长，现在它以一种独特的方式融入了我们的日常消费生活．以下是一系列由相同大小的圆点和线段组成的图形，它们按照某种特定的规律排列，形成了篆书简化“文”字的形状．其中，图①中共有个圆点，图②中共有个圆点，图③中共有个圆点，图④中共有个圆点，依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形的规律变化问题，由已知图形可得图中共有个圆点，据此解答即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【规范解答】解：∵图①中共有个圆点， 图②中共有个圆点， 图③中共有个圆点， 图④中共有个圆点， ， ∴图中共有个圆点， 当时，， ∴图⑧中共有圆点的个数是， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…….拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（   ） A．个小正方形 B．个小正方形 C．个小正方形 D．个小正方形 【答案】C 【思路引导】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【规范解答】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形，…… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形． 故选：C． 考点6：图形的规律（指数类） 【技巧点拨】 口诀‌：‌几何倍增看比值，首项定位是根基；补形转化破复杂，两级验算防陷阱！ 图形规律：观察前项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为1，第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半……以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行n次这样的操作． 进行的次数 1 2 3 n 剩下图形的面积 ____ ____ ____ (1)请将上表填写完整． (2)请利用这个几何图形求的值： ．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】（1）根据题意填表即可． （2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为，由即可得出的值． 本题主要考查了有理数乘方的应用，列代数式，一元一次方程的应用，面积等知识． 【规范解答】（1）解：解：上表填写如下： 进行的次数 1 2 3 剩下图形的面积 故答案为：，，． （2）解：原正方形分成各个小长方形的面积之和为， ∴， 则， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级上·广东佛山·期中）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 (1)根据图形填写上表； (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【思路引导】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． 【变式训练2】（24-25七年级上·河南郑州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“数形结合”的数学思想，下面是数学兴趣小组运用数形结合思想探索求的值的过程：他们设计了如图（1）所示的几何图形，将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)部分②的面积是______；阴影部分的面积是______； (2)利用图形求出的值； (3)受此启发，请写出的值； (4)小明发现，若把边长为1的正方形进行分割也可以得出同样的结果，请在图（2）和图（3）中再设计两个求的值的几何图形． 【答案】(1)， (2) (3) (4)见解析 【思路引导】本题考查了数字和图形规律、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握图形和数字规律，从而完成求解． （1）结合题意，依次计算部分①到部分⑤的面积，再进一步即可得到答案； （2）根据（1）的结论，为长方形面积部分⑦面积，通过计算即可得到答案； （3）根据（1）的结论，得第n个部分的面积为：；根据（2）的结论，通过计算即可得到答案； （4）根据（1）的结论，每次分割原图形面积的一半，从而完成求解． 【规范解答】（1）解：∵将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． 即①的面积为：， 部分②是部分①面积的一半，即②的面积为：， 部分③是部分②面积的一半，即③的面积为：， ∴部分④是部分③面积的一半，即④的面积为：， ∴部分⑤是部分④面积的一半，即⑤的面积为：， 根据题意，得：阴影部分的面积⑥的面积， ∴阴影部分的面积 故答案为：， （2）解：根据（1）的结论，为部分①到部分⑥的面积总和，即为长方形面积部分⑦面积； ∴ （3）解：由（2）总结可得： ； （4）解：根据（1）的结论，每次分割作图如下： 考点7：循环规律类问题 【技巧点拨】 有些题目包含着事物的循环规律，找到事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解。 固定周期重复‌：数字、图形或坐标序列每间隔‌固定项数重复出现。 口诀速记‌：‌周期长度看重复，余数定位是核心；起始项序要验证，两级循环需分层！ 【典例精讲】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了代数式的求值，理解程序中的框图以及能找到输出值的规律是解题的关键．把代入程序中计算，以此类推得到一般性的规律，即可确定出第2024次输出的结果． 【规范解答】解：当时， 第一次的输出结果为， 第二次的输出结果为， 第三次的输出结果为， 第四次的输出结果为， 第五次的输出结果为， 第六次的输出结果为， 第七次的输出结果为， 第八次的输出结果为， ， 从第二次的结果开始，每6次运算结果循环一次， ， 第2024次的结果与第2次的结果一样， 第2024次输出的结果是． 故选：B． 【变式训练1】（22-23七年级上·广西河池·期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1）； （2）． 利用以上规律计算： ）等于（    ） A．2021 B．2022 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查数字类规律探究，根据题干，易得：，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式训练2】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，…，若，则经过2024次操作后得到的结果是（   ） A． B． C．5 D．11 【答案】A 【思路引导】本题考查了绝对值和探索规律，解题的关键是掌握绝对值，根据题意计算找出规律． 当时，代入，经过第1次操作后，得，经过第2次操作后，得，经过第3次操作后，得，经过第4次操作后，得，经过第5次操作后，得，经过第6次操作后，得，经过第7次操作后，得，根据规律即可得． 【规范解答】解：当时，代入， 经过第1次操作后，得， 经过第2次操作后，得， 经过第3次操作后，得， 经过第4次操作后，得， 经过第5次操作后，得， 经过第6次操作后，得， 经过第7次操作后，得， … 第2024次后，， 故选：A． 1．（2025·青海·中考真题）下图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ． 【答案】或243（两个答案均可得分） 【思路引导】本题考查了图形的变化类问题，找到图形的变化规律，即可得出答案． 【规范解答】解：∵第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …， 按此规律，第⑥个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或243． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【规范解答】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 3．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 【规范解答】解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则 ， ． 【答案】 45 2 【思路引导】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行． 【规范解答】解：由图中排布可知，当正整数为时， 若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列； 若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行； ∵， 而，在第行，第1列， ∴2024在第行，第2列， ∴，， 故答案为：45，2． 5.（2023·四川甘孜·中考真题）有一列数，记第个数为，已知，当时，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】分别计算出，找到规律即可求解． 【规范解答】解：依题意，，，，……， ∴ ∴的值为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查数字类规律，找到规律是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”．例如：的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，，以此类推，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了新定义，数字规律，理解新定义的运算法则，找出数字规律是解题的关键． 根据新定义的计算法则分别算出，找到规律即可求解． 【规范解答】解：是不为的有理数，我们把称为的“哈利数”， ∵， ∴，，，，， ∴每4个一循环， ∴， ∴， 故选：B ． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期末）有一数列…，…，其中从开始，每一个数都是1与它前面那个数的差的倒数，如：，……，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了数字的变化类，明确题意，发现题目中的数字变化规律是解题的关键． 根据题意，求出前几个数，总结出数字的变化规律，即可得到的值． 【规范解答】解：由题意得， ， ， ， 因此，这列数依次以循环出现， ， ， 故选：D 3．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列算式： ， 根据上述算式中的规律，请你猜想的末尾数字是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【思路引导】本题考查了数字规律，找出尾数规律是解题的关键． 根据乘方运算结果进行比较，每四次一循环，由此即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴每四次一循环， ∴， ∴的尾数为， 故选：D ． 4．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）观察数组：、、1、…依此规律，第6个数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数字类规律探索，能从所给数组中发现并总结出一般规律是解题的关键． 根据所给数组，观察各数分子分母的变化规律，由此即可总结出一般规律并解决问题． 【规范解答】解：由题知，， 则这列数的分子依次为：，，，，， 第个数的分子可表示为：， 这列数的分母依次为：，，，，， 第个数的分母可表示为：， 第个数可表示为：， 当时， ， 即：第6个数是， 故答案为：． 5.（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为54，我们发现第1次输出的结果为27，第2次输出的结果为30，…则第2023次输出的结果为 ． 【答案】6 【思路引导】此题考查了代数式求值、有理数混合运算、数字的变化规律，解题的关键是通过计算每次输出的结果发现规律并总结，由此解决问题．根据程序图分别计算每次输出的结果，多次后发现规律从第7次开始，奇数次输出的结果为6，偶数次输出的结果为3，并解答即可． 【规范解答】解：第1次输出的结果为27， 第2次输出的结果为30， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， 第10次输出的结果为， 第11次输出的结果为， ……， 可以发现，从第7次开始，奇数次输出的结果为6，偶数次输出的结果为3， ∵2023为奇数， ∴第2023次输出的结果为6， 故答案为：6． 6．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察各个等式并从中找到规律． （1）根据提供的等式写出第5个等式即可； （2）观察前4个等式，找出规律即可得到第n个等式． 【规范解答】（1）解：第5个等式：． 故答案为：． （2）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， …… 第n个等式：， 猜想第n个等式为． 7.（24-25七年级上·安徽池州·期末）下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答． (1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数______的平方，第8行共有______个数，第n行共有______个数； (2)用含n的代数式表示：第n行第一个数是______，最后一个数是______． 【答案】(1)64，8，15， (2)， 【思路引导】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键． （1）根据图中的数据，总结规律求解即可； （2）根据图中的数据，总结规律求解即可． 【规范解答】（1）第1行的最后一个数是，它是自然数1的平方，第1行共有个数； 第2行的最后一个数是，它是自然数2的平方，第2行共有个数； 第3行的最后一个数是，它是自然数3的平方，第3行共有个数； 第4行的最后一个数是16=42，它是自然数4的平方，第4行共有个数； …； ∴第8行的最后一个数是，它是自然数8的平方，第8行共有个数； 第n行共有个数； 故答案为：64，8，15，； （2）第1行的第一个数是，最后一个数是； 第2行的第一个数是，最后一个数是； 第3行的第一个数是，最后一个数是； 第4行的第一个数是，最后一个数是； …； ∴第n行的第一个数是，最后一个数是； 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）将正整数，…，排成如图所示的数表． (1)根据规律，数24位于第4行第3列，那么数100位于第 行第 列； (2)数表中第行第1列的数是 ； (3)如图，“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，容易求出横行三个数的和与竖列三个数的和，分别记为． ①猜想之间的关系 ． ②任意平移“”字型的位置，与之间的关系还成立吗？若成立，请通过计算说明理由；若不成立，请举例说明． 【答案】(1)15；2 (2) (3)①；②成立，理由见解析 【思路引导】本题考查找规律，涉及数字规律、用代数式表示数字规律、整式加减运算等知识，读懂题意，找准规律是解决问题的关键． （1）由题中数表的规律即可得到答案； （2）由题中数表的规律即可得到答案； （3）①由“”字型分别框出一横行左右相邻的三个数和一竖列上下相邻的三个数，分别计算即可猜想出关系；②设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为；分别计算即可验证关系． 【规范解答】（1）解：由题中数表，每一行有7个数， 第行的最后一个数为，则， 数100位于第15行第2列， 故答案为：15；2； （2）解：由题中数表可知第行最后一个数为， 第行第1列的数是， 故答案为：； （3）解：①如图所示，， ，则， 故答案为：； ②成立， 理由如下： 设竖列第1个数为，则数列其余两个数分别为；横行的三个数分别为． ；； ， 即． 9．（24-25七年级上·北京·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是_____； (2)第n个结构式的分子式是_____； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． (4)请你根据找到的规律再创造一个新的化合物． 【答案】(1) (2) (3)分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 (4)（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了图形规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律是解题的关键． （1）由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； （4）按照（2）的规律写出一个新的化合物即可． 【规范解答】（1）解：由图可知：第n个结构式中有n个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， （2）由(1)可知:第n个结构式的分子式是， 故答案为: ； （3）令，， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物． （4）（答案不唯一）． 10．（24-25七年级上·北京·期中）如图所示，改变五子棋中黑棋的摆放方式，解答下列问题． (1)观察图①和图②，五子棋分别被直线和折线隔开摆放成4层，按照图中规律继续摆下去，第 n 层有__________个棋子； (2)数图中棋子的总个数可以有多种不同的方法：如：前2层棋子的个数和为或，因此可以得到，同样，前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… 根据上述规律，前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为________________； (3)运用（2）中发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【思路引导】此题主要考查了有理数的混合运算，图形的变化类，根据已知图形得出数字的变化规律是解题关键． （1）根据已知数据即可得出每一层棋子个数是连续的奇数，进而得出答案； （2）利用已知数据的规律即可得出答案； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：第一层有1个棋子， 第二层有个棋子， 第三层有个棋子， 第四层有个棋子， 第五层有个棋子， 第六层有个棋子， ……， 由此发现，第n层有个棋子， 故答案为：； （2）解：∵前2层棋子的个数和为或， 因此可以得到， ∵前3层棋子的个数和为，前4层棋子的个数和为，… ∴前n层棋子的个数和， 即前n层棋子的个数和用含n的代数式可以表示为． 故答案为：； （3）解：由（2）知，， 当，即时， ∴． 培优拔高 1．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第100个图案中三角形的个数有（   ） A．300 B．301 C．302 D．303 【答案】B 【思路引导】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律第个图案需要三角形的个数是是解题的关键，不难看出第个图形中三角形的个数为：，从而可求解． 【规范解答】解：第1个图案三角形的个数为：4， 第2个图案三角形的个数为：， 第3个图案三角形的个数为：， ， 第个图案需要三角形的个数为：， 第100个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用棋子摆出一组图形，如果按照这种规律摆下去，那么第100个图形里棋子的个数为（    ） A．302 B．303 C．304 D．305 【答案】A 【思路引导】本题考查了规律型中的图形变化问题，首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．探究规律后，利用规律解决问题即可． 【规范解答】解：第一个图形有5个棋子， 第二个图形有8个棋子， 第三个图形有11个棋子， 那么第个图形一共有个棋子 当时，个 故选：A． 3．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查整式的分类讨论，结合绝对值和非负整数的性质，分情况讨论各n的可能情况，并验证各说法的正确性即可． 【规范解答】解：∵整式，且满足 ∴： ⇒ （唯一情况），（单项式）． ： ⇒ ．． ∵为正整数，可能取1、2、3： 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （1种单项式）． 共5种，其中仅1个单项式（）． ： ⇒ ．； 为正整数，可能取1或2： 时，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． 时，： ，（2种二项式）． ，（2种二项式）． 共5种，无三次项． ： ⇒ ，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． ：不满足条件． 验证说法： ①当时，有1个单项式：正确（仅）． ②不存在二次三项式：正确（时，系数绝对值之和为1，无法形成三个非零项）． ③总共有14个整式：错误（实际总数为种）． 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：C． 4．（24-25七年级下·北京房山·期末）对于一个四位正整数，若它的千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2，则称正整数为“数”． （1）最小的“数”为____________； （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为 ，记，若能被8整除，则满足条件的的最大值为____________． 【答案】（1）6200；（2）9753 【思路引导】本题考查整式的加减，代数式求值等知识，读懂题意，审清概念是解题的关键． （1）根据“千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2”可知：当个位数字和十位数字都是0，取得最小的“数”，从而得解； （2）根据题意可知，从而代入消去c和d，从而得到，要使得取最大值，则千位数字a取9，由可让、7……依次判断即可． 【规范解答】解：（1）∵千位数字比个位数字大6，百位数字比十位数字大2， ∴当个位数字和十位数字都是0时，千位数字是6，百位数字是2，此时取得最小的“数”，最小的“数”为6200， （2）一个“数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴， 由题意可知：，即， ∴， 又∵， ∴， ∴要使得取最大值，则千位数字a取9， 则若，则，不能被8整除，不合题意； 若，则，能被8整除，符合题意，此时，； ∴满足条件的的最大值为9753． 故答案是：（1）6200；（2）9753． 5．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）将如图1的正方形进行如下操作：第1次，分别连接对边中点，得到如图2的5个正方形；第2次，将图2左上角正方形按上述方法再分割，得到如图3的9个正方形．依此类推，第5次，同样的操作后会得到 个正方形．根据以上操作，若要得到201个正方形，需要操作 次． 【答案】 21 50 【思路引导】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键． 根据正方形的个数变化可设第n次得到个正方形，由此即可解题． 【规范解答】解：（个）， 设若要得到201个正方形，需要操作n次． 则 ， 答：第次，同样的操作后会得到个正方形．根据以上操作，若要得到个正方形，需要操作次． 故答案为：21；50. 6.（2025·贵州贵阳·二模）如图是用棋子摆成的“小房子”，按照这样的规律，摆第8个图形需要 枚棋子． 【答案】47 【思路引导】本题考查了图形类规律探索，找到规律是解题的关键； 根据前面几个图形中棋子的数量可得：第n个图形需要枚棋子，即可求解． 【规范解答】解：第1个图形需要5枚棋子，， 第2个图形需要11枚棋子，， 第3个图形需要17枚棋子，， 第4个图形需要23枚棋子，， …… 所以第n个图形需要枚棋子， 所以摆第8个图形需要枚棋子； 故答案为：47． 7．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”： (1)观察与探究：图1~4都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 结点数 网眼数 边数 图1 2 5 图2 4 6 图3 5 4 图4 8 12 (2)猜想与验证：上述V、F、E之间具有怎样的数量关系？再画一个类似的平面图形，验证你的猜想． (3)应用与拓展：科研人员要考察水域中某类型鱼的种群密度，经过对该水域某种鱼体型大小的初步判断，认为使用单位面积中含485~525个网眼的渔网效果最佳，上图中的渔网单位面积有530个“结点”，每个“结点”处有4条“边”，通过计算说明这张渔网是否符合这次鱼群考察． 【答案】(1)填表见解析 (2)，作图及验证见解析 (3)不符合，说明见解析 【思路引导】观察图形可得结论； （2）根据表格中数据可求出V、F、E之间的关系式； （3）先求出边数，再根据V、F、E之间的关系式求解即可． 【规范解答】（1）根据图①可知结点数为4； 根据图②可知网眼数为3； 根据图③可知边数为8； 根据图④可知网眼数为5； 补全表格如下： 序号 结点数V 网眼数F 边数E 图① 4 2 5 图② 4 3 6 图③ 5 4 8 图④ 8 5 12 （2）根据表格中的数据可知： 由此可得：； 绘制图如下： 五边形（连2条不相交对角线） 绘制：画正五边形，连接对角线、（不相交于内部同一点） ．   结点数：五边形个顶点，无新交点，共个结点；   网眼数：被对角线分成个三角形网眼（、、 ），共个网眼；   边数：五边形条边条对角线，共条边．   验证：，符合猜想． （3）由题知，渔网的边数为，   ，   ，   这张渔网的“网眼”数为   （个），   即这张渔网有531个“网眼”．   这张渔网不符合这次鱼群考察． 8．（24-25七年级上·福建福州·期中）观察下列三行数 ① ② ③ (1)第①行中第9个数与第③行中第9个数的和为___________，第①行中第9个数与第③行中第9个数的差为___________． (2)将第③行中的每个数替换为它的倒数，再取替换后三行数中每行的第15个数，求这三个数的积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了数字类规律的探索，有理数的加减，乘方运算，找到规律是解题的关键． （1）找出规律第①行第个数为，第③行第个数为，即可求解； （2）原先三行数中的第15个数分别为：，，，替换后第③行数中第15个数分别为，再相乘即可． 【规范解答】（1）解：第①行数排排列：， ∴第①行第个数为，那么第①行中第9个数为； 第③行数排排列：， ∴第③行第个数为，那么第③行中第9个数为， ∴第①行中第9个数与第③行中第9个数的和为； 第①行中第9个数与第③行中第9个数的差为， 故答案为：； （2）解：原先三行数中的第15个数分别为：，， 替换后第③行数中第15个数为， 那么这三个数的积为． 9．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现： ①； ②； ③． (1)通过观察，计算的值． (2)探究运算规律，根据等式，求出n的值． 【答案】(1) (2)99 【思路引导】本题主要考查数字类规律探以及利用规律进行分数的混合运算， （1）利用规律的逆运算即可将式子拆分为相减的形式，再进行分数运算即可； （2）观察发现分母相差2，把分数转化为分母拆分后之差的一半，再利用规律计算即可． 【规范解答】（1）由前几个算式变化规律，得， 所以原式 ； （2）因为，…… 所以 ； 经检验，是原方程的解， 所以的值为99． 10．（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． (1)初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． (2)深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【答案】(1)； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ），证明见解析 【思路引导】本题主要考查了图形的变化规律、 有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和这一规律可得即可得解； （2）（ⅰ）根据图形面积即可得解； （ⅱ）根据所给规律总结证明即可． 【规范解答】（1）解：斐波那契数列第9个数为，第10个数为；若用表示斐波那契数列中的第个数，则， 故答案为：；； （2）（ⅰ）解：第④个图形的面积为：， 第⑤个图形的边长为， 第⑤个图形的面积为：， 填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 40 104 …… （ⅱ）解：， 证明：记斐波那契数列为：，，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$