第三章代数式 3.1用字母表示数（知识精讲+题型讲解+课后练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上学期

本讲义聚焦“用字母表示数”核心知识点，系统阐述其意义（简明性、一般性）和六条书写规范，衔接前序有理数运算律，为后续代数式学习搭建从具体到抽象的学习支架。 以青蛙儿歌、月历等情境导入，通过“从特殊到一般”抽象过程培养符号意识，结合火柴棒规律探索发展推理能力，分层练习与易错警示强化模型应用。课中助力教师引导学生抽象思维，课后帮助学生巩固知识、弥补盲点。

3.1 用字母表示数 一、学习目标 1.1 知识与技能 理解用字母表示数的意义，能体会其"简明性"与"一般性"（从特殊到一般）。 掌握用字母表示数的书写规范六条，能正确、规范地列代数式表示简单的数量关系。 能借助字母表示图形规律、月历规律等，进行简单的规律探索与归纳。 1.2 过程与方法 通过青蛙儿歌、报告厅座位等情境，经历"从特殊到一般"的抽象过程，感受字母表示任意数的价值。 通过对比、辨析、纠错活动，形成规范书写的自觉，发展符号意识。 1.3 情感态度与价值观（数学素养） 体会数学符号的简洁美与概括力量，增强学习数学的兴趣与信心。 在规律探索中培养观察、归纳、猜想的数学思维品质。 二、情境导入与知识回顾 2.1 情境引入 青蛙儿歌：我们来念一首儿歌—— 1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水； 2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水； 3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水； …… 问题：如果青蛙的只数很多很多，我们怎么把这首永远念不完的儿歌写下来？ 发现：可以用一个字母 n 代表青蛙的只数，于是儿歌可以简写为： n 只青蛙 n 张嘴，2n 只眼睛 4n 条腿，n 声扑通跳下水。 一个字母 n，就代替了"任意只数"的青蛙！这就是"用字母表示数"的奇妙之处。 2.2 知识回顾 在第2章中，我们学习了有理数（正有理数、0、负有理数）以及有理数的运算与运算律。例如： 加法交换律：a + b = b + a 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c) 乘法交换律：ab = ba 分配律：(a + b)c = ac + bc 这里的字母 a、b、c 可以代表任意有理数（包括正数、负数和 0）。也就是说，字母不仅能表示"个数"，还能表示"任何数"。 既然字母这么好用，我们在书写时就必须遵守统一的规则，否则容易造成误解。下面我们就来学习书写规范。 三、核心概念 3.1 用字母表示数的意义 使数量关系更简明：用字母可以代替繁琐的文字描述或无数个具体数字，一句话就能说清规律（如 n 只青蛙）。 更具有一般性（从特殊到一般）：字母代表一类数、任意数，把"特殊情况"统一为"一般规律"。例如运算律 a+b=b+a 对任意有理数都成立。 同一字母在不同情境下含义不同：在"青蛙儿歌"中 n 表示青蛙只数；在"长方形"中 a 表示长、b 表示宽。一个字母的具体含义要由它所在的问题决定。 3.2 代数式（第3.2节系统展开） 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和字母连接而成的式子，叫做代数式。例如 3a、、a²+b² 都是代数式。本节先会列、会写，第3.2节再系统学习代数式的概念与读法。 四、书写规范 用字母表示数时，必须遵守以下六条书写规则。 4.1 六条规则 序号 规则 正例 误例（不规范） 1 数与字母相乘，乘号省略，数字写在字母前面 3a 3×a、a3 2 字母与字母相乘，乘号省略 ab a×b 3 带分数与字母相乘，把带分数化成假分数 a / 4 数字与字母相除（或字母在分母），写成分数形式 （即 a÷2） a÷2 5 相同字母相乘，写成乘方形式 a²（即 a×a） aa 6 式子后带单位，若是和/差要加括号；积/商直接写 (a+b)元、3a元、元 a+b元 补充说明： 同一问题中，不同的量要用不同的字母表示。 数字因数是 1 或 -1 时，1 通常省略不写（如 1×a 写作 a，-1×a 写作 -a）。 4.2 即时小填空（课堂练习） 1. a × 3 应写成 ________ ； 2. a ÷ 2 应写成 ________ ； 3. 长方形的长、宽分别为 a、b（单位：米），面积应写为 ________ 平方米，周长应写为 ________ 米； 4. 下列写法正确的是 ________ 。（A）x + 2 米 （B）(x + 2)米 即时小填空 参考答案 1. 3a（数与字母相乘，乘号省略，数字写在字母前面）； 2. （除法应写成分数形式）； 3. ab 平方米、2(a+b) 米（周长 = 2×长 + 2×宽 = 2a+2b = 2(a+b)；因含和差形式，带单位须加括号）； 4. 选（B）(x+2)米。因为 x+2 是"和"的形式，带单位时必须用括号把整个式子括起来；x+2 米 易被误解为 "x 加上 2 米"，不规范。 五、易混辨析 5.1 四类易混对照表 辨析点 正确写法 错误/不规范写法 说明 ① a² 与 2a a² = a×a；2a = a+a 认为 a² = 2a a² 是两因数相乘，2a 是两加数相加，含义不同 ② (x+2)米 与 x+2米 (x+2)米 x+2米 和差形式带单位必须加括号 ③ 与 a÷2 a÷2 字母参与除法应写成分数形式 ④ 两位数 10a+b 与 ab 十位a个位b → 10a+b ab ab 表示 a×b，不是两位数 5.2 辨析例题 例：当 a = 3 时，比较 a² 与 2a 的大小，并说明两者含义有何不同。 解： 当 a = 3 时，a² = 3² = 3×3 = 9； 当 a = 3 时，2a = 2×3 = 6。 因为 9 > 6，所以当 a = 3 时，a² > 2a。 含义区别： a² 表示 a 个 a 相乘（两个 a 相乘）； 2a 表示 2 个 a 相加（a + a）。 两者一般不相等，不能混淆。 六、典型例题与常考题型 6.1 例1 用字母表示数量关系 （1）长方形的长是宽的 2 倍，宽为 a m，用字母表示长方形的周长和面积。 解：宽 = a m，则长 = 2a m。 周长 = 2×(长 + 宽) = 2×(2a + a) = 2×3a = 6a m； 面积 = 长×宽 = 2a × a = 2a² m²。 （2）圆柱的底面半径为 r，高为 h，用字母表示它的侧面积。 解：圆柱侧面展开是长方形，长等于底面圆周长 2πr，宽等于高 h。 侧面积 = 2πr × h = 2πrh。 （3）一件运动服标价为 a 元，按 8 折出售，用字母表示售价。 解：8 折即按原价的 0.8 倍，售价 = 0.8a 元。 （4）篮球每个 x 元，排球每个 y 元，足球每个 z 元。买 3 个篮球、5 个排球、2 个足球，共需多少元？ 解：总价 = 3 个篮球钱 + 5 个排球钱 + 2 个足球钱 = (3x + 5y + 2z) 元。 （5）小丽用 5 h 走了 s km，她的平均速度是多少？ 解：平均速度 = 路程 ÷ 时间 = km/h。 （6）小明步行的速度是每小时 v 千米，他 t 小时走多少千米？36 分钟走多少千米？ 解：t 小时走的路程 = 速度 × 时间 = tv 千米； 36 分钟 = 小时 = 0.6 小时 = 小时，走的路程 = v × = v 千米（即 0.6v 千米）。 6.2 例2 用字母表示运算或数量关系 （1）某数与 3 的差的 2 倍（设该数为 x）。 解：某数与 3 的差 = x − 3；其 2 倍 = 2(x − 3)。 （2）两个数的平方的和。 解：设两个数为 a、b，则 a² + b²。 （3）一个数加 1 后大于这个数本身。 解：设该数为 a，则 a + 1 > a。 （4）两个数互为相反数。 解：设两个数为 a、b，则 a + b = 0。 6.3 例3 用字母表示阴影面积 （图1）一个圆，半径为 r，求面积。 解：圆的面积 = πr²。 （图2）一个边长为 a 的正方形，从中减去一个半径为 1 的圆，求剩余（阴影）部分的面积。 解：正方形面积 = a²；半径为 1 的圆面积 = π×1² = π。 阴影面积 = 正方形面积 − 圆面积 = a² − π。 6.4 例4（规律探索）火柴棒搭正方形 用火柴棒搭正方形：1 个正方形需 4 根，2 个需 7 根，3 个需 10 根…… 观察：4，7，10，… 相邻两项差都是 3。 第 1 个：4 = 3×1 + 1； 第 2 个：7 = 3×2 + 1； 第 3 个：10 = 3×3 + 1； 归纳：搭 n 个正方形需 (3n + 1) 根。 验证：当 n = 5 时，需 3×5 + 1 = 16 根。 6.5 例5（规律探索）月历 在月历中，以某一天（设其为 x）为中心，它的上、下、左、右四个数有什么关系？ 解：月历中： 上一个数比 x 少 7（上一周同一天）：x − 7； 下一个数比 x 多 7（下一周同一天）：x + 7； 左一个数比 x 少 1：x − 1； 右一个数比 x 多 1：x + 1。 进一步规律： 取一个 2×2 方框（左上角为 a），四数分别为 a、a+1、a+7、a+8，其对角和 a + (a+8) = (a+1) + (a+7) = 2a+8，对角和相等。 取一个 3×3 方框，设中心数为 x，则九个数之和 = 9x。 6.6 常考题型地图（小结） 序号 题型类别 典型示例 ① 用字母表示数量关系 例1（周长、面积、售价、路程） ② 用字母表示运算/规律关系 例2（2(x−3)、a²+b²） ③ 规律探索·图形/火柴棒 例4（(3n+1)根） ④ 规律探索·月历 例5（x±7、x±1、9x） ⑤ 代入求值 a=3 时比较 a² 与 2a ⑥ 实际问题列式 青蛙儿歌、报告厅座位、购物总价 七、易错警示 7.1 六条易错点（错解 vs 正解） 易错1：a² 与 2a 混淆 ❌ 错解：认为 a² = 2a，如 a = 3 时写成 a² = 6。 ✅ 正解：a² = a×a（两个 a 相乘）；2a = a+a（两个 a 相加）。当 a = 3 时，a² = 9，2a = 6，二者不同。 易错2：带单位未加括号 ❌ 错解：x + 2 米。 ✅ 正解：(x + 2) 米。和差形式带单位，必须加括号。 易错3：除号未写成分数 ❌ 错解：x ÷ 2。 ✅ 正解：。字母参与除法应写成分数形式，不用 ÷。 易错4：带分数未化假分数 ❌ 错解：。 ✅ 正解：a。带分数与字母相乘要先化成假分数。 易错5：把字母当"未知数"，忽略其"代表任意数" ❌ 错解：默认 a 一定是负数，或认为 −a 一定是负数。 ✅ 正解：a 可以表示正数、负数或 0（衔接第2章有理数）；−a 的正负取决于 a 本身（a>0 时 −a<0；a<0 时 −a>0；a=0 时 −a=0）。 易错6：两位数表示错误 ❌ 错解：十位是 a、个位是 b 的两位数写成 ab。 ✅ 正解：10a + b（ab 表示 a×b，不是两位数）。 八、巩固练习（分层） 8.1 基础达标（必做） 1. 长方形的长是 a，宽是 b（单位：米），求它的周长和面积。 2. 小明今年 n 岁，爸爸比他大 28 岁，用字母表示爸爸今年的年龄。 3. 某数为 x，它的 3 倍与 5 的和是多少？ 4. 一个数 a 与 2 的差的一半，用字母怎样表示？ 基础达标 参考答案 1. 周长 = 2×(长 + 宽) = 2(a + b) 米；面积 = 长×宽 = ab 平方米。 2. 爸爸年龄 = n + 28（岁）。 3. x 的 3 倍 = 3x，与 5 的和 = 3x + 5。 4. a 与 2 的差 = a − 2，其一半 = 。 8.2 能力提升 1. 仿照青蛙儿歌，用字母 n 表示 "n 只青蛙" 的嘴、眼睛、腿、扑通声的数量。 2. 报告厅第 1 排有 a 个座位，后一排都比前一排多 2 个，用字母表示第 8 排的座位数。 3. 用火柴棒搭 n 个正方形，共需多少根火柴棒？ 4. 月历中以某数 x 为中心，写出它上、下、左、右四个数。 能力提升 参考答案 1. n 只青蛙：n 张嘴、2n 只眼睛、4n 条腿、n 声扑通。 2. 第 1 排 a 个，每排多 2 个，第 8 排 = a + (8−1)×2 = a + 14，即 a + 14 个。 3. 由例4规律，搭 n 个正方形需 (3n + 1) 根。 4. 上：x − 7；下：x + 7；左：x − 1；右：x + 1。 8.3 拓展挑战 1. 一个两位数的十位数字是 a，个位数字是 b，用字母表示这个两位数。 2. 当 a = 3 时，判断 a² 与 2a 哪个大？并比较它们的大小。 3. 买 m 本单价为 a 元的练习本，共需多少元？ 4. 观察：1 = 1²，1+3 = 4 = 2²，1+3+5 = 9 = 3²，…… 猜想 1+3+5+…+(2n−1) 的结果（n 为正整数）。 拓展挑战 参考答案 1. 十位 a 代表 10a，个位 b 代表 b，两位数 = 10a + b。 2. 当 a = 3 时，a² = 3² = 9，2a = 2×3 = 6。因为 9 > 6，所以 a² > 2a。 3. 总价 = 单价 × 数量 = am 元（或 ma 元）。 4. 由前几项归纳：连续 n 个奇数之和 = n²，即 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²。 九、课堂小结 9.1 要点回顾 1. 意义：用字母表示数使数量关系更简明、更具有一般性（从特殊到一般）。 2. 规范六条：省乘号（数字在前）、字母相乘省乘号、带分数化假分数、除法写分数、相同字母写乘方、和差带单位加括号。 3. 易混点：a² ≠ 2a；带单位加括号；除法写分数；两位数用 10a+b。 4. 规律探索：图形（如火柴棒 (3n+1)）、月历（x±7、x±1、9x）都可以用字母表示一般规律。 5. 字母代表任意数：可正、可负、可为 0，要具体问题具体分析。 9.2 自我检测清单 [ ] 我能说出用字母表示数有哪三点意义。 [ ] 我能默写并运用书写规范六条。 [ ] 我能区分 a² 与 2a、 与 a÷2、(x+2)米 与 x+2米、10a+b 与 ab。 [ ] 我能用字母表示简单的数量关系和规律。 [ ] 我知道一个字母在不同问题中含义可能不同。 十、课后作业 1. 长方形的长是宽的 3 倍，宽为 a（单位：米），求长方形的周长和面积。 2. 一件衣服原价 a 元，打 7 折出售，售价是多少元？ 3. 一架飞机以速度 v 飞行 t 小时，飞行的路程是多少？ 4. 一个数 x 的 2 倍减去 3，用字母怎样表示？ 5. 月历中以数 x 为中心，写出它上、下、左、右四个数。 6. 一个两位数的十位数字是 a，个位数字是 b，用字母表示这个两位数；若 a=3、b=5，这个两位数是多少？ 7. 仿青蛙儿歌，用字母 n 表示 n 只青蛙的嘴、眼睛、腿、扑通声的数量。 8. 用火柴棒搭正方形，搭 n 个正方形需要 (3n+1) 根。若有 100 根火柴棒，最多可以搭多少个完整的正方形？ 课后作业 参考答案 1. 宽 = a，长 = 3a。周长 = 2×(3a + a) = 2×4a = 8a 米；面积 = 3a × a = 3a² 平方米。 2. 7 折即 0.7 倍，售价 = 0.7a 元。 3. 路程 = 速度 × 时间 = vt。 4. x 的 2 倍 = 2x，减 3 = 2x − 3。 5. 上：x − 7；下：x + 7；左：x − 1；右：x + 1。 6. 两位数 = 10a + b；当 a=3、b=5 时，10×3 + 5 = 30 + 5 = 35。 7. n 只青蛙：n 张嘴、2n 只眼睛、4n 条腿、n 声扑通。 8. 由 3n + 1 = 100，得 3n = 99，n = 33。所以最多可搭 33 个完整的正方形（第 33 个恰好用 3×33+1 = 100 根，火柴棒用完）。 学科网（北京）股份有限公司 $