专题01 一元一次方程100道计算题型10大题型（专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程计算，以10类分层题型构建从基础解法到综合应用的训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|约80题|涵盖等式性质应用、简单/复杂方程求解、参数问题等基础技能题型|从概念（等式性质）到解法（去分母/括号等步骤），逐步递进至变式应用| |综合攻坚·知能拔高|约20题|包含绝对值方程、新定义问题等综合题型，融合错解分析与整数解探究|衔接基础解法与逻辑推理，构建“解法-变式-综合”完整计算能力链条|

专题01 一元一次方程100道计算题型 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程100道计算题 题型01 运用等式的基本性质解方程 题型02 解一元一次方程（简单） 题型03 解一元一次方程（复杂） 题型04 一元一次方程相同解问题 题型05 已知一元一次方程的解求参数 题型06 一元一次方程错解、漏解问题 题型07 一元一次方程的整数解问题 题型08 一元一次方程解的无关型问题 题型09 绝对值方程 题型10 一元一次方程的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程100道计算题型 ◆题型01 运用等式的基本性质解方程 1．（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程：． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质把下列方程化为的形式 (1)； (2)． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 5．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 8．（25-26六年级上·全国·单元测试）利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． ◆题型02 解一元一次方程（简单） 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程：． 11．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）解方程： 13．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）解方程： 14．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）解方程 (1) (2) (3) 15．（26-27六年级上·上海·开学考试）解方程． (1) (2) 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）解下列方程： (1)． (2)． ◆题型03 解一元一次方程（复杂） 17．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 18．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 19．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）计算与解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 20．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）解方程． (1)； (2)． 22．（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)=+． 23．（25-26七年级上·全国·期末）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 24．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． ◆题型04 一元一次方程相同解问题 25．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知关于的方程和有相同解，求与这个相同解． 26．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程和的解相同，求的值． 27．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 28．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）若方程和的解相同，求的值． 29．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 30．（25-26七年级上·重庆大足·期末）关于的方程与的解相同，求的值． 31．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）已知关于的方程与的解相同，求的值． 32．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果方程的解与方程的解相同，求的值． ◆题型05 已知一元一次方程的解求参数 33．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 34．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 35．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． 36．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 37．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 38．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 39．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 40．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是_______． ◆题型06 一元一次方程错解、漏解问题 41．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 42．（25-26七年级上·山西晋中·期末）阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题： 解：        （第一步）                 （第二步）                 （第三步）                             （第四步）                             （第五步） (1)第一步的步骤是______，依据是______． (2)从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (3)请写出正确的解方程的过程． (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条建议． 43．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 44．（24-25七年级上·河北沧州·期末）解关于的方程时，小盛同学在去分母的过程中，方程右边的“”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为，则方程正确的解为______． 45．（25-26七年级上·陕西西安·期末）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，等号右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（　　） A． B． C． D． 46．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 47．（25-26六年级上·山东烟台·期末）在解关于的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是_____． 48．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． ◆题型07 一元一次方程的整数解问题 49．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 50．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 51．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数m的和为______． 52．（25-26七年级上·重庆·期末）若关于的方程是一元一次方程，且关于的方程的解为整数，则满足条件的整数的值有________个． 53．（25-26七年级上·重庆·期末）若关于x的方程是一元一次方程，且关于y的方程的解为整数，则满足条件的整数k的值有______个． 54．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为______． 55．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）已知关于x的方程的解是整数，且a为整数，则满足条件所有a值的和为______． 56．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“美好方程”．若关于的方程的解也是关于的方程的解，这两个方程都是“美好方程”，且为正整数，则符合要求的整数的值为___________． ◆题型08 一元一次方程解的无关型问题 57．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）已知：， (1)求的值（结果用化简后含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求a的值； (3)若的值与a的取值无关，求b的值． 58．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在中为常数． (1)若，化简原式； (2)若原式的值与无关，求． 59．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求m的值． 60．（25-26七年级上·福建福州·期中）已知关于的方程的解与无关，则的值是______． 61．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知：． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 62．（25-26七年级上·河南郑州·期末）老师写出一个整式（其中，为常数），然后让同学们给，赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出一组，的数值，计算的结果为，则甲同学给出的，的值分别是________，________； (2)乙同学给出一组，的数值，计算的结果与的取值无关，求的值． 63．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 64．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的二倍，则称这个方程为倍解方程．例如：方程中，．方程的解为，所以方程为倍解方程， (1)若关于x 的一元一次方程是倍解方程，求a 的值； (2)若关于x 的一元一次方程是倍解方程，而代数式 的取值与字母y无关，求a 的值； ◆题型09 绝对值方程 65．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）填空： （1）若，则______． （2）的最小值是______． （3）的最小值是______． （4）已知是常数，若式子的最小值是6，则的值为______． 66．（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 67．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______________． 68．（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： (1)； (2)． 69．（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　） A． B． C． D．或 70．（25-26七年级下·河南南阳·期中）方程的解是（   ） A． B．或 C． D．或 71．（25-26七年级下·福建漳州·期中）阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 72．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． ◆题型10 一元一次方程的新定义问题 73．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）对任意两个有理数，定义如下运算：．若，则，的关系为（   ） A． B． C．或 D．或 74．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 75．（25-26七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为______． 76．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，则的值为__________． 77．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 78．（25-26七年级上·吉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x的方程与是“和一方程”，求m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值． 79．（25-26七年级上·北京丰台·期末）对于有理数，给出如下定义：如果那么称和关于c的相对距离为，如果m和4关于1的相对距离是5，那么m的值为______． 80．（25-26六年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 综合攻坚·知能拔高 81．（26-27九年级上·全国·单元复习）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 82．（26-27七年级上·青海西宁·开学考试）解方程． (1) (2) (3) 83．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 84．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 85．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程． (1) (2) (3) (4) (5) 86．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 87．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）解方程． (1) (2) (3) (4) 88．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知是方程的解，求的值． 89．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 90．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 91．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 92．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． (1)数对，中是“挽手数对”的是_____． (2)若是“挽手数对”，则的值为______． (3)若是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 93．（25-26七年级上·河南郑州·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 94．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 95．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 96．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 97．（26-27七年级·全国·暑假作业）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 98．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 99．（25-26七年级下·山东淄博·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 100．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数25所对应的两点之间的距离；若，则______； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程100道计算题型 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程100道计算题 题型01 运用等式的基本性质解方程 题型02 解一元一次方程（简单） 题型03 解一元一次方程（复杂） 题型04 一元一次方程相同解问题 题型05 已知一元一次方程的解求参数 题型06 一元一次方程错解、漏解问题 题型07 一元一次方程的整数解问题 题型08 一元一次方程解的无关型问题 题型09 绝对值方程 题型10 一元一次方程的新定义问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元一次方程100道计算题型 ◆题型01 运用等式的基本性质解方程 1．（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用等式的性质解一元一次方程，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立．同时除以同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立． （1）根据等式的性质解一元一次方程即可； （2）根据等式的性质解一元一次方程即可； 【详解】（1）解： 方程两边减3，得 ， 化简，得， 方程两边除以，得； （2）解： 方程两边加2，得， 化简，得， 方程两边乘，得． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用等式的性质1，得出，再利用等式的性质1得到，然后合并同类项，再利用等式的性质2求解． 【详解】解：两边同时减3，得：（等式的基本性质1）， 两边同时减，得：（等式的基本性质1）， 合并同类项，得：（合并同类项法则）， 两边同时乘，得（等式基本性质2）． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质把下列方程化为的形式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍是等式． （1）根据等式的性质解方程即可； （2）根据等式的性质解方程即可． 【详解】（1）解：， 两边同时减去8，得， 所以，； （2）解：， 两边同时加上4，， 所以， 两边同时乘以，得， 所以，． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解方程，并检验． (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)是原方程的解 【分析】本题考查利用等式的基本性质解方程，方程的解，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的性质，给等式的两边同时减即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）先根据等式的性质，给方程两边同时加可得，至此，再给方程两边同时乘以即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）解：两边都减8，得． 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边， 左边右边． 所以是原方程的解； （2）解：两边都加上4，得． 即， 两边同乘以，得， 即． 检验：把代入原方程，得左边，右边，左边＝右边． 所以是原方程的解． 5．（24-25七年级上·陕西安康·阶段检测）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键． （1）利用等式的性质，方程两边同时减4，即可求解； （2）利用等式的性质，方程两边同时加3，化简后再同时乘，即可求解． 【详解】（1）解：方程两边同时减4，得：， 得：． （2）方程两边同时加3，得：， 化简，得：， 方程两边同时乘，得． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的性质，每个方程均需利用等式的性质，通过在等式两边同时进行相同的加减乘除运算，逐步将未知数单独放在等式一边，从而得知未知数的值. 【详解】（1）解：两边同时减，得 化简，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时加，得， 化简，得， 两边同时除以，得． （4）解：两边同时减，得， 化简，得， 两边同时减，得， 化简，得， 两边同时乘，得． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的性质解方程，并检验： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 解：两边同减8，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； (2) 解：两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解； (3) 解：两边同加4，得， 化简，得， 两边同乘，得， 化简，得， 将代入方程的左边，得， 方程左、右两边的值相等， 所以是方程的解． 【分析】（1）根据等式的性质1，给等式的两边同时减8即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （2）根据等式的性质2，方程两边同乘以即可得到x的值，最后将x的值代入方程检验即可； （3）先根据等式的性质1，给方程两边同时加4可得，至此，再给方程两边同时除以3即可求出x的值，最后将x的值代入方程检验即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．（25-26六年级上·全国·单元测试）利用等式的性质解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了等式的基本性质：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；熟练掌握等式的性质是解题的关键．结合各方程的特点，根据等式的性质逐一进行变形计算即可． 【详解】（1）解： 两边同时减去，得 ， 解得． （2）解： 两边同乘，得 ， 解得． （3）解： 两边同时减去得， ， 两边同除以得， 解得． （4）解： 两边减去得 ， 解得． ◆题型02 解一元一次方程（简单） 9．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 10．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 11．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2） ． 12．（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）解方程： 【答案】 【分析】先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可进行求解，移项时要变号． 【详解】解： 13．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）解方程： 【答案】 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 14．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 15．（26-27六年级上·上海·开学考试）解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以6，得． （2）解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边都除以，得． ◆题型03 解一元一次方程（复杂） 17．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号、移项、合并同类项，据此求出方程的解即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，可得： ， 移项，可得： ， 合并同类项，可得：． （2）解：， 去分母，可得： ， 去括号，可得：， 移项，可得： ， 合并同类项，可得：， 系数化为，可得：． 19．（25-26七年级上·贵州黔西南·阶段检测）计算与解方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）直接运用有理数的加减运算法则计算即可； （2）直接运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可； （3）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （4）按照“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （5）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可； （6）先化简方程，然后按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ． （5）解：， ，     ， ， ， ． （6）解：， ，     ， ， ， ． 20．（25-26六年级下·山东泰安·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）先把分母化成整数，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （4）先化简方程，然后按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， ． （4）解：， ，     ， ， ， ． 21．（25-26七年级下·浙江宁波·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； 方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 22．（25-26七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)=+． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． 23．（25-26七年级上·全国·期末）解下列方程： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)； (9) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 【分析】一元一次方程的解法：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可，根据方程的形式选择合适的步骤与解法求解． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （3）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （4）解：， 去括号得： 移项得：， 合并得：， 解得：． （5）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （6）解：， ∴， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （7）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （8）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （9）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 24．（25-26六年级下·山东泰安·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 整理得，， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． ◆题型04 一元一次方程相同解问题 25．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知关于的方程和有相同解，求与这个相同解． 【答案】， 【分析】根据题意分别将两个方程的x用a表示出来，根据同解建立方程可解得a，继而可得出x． 【详解】解：由，可得， 由，可得， 因为方程和有相同解， 所以，解得， 将代入，解得. 【点睛】本题考查同解一次方程求参数，解题的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程． 26．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先求出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：解方程， ， ， ， 将代入中，得： ， ， ， 解得． 27．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x的方程的解与的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】先求出方程的解，再把解代入方程进行求解即可. 【详解】解：， ， ， ， ∵关于x的方程的解与的解相同， ∴方程的解为， ∴ ， 解得. 28．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）若方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】先解第一个方程得到 ，再解第二个方程得到 ，由于两个方程的解相同，令 ，解出 的值． 【详解】解：第一个方程 第二个方程 由于两个方程的解相同，则 29．（25-26六年级上·上海·期末）已知关于y的方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出第二个方程的解，再将该解代入第一个方程，通过解一元一次方程即可求出m的值. 【详解】解：由方程 ∵关于y的方程与方程的解相同 ∴将代入得 解得. 30．（25-26七年级上·重庆大足·期末）关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数，先解方程得，再把代入方程中，计算求解m的值即可． 【详解】解：解方程得， ∵关于的方程与的解相同， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）已知关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，先求出中的，再结合与的解相同，则把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵关于的方程与的解相同， ∴将代入，得， ∴ 解得． 32．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数，解一元一次方程等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出方程的解，将解代入方程，求出的值． 【详解】解：方程， 解得：， 将代入， 得， 解得：． ◆题型05 已知一元一次方程的解求参数 33．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于的方程的解是，求的值． 【答案】 【分析】将代入方程，再按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 解得． 34．（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知代数式是关于的一次多项式，若关于的一元一次方程的解是，求的值 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，多项式的次数，解题的关键是理解题意．根据代数式是关于的一次多项式，得出，把代入方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：因为代数式是关于的一次多项式， 所以， 把代入方程中， 可得：， 解得：． 35．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 36．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 37．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）已知方程的解满足，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知一元一次方程的解求参数，绝对值的性质，掌握好相关知识是关键． 先根据绝对值的性质求出的值，再将代入原方程求出的值，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴，即， 将代入方程，得， ， 解得， ∴． 故选：B． 38．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化为，设，则方程为，再根据题意即可得出，从而求出方程的解． 【详解】解：方程可化为， 设， 则方程为， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴， 即关于y的一元一次方程的解为， 故答案为：． 39．（25-26七年级上·安徽阜阳·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________． 【答案】1 【分析】本题考查整体代入法求方程的解，通过变量代换，将关于y的方程转化为与已知方程相同的形式，利用已知方程的解求解． 【详解】解：令，则原方程化为 ． 由得 ， 代入得 ． 整理得． 已知方程的解为， 因此． 即， 解得． 故答案为1． 40．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，则关于y的一元一次方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过整体代换的思想，将第二个方程中的视为一个整体，与第一个方程对比，直接利用已知解求解． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， 且关于的方程可化为， 令，则方程变为，与第一个方程形式相同， 因此，即，解得， 故答案为：． ◆题型06 一元一次方程错解、漏解问题 41．（25-26六年级上·上海杨浦·期末）阅读下面解方程的部分解题过程，并完成相应问题． 解方程：． 解：        （第一步）         （第二步） …… (1)上面过程中有一处错误： 错误的是第_____步，错误的原因是_________________________． (2)把正确的解题过程写下来． 【答案】(1)二， 去分母时，方程右边的5没有乘以6 (2) 解： 把分母化为整数得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）第二步去分母时，方程右边的5没有乘以6，据此可得答案； （2）先把分母化为整数，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：观察可知第二步出现错误，错误原因是去分母时，方程右边的5没有乘以6； （2）略 42．（25-26七年级上·山西晋中·期末）阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题： 解：        （第一步）                 （第二步）                 （第三步）                             （第四步）                             （第五步） (1)第一步的步骤是______，依据是______． (2)从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (3)请写出正确的解方程的过程． (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条建议． 【答案】(1)去分母，等式的基本性质； (2)二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； (3) 解： ； (4)移项要注意变号（答案不唯一）． 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据一元一次方程的解法以及等式的基本性质作答即可； （2）根据去括号法则作答即可； （3）根据一元一次方程的解法和步骤计算即可； （4）根据一元一次方程的解法和步骤作答即可． 【详解】（1）解：第一步的步骤是去分母，依据是等式的基本性质， 故答案为：去分母，等式的基本性质； （2）解：从第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （3）略 （4）略 43．（24-25七年级上·河南郑州·阶段检测）聪聪在解一元一次方程时，在去分母的过程中，漏乘了方程右侧的不含分母项，得到的一元一次方程的解为． (1)请你求出a的值； (2)求出方程正确的解； (3)根据你的学习经验，除了上述错误外，给同学们提出一条关于解一元一次方程的注意事项． 【答案】(1) (2) (3)在移项的过程中要注意变号（答案不唯一） 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）将错就错，按照题干错误方式去分母后，把代入，求出的值； （2）把的值代入方程，按照解方程的步骤进行求解即可； （3）根据解方程的步骤提出注意事项即可． 【详解】（1）解：由题意，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：； （2）解：把代入原方程，得：， 去分母，得：， 移项，合并得：； （3）解：在移项的过程中要注意变号（答案不唯一）． 44．（24-25七年级上·河北沧州·期末）解关于的方程时，小盛同学在去分母的过程中，方程右边的“”漏乘了最小公倍数6，因而求得方程的解为，则方程正确的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了方程的错解问题． 根据小盛的错误去分母过程，得到错误方程，代入错误解求出参数的值，再代入原方程正确求解 【详解】解：小盛去分母时漏乘右边“”，错误方程为， 代入得， 即， 解得； 将代入原方程得， 正确去分母得， 即， 移项得， 解得． 故答案为：． 45．（25-26七年级上·陕西西安·期末）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，等号右边的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则方程正确的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据题意求出的值是解题关键． 把代入得的值，把的值代入原方程，按照解一元一次方程的步骤求出解． 【详解】解：把代入得， ， 解得， 原方程为：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 把系数化为1，得． 故选：B． 46．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则________，该方程正确的解为________． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次方程，正确掌握解法是解题的关键，先根据题意去分母，将代入求出a的值，再将a代回原方程求出方程的解． 【详解】解：∵方程，在去分母时，漏乘方程右边的常数项， ∴去分母得， 将代入，得， 解得， ∴原方程为， 解得 故答案为，． 47．（25-26六年级上·山东烟台·期末）在解关于的方程时，小明在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则方程正确的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，按小明的方法去分母得，把代入求出，则原方程为，然后根据解方程的步骤求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】按小明的方法去分母得：， 将代入得：， 解得：， ∴原方程为， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 原方程正确的解是：， 故答案为：． 48．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得：， 故选：B． ◆题型07 一元一次方程的整数解问题 49．（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知整数满足，则所有满足条件的整数的和是（    ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题利用零点分段法化简绝对值方程，确定x的取值范围，找出范围内所有整数x，再计算它们的和即可． 【详解】解：令得，令得， ∴分三种情况讨论： 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，等式恒成立，故此区间内所有x都满足方程； 当时，，， 原方程化为 ， 化简得，解得， 不满足，此种情况不符合题意； 综上，满足方程的x的范围是， 其中整数为， 计算和得． 50．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于的方程的解为大于4的整数 ，求整数的值 【答案】3或5 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，已知方程的解求参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程得到，再根据方程的解大于4且为整数即可求解． 【详解】解：， 解得， ∵都是整数， ∴为15的因数． ∴， 又∵， ∴=1或3， ∴或5． 51．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于x的方程的解是整数，则满足条件的所有整数m的和为______． 【答案】0 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解，解题的关键是根据整数解确定参数的值． 先求解方程，解得，再根据x为整数，m是整数，可得是5的因数，进而求出m的值即可求出所有m值的和． 【详解】解：， 两边同乘6得： ， 即， 整理得：， 移项得：， 解得：， ∵为整数， ∴是5的因数，即， 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； ∴满足条件的整数为1和， ∴满足条件的所有整数m的和为． 故答案为：． 52．（25-26七年级上·重庆·期末）若关于的方程是一元一次方程，且关于的方程的解为整数，则满足条件的整数的值有________个． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，先根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入关于 y 的方程，根据解为整数求出k的所有可能整数值，并统计个数即可． 【详解】解： 是一元一次方程， ，， 解得：或，， ， 将代入方程，得， 整理得， ， y为整数， 则是8的因数，即， 解得：，共8个整数， 故答案为：8． 53．（25-26七年级上·重庆·期末）若关于x的方程是一元一次方程，且关于y的方程的解为整数，则满足条件的整数k的值有______个． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的解，先根据一元一次方程的定义求出m的值，再代入关于 y 的方程，根据解为整数求出k的所有可能整数值，并统计个数即可． 【详解】解： 是一元一次方程， ，， 解得：或，， ， 将代入方程，得， 整理得， ， y为整数， 则是8的因数，即， 解得：，共8个整数， 故答案为：8． 54．（24-25七年级上·重庆酉阳·期末）已知关于x的方程的解为整数，且k为整数，则满足条件的所有k值的和为______． 【答案】8 【分析】本题考查一元一次方程的解和一元一次方程的解法．先求方程的解得，再由已知可得或，求出k的值即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， 解得， ∵方程的解为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有k值的和为 故答案为：8 55．（24-25七年级上·重庆巴南·期末）已知关于x的方程的解是整数，且a为整数，则满足条件所有a值的和为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．先解含有字母参数a的方程，求出x，再根据关于x的方程的解是整数，列出关于a的方程，解方程求出a，再根据a是整数，求出所有符合条件的a值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于x的方程的解是整数， ∴或或或， 解得：或2或或或3或0或或， ∵a是整数， ∴满足条件所有a值为0或1或2或3， ∴满足条件所有a值的和为：， 故答案为：6． 56．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“美好方程”．若关于的方程的解也是关于的方程的解，这两个方程都是“美好方程”，且为正整数，则符合要求的整数的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解含有参数的一元一次方程，分别解这两个方程得，，由“美好方程”的定义得或，或，进行分类讨论，即可求解；理解新定义，能根据不同取值进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解： 解得：， 解得：， 为正整数， ， ， 这两个方程都是“美好方程”， 或， 或， ①当时，， ， 解得：， 是整数， 不符合题意； ②当时，， ， 解得：， 是整数， 不符合题意； ③当时，， ， 解得：， 是整数， 符合题意； ④当时，， ， 解得：， 是正整数， 不符合题意； ⑤当时，， ， 解得：， 是正整数， 不符合题意； ⑥当时，， ， 解得：， 是正整数， 不符合题意； ⑦当时，， ， 解得：， 是正整数， 不符合题意； 综上所述：； 故答案为：． ◆题型08 一元一次方程解的无关型问题 57．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）已知：， (1)求的值（结果用化简后含a、b的式子表示）； (2)在（1）的条件下，若是方程的解，求a的值； (3)若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据多项式的加减法则，计算即可； （2）根据方程解的定义，把解代入得，求解即可； （3）先计算，根据题意，可得含a的项的系数为0，即，求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， 是方程的解， ， ； （3）， 的值与a的取值无关， ， ． 58．（25-26七年级上·四川乐山·期末）在中为常数． (1)若，化简原式； (2)若原式的值与无关，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，无关型问题，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则． （1）将代入代数式，再去括号，合并同类项求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项，再令含的项前的系数为0，解方程即可． 【详解】（1）解：当时， 原式 （2）解： ， ∵原式的值与无关， ∴， 解得． 59．（25-26九年级下·河北衡水·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)若的值与x的取值无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将A、B代入中进行化简合并， （2）再令x的系数为0解出m值即可． 【详解】（1）解：（1） ． （2）解：∵的值与x的取值无关， ∴， ∴． 60．（25-26七年级上·福建福州·期中）已知关于的方程的解与无关，则的值是______． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将原方程变形为，再根据关于x的方程的解与k无关，则，，分别表示m，n关于x的等式，代入求值即可． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程的解与k无关， ，则， ，， ， 故答案为：12． 61．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知：． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）去括号，合并同类项可得的最简结果； （2）若的值与y的取值无关，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 62．（25-26七年级上·河南郑州·期末）老师写出一个整式（其中，为常数），然后让同学们给，赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出一组，的数值，计算的结果为，则甲同学给出的，的值分别是________，________； (2)乙同学给出一组，的数值，计算的结果与的取值无关，求的值． 【答案】(1)2，2 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解题的关键是正确化简计算． （1）先化简计算，再对比系数得到一元一次方程求解即可； （2）先化简计算，再由计算的结果与的取值无关，得到和前的系数为0，继而得到方程求解，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ∵甲同学给出一组，的数值，计算的结果为， ∴， ∴， 故答案为：2，2； （2）解： ∵计算的结果与的取值无关， ∴， ∴， ∴ 63．（24-25七年级上·全国·期末）已知多项式，． (1)若代数式的值与x无关，求m，n的值． (2)在（1）的条件下，若关于x的方程有无数个解，求a，b的值． (3)在（2）的条件下，关于x的方程有无数个解，求c的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程： （1）根据正数的加减计算法则求出的结果，根据代数式的值与x无关，可得的结果中含x的项的系数都为0，据此求解即可； （2）根据（1）所求得到，则关于x的方程有无数个解，即关于x的方程有无数个解，据此可得，可得； （3）根据（2）所求得到关于x的方程有无数个解，讨论x的取值范围去绝对值，根据方程有无数解进行求解即可． 【详解】（1）解；∵，， ∴ ， ∵代数式的值与x无关， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， ∴， ∴； （3）解：∵关于x的方程有无数个解， ∴关于x的方程有无数个解， 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 当时，则，解得，此时方程只有一个解，不符合题意； 当时，则，解得，即当时，对于任意的x只要满足，都满足，即此时方程有无数解； 综上所述，． 64．（25-26七年级上·湖南怀化·期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的二倍，则称这个方程为倍解方程．例如：方程中，．方程的解为，所以方程为倍解方程， (1)若关于x 的一元一次方程是倍解方程，求a 的值； (2)若关于x 的一元一次方程是倍解方程，而代数式 的取值与字母y无关，求a 的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先整理方程，然后根据倍解方程的概念列方程求解即可； （2）首先整理方程得到，然后根据代数式 的取值与字母y无关求出b的值,然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， 去括号得，， 合并同类项得，， 解得，， ∵关于x 的一元一次方程是倍解方程， ∴， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去括号得，， 合并同类项得，， 解得：， 根据题意得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， ∵代数式 的取值与字母y无关， ∴， ∴， ∴解得， ∴将代入得，， ∴， ∴解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． ◆题型09 绝对值方程 65．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）填空： （1）若，则______． （2）的最小值是______． （3）的最小值是______． （4）已知是常数，若式子的最小值是6，则的值为______． 【答案】 或 【分析】（1）由题意得出或，分别解出即可； （2）分情况：当时；当时；当时；分别化简求出即可； （3）分情况：当时；当时；当时；当时分别化简求出即可； （4）分情况：当时；当时；当时分别化简求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得， 解得方程无解， 故； （2）当时，； 当时，； 当时，； 故的最小值是4； （3）当时，； 当时，； 当时，， 即当时值最小为7； 当时，； 故的最小值是7； （4）当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为4，不符合题意，舍去； 综上所述，则的值为或． 66．（25-26七年级下·重庆万州·期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题： 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 当时，原方程可化为，解得． 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． 灵活运用上面的解题方法解下列方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) 或 (2) 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； ∴原方程的解为或． （2）解：①当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，成立； 把代入得：，成立； ②当时，原方程可化为，解得； 把代入得：，不成立； ∴原方程的解为． 67．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）若，则______________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解即可得到的值． 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 68．（25-26七年级下·全国·单元复习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 69．（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质，若 ，则或，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可； 【详解】解：∵ ∴ 或 当时，移项得 当时，移项得 ∴ 方程的解为或． 70．（25-26七年级下·河南南阳·期中）方程的解是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用绝对值的性质将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴方程两边同乘，得 ， ∴或， 解，得； 解，得． ∴原方程的解为或． 71．（25-26七年级下·福建漳州·期中）阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 72．（25-26七年级下·山西临汾·阶段检测）阅读与思考阅读下列材料，完成后面任务． 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． [例]解方程：． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 任务： (1)解方程：． (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（）仿照题干作答即可； （）对于形如的方程，等价于或，因此，对于方程，可变形为；因此，解方程 ，只需解与 即可. 【详解】（1）解：根据绝对值的意义，得或， 解得或． （2）解：， 原方程可化为， 由绝对值的意义得：或， 解得或． ◆题型10 一元一次方程的新定义问题 73．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）对任意两个有理数，定义如下运算：．若，则，的关系为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算、绝对值的性质和等式的性质，关键是根据新运算的定义将等式转化为绝对值方程，再利用“若，则或”的性质分情况讨论求解．首先根据给定的新运算规则，分别计算出和的表达式，得到关于、的等式；然后根据绝对值的性质分两种情况进行求解，最终得到与的关系． 【详解】解：，； ． 分两种情况： ①当时，移项得， ； ②当时，得； 综上，与的关系为或． 故选：D． 74．（25-26七年级上·重庆潼南·期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，（为常数），已知． (1)求的值： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，解题的关键是准确利用新运算的定义列式和列方程准确计算． （1）根据新运算定义列式计算求解； （2）根据新运算定义先求得，再将值代入到方程中，求解即可． 【详解】（1）解：， ，即， ． （2）解：由（1）可知，， ， 将代入得： ，即， ． 75．（25-26七年级上·浙江台州·期末）定义运算，如．若，且，则的值为______． 【答案】3或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意即可.根据题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：． ∴或 故答案为：3或． 76．（24-25七年级上·四川成都·期末）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”．若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，绝对值方程，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法，绝对值方程的方法是关键． 根据解一元一次方程的方法得到，，再根据“差解方程”的定义得，根据绝对值方程的计算方法即可求解． 【详解】解：关于的方程， 解得，， 关于的方程， 解得，， ∵是“差解方程”， ∴， 整理得，， ∵为正数， ∴等式两边同时除以得，， ∴， ∴或， 解得，或， ∴的值为或， 故答案为：或 ． 77．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则______， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则______． 【答案】 或 【分析】（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； （）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； 本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得；解方程，得， ∵与是“差解方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （）解方程，得；解方程，得， ∵方程与方程是“差解方程”， ∴， 即， 解得或， 故答案为：或． 78．（25-26七年级上·吉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于x的方程与是“和一方程”，求m的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键； （1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解； （2）设另一个方程的解为t，根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， ∵关于x的方程与是“和一方程”， ∴， ∴； （2）解：设另一个方程的解为t， 由题意得，， ∴， ∴或， 解得或． 79．（25-26七年级上·北京丰台·期末）对于有理数，给出如下定义：如果那么称和关于c的相对距离为，如果m和4关于1的相对距离是5，那么m的值为______． 【答案】3或/或3 【分析】先根据定义得到，进而分情况化简绝对值解方程即可求解． 【详解】解：由题意，得，即， ∴或， ∴或， 故答案为：3或． 【点睛】本题考查解绝对值方程，理解题中新定义和绝对值性质，正确列出方程是解答的关键． 80．（25-26六年级上·山东烟台·期末）【阅读材料】 在学习一元一次方程后，数学老师给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程的解，y是关于y的方程的解或所有解的其中一个解，且x，y满足，则称关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”． 例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或．当时，，所以是一元一次方程的“友好方程”． 【问题解决】 (1)已知关于y的方程：①；②．请通过计算说明哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？ (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)②是的“友好方程” (2)或 【分析】本题主要考查新定义下解一元一次方程以及绝对值的应用， 首先解得x的值，再分别求得y的值，进一步判断“友好方程”； 首先求得y的值，再分别求得与其“友好方程”的x的值，进一步求得a即可． 【详解】（1）解：由，解得， 由，解得， ∵， ∴①不是的“友好方程”． 方程的解是或． 当时，，则②是的“友好方程”． （2）方程的解是或． 当时，由题意，得， 将代入，得，解得， 当时，由题意得， 将代入，得，解得． 则a的值为或． 综合攻坚·知能拔高 81．（26-27九年级上·全国·单元复习）解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可； （2）根据去分母、移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项得，． （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，． 82．（26-27七年级上·青海西宁·开学考试）解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 83．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】（1）直接移项计算即可得结果； （2） 先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解； （3）移项合并同类项，系数化为1求解； （4）先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解． 【详解】（1）解：                  ． （2）解： 两边同乘18去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得： ． （3）解： 移项及合并得： 系数化为1得：． （4）解： 两边同乘3去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得：． 84．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 85．（26-27七年级上·全国·课后作业）解方程． (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）按照去分母、移项、合并同类项的步骤解方程即可； （2）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （3）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （4）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （5）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以7去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （4）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （5）解：， 方程两边同乘以35去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 86．（25-26七年级上·四川广元·期末）定义：若，则称与是关于整数的“平衡数”．比如2与是关于的“平衡数”，4与11是关于15的“平衡数”．请回答下列问题： (1)与是关于________的“平衡数”． (2)现有与（为常数），且与始终是整数的“平衡数”，且的大小与取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“平衡数”的定义求解即可； （2）先根据整式的加减法则求出，再根据a与b始终是整数n的“平衡数”，与x取值无关得出关于k的方程，求解后即可得出n的值． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“平衡数” （2）解：∵，， ∴ ， ∵与始终是整数的“平衡数”， ∴，即 ∵的大小与取值无关， ∴， ∴， ∴． 87．（26-27七年级上·河南开封·开学考试）解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 88．（26-27七年级上·全国·课后作业）已知是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义把代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：把代入方程， 可得：， 整理可得：， 解得：． 89．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 【答案】(1) “3，2.5”不是“等效数对” (2) (3) 【分析】（1）计算3与2.5的和与积，对比是否相等，结合“等效数对”定义判断； （2）根据“等效数对”定义列一元一次方程，求解得x的值； （3）将代数式变形为含与的结构，代入整体计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ “3，2.5”不是“等效数对”； （2）解：∵ “”是“等效数对”， ∴， ， ， 解得； （3）解：∵“”为“等效数对”， ∴， ∴ ． 90．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 91．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）计算两式的差，根据n阶关系式的定义直接得到阶数； （2）根据3阶关系式的定义列方程，求解x的值； （3）根据k阶关系式的定义列等式，令含a，b的项系数为0，求m，n后计算k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是的7阶关系式； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 整理，得， 解得 ； （3）解： 由题意得：， 整理得：， ∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且， ∴含a，b的项的系数均为0，即且， 解得， 将，代入，得， 综上所述，． 92．（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． (1)数对，中是“挽手数对”的是_____． (2)若是“挽手数对”，则的值为______． (3)若是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据“挽手数对”的定义分别求解即可； （2）根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程求出的值即可； （3）设这个“挽手数对”为或，根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程分别求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴不是“挽手数对”； ∵，，， ∴是“挽手数对”． （2）解：∵是“挽手数对”， ∴， 解得：． （3）解：∵是“挽手数对”中的一个数， ∴设这个“挽手数对”为或， 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 综上所述：这个“挽手数对”为或． 93．（25-26七年级上·河南郑州·期末）定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：取，， 此时，， ∵， 与不一定相等． 【分析】（1）将，代入新运算定义式计算． （2）根据新运算定义列一元一次方程求解． （3）选取具体有理数代入新运算证明结论． 【详解】（1）解：由新运算定义，代入，得： ； （2）解：根据题意得：， 解得； （3）略． 94．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 解：去分母，得 ，…………………第一步 去括号，得 ，…………………第二步 移项，合并同类项，得 …………………第三步 系数化为1， 得…………………第四步 (1)以上求解过程中，第_________步开始出现错误，具体的错误是_________． (2)该方程正确的解是_________． 【答案】(1)一，去分母时，多项式分子未加括号，错误将变形为，符号错误； (2) 【分析】本题为解一元一次方程的纠错问题，按照解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1，检查原解题过程找出错误，再按正确步骤计算得到方程的正确解即可． 【详解】（1）解： 原方程为．去分母时，给方程两边同乘4，对分子是多项式的需要添加括号，正确形式应为， 因此第一步开始出现错误，错误为去分母时多项式分子未加括号，符号错误． （2）解：， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 95．（25-26七年级下·江苏泰州·开学考试）定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 96．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 97．（26-27七年级·全国·暑假作业）数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 (1)已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，则______． (2)已知，当时，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 (3)已知，，，求的值． (4)关于x的一元一次方程的解为，解关于y的一元一次方程． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）根据题意可得，而时，原式，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去掉括号后，重新分组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）解：∵a，b互为相反数， ， 互为倒数， ， ； （2）解：当时，的值是2023， ， ， 当时， ； （3）解： ∴ ； （4）解：设， 则方程可化为方程， 关于x的一元一次方程的解为， ∴关于m的一元一次方程的解为， ， ． 98．（25-26七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 99．（25-26七年级下·山东淄博·期末）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) 【分析】理解“成双方程”的新定义，先求出已知方程的解，再根据定义得到待求方程的解，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据“成双方程”的定义，所求方程的解为， ∴满足条件的一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解：，解得：， ∵方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程，得， 整理得：， 解得：． 100．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数25所对应的两点之间的距离；若，则______； 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式表示即可； （3）根据数轴上两点之间的距离公式可知，表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $