27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，通过汽车行驶速度与时间、蓄水池排水、矩形面积等生活情境导入，引导学生从实际问题中抽象反比例关系，搭建从反比例函数概念到实际应用的学习支架。 此资料以建模为主线，采用任务驱动与合作探究，结合排水、行程等实例培养数学建模与应用意识，通过图象直观法分析自变量取值范围，助力学生掌握“实际问题→模型→求解”流程，提升解决实际问题能力，为教师提供清晰教学路径与分层练习设计。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.能从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型，并运用反比例函数的图象和性质解决实际问题。 2.经历"实际问题→建立模型→求解→解释应用"的过程，掌握用反比例函数解决实际问题的方法和步骤，提高数学建模能力。 3.在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的密切联系，培养用数学眼光观察和分析现实问题的习惯，增强应用意识。 ★核心素养：数学建模（从实际问题建立反比例函数模型）、数学运算（求解函数值和自变量）、应用意识（用数学解决实际问题） 重点 将实际问题转化为反比例函数模型，利用反比例函数的图象和性质解决问题。 ★关键：找出实际问题中"乘积一定"的等量关系（如路程=速度×时间、工作量=效率×时间、体积=底面积×高） 难点 根据实际意义确定自变量的取值范围，并结合图象分析实际问题中的变化趋势。 ★突破策略：①认真审题，明确变量含义；②根据实际意义列出不等式组确定取值范围；③画出函数图象在第一象限的部分，结合图象分析 教学 方法 建模分析法、图象直观法、讲练结合法、小组讨论法 ★学法指导：审题→建模→求解→检验→作答，注意自变量取值范围要符合实际意义 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.生活情境： ①一辆汽车从甲地到乙地，路程为120km，行驶速度v与时间t之间有什么关系？如果要求2小时到达，速度应为多少？ ②一个蓄水池的总容积为600m³，每小时排水量为x m³，排完水需要的时间y与x之间有什么关系？ ③用一块面积为20m²的矩形铁皮做水箱底面，长x与宽y之间有什么关系？ 2.互动提问：这些问题中的两个变量之间是什么函数关系？你能列出函数关系式吗？ 3.揭示课题：今天我们来学习如何用反比例函数解决实际问题。 任务驱学 任务1：某蓄水池的总容积为600m³，设每小时排水量为x m³，排完水需要y小时。 ①写出y与x的函数关系式；②求当x=50时，y的值；③求当y=10时，x的值。 任务2：甲、乙两地相距120km，设汽车行驶速度为v km/h，行驶时间为t h。 ①写出v与t的函数关系式；②如果要求3小时到达，速度至少为多少？③如果速度不超过40km/h，至少需要多长时间？ 任务3：总结用反比例函数解决实际问题的一般步骤。 【设计意图】通过排水和行程两个典型实际问题，让学生掌握建立反比例函数模型并求解的方法。 二次备课 二、合作探究 探究1 用反比例函数解决实际问题的一般步骤 ①审题：明确已知量和未知量，找出变量之间的关系； ②建模：根据"乘积一定"的等量关系，列出反比例函数关系式y=； ③求解：代入已知量求未知量，或利用函数性质分析变化趋势； ④检验：检验结果是否符合实际意义； ⑤作答：写出答案。 探究2 实际问题中自变量的取值范围 在实际问题中，自变量的取值范围不仅要满足函数解析式（x≠0），还要符合实际意义（通常x>0）。 例如：排水问题中x>0（排水量为正），行程问题中v>0且t>0。 ★深度剖析： ①为什么这些问题是反比例函数？因为存在"乘积一定"的关系：路程=速度×时间（路程一定）、容积=排水速度×时间（容积一定）、面积=长×宽（面积一定）。 ②在实际问题中，函数图象通常只有第一象限的一支（因为x>0，y>0）。 ③利用函数图象可以直观地分析变化趋势：如速度越大，时间越短。 ★易错点提示： ①列函数关系式时要注意变量的实际含义，不要把自变量和因变量搞反； ②求自变量取值范围时，要结合实际意义，不能只考虑x≠0； ③实际问题中的函数图象通常只是双曲线在第一象限的一部分，不要画出完整的两支。 ★数学思想渗透： 数学建模思想：将实际问题转化为数学问题（反比例函数模型）； 函数思想：用函数的观点分析变量之间的依存关系和变化规律； 数形结合思想：结合函数图象分析实际问题中的变化趋势。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，一个蓄水池的总容积为600m³，设每小时排水量为x m³，排完水需要y小时。 （1）求y与x的函数关系式； （2）当每小时排水50m³时，需要多少小时排完？ （3）如果要求在12小时内排完，每小时至少排水多少立方米？ 解：（1）由容积=排水速度×时间，得xy=600，所以y=（x>0）。 （2）当x=50时，y==12（小时）。 （3）要求y≤12，即≤12，因为x>0，两边乘x得600≤12x，解得x≥50。 所以每小时至少排水50m³。 【方法总结】解决实际问题的关键是建立函数模型，然后利用函数关系式或不等式求解。 图1 蓄水池排水问题 例2 如图2，甲、乙两地相距120km，设汽车行驶速度为v km/h，行驶时间为t h。 （1）求v与t的函数关系式； （2）如果要求2.5小时到达，速度应为多少？ （3）如果速度不超过60km/h，至少需要多长时间？ 解：（1）由路程=速度×时间，得vt=120，所以v=（t>0）。 （2）当t=2.5时，v=.5=48（km/h）。 （3）要求v≤60，即≤60，因为t>0，解得t≥2。所以至少需要2小时。 【方法总结】行程问题中路程一定时，速度与时间成反比例。注意解不等式时不等号方向的变化。 图2 路程一定时速度与时间的关系 例3 某矩形的面积为20cm²，设长为x cm，宽为y cm。 （1）求y与x的函数关系式； （2）如果长不超过5cm，那么宽至少为多少？ 解：（1）由面积=长×宽，得xy=20，所以y=（x>0）。 （2）要求x≤5，因为y=在x>0时y随x增大而减小，所以当x=5时y最小，y==4（cm）。 所以宽至少为4cm。 【方法总结】利用反比例函数的增减性可以求最值，注意"在每个象限内"的前提，实际问题中x>0只有一支。 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生展示例1、例2的解答，小组互评步骤是否完整； 2.讨论：用反比例函数解决实际问题时，为什么要特别注意自变量的取值范围？（因为实际问题中变量有实际意义，如时间、速度、长度都不能为负） 3.教师强调： ①建立模型的关键是找"乘积一定"的等量关系； ②解不等式时要注意自变量的正负对不等号方向的影响； ③实际问题的函数图象通常只有第一象限的一支。 ★拓展思考：你能举出一个生活中反比例函数的例子吗？列出函数关系式并提出一个问题。（提示：压力一定时压强与受力面积、总价一定时单价与数量等） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：路程s一定时，速度v与时间t的函数关系式为____，自变量t的取值范围是____。 2.判断：矩形面积一定时，长与宽成正比例关系。（　） 3.选择：某工厂现有原材料200吨，每天用x吨，可用y天，则y与x的函数关系式为（　） A.y=200x B.y= C.y= D.y=200+x 4.解答：如图1，若蓄水池容积改为800m³，要求在10小时内排完，每小时至少排水多少立方米？ （答案：由xy=800，y≤10，得x≥80，每小时至少排水80m³） 5.拓展：一个三角形的面积为12cm²，设底边长为x cm，高为y cm。若底边长不超过6cm，求高的最小值。 （答案：由()xy=12得xy=24，y=，x≤6时y≥4，高最小为4cm） 【分层设计】1-3题为基础题，4题为中档题，5题为稍难题 二次备课 课 堂 小 结 1.建模步骤：审题→找"乘积一定"→列y=→求解→检验→作答。 2.常见模型：路程一定（v=）、容积一定（t=）、面积一定（y=）、工作量一定（t=）。 3.取值范围：实际问题中通常x>0，图象只有第一象限一支。 4.不等式求解：注意自变量正负对不等号方向的影响。 5.最值问题：利用反比例函数增减性求解。 6.数学思想：数学建模、函数思想、数形结合。 ★知识网络：实际问题→乘积一定→反比例函数模型→图象（第一象限）→求解、不等式→实际答案 课后 作业 1.必做：课本27.3.1练习第1、2题；习题27.3第1、2题。 2.选做： ①某商场销售一批商品，总价为10000元，设单价为x元，销量为y件，写出y与x的函数关系式，并求当单价为100元时的销量； ②思考：如何根据实际情境判断应该用哪种函数模型（正比例、一次、反比例）？（预习下节课） 3.预习：阅读课本27.3.2，学习如何选择合适的函数模型。 板 书 设 计 27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 一、建模步骤：审题→建模→求解→检验→作答 二、关键：找"乘积一定"的等量关系 三、常见模型： 行程：v=（s一定） 排水：t=（V一定） 面积：y=（S一定） 四、取值范围：x>0，图象在第一象限 五、不等式：注意不等号方向 六、数学思想：建模、函数、数形结合 课 后 反 思 教学反思 1.通过排水和行程两个贴近生活的例子，学生容易理解反比例函数的实际应用。 2.建立函数模型的关键"乘积一定"通过多个例子反复强化，学生掌握较好。 3.解不等式时不等号方向的变化是易错点，需要提醒学生注意x>0的前提。 4.实际问题中自变量取值范围学生容易忽略，通过例1第(3)问强化了这一点。 5.部分学生在列函数关系式时会搞反自变量和因变量，需要强调审题。 6.改进方向：可增加更多不同类型的实际问题（如物理中的压强、电学中的欧姆定律），拓宽学生视野。 学科网（北京）股份有限公司 $