27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

年级组

九年级

学科组

数学

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授课教师

授课时间

课  题

27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）

课   型

新授课

教学

目标

1.能从实际问题中抽象出反比例函数关系，建立反比例函数模型，并运用反比例函数的图象和性质解决实际问题。

2.经历"实际问题→建立模型→求解→解释应用"的过程，掌握用反比例函数解决实际问题的方法和步骤，提高数学建模能力。

3.在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的密切联系，培养用数学眼光观察和分析现实问题的习惯，增强应用意识。

★核心素养：数学建模（从实际问题建立反比例函数模型）、数学运算（求解函数值和自变量）、应用意识（用数学解决实际问题）

重点

将实际问题转化为反比例函数模型，利用反比例函数的图象和性质解决问题。

★关键：找出实际问题中"乘积一定"的等量关系（如路程=速度×时间、工作量=效率×时间、体积=底面积×高）

难点

根据实际意义确定自变量的取值范围，并结合图象分析实际问题中的变化趋势。

★突破策略：①认真审题，明确变量含义；②根据实际意义列出不等式组确定取值范围；③画出函数图象在第一象限的部分，结合图象分析

教学

方法

建模分析法、图象直观法、讲练结合法、小组讨论法

★学法指导：审题→建模→求解→检验→作答，注意自变量取值范围要符合实际意义

教学过程设计

教

学

过

程

及

方

法

目标导学

二次备课

一、情境导入

1.生活情境：

①一辆汽车从甲地到乙地，路程为120km，行驶速度v与时间t之间有什么关系？如果要求2小时到达，速度应为多少？

②一个蓄水池的总容积为600m³，每小时排水量为x m³，排完水需要的时间y与x之间有什么关系？

③用一块面积为20m²的矩形铁皮做水箱底面，长x与宽y之间有什么关系？

2.互动提问：这些问题中的两个变量之间是什么函数关系？你能列出函数关系式吗？

3.揭示课题：今天我们来学习如何用反比例函数解决实际问题。

任务驱学

任务1：某蓄水池的总容积为600m³，设每小时排水量为x m³，排完水需要y小时。

①写出y与x的函数关系式；②求当x=50时，y的值；③求当y=10时，x的值。

任务2：甲、乙两地相距120km，设汽车行驶速度为v km/h，行驶时间为t h。

①写出v与t的函数关系式；②如果要求3小时到达，速度至少为多少？③如

二次备课

果速度不超过40km/h，至少需要多长时间？

任务3：总结用反比例函数解决实际问题的一般步骤。

【设计意图】通过排水和行程两个典型实际问题，让学生掌握建立反比例函数模型并求解的方法。

二、合作探究

探究1  用反比例函数解决实际问题的一般步骤

①审题：明确已知量和未知量，找出变量之间的关系；

②建模：根据"乘积一定"的等量关系，列出反比例函数关系式y=；

③求解：代入已知量求未知量，或利用函数性质分析变化趋势；

④检验：检验结果是否符合实际意义；

⑤作答：写出答案。

探究2  实际问题中自变量的取值范围

在实际问题中，自变量的取值范围不仅要满足函数解析式（x≠0），还要符合实际意义（通常x>0）。

例如：排水问题中x>0（排水量为正），行程问题中v>0且t>0。

★深度剖析：

①为什么这些问题是反比例函数？因为存在"乘积一定"的关系：路程=速度×时间（路程一定）、容积=排水速度×时间（容积一定）、面积=长×宽（面积一定）。

②在实际问题中，函数图象通常只有第一象限的一支（因为x>0，y>0）。

③利用函数图象可以直观地分析变化趋势：如速度越大，时间越短。

★易错点提示：

①列函数关系式时要注意变量的实际含义，不要把自变量和因变量搞反；

②求自变量取值范围时，要结合实际意义，不能只考虑x≠0；

③实际问题中的函数图象通常只是双曲线在第一象限的一部分，不要画出完整的两支。

★数学思想渗透：

数学建模思想：将实际问题转化为数学问题（反比例函数模型）；

函数思想：用函数的观点分析变量之间的依存关系和变化规律；

数形结合思想：结合函数图象分析实际问题中的变化趋势。

教

学

过

程

及

方

法

激思展学

例1  如图1，一个蓄水池的总容积为600m³，设每小时排水量为x m³，排完水需要y小时。

（1）求y与x的函数关系式；

（2）当每小时排水50m³时，需要多少小时排完？

（3）如果要求在12小时内排完，每小时至少排水多少立方米？

解：（1）由容积=排水速度×时间，得xy=600，所以y=（x>0）。

（2）当x=50时，y==12（小时）。

二次备课