27.3实际问题与反比例函数(2)教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦实际问题与反比例函数的应用，通过工程（如速度与时间）、物理（如力与位移、气体压强与体积）情境例题导入，衔接反比例函数概念与性质，搭建从具体情境抽象模型到解决问题的学习支架。 特色在于立足跨学科实例，培养数学眼光（从物理情境抽象变量关系）、思维（结合图象分析取值范围的推理）、语言（建立近似模型描述规律），如合作探究中通过散点图选择反比例函数模型并检验，提升学生应用意识，为教师提供分层教学改进方向与实用案例。

第27章反比例函数 第5课时：27.3实际问题与反比例函数(2)教学设计 一、素养目标 1.能从工程、物理情境提炼变量关系，抽象出反比例函数模型，规范列出解析式； 2.结合函数图象性质分析取值范围，严谨计算、检验实际问题结果； 3.借助函数解决实际问题，体会数形结合，增强运用数学解决生活问题的意识.. 二、教学重点、难点 重点：结合反比例函数的图象解决实际问题 难点：根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 三、教学过程 1.例题讲解 例3 在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m)，则力F所做的功W(单位：J)满足W＝Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. 解：(1)由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m，此时F所做的功 W＝Fs＝10×50＝500(J) (2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系. 由(1)可知其解析式为 (3)将s＝100代入，可得F＝5(N) 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m，力F要大于5N. 例4 在一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单位：km/h)与行驶全程所用时间t(单位：h)的函数关系如图所示，其中60≤v ≤120. (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由 上图可知，当t＝2时，v＝120，于是有.当v＝60时，由得t＝4. 因为60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. (2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间h，代入，可得v＝90(km/h)； 若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t＝3h，代入，可得v＝80(km/h). 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80≤v≤90. 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型.面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 2.合作探究 电某物理实验小组研究气体的压强p(单位：kPa)与体积V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据. 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 分析：由表可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图. 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近 所有这些点.可以发现，图中的曲线形似双曲线的一支， 因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V 之间的关系. (2)建立模型.设函数解析式为(V＞0)，根据上表中的数据，分别求出k的值，列出下表. 计算所有k值的平均值，得 k＝(2000＋2016＋1968＋2030＋1956＋2010)≈1997 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型 (3)检验模型.将已知数据代入，或画出函数的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. (4)求解问题.将p＝132代入，得，解得V＝≈15.13(mL) 因此，当压强为132kPa时，气体的体积约为15.13mL. 3、课堂练习：回顾“探究”，回答以下问题： (1)表中的有些数对只能近似满足函数解析式(V＞0)，即图中的点并没有完全落在函数 的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ (2)结合“探究”和问题(1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. 解：(1)以往所学的函数模型，通常是数据能精确满足函数解析式(即点完全落在函数图象上)，属于精确建模；而此处是通过观察散点分布，选择反比例函数来近似描述实际关系，数据只是近似满足函数解析式，属于近似建模(或拟合建模). (2)①收集数据；②绘制散点图；③建立模型；④检验模型；⑤求解问题. 四、课堂检测 1.近视眼镜镜片的度数y(单位：度)是关于镜片焦距x(单位：m)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式； (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距. 2.收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节.某用电器内置可变电阻R的范围为110～220Ω，电压U为220V.已知功率，回答下列问题： (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？ (2)这个用电器的功率P的范围是多少？ 参考答案： 1、 （1）y= 2、 (2)0.2m 2、 （1）p= (2)这个用电器的功率P的范围是220到440w之间。 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本节课依托物理、工程实例讲解反比例函数实际应用，学生能建立函数模型，但部分学生忽略自变量实际取值范围，数形结合分析能力薄弱。课堂例题梯度不足，缺少分层练习，学困生难以结合图象解读数量变化规律。后续教学需增设分层习题，强化取值范围辨析，多借助图象直观演示变量变化，增加小组合作探究，引导学生自主梳理解题思路，提升综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $