2.1 函数的概念及其表示 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数概念核心要素，以定义域、解析式、值域、分段函数为逻辑主线，通过分层题型构建从概念理解到综合应用的训练体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础知识梳理|4点核心概念|函数定义、三要素、表示法、分段函数|概念生成基础，构建函数认知框架| |定义域|17题（选择/填空/解答）|定义域求解、参数范围、概念辨析|三要素起点，强化集合与对应关系理解| |解析式|18题（选择/填空/解答）|解析式求法（待定系数/换元等）、函数相等判断|对应关系核心，连接概念与运算| |值域|19题（选择/填空/解答）|值域求解、参数范围、函数性质应用|三要素延伸，体现函数取值规律| |分段函数|23题（选择/填空/解答）|单调性、零点、方程解问题|特殊形式综合应用，深化函数整体性认知|

2.1 函数的概念及其表示 基础知识梳理 1.函数的有关概念 函数的定义 一般地,设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数按照某种确定的对应关系在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数 函数的记法 叫做自变量,与的值相对应的值叫做函数值 定义域 的取值范围叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 2.函数的三要素 （1）函数的三要素:定义域、对应关系、值域. （2）如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 解析法、列表法、图象法. 4.分段函数 （1）定义:在函数定义域内,对于自变量x取值的不同区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数. （2）相关概念:分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. （3）分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数,各部分函数的定义域不可以相交. 题型一 函数的定义域 1．函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】直接由对数函数及幂函数的性质列不等式组，再解不等式组可得. 【详解】要使函数有意义，则， 由，得，解得或； 由，得，解得或. 因此不等式组的解集为或. 所以函数的定义域为或. 2．下列说法错误的是（ ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 【答案】D 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由抽象函数定义域的性质即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由基本不等式即可求解D． 【详解】由，解得，则的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，故函数与是相同的函数，故A正确，不符合题意； 由，得，所以的定义域为，故B正确，不符合题意； 因 ，所以，故C正确，不符合题意； 因， 当且仅当时取等号，因方程无解，等号不成立，故D错误，符合题意． 3．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 5．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数定义域的求法求解即可. 【详解】设，则可化为. 因为定义域为，即，则中的， 即，解得. 所以的定义域为. 6．若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需同时满足内层函数的定义域要求和分母不为零两个条件. 【详解】已知的定义域为，则. 对于，则，解得：. 又因为，即：. 所以函数的定义域. 7．已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. 8．函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 9．(多选)下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 【答案】ACD 【分析】A.求复合一次函数解析式，采用待定系数法，对比等式两边系数列方程组求解；B.对数函数的值域由真数的取值范围决定，当真数可取全体正实数时，对数值域为； C.抽象函数定义域抓住：括号内整体的取值范围不变；D.复合对数函数单调区间，优先求定义域，再利用 “同增异减”，结合二次函数单调性判断. 【详解】 选项A：设一次函数，则， 与对应系数相等，得，解得或，即或，A正确； 选项B：函数定义域满足，解得或，令， 则的取值范围是，在时值域为，不是，B错误； 选项C：的定义域为，即，得，即的定义域为， 对，需满足，，故的定义域为，C正确； 选项D：函数定义域满足，解得或，令，则是增函数， 根据复合函数“同增异减”，则需找的单调减区间，因为图象开口向上，对称轴为， 结合定义域，则在单调递减，所以函数的单调递减区间是，D正确. 10．(多选)下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为 ，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 11．(多选)下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 【答案】BC 【详解】选项A,分式不等式等价于， 解得,故A错误； 选项B，已知定义域为，则满足，解得，故B正确； 选项C，由二次根式有意义得，即， 因此： ，故C正确。 选项D，设一次函数， 则， 可得方程组： ，解得或， 即或，故D错误. 12．函数的定义域是_________. 【答案】 【详解】由题意得，解得或， 故定义域为 13．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】利用分母不等于0建立限制条件，借助绝对值三角不等式的等号成立条件解不等式即可求得结果. 【详解】由题可得 ， 由绝对值三角不等式得，当且仅当等号成立， 因此 ，所以，即， 因此函数定义域为. 14．若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 16．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】将问题转化为对任意都恒成立. 【详解】函数 的定义域为，则对任意恒成立， 当时，不是恒成立， 当时，则,解得：， 所以实数的取值范围是. 17．（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据分式、根式及指数幂的性质求定义域即可； （2）问题化为在上恒成立，分类讨论研究恒成立，即可得. 【详解】（1）由函数解析式知， 故函数的定义域为； （2）由函数的定义域为，即在上恒成立， 当时，显然，满足要求， 当时，只需恒成立，则， 综上，的取值范围为. 18．已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 题型二 函数的解析式 1．若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用配凑法分析可得出函数的解析式，需要注意定义域. 【详解】因为 ，且， 以代换，得，因此． 2．是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，依次代入特殊值，，，联立方程组，即可求出. 【详解】令，则①， 令，则②， 令，则③， 令，则④， 联立③④，解得，，将代入②，解得， 再将代入①，解得. 3．设定义在上的函数满足，且存在，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先由构造方程组求得，再将不等式转化为成立，进而用导数判断可得. 【详解】由——①，以替换x得——②， ①②两式联立，解得. 又因为，且由得代入后， ，，所以， 令，则， 当或时，；当时，. 所以在，上单调递增，在上单调递减，， 所以 ， 所以由得，或. 所以要使成立，即恒成立，如图：    所以的最大值为. 故选：A. 4．(多选)下列说法正确的是（   ） A．已知是一次函数且，则 B．与表示同一个函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 【答案】ABD 【分析】根据待定系数法求解函数解析式判断A；根据同一函数及对数函数的定义判断B；根据抽象函数的定义域判断C；根据函数的定义即可判断D． 【详解】A，因为是一次函数，可设， 所以，即， 所以解得所以，A正确； B，与的定义域均为， 又， 所以对应关系相同，定义域也相同，故表示同一个函数，故B正确； C，函数的定义域为， 由，得，则函数的定义域为，故C错误； D，由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确． 5．(多选)下列说法正确的有（    ） A．若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B．函数的定义域是 C．函数的值域为 D．已知是一次函数且，则 【答案】AB 【分析】对于A，根据一元二次不等式恒成立的条件求解即可；对于B，根据函数有意义的条件即可求出定义域；对于C，求出，进而求出函数的值域；对于D，利用待定系数法即可求出的解析式. 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 由于是二次不等式，所以， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为，故A正确； 对于B，令，解得且， 所以函数的定义域是，故B正确； 对于C，，故， 所以函数的值域为，故C错误； 对于D，因为是一次函数，故设， 由题意得，， 即， 所以，解得， 所以，故D错误. 6．(多选)下列说法正确的是（     ） A．若的定义域为，则定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为定义域为， 对于函数，则，解得， 即定义域为，故A正确； 对于B，， 因为，所以，即函数的值域为.与选项给出的范围不符，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 将替换成得②，由①②，得，所以，故D正确. 7．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得①. 设的根为， 则， 所以②， 又由已知得③， 由①②③解得， 所以. 8．设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【分析】利用题目条件构建函数结合，求出值后代入即可求出. 【详解】由， 可得： 代入， 所以. 故答案为： 9．已知，则___________________． 【答案】 【分析】利用换元法求函数的解析式，即可得出的表达式. 【详解】令，则, 由，得, 所以，即. 10．若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 11．设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 12．已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）已知是二次函数，设，因 解得，故. （2）当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是； ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是. 综上，函数的最小值为. 13．已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法设一次函数，复合展开后对比系数列方程，再用单调性筛根. （2）整理不等式，再分类讨论，时，直接验证，时，用基本不等式求分离后函数的最小值，得到参数范围. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 又在上单调递减，所以， 因此． （2）由（1）得， 则题干可转化为不等式在时恒成立． 当时，，为任意值时都满足题意. 当时，不等式可化为在时恒成立， ，当且仅当，即时，等号成立， 因此，     所以，即实数的取值范围为． 14．已知函数. (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法求出即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）将函数改写成关于的函数，利用函数单调性解不等式可求出的取值范围为. 【详解】（1）设，， 由可得， 即，所以， 解得或， 因此或. （2）由题可知，不等式在时恒成立. 显然当时，为任意值时都满足题意； 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为. （3）令，， 因为，所以. 要使在上恒成立，则， 即，解得，即； 因此使的取值范围为. 15．已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【详解】（1）取，得． （2）由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． （3）由题意得，故，解得， 又因为，因此． 16．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 17．已知函数． (1)求的解析式； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）应用换元法计算求解解析式； （2）根据二次函数单调性计算函数值域. 【详解】（1）令，则， 所以，则． （2）． 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值． 故在上的值域为． 18．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 题型三 函数的值域 1．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的值域求出AD选项中函数的值域，利用基本不等式可求出B选项中函数的值域，利用复合函数法可求出C选项中函数的值域. 【详解】对于A选项，函数的值域为，A不符； 对于B选项，当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的值域为，B不符； 对于C选项，因为，则，即函数的值域为，C不符； 对于D选项，对于， 因为可得，则，则， 即函数的值域为，D符合. 2．下列函数，值域为R的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定各函数的值域然后判断. 【详解】的值域是，的值域是R，的值域是，的值域是， 故选：B. 3．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查函数定义域和值域的概念以及函数图象的平移变换，解题的关键在于理解函数图象平移对定义域和值域的影响. 【详解】函数的图像向右平移1个单位长度得到函数的图像，故定义域为，值域不变； 故选：D 4．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的值域为可得有解，从而有，即可得实数的取值范围. 【详解】函数的值域为， 则有解，所以，解得或， 故实数的取值范围为. 故选：B. 5．函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】讨论二次项系数，要使值域为，可得，解不等式组即可求解. 【详解】当时，，则恒成立，显然不符合题意； 要使函数的值域为， 需使，解得. 故的取值范围是. 故选：D 6．若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的值域为，得到不等式求解的取值范围. 【详解】当时，，值域为，不满足题意，故， 因为的值域为，所以， 解得，即的取值范围是. 故选：D. 7．(多选)已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则 ，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则 ，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 8．(多选)已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．且， C．函数在上单调递减 D．当时，函数的值域为 【答案】ABD 【分析】根据定义域的判断依据可求解A选项；将代入函数的解析式可判断B选项；将函数分离常数后借助反比例函数的性质可判断C选项；利用函数的单调性即可判断D选项. 【详解】对于A，由，得，即函数的定义域为，故A正确； 对于B，且，，故B正确； 对于C，因为在和上单调递减， ， 所以函数在和上单调递减，但在定义域上不单调，故C错误； 对于D，由C选项知，函数在上单调递减，又，所以函数的值域为.故D正确. 故选：ABD. 9．（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 10．(多选)已知函数，则（     ） A．为偶函数 B．，有 C．的值域为 D．，不等式恒成立 【答案】ACD 【分析】对于A，由函数奇偶性定义判断即可；对于B，代入计算即可判断；对于CD，判定函数单调性，根据单调性计算即可判断. 【详解】， 对于A，因为函数定义域为关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于CD，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为，当时，，，， 又因为函数为偶函数，所以，，故CD正确. 11．函数的值域为_____． 【答案】 【详解】使用二倍角公式 ，将原函数化为 ， 整理为关于 的二次函数， 令 ，可知 ， 因此， 易知该抛物线的对称轴为， 因此函数 在区间 上是单调递减的， 所以函数最大值在 处取得，即 ， 最小值在 处取得，即 ， 因此，该函数的值域为 ． 12．若函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】令，由题意得出的值域为，结合的值域即可求解． 【详解】令， 函数的值域为， 的值域为， 的值域为， ， 故实数的取值范围为：， 故答案为：． 13．若函数的值域为，则__________. 【答案】7 【分析】利用基本不等式进行分析，由此列方程，从而求得. 【详解】因为， 当且仅当，即时等号成立， 依题意，，得. 故答案为： 14．已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 【答案】(1) (2) 值域. 【分析】（1）设，利用待定系数法，求出a，b的值，根据，可得c值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，分别求出和的解析式，根据一次函数的单调性，可得的值域，作出图象即可. 【详解】（1）由题意，设， 则， 整理得，即， 则，解得， 又，所以. （2）由（1）得，定义域为R， 当时，，单调递减，所以； 当时，，单调递增，所以， 综上，的值域为， 的图象如图， 15．求的最大值 【答案】 【分析】构造对偶式，设，根据求出的最大值. 【详解】设， 则，， ，当且仅当时等号成立， 所以. 16．求函数的最值． 【答案】最小值为，无最大值 【分析】先对函数解析式进行化简变形，然后结合对勾函数性质以及基本不等式，即可求得结果. 【详解】由， 因为，由对勾函数的性质知， 令，则有， 因为，所以， 当且仅当，即，即，即时取等， 所以函数的最小值为，无最大值． 17．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若，求函数的最大值； (3)若函数在上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用对数型复合函数有意义列式求出定义域. （2）利用指数函数、对数函数单调性确定函数单调性，进而求出最大值. （3）确定函数的单调性，由已知可得方程有两个不等的正根，进而转化为直线与函数图象交点问题求解. 【详解】（1）函数有意义，，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数，函数在上单调递增， 函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减，当时，，， 所以函数的最大值为. （3）由（2）知，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，得，则是方程， 即的两个不等的正根， 因此方程，即有两个不等的正根， 令，则直线与函数的图象有两个交点， 函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，因此， 所以实数的取值范围是. 18．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 19．（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据函数解析式列出函数需满足的不等式，结合对数函数单调性，即可求得答案； （2）利用换元，令，将化为关于t的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案； （3）利用换元，令，将化为关于u的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）函数需满足，即， 解得，故函数的定义域为； （2）令，则，则， 故即为，而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，为，无最小值， 故函数的值域； （3）， 令，则，即为， 而， 则在上单调递减，在上单调递增， 故在时取最小值，无最大值， 故函数的值域为. 题型四 分段函数 1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数在全体实数单调递增，则每一段自身必须分别单调递增，且左边分段右端极限值 ≤ 右边分段起点函数值. 【详解】在上单调递增，需要同时满足 3 个条件： 指数部分递增：, 对数部分递增：底数, 分段衔接处：,所以， 联立以上三个不等式求交集，得的取值范围是 2．已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可. 【详解】当时，，则， 又∵是奇函数，∴，即， 即， 当时，二次函数，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为， 当时，二次函数，开口向下，对称轴为， 故单调递增区间为， 综上所述，的单调递增区间为. 3．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 4．已知函数（，）在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据已知在上单调递增，单调递增，所以， 根据复合函数单调性在区间单调递增， 所以()单调递增，现在分段函数在每个分段上都是单调递增， 如果要保证在上单调递增，还要满足，即， 即，所以，解得或，由于，所以. 5．设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先换元令，分和求解外层不等式，再分段对和解内层不等式，取并集即可得到解集. 【详解】令，则不等式转化为. 当时，则，所以； 当时，则，解得， 综上：或，即或. 对于： 当时，则有， 所以； 当时，则有，即，无解； 对于： 当时，则有，所以； 当时，则有，即，所以， 综上，不等式的解集是. 6．设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题中函数解析式, 当时,, 所以当时,是周期为2的函数, 所以. 7．已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出函数的图象，采用数形结合判断即可. 【详解】作出分段函数的图象如下： 结合图象可知，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是. 8．定义在上的连续函数满足：对任意，，且当时，，若函数恰有3个不同的零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知判断函数的对称性，再根据解析式画出的草图，把函数恰有3个不同的零点的问题转化为图像交点问题，再利用导数求切线斜率，找到临界状态，求解即可. 【详解】由可知图像关于对称，所以关于对称.草图如下： 直线图像过原点，当即时，与的图像有1个交点， ，设过原点与相切的直线为，切点为， 有，联立得， 所以斜率，当即时，与的图像有2个交点， 因为函数恰有3个不同的零点，令即有3个不同的解， 即的图像与的图像有3个不同的交点，所以. 9．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 10．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数是定义在上的减函数，除了两段函数均为单调递减，还要考虑点要在点上方或两点重合. 【详解】若函数，是定义在上的减函数， 则解得 ， 所以的取值范围为. 11．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可得. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以斜率需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 12．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】画出函数的图象，如图： 因为关于的方程恰有3个不同的实数解， 不妨设，则，根据二次函数的对称性可得， 所以，即的取值范围是. 13．已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】采用换元法由外向内逐层求解，先计算出外层函数的值，再结合分段函数的定义域分别解出内层变量并验证即可. 【详解】令，则原方程转化为， 若， 则，，即，矛盾，因此该情况舍去， 若， 则， 则有，即，解得， 或，即，解得， 因此或， 当时， 若，则有，即，解得，因此该情况舍去， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 当时， 若，则有，即，解得， 若，则有， 则，即，解得， 或，即，解得， 综上，可能的取值为共个 14．已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，令函数，求出的最大值，就可求出的取值范围. 【详解】因为在上恒成立，所以在上恒成立， 令函数，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故D正确. 15．(多选)下列判断正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数则 C．计算： D．已知函数的定义域为A，函数，的值域为B，则等于 【答案】ABC 【分析】利用同一函数的定义判断A项；根据分段函数式由内到外求值判断B项；利用对数的运算性质计算判断C项；利用根式有意义和对数函数的单调性计算判断D项. 【详解】对于A，因与定义域，对应关系与值域均相同，故是同一个函数，即A正确； 对于B，因，即，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由有意义，可得，，解得，即， 又因在上单调递增，故其值域为，则，故D错误. 16．(多选)已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】ABD 【详解】当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，A正确； 当时，的图象如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，B正确； 当时，图像如下所示： 由图可知，不存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，C错误； 当时，图像如下所示： 由图可知，存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，D正确. 17．若函数，则__________. 【答案】1 【分析】利用递推关系式变形推出函数周期，计算2026对周期的余数，转化为求较小自变量的函数值. 【详解】由，得，两式相加得， 即 ，所以 ，所以. ，，，， ，，， . . 18．设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的整数解，则等于________. 【答案】5 【分析】应用数形结合得出值域，再换元结合函数的对称性得到根的情况计算求解. 【详解】函数的图象如图所示： 函数的值域为， 令，则方程，可化为，若此方程无正根，则方程无根， 若此方程有一个非1的正根，则方程有两根； 若此方程有一个等于1的正根，则方程有三根； 此时， 若此方程有两个非1的正根，则方程有四根； 若此方程有一个非1，一个等于1的正根，则方程有五根； 综上. 19．已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 【答案】5 【分析】根据的解析式求出中的值，然后再求出的值. 【详解】当时， ，不符合题意； 当时， ， 即， 解得或. 当时， 若，，舍去； 若，， 解得或者； 当时 若， 解得； 若， ， 解得或. 计算得满足条件的实数有5个. 20．若在上为增函数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数、一次函数的单调性，结合分段函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】易知在上为增函数，在上单调递增. 若在上为增函数，则，即，解得. 故的取值范围是. 21．已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】代入，分和两种情况，分别求解，最后取并集即可得出的解集；原题等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足，分别求出a的取值范围，最后取公共部分即可得解. 【详解】当时，. 当时，由可得，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，的解集为或. “若，”等价于“当时，恒成立”以及“当时，恒成立”同时满足. 当时，恒成立，因为当时，单调递增， 所以应满足，即； 当时，恒成立，则. 则，即a的取值范围为. 22．已知，，则不等式的解是___________. 【答案】 【详解】时，， 时，， ， ∴， 由得，①或② 不等式组①的解集为， 不等式组②的解集为， 综上，不等式的解集为. 23．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)； (2). 【答案】(1)存在，0；(2)存在，1 【详解】（1）令，解得， 所以函数存在零点，且零点为0. （2）当时，令，解得； 当时，令，解得（舍去）， 所以函数存在零点，且零点为1. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 函数的概念及其表示 基础知识梳理 1.函数的有关概念 函数的定义 一般地,设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数按照某种确定的对应关系在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数 函数的记法 叫做自变量,与的值相对应的值叫做函数值 定义域 的取值范围叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 2.函数的三要素 （1）函数的三要素:定义域、对应关系、值域. （2）如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 解析法、列表法、图象法. 4.分段函数 （1）定义:在函数定义域内,对于自变量x取值的不同区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数. （2）相关概念:分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. （3）分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数,各部分函数的定义域不可以相交. 题型一 函数的定义域 1．函数的定义域是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 2．下列说法错误的是（ ） A．函数与是相同的函数 B．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C．若，则 D．函数的最小值为6 3．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 5．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若函数定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．函数的定义域为R的充要条件是（     ） A． B．且 C． D． 9．(多选)下列说法，正确的有（     ） A．已知是一次函数，若，则的解析式为或 B．函数的值域是 C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D．函数的单调递减区间是 10．(多选)下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11．(多选)下列各选项给出的命题中，正确的有（   ） A．的解集为 B．已知的定义域为，则的定义域为 C．化简结果为 D．若为一次函数，满足，则 12．函数的定义域是_________. 13．函数的定义域为______． 14．若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 16．若函数 的定义域为，则实数的取值范围是________. 17．（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 18．已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 题型二 函数的解析式 1．若函数，则（   ） A． B． C． D． 2．是定义在上的函数，满足对都成立，则（    ） A． B． C． D． 3．设定义在上的函数满足，且存在，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 4．(多选)下列说法正确的是（   ） A．已知是一次函数且，则 B．与表示同一个函数 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中只含有一个元素 5．(多选)下列说法正确的有（    ） A．若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B．函数的定义域是 C．函数的值域为 D．已知是一次函数且，则 6．(多选)下列说法正确的是（     ） A．若的定义域为，则定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 7．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 8．设是二次函数，且，则_____. 9．已知，则___________________． 10．若，满足，且，则_______． 11．设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 12．已知二次函数满足条件，且. (1)求函数的解析式； (2)若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 13．已知一次函数在上单调递减，且满足，． (1)求的解析式； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．已知函数. (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 15．已知函数． (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 16．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 17．已知函数． (1)求的解析式； (2)求在上的值域． 18．（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 题型三 函数的值域 1．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数，值域为R的是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．(多选)已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 8．(多选)已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．且， C．函数在上单调递减 D．当时，函数的值域为 9．（多选）下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 10．(多选)已知函数，则（     ） A．为偶函数 B．，有 C．的值域为 D．，不等式恒成立 11．函数的值域为_____． 12．若函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 13．若函数的值域为，则__________. 14．已知二次函数满足且． (1)求的解析式； (2)画出函数的简图并求出该函数的值域． 15．求的最大值 16．求函数的最值． 17．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若，求函数的最大值； (3)若函数在上的值域为，求实数的取值范围. 18．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 19．（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域. 题型四 分段函数 1．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知是奇函数，则的单调递增区间为（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数（，）在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设函数，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．设函数，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．定义在上的连续函数满足：对任意，，且当时，，若函数恰有3个不同的零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 12．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知，则实数满足，则满足条件的实数的值的个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 14．已知函数 若不等式恒成立，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 15．(多选)下列判断正确的是（    ） A．与表示同一个函数 B．已知函数则 C．计算： D．已知函数的定义域为A，函数，的值域为B，则等于 16．(多选)已知函数,若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．5 17．若函数，则__________. 18．设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的整数解，则等于________. 19．已知，实数满足，则满足条件的实数的值的个数为__________． 20．若在上为增函数，则的取值范围是______． 21．已知函数，若，则的解集为_________；若，，则实数的取值范围是_________. 22．已知，，则不等式的解是___________. 23．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. 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