专题02 知识点10：函数的表示法专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以三种表示方法为基础，构建“方法-考情-易错”三维体系，通过口诀化方法提炼与分层题型设计，系统培养函数表示的数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识框架|3种表示方法（解析法等）|定义与特点对比|从基础表示方法切入，建立函数表示的认知起点| |求解析式方法|5类方法（待定系数法等）|核心口诀（如“复合函数用换元或配凑”）|按适用条件分类，形成“方法-条件-注意事项”解题链| |高考考情分析|6个常见考点（定义域等）|考向预测（分段函数综合）|联结知识与命题，明确高考考查重点与难度| |实战演练|4类题型（单选8题等）|易错提醒（定义域优先等）|通过分层训练巩固方法，强化知识应用的准确性|

知识点10：函数的表示法 一、核心知识框架 函数的表示法是高中数学函数板块的基础内容，主要包括函数的三种表示方法、求函数解析式的常用方法以及分段函数的相关知识。本知识点在高考中常以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏易，但与其他知识点（如函数性质、不等式等）综合考查时难度会有所提升 。 二、函数的三种表示方法 表示 方法 定义 特点 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 简明、精确，便于理论推导和计算 列表法 列出表格表示自变量与函数值的对应关系 直观，不需计算即可直接看出函数值 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 形象直观，反映函数的变化趋势 三、求函数解析式的常用方法 方法 适用条件 解法指导 注意事项 待定系数法 已知函数模型（如一次函数、二次函数等） 首先设出解析式，然后根据已知条件求参数 无 换元法 已知复合函数 的解析式 令 ，用 表示出 ，再代入复合函数的解析式即可得 注意确定新元的取值范围（即 的取值范围） 函数方程组法（消元法） 已知关于 与 或 的等式 变换变量，构造一个新的等式，与已知等式构成方程组，消元求得 的定义域是 （或 ）中 的取值范围与使 解析式有意义的自变量范围的交集 配凑法 已知复合函数 将 改写为关于 的表达式，然后将 换为 注意确定 的取值范围 赋值法 所给函数中含有两个变量（一般用于求抽象函数解析式） 对两个变量交替用特殊值代入，或使两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式 具体取什么特殊值，要根据题目特征而定 四、高考考情分析 考向预测：以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考的热点。题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏上。 常见考点： 1. 求具体函数的定义域（列出使函数有意义的约束条件） 1. 求抽象函数的定义域（换元法与不等式组） 1. 求函数值（代入法） 1. 已知函数值求参数（逆推方程） 1. 同一函数判断（对比定义域与对应关系） 1. 分段函数求值及解不等式 五、核心方法与易错提醒 1. 求解函数解析式的核心口诀 已知函数模型用待定系数，复合函数用换元或配凑，对称等式用方程组，抽象函数用赋值法。 2. 易错提醒 · 定义域优先原则：函数问题要遵循"定义域优先"的原则，无论是具体函数还是抽象函数，必须优先考虑定义域 。 · 换元法注意新元范围：使用换元法时，新元的取值范围必须与原变量的取值范围一致，否则会导致错误 。 · 分段函数是一个函数：分段函数虽然分成几段，但本质上是一个函数，不能将其视为多个函数 。 · 化简时注意等价性：判断两个函数是否为同一函数时，要抓住定义域和对应关系是否相同，当解析式可以化简时，要注意化简过程的等价性 。 · 直线检验法：直线 （ 是常数）与函数 的图象至多有 1 个交点，这是判断一个关系是否为函数的重要依据 。 实战演练 一、单选题 1.定义在 上的函数 满足 ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 2.一个矩形的周长是10，则矩形的长 关于宽 的函数解析式为 ( ) (默认 ) A. B. C. D. 3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表。那么各班可推选的代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 表示不大于 的最大整数) 可以表示为 ( ) A. B. C. D. 4.周末某同学到漯湾古镇游玩，他骑行共享单车匀速由学校前往，前进 km，疲惫不堪，休息半小时后，沿原路返回，归途中又觉得不能半途而废，便调转车头继续向漯湾古镇方向前进，则该同学离起点(学校)的距离 与时间 的函数图象大致为 ( ) A. B. C. D. 5.如图为函数 的图象，则 的图象是 ( ) A. B. C. D. 6.下列可以作为方程 的图象的是 ( ) A. B. C. D. 7.已知函数 的对应关系如下表，函数 的图象如图所示，则 1 2 3 4 3 1 4 2 A. 4 B. 3 C. 1 D. 8.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将"function"译做"函数",沿用至今,为什么这么翻译,书中解释说"凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数",这个解释说明了函数的内涵:只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值 ,有一个确定的 和它对应即可,而不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式。函数 由下表给出,则 的值为 ( ) 1 2 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题 9.已知函数 ，则 ( ) A. B. C. D. 10.函数 的图象如图所示，则 ( ) A. B. C. D. 11.已知函数 的对应关系如下表所示，函数 的图象是如图所示的曲线 ，若 ，则 的值可能为 ( ) -2 -1 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1 A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 三、填空题 12.设函数 ( 为实数)，则曲线 经过的所有定点的坐标为 ______。 13."龟兔赛跑"讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉。当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点。用 分别表示乌龟和兔子所行的路程， 为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是______。 14.已知函数 ，，部分数据如下表： 0 1 2 2 2.4 2.88 则函数 的一个解析式为______。 四、解答题 15.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇。 (1) 假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h， (单位: h) 表示他从小岛到城镇的时间, (单位: km) 表示此人将船停在海岸处距点 的距离，请将 表示为 的函数。 (2) 如果将船停在距点P 4km处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到0.1h）？ 16.已知一次函数 ，满足 ； (1) 求 的解析式； (2) 求 的解析式。 17.求下列函数解析式： (1) 函数 满足 ； (2) 函数 对任意的 都有 ； (3) 函数 是一次函数且满足 。 18.已知二次函数 满足条件 ，且 。 (1) 求函数 的解析式； (2) 若函数 ，记函数 的最小值 ，求 的解析式。 19.已知 ，求函数 的解析式。 参考答案 一、单选题 1. 答案：D 解析 由 ，变形得 。 设 ，则 在 上单调递增。 ， ， 。 2. 答案：A 解析 矩形周长 。 由 ，得 。 3. 答案：C 解析 题意：除以10余数大于5则多1人，即余数6, 7, 8, 9进1。 ：余数0~5时， 不进位；余数6~9时， 进位，恰好符合题意。 4. 答案：C 解析 分段过程： 匀速前进： 随 上升（斜线）； 休息半小时： 增加， 不变（水平线段）； 原路返回： 下降（斜线）； 再次向古镇前进： 再次上升。 只有图像 C 有一段水平休息区间。 5. 答案：D 解析 图像变换步骤： ：由 关于 轴对称，再右移1得到； 反向推导 图像，再做变换 （左移2）； 加绝对值 ： 轴下方图像翻折到上方，顶点在 ，零点 ，对应 D。 6. 答案：D 解析 令 代入 ： 。 时有对应曲线； 无图像，仅第一象限有叶状图形，对应 D。 7. 答案：C 解析 由 图像： 时，； 查表：，故 。 8. 答案：B 解析 查表：，； ，对应 ，即 。 二、多选题 9. 答案：AD 解析 A：，偶函数，正确； D：，正确。 10. 答案：AB 解析 分母 ，垂直渐近线 ，图中渐近线在 ，故 ，C错误； ，，分子 ，； 时 ； ，D错，正确选项 AB。 11. 答案：BD 解析 由 ，图像得 或 ； 即 或 。 ① ：表格无； ② ：查表 或 ，选 BD。 三、填空题 12. 答案： 解析 令含 项系数为0： ，，定点 ； ，，定点 。 13. 答案：④ 解析 由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④． 14. 答案：（指数型，答案不唯一） 解析 ，，等比数列，指数函数 。 四、解答题 15.解： (1) 小岛到停靠点距离 ，船速3； 步行距离 ，步行速度5； 总时间： (2) 代入： 小时。 16.解： (1) 设 ，解得 (2) 17.解： (1) 换元：令 (2) 方程组： 第一式 第二式： (3) 设 ， ：，； ：，。 18.解： (1) 设 ， (2) ，对称轴 ， ① ，； ② ，； ③ ，； 19.解： 已知： 消元： 化简： 学科网（北京）股份有限公司 $