2.1 函数的概念及其表示（精练）备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

**基本信息** 聚焦函数概念及表示，通过基础巩固-综合应用-深化拓展三层设计，覆盖定义域、值域、解析式等核心考点，适配一轮复习“概念理解-运算强化-问题解决”路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|定义域求解、函数值计算|单选1-4直接考查概念，填空12强化定义域抽象，体现数学眼光| |中档|复合函数定义域、解析式求法|单选5-8结合参数，多选9-11辨析性质，填空13-14融合方程思想，培养推理能力| |拔高|含参数值域、综合应用|解答题17-19需建模转化，如二次函数最值与分段函数求解，发展应用意识|

2.1 函数的概念及其表示（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域满足，解得或， 则定义域为． 2．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】由题意得：当时，， 所以， 则. 3．（25-26高三上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 4．（25-26高三上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求参数范围，即可得. 【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立， 当时，情况如下： 若，此时不等式为在上不恒成立， 若，则，可得.， 综上，. 故选：D 5．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式即可. 【详解】令，可得，由题意得，则， 因为，所以， 则，故D正确. 故选：D 6．（2026·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 7．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法构造方程组，解方程组即可求解. 【详解】已知对， 令得：； 令得：. 由，解得：，即. 故选：C 8．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．若的定义域为，则定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为定义域为， 对于函数，则，解得， 即定义域为，故A正确； 对于B，， 因为，所以，即函数的值域为.与选项给出的范围不符，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 将替换成得②，由①②，得，所以，故D正确. 10．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 11．（2026·山东威海·二模）设函数则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】求出函数值可判断A，利用反例可判断B,C，分情况求解不等式可判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 取，满足，但是，B不正确； 取，，，C不正确； 当时，由可得；当时，由可得；综上可得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为_________． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13．（25-26高三上·广西河池·阶段检测）已知函数，若，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据分段函数的解析式，分，和，三种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】当，即时，， 则有，解得； 当，即时，， 则有，解得或－2， 又因为，所以； 当，即时，，则有，此时无解， 故的值为或． 故答案为：或． 14．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 【答案】 ， ， 【分析】（1）法一：使用换元法，设，对原式进行代换即可，法二：使用配凑法，将原式配凑成二次函数的形式即可求解，（2）使用待定系数法，分别设二次函数不同的表达式并代入已知条件即可求解，（3）使用消元法消去即可求解. 【详解】（1）法一：设，则，， 代入原式有． 故，． 法二：∵， ∴，，即，． （2）法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． （3）当时，有．① 以代替x得，．② 由①②消去得，，． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三·全国·暑假作业）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式有意义求解即可. （2）根据分式有意义求解即可. （3）根据分式及二次根式有意义求解即可. （4）根据分式及零指数幂有意义求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （2）要使函数式有意义，则，解得， 所以原函数的定义域为． （3）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为． （4）要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域是. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 【答案】 【分析】去分母，并整理成关于的一元二次方程的形式，当时，根据一元二次方程有实数根的条件列式，并结合一元二次不等式和一元二次方程的关系列方程组求解，并验证时也符合题意，从而可得最终结果. 【详解】将式子变形为； 当时，；即； 所以1，9是方程的两个根，代入得：；解得； 将代入，当时，方程化为，有实数解，故在值域内，符合题意. 综上，． 17．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 18．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据函数解析式列出函数需满足的不等式，结合对数函数单调性，即可求得答案； （2）利用换元，令，将化为关于t的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案； （3）利用换元，令，将化为关于u的二次函数，结合二次函数性质，即可求得答案. 【详解】（1）函数需满足，即， 解得，故函数的定义域为； （2）令，则，则， 故即为，而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，为，无最小值， 故函数的值域； （3）， 令，则，即为， 而， 则在上单调递减，在上单调递增， 故在时取最小值，无最大值， 故函数的值域为. 19．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，，； (2)或； (3) 【分析】（1）将分别代入求解即可； （2）分、分别求解即可； （3）分、分别求解即可. 【详解】（1）因为函数， 所以，，； （2）当时，，解得或（舍去）； 当时，，解得． 所以的值为或； （3）当时，，所以； 当时，，所以． 所以的取值范围为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 函数的概念及其表示（精练） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026高二下·浙江温州·学业考试）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数，则（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（25-26高三上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·期中）若函数的定义域为，则实数a不可能等于（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 7．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 8．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．若的定义域为，则定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 11．（2026·山东威海·二模）设函数则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高三上·山东泰安·阶段检测）若函数的定义域为，则的定义域为_________． 13．（25-26高三上·广西河池·阶段检测）已知函数，若，则的值为_____． 14．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高三·全国·暑假作业）求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； 16．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的值域为，求，的值． 17．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 18．（25-26高三上·黑龙江佳木斯·期末）（1）求函数的定义域； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域. 19．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数． (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)求不等式的解集． 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $