湖南长沙市金阳高级中学2024-2025学年度高三上学期12月学情检测数学试卷

2024∼2025学年度高三上学期12月学情检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知点，则与同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 梯形的直观图是一个等腰梯形，等腰梯形的底角为45°，面积，则梯形的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 4 5. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，若中点的纵坐标为3，则（ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 11 6. 记为等差数列的前项和.若的公差为，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 知数中学举办数学综合测评，设置10道题目，比赛规则如下：每答对一道题目得10分，答错一道题目扣5分. 小明作答了全部10道题，每道题只有答对、答错两种结果，且小明答对每道题目的概率均为，用随机变量表示小明最后的得分，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足当时，，且时.若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于直线对称 C. 在区间单调 D. 当且仅当 10. 在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（ ） A. 的方程为 B. C. D. 11. 设是随机试验中两事件，记，则（ ） A. 当互斥时， B. 当时， C. 当时， D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程不同正整数解的组数为_________. 13. 已知偶函数有两个零点，则_________；的取值范围为_________. 14. 一个正四棱台形盒子（厚度不计），底边长为1，顶边长为3，容积为，放进一块正四面体积木后盖上盖子，若积木能在其中自由转动，则积木体积的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为.已知. （1）求； （2）若，求周长的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，为棱的中点.已知底面. （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值. 17. 已知函数. （1）当时： （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：恰有两个极值点； （2）若，求的取值范围. 18. 已知直线平行于轴，双曲线的右焦点为上一动点到的距离是到距离的倍. （1）求的方程； （2）设的左顶点为，直线交于点，点在直线上，且. （i）证明：存在定点使得； （ii）若，求的坐标. 19. 记为数列的前项和，且共有项，各项均为正数.已知，对于一切正整数，均有. （1）当时，求； （2）当时，求的通项公式； （3）当时，从所有满足题意的数列中随机抽取一个,，设为的前项和，求的取值范围. 2024∼2025学年度高三上学期12月学情检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）方法一：（几何法） 因为， 所以，即 又因为平面平面， 所以 又因为， 所以平面. 又因为平面， 因此. 方法二：（向量法） 要证，即证 由于，又因为平面平面， 所以，即. 因为平行于， 所以，即. 因此. 故. 方法三：（空间向量坐标法） 因为平面. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，设， 于是， 因为， 故. （2） 【17题答案】 【答案】（1）（i）； （ii）令，则 令，得. 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 故在存在唯一零点，在上存在唯一零点 即存在两个不同的变号零点，即恰有两个极值点. （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i） 方法一： 设到的距离为，由于，由三角形相似得， 依题意，，故到的距离为，， 而，且由题意得， 故，即在以为圆心，4为半径的圆上 因此，只需是直径，则，故存在点满足题意 检验：当在x轴时，与重合，与矛盾，故不在轴，故与不会重合，即点满足题意 方法二： 不妨设，由于，故 故 由于图形整体关于轴对称，故点必然在轴上，设其坐标为 则 依题意得，故 展开并代入坐标得 由于始终成立，故，当时，三者均满足，故存在点 检验：当在x轴时，与重合，与矛盾，故不在轴，故与不会重合，即点满足题意 方法三： 设直线， 由于不在轴，故必然存在， 代入得，故直线倾斜角的正切值为 联立与双曲线得 ，由韦达定理得， 由于交点为，故，代入得 故的倾斜角的正切值为 而，即 故，即在以为圆心，4为半径的圆上 因此，只需是直径，则，故存在点 检验：当在x轴时，与重合，与矛盾，故不在轴，故与不会重合，即点满足题意 （ii）或 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $