湖南长沙市雅礼中学2026届上学期高三数学第6次月考试卷

高三数学 命题人：李群丽 审题人：周芳芳彭建军 童继稀张鎏 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6 页.时量120分钟，满分150分 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={xy=1og2(1一2x)1,B=(yly=2）,则A∩B= A（-，2》 B(分，+∞) C.(0,十∞) n.(0,2》 製 2.若(3反-” 的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数 最大的项，则n= A.8 B.9 C.10 D.11 3.在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问 题，已知他答对甲、乙、丙的问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，各题 别 回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获 得额外加分，则小张获得额外加分的概率为 A.0.24 B.0.54 C.0.70 D.0.46 4.若x>0,>0,2是x与y的等差中项，则2+号的最小值为 A是 B号 c号 D号 5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史， 北 “扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式 体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征 (如图1).图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个 圆弧DE,AC所在圆台的底面半径分别是r1和r2,且n=5,r2= 10,圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为 数学试题(H6)第1页（共6页） 图1 图2 A353x B.175V3x 3 3 C,8753x D.875√3π 3 6.已知函数f(x)=2cos2wx一(sin wx一cOS wx)2(w>0)的图象关于 直线x-亞轴对称，且u∈(0,4)，则ω的值为 A司 B.1 c D.2 7.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,D是BC 的中点，点E在AD上，且DE=2AE.则BE·AD= A9 3 B-29 3 29 n碧 8.已知抛物线C:x2=12y和圆M:x2+y2一4x-4y十4=0，点F是 抛物线C的焦点，圆M上的两点A,B满足|AO=2|AF, |BO=21BF|,其中O是坐标原点，动点P在圆M上运动，则点 P到直线AB的最大距离为 A.2+√2 B.√2 C.4+√2 D.2√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分 9.已知复数，2均不为0，以下等式恒成立的有 A.|a1= B.一2=1一2 C.名·名=|1· D.|z+x2|=||+|z2 数学试题(H6)第2页（共6页） 10.已知曲线C:y=2x3一3x2十3，则下列结论正确的是 A曲线C关于点（合，）对称 B.直线y=2与曲线C的公共点个数不等于直线y=3与曲线C 的公共点个数 C直线y一号与曲线C的所有公共点的横坐标的平方和等于号 D.过点(1,4)可作三条直线与曲线C相切 11.如图，已知正三棱台ABC-A1B1C的上、下底 面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面 BCC:B:内运动（包含边界），且AP与平面 BCCB,所成角的正切值为2√2，Q为CC1上 一点，且C=3QC,则下列结论正确的有 A.正三棱台ABC-A1BC1的高为2√6 B.点P的轨迹长度为2√3π C高为，底面半径为的圆柱可以放进该棱台内 D.过点A,B,Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积 为受 选择题答题卡 题号 2 5 8 9 10 11 得分 答案 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列{an}的满足ag=8a6,则其公比q= e"-a:x>0, 13.已知函数f(x)= 为奇函数，则a十b= be-x-2,x<0 数学试题(H6)第3页（共6页） 14.作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学 习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通 常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离 度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为A= (a,a2,…,an)和B=(b1,b2,…,bn),则这两组数据间的闵氏距 离du(@)=(2la,-6),其中g表示阶数若M=(,e), N=(x,x一1)，则dw(1)的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2b,A= 120°. (1)求cosB的值； (2)若a=47,求BC边上的高. 16.(本小题满分15分) 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PB=PD, AD∥BC,AB⊥BC,AB=√3，BC=2AD=2,平面PBD⊥平面 ABCD,点O为BD的中点. (1)求证：CO⊥PB: (2)若四棱锥P-ABCD的体积是3，求二面角P-CD-A的 余弦值 数学试题(H6)第4页（共6页） 17.（本小题满分15分) 已知椭圆C芳+芳=1(a>6>0)的离心率为分，过椭圆右焦点 F的直线l与椭圆交于A,B两点，当直线L与x轴垂直时， |AB|=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线1的斜率为k(k≠0)时，在x轴上是否存在一点P(异 于点F),使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离 相等？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由. 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx十ax2十bx(a,b∈R). (1)若a=,6=一是，求函数)=fx)的单调递减区间： (2)若存在实数b,使得函数f(x)有三个不同的零点1,2，· (i)求实数a的取值范围； (i)若x1,x2,x成等差数列，求证：>e 数学试题(H6)第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 现有一颗质地均匀的正方体骰子，六个面分别以1一6标号.数 轴上有一质点，它可以按照某种规则在数轴上随机移动，每次移 动一个单位长度，质点的初始位置为原点Q.现开始投掷骰子， 用Y,表示第n次投掷时骰子正面向上的点数，Xn表示第n次 投掷后质点的坐标，则X。=0.规定： X,Yn+1≤Xn+1, X+1= Xn+1,Y+1≥Xm+2 n∈N. 参考数据若p(0,1),则四(k·p)=a (1)求投掷骰子2次后质点不在坐标为1的点的概率； (2)已知X,Y是随机变量，则E(X+Y)=E(X)十E(Y).用表 示：“质点第一次到达坐标为4的点所需的投掷次数”，求 E(E); (3)用P.表示投掷n次骰子后质点第一次到达坐标为3的点的 概率，当≥3时，求证：2<P.≤品 数学试题(H6)第6页（共6页）高三数学参考答案 一、二、选择题 题号 Ny 2 3 4 8 9 10 11 答案 D A B A A ABC AC BCD 1.D【解折】由A=(xy=1og1-2x)}={xx<},B=y=2)=(y>0,得AnB=(0,号).故选D. 2.A【解析】因为二项展开式中有且仅有第5项是二项式系数最大的项，即二项式系数C,C,…,C%中第5个，即C 最大，所以由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，n=8.故选A 3.B【解析】由题意知，至少能够连续将2道题都答对，包含以下两种情况：甲乙都对，丙对错都可；甲错误，乙丙对.故 小张获得额外加分的概率为0.8×0.6+(1一0.8)×0.60.5=0.54.故选B. 4A【解标】因为2是x与y的等差中项，所以+y=又>0,20，所以十号一红+y)(+号) 5+兰+号）≥{6+2径号）-号当且收含兰-号且+y4,即=膏=号时等号成这，所以+ 手的最小位为是故选入 5.C【解析】圆台的侧面积为150π=π(m1十r2)l=π×(5十10)X1,解得母线长l=10.则圆台的高h=√102一5= 5V3,圆台上、下底面面积分别为S1=πX52=25π，S2=π×102=100π，由圆台的体积计算公式可得V= 吉(S+S·%+s)XA=号×175x×5v5-875y.故选C 3 6.C【解析】f(x)=2cos2ax-(sinwx-2 sin wxcos wx十cos2awx)=2cos2awz+sin2wx-1=cos2wz+sin2wx= V2sin(2十开)，因为函教f)的图象关于直线x=轴对称，所以+牙=kx十受，k∈乙，即aw=6k+号，k∈乙， w∈(0，)，故k=0,可得w=号.故选C 7.B【解析】由∠BAC=90°，得A店.AC=0.由D是BC的中点知，AD=号(Ai+AC),且D=2EA, 得A花=}Ai=}×2(A+AC)=日A+合A心，所以B航-A花-Ai-合A心-吾成 则B腕.亦-日(A心-5A)·合店+A0=2(AC-4A.心-5A)=2×(8-5×6)=- 选B. 8.A【解析】抛物线的焦点F(0,3),圆M:(x一2)2+(y-2)2=4,其圆心M(2,2),半径m1=2. 设，点Q(x,y)是满足QO=2QF的任意一点，则x2+y=4[x2+(y-3)2],化简得x2十 (y-4)2=4,其圆心N(0,4),结合|AO=2|AF|,|BO=2|BF|,所以AB是圆M与圆N 的公共弦，将圆M与圆N的方程相减，得直线AB的方程为x一y十2=0，取线段AB的中点 E,连接PE,则ME=2-2+2-2,则P到直线AB的最大距离为1PElm=2+2,故 √2 选A 9.ABC【解析】由题易知A正确；设之=a十bi,=c十di,则之一2=(a一c)十(b-d)i, 名一名=a一bi-(c-di)=a一c(d-b)i,名一名=(a一c)十(d-b)i,所以名一=名-a,B正确； 名·名=|名2=|名·|之，C正确；由平行四边形法则可知D不正确，故选ABC 10.AC【解析】g()=2x-3x+3.g(x)=6x-6z,g(x)=12x一6=0.解得x=司，函数国象关于点（合，号）对 称，故A正确； 作图得y=2与曲线C的公共点数等于直线y=3与曲线C的公共点数，都为2个，故B错误； 数学参考答案(H6)一1 设方程2-3十号-0的根为西则x)红一)红)=0=父-号+ 1 ·2·x=-4, 则 3 西十x十x=2’ G1x2+1xC3+x2x3=0. ++后=（十十a)-2西6十西西十购）=是，故C正确； 设切，点(x,),k=6x号一6x0,切线为y一（2x8-3x话十3)=(6x话一6.x)(x-x),切线过(1,4)，则4一 (2x8-3x6+3)=(6x6-6x)(1-x).即4x8-9x6+6x+1=0,令h(x)=4x3-9.x2+6x+1,则h'(x)=12x2 18x十6=6(22-3x+1)=6(x-1D(2x-1,则=1函=号，可得h()在（合，1上单调适减，在(-，合）， (1,十o)上单调递增，hI)=2,h(合)=是，图象与x轴只有一个交点，放只有一条切线，故D错误故选AC 11.BCD【解析】如图，延长正三棱台的侧棱相交于，点O,由题意可知，OA=OB=OC 在等腰梯形BCCB1中，因为BC=6,B1C=2,BB1=CC1=4,所以OC=OB=6=BC, 即△OBC为等边三角形，所以三棱锥O-ABC为正四面体，且OB,=2. 对于A,设H为等边三角形OBC的中心， 由正日面体的性质可知，AHL侧面OBC,且AH=VAB-BF-√6一（层）=26， 即点O到底面ABC的距离为2√6， 又因为OB-2,B服-4，所以正三棱台ABC-A品G的高为号×26-智，故A错误： 对于B,因为AP与平面BCC1B,所成角的正切值为2√2， 所以a/APH-部-源-2E,解得D-尽， 且等边三角形OBC的内切圆的半径为W3, 可知点P在等边三角形OBC的内切圆上，又OD,=号OD=3,D,H=0H-OD=23-3=3,故该圆与B,C 相切，所以，点P的轨迹长度为2πX√3=2√3π，故B正确； 对于C,因为正三棱台ABC-A,BG的商为5，△，BG的内切固的丰径为停，停>得， 36 所以高为、底面半径为停的周柱可以放进演被台内，故C正确； 对于D,设正四面体OABC的内切球的半径为r, 由等体积法可得写SX2后=4X号50m7,解得， 固为2，所以该技台内最大的球即正四面依OABC的内切球， 又因为C范-3QC,CC=4,0C=6, 所以Q为OC的中点，过点A,B,Q的平面正好过该内切球的球心， 所以我面面款为元X(停}了-整，故D正境，装进0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.分【解析】由a=8a,得a,=8a父，解得q=合 1设日【保折】因为量公-低O名专 所以当x<0时，-x>0,f(-x)=ex-a=-f(x)=-bex+2,所以a=-2,b=-1,所以a十b=-3. 14.2【解析】法1：由题意得dx(1)=|t-x+|e-x+1|, 令f(x)=1十e-x,则f(x)=e-1, 所以当x∈(-∞，0)时，f(x)<0,x∈(0，十∞)时，f(x)>0, 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(0)=2,所以f(t)≥2，即1十e≥t+2>t. 当x≤t时，dw(1)=t一x+1+e一x=e+t+1一2x≥e-t+l≥2，当且仅当x=t=0时，dw(1)取得最小值2. 数学参考答案(H6)一2 当tx<1十e时，dw(1)=x-t+1+e-x=e-t+1≥2，当且仅当t=0时，dw(1)取得最小值2. 当x≥1+e时，dw(1)=x-t+x-1一e=2x-e-t-l≥2(1十e)-t-1-e=1+e-t≥2，当且仅当t=0,x=2 时，dw(1)取得最小值2. 综上所述，dw(1)的最小值为2. 法2：dw(1)=|t-x十|e-x十1表示，点P(t,e),Q(x,x一1)横坐标差的绝对值与纵坐标 差的绝对值之和. 作QH⊥PM于H,IPH|+|HQ=|PH|+IHM≥|PM, V=X- 令g(x)=e-x十1，则g'(x)=e2-1, 450 令g'(x)=0,解得x=0, 45 所以函数g(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在区间(0，十∞)上单调递增， g(x)nmm=g(0)=e°-0十1=2， 故dw(1)的最小值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】(1)在△ABC中，c=2b,A=120°， 由余孩定理得a2=+2-2bc0sA=B+46-2b×26×(-号）=7B, 所以a=√7b, cosB=Q2+-&-7B+46-8_57 2W7bX2b-14 6分 2ac (2)由(1)可知a=√7b,因为a=47,所以b=4,c=8, 设BC边上的高为h, 则2ah=26 besin A. 则h=16y3-42I 4√7 7, 故BC边上的高为4 …13分 16.【解析】(1)因为AD∥BC,AB⊥BC,所以AB⊥AD, 在Rt△ABD中，AB=3,AD=1,所以BD=2,∠BDA=5, 因为AD∥BC,所以∠CBD=∠BDA=S, 因为BC=BD=2,所以△BCD是等边三角形， 因为点O为BD的中点，所以CO⊥BD, 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,COC平面ABCD,所以CO⊥平面PBD, 因为PBC平面PBD,所以CO⊥PB. …7分 (2)连接PO, 因为PB=PD,O为BD中点，所以PO⊥BD, 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,POC平面PBD,所以PO⊥平面ABCD, 因为Vm=号5·P0=号×23XP0=32,所以P0-89分 如图，以O为原点，以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系， 在等边△BCD中，OC=√3，OB=OD=1, 则B(1,0,0),C(0√3,0)，D(-1,0,0),P(0,0,3), 可得PD=(-1,0,-3),PC=(0N3,-3), 1·PD=-x-3z=0, 设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),则{ ·PC=√3y-3z=0, 数学参考答案(H6)一3 令之=1，解得x=-3,y=√3，故法向量h1=(—3,√5,1)，…12分 易知2=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量，… ……13分 又，点O在半平面CDA内，故二面角P-CD-A是锐二面角， 1=√13 所以三面角P-CD-A的余弦值为-√丽XE习 …15分 17.【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c>0, a2=b+c2, a=2, 由题意可得 2=3，解得b=√3， (c=1, 所以椭圆C的标准方程为实十…5分 (2)由(1)可得F(1,0), 根据题意可设直线l:y=k(x-1),A(x,y),B(x2,y2),P(m,0)(m≠1)， [y=k(x-1), 联立方报置+苦-1，消去)得《+3》一十状-12=0， 则△=64k4-4(4k2+3)(4k2-12)=144(k十1)>0， 8k2 可得飞十么4牛3五，0m…9分 由随念可知：轴为直线PA与直线PB的时林轴，则如十加产n十产m0, 可得(-1）1b(2-1）0,. x1一m x2一n 因为≠0，可得(x-1)(x2一m)+(c1一m)(x2-1)=0, 整理得2x2-（m十1)(x1十x2)十2m=0,②…13分 格①代入@特2伦千2》0号+2m=0,屏科=4， 所以存在点P,使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P(4,0).…15分 18.【解折】1)由题惑可知，f)=lhx十日-是，宠义城为0，十o), f(x)=1+2x-3=2x-3ez+e-(2x-e)(x-e) 十ex-e2 令=2-2<0，解得号<Kd, efx 故画数y=f)的单调递减区间为（号，e), ……4分 (2)(i)f(x)=0,即lnx十ar2+bz=0,故h2+ax=-b, 函数f(x)有三个不同的零点，2，x,即血工+ax=一b有3个不同的正根， 令g(x)=ln工+az,定义城为(0，十∞)，则g()=l血工+ax需有两个极值，点， x 则g()=1-h工+a需有两个不同的变号零点， 令)=1，则0=-32n, 令1()=-3+2n工=0，解得x=e, x 令h'(x)>0得x>e,令h'(x)<0得x<e, 故4()-1兰在(0，e上单羽说减，在(e,十o∞)上单调递增， 又Ae)=亮Ae)=0,故当0<xe时，A(>0, 又x>e时，h(x)<0恒成立， 故要想g)-+a有两个不同的支号零点，需满足0a<品， x2 数学参考答案(H6)一4 此时存在实教b,使得血工+ax=一b有3个不同的正根， x 所以实数a的取值范因为(0，) 9分 (ii )In x+az2+bx=0, 即lnx+ax+bx1=0,lnx3十ax号+bx3=0, 两式相加得ln十lnx3十a(x+x)=-b(x十x), 即lnG1x3十a(x好十x)=一b(x十2x),… …11分 若工1，x2,成等差数列，则2x2=十x, 故4x吃=(x1十x3)2=x十21x3十x, 即4x号-2xx3=x+x6, 故lnx1x3十a(4x-2x1x)=-2bx2,即lnx1x3-2ax1x3=-2bx2-4a., 又lnx2十a.x十bx2=0, In xxs-2axixs=-2(-In x2-ax)-4a, In xxs-2axxs=2In x2-2axi,In z1xs-2In z2=2a(xxs), nghs2a,…l3影 0x3一x2 下面软导对数均值不等式，白日n子00mm m2(- 只离证h是<2，即证h骨 n m+l 令=(0,1)，只需证n2t-D, n t+1 令g0)=at-2,eo. 则g(10=1-2+1)-2-1D=-1)2 t (t+1)2 (+1)>0恒成立， 故96在0,1D上单递增，又g1)=0,故n<2,运单， 15分 所以2a=n西-lh立>2 西西一x号西十’ 由(i)知，a∈(0,2c) 1 4=（x1十x3)2≥4x1x3,又x1≠x3,故等号取不到，所以4x>4x1x3,即x>x1x3, 故x号西十吃>1e3,证毕。 2 …17分 19.【解析J(1)由题知若质点上一次位里在0，则下一次仍在0的概率为日，下一次在1的概率为名， 若质点上一次位置在1，则下一次仍在1的概率为了，下一次在2的概牵为号： 2 若质点上一次位置在2，则下一次仍在2的概率为7，下一次在3的概率为7， 若质点上一次位里在3，则下一次仍在3的概率为号，下一次在4的概率为日， 若投掷骰子2次后质点不在坐标为1的点，则质点应在坐标为0或坐标为2的，点， 当喷点在标为0的点时瓶车为（信）广-高 当质点在坐标为2的点时，概率为5X名=。 6X3=9 收投掷发子2次后质点不在金标为1的点的藏率为完十号-品 4分 (2)用台表示“质点从坐标为i的，点第一次移动到坐标为i十1的，点所需的投掷次数， 则6∈N,P6=)=(传)户·名， 1 所以E)=-空·（信）广'·音=5-习：安=5× 6 +too=1 数学参考答案(H6)-5 又P=)=(传)·号P=)=(合)·，Pc=0=(号)·吉， 同理可得E()=号，E()=2,E(6)=3, E()-E()+E(5+E+E(5) ………9分 (3)设Q表示前n次投掷后质点位于坐标为2的点的概率，R。表示前次投掷后质，点位于坐标为1的，点的概率，则 有： P。=2Q-1v 由R= R+(合)·号=R+是，可得R+是=号(R+)， 6 所以R十是-号·（信）-票片以R一是一票 55 故Q=2Q+号(g高)】 又几=2Q2P=P十90故P=P+是-9， 36’ …11分 令f0-是-品3， 则fx)亭.n日9.h日-5(2g6-g)-是(2h6-2h8), 6 6 令g(x)=2ln6-2rln3,x≥3， 又g(x)=2n6-2ln3在[3，十∞)内单调递减，g(3)=2ln6-8ln3<0, 故g(x)<0,x≥3，故f(x)<0,x≥3， 故f(x)在[3，十o∞)内单调递减，故f(z)≤f(3)三6，…正 又当x→十∞时，f(x)→0， 故P<P-P+是-≤含卫+高 -方面：P。号化品)， 又P=话故R-=0, 从而卫-<号(P最)(P-)<≤动(P,-)=0,故P≤是， …15分 男-方画R>P>岁卫>…之B-点-g公， 、120 故室24时，P一g忍雨-3时，B-是-g忍减23时R≥g忍2 20 综上g忍<P,≤最 17分 法2：设Q为投掷n次骰子之后质，点第一次到坐标为2的，点的概率，则n≥2， 所以Q=】 (传)》·音（停）·音-1-产) 则P。=】 a(》:-y-】碧.”( =19+30-30, 2#63m1 再利用数列得单调性可证得结论. 数学参考答案(H6)一6