第一章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 勾股定理单元强化卷，融合赵爽弦图、《九章算术》等文化素材与投壶、草坪面积等生活情境，通过基础巩固到创新应用的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、正方形面积、实际问题建模|以《九章算术》门高问题，培养数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|直角三角形边长、网格高、最短路径|借村庄修路造价问题，发展模型意识与应用意识| |解答题|9/72|证明、面积计算、新定义（平方倍三角形）、赵爽弦图应用|设计“数学风车”“房梁安全判断”等探究题，提升推理能力与创新意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章勾股定理（高效培优单元自测·强化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 个 8 10 C D A B B D D A B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.12或V194 9 12.5 13.72000 14.4 15.14.8 16.96 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】(1)解：设BC=4x,则AC=5x,根据勾股定理，得 AB2+BC2=AC2 2+(4x)2=(5x)2 即 ，2分 解得x=3, :BC=12; 3分 (2)解：根据勾股定理，得 BC2+CD2=BD2 即122+CD2=202, 解得CD=16 ..分分 117 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :边6Am=S,4c+S,0m-2 ABxBC+CD×BC=)×9x12+)×12×164+96=503 2 6分 18 【详解】(1)证明：BD2+AD2=52+122=169,AB2=132=169, BD2+AD2=AB2,2分 .∠ADB=90° AD L BC.3分 (2)解：在RtAACD中，根据勾股定理，得AD+CD2=AC2, 即122+CD2=202, .CD=V√202-122=16 BC=BD+CD=5+16=2L.5分 CSMARC=TBC:AD=x21x12=126 .6分 19. 【详解】(1)解：MB=1.5,MC=1.2,BC=0.9. ∴.MB2=1.52=2.25MC2+BC2=1.22+0.92=2.25 ∴.MB2=MC2+BC2 .2分 :△MCB是直角三角形，且∠MCB=90°， .MC⊥AB. .MC是村庄M到公路距离最短的路；3分 (2)解：AB=MA, ∴.AC=MA-0.9 由(1)可知MC⊥AB」 ∠MCA=90°，… 4分 .MA2 AC2+MC2 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M=(MA-0.9)}+1.22 解得M1=1.25, ∴.MA-MC=0.05(km) 答：新修的小路MC比原来的路MA短0.05km.6分 20. 【详解】(1)解：这个三角形是“平方倍三角形”.理由如下： :(而+22=15.3x5=15 (而+2=3x(5, .这个三角形是“平方倍三角形”.3分 (2)解：设两直角边长为：a,b,斜边长为：c, :Rt△ABC为“平方倍三角形”， ∴a2+b2=c2 2+a2=3b2 不妨设 .2a2+b2=3b2 .b=a, .c=2a .a:b:c=1:1:V2 .6分 21. 【详解】(1).在△ABC中，AB=90m,BC=120m,AC=150m, :.AB2+BC2=902+1202=8100+14400=22500(m2),AC2=1502=22500(m2), .'AB2+BC2=AC2, .△ABC是直角三角形，∠ABC=90°.3分 L (2)解：设路线1-C-D的总长度为，路线4-B-D的总长度为， L=AC+CD=150+60=210(m) 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC⊥CD, .∠BCD=90°， ,在Rt△BCD中，由勾股定理得： BD=VBC2+CD2=V1202+602=18000=605≈134.16(m）,6分 路线A-B-D总长度： L2=AB+BD=90+60N5≈224.16(m) .210<224.16. 路线A-C-D更短.8分 22. 【详解】(1)解：：∠ABC=90°，AB=3,BC=4, AC=VAB2+BC=5 .AC=CD .CD=5: …2分 (2)解：如图，过点D作DE⊥BC交BC延长线于E. 刀 A ∴∠CED=90°， 由(I)知AC=CD=5,又知AD=5V2, AC2+CD2=50,AD2-=52=50 .'AC2+CD2=AD2, .△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，… 5分 .∠BAC+∠ACB=∠ACB+∠ECD=90° ∴.∠BAC=∠ECD 在△ABC和△CED中， 417 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠ABC=∠CED ∠BAC=∠ECD AC=CD △ABC≌ACED(AAS) .AB=CE=3,BC=DE=4, .'BE=BC+CE=7. BD=BE2+DE2=65 .8分 23, 【详解】(1)解：PD=PA, .∠A=∠PDA, 'EF垂直平分BD, ..DE=BE, .∠EDB=∠B,.2分 ∠C=90°」 .∠A+∠B=90 .∠PDA+∠EDB=90° ∴.∠PDE=180°-（∠PDA+∠EDB)=90° 4分 (2)解：连接PE, 设PA=x,则PD=x,PC=6-x, .BC=8.BE=4.5」 ∴.CE=8-4.5=3.5.DE=4.5, ∠C=90°， .PC2+CE2=PE2 y… 6分 ∠PDE=90°. :.PD2+DE2=PE2, ...PC2+CE2 PD2+DE2 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.(6-x)}2+3.52=x2+4.52 解得？ 3, 7 ..PA=- 3 8分 24. 【详解】(I)证明：BD为AC边上的高， .∠ADB=∠BDC=90」 AB2=AD2+BD2=1P+2=5,BC2=BD2+CD2=22+42=20,3分 ,AD=1,CD=4, ∴.AC=AD+CD=5,则AC2=25, .AB2+BC2 AC2, △ABC是直角三角形，且AB1BC. 6分 (②)小华设计的房梁不安全，理由如下： BD⊥AC, .∠ADB=∠BDC=90°， :CD=VBC2-BD2=v2-122=1.6m ∴.AD=AC-CD=2.1-1.6=0.5m, .AB2=AD2+BD2=0.52+1.22-1.69, 9分 .AB2+BC2=1.69+22=5.69. .AC2=2.12=4.41≠5.69，即AB2+BC2≠AC2, 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC与AB不垂直， .小华设计的房梁不安全。… .12分 25. 1 详解解：梯形ABCD的面积为a+ha+6)d2+ab+也以表家为2b+ab+ 2 2 2 02a2+ab*0 .Ib2=ab+ c2,即十ee3 (2)解：设AB=AC=x, .AH=AB-BH=x-0.6, 在Rt△4CH中，AH+CH=AC2,即（x-0.6+0.82=x2 5分 解得了 6 即4C-名（于米） 4C-CH=3-0.8= 1 6 0(千米)， 答：新路CH比原路CA少30千米； 7分 (3)设AH=x,则BH=AB-AH=21-x, 在Rt△ACH中，CH2=AC2-AH2, 在Rt△BCH中，C=BC2-BH,10分 ÷4C2-Am=BC2-BH,即102-=172-(21-x 解得x=6, .CH=VAC2-AH2=V100-62=8 12分 717 第一章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 2．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 3．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 4．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 7．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 8．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 9．如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 10．如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 12．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为______． 13．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 14．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 15．小明参加学校“数学实践节”的场地设计项目，需要规划一个直角三角形展区，其中，米，米，如图所示．现要在斜边上安装一个照明灯P，灯需连接展区三个顶点A，B，C的电源接口（接口位于顶点处），为了节省电线，三条电线，，的长度之和的最小值是_______米． 16．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，已知， (1)求的长； (2)求四边形的面积． 18．如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 19．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 20．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）． 21．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 22．如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 23．如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 24．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 25．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列各组数中，是勾股数的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，6，8 【答案】C 【详解】解：A. ，不是勾股数. B. ，不是勾股数. C. ，是勾股数. D. ，不是勾股数. 2．如图，在中，，以，为边向外作正方形，正方形，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A．150 B．200 C．225 D．256 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 3．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 4．《九章算术》中记录了这样一则问题：今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？意思是：一扇门，高比宽多6尺，门对角线长一丈，求门的高与宽各是多少？（1丈尺）如果我们假设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设门的宽为尺，高比宽多尺，则门的高为尺， 根据勾股定理可得． 5．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 6．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 7．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 8．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 9．如图，长方体的长、宽、高分别为．如果一只小虫从点A开始爬行，经过两个侧面爬行到另一条侧棱的中点B处，那么这只小虫所爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图将正面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与后面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， 如图将下底面与右面展开在同一平面，连接，      由勾股定理得：， ∴从处爬到处的最短路程是． 10．如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ，， 又，， ，， 在和中， ， ， ，，， ， 同理可得， 在中， ， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【答案】12或 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 12．如图，在边长均为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为______． 【答案】 【详解】解：过点C作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为． 故答案为： 13．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 【答案】72000 【分析】 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 14．如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路行走，直接践踏草坪沿行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为，B，C两处的距离为，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 【答案】4 【详解】解：∵，， ∴由勾股定理得，， ∴． ∴践踏草坪少走的距离为． 故答案为：4． 15．小明参加学校“数学实践节”的场地设计项目，需要规划一个直角三角形展区，其中，米，米，如图所示．现要在斜边上安装一个照明灯P，灯需连接展区三个顶点A，B，C的电源接口（接口位于顶点处），为了节省电线，三条电线，，的长度之和的最小值是_______米． 【答案】14.8 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， ∴ ∵点P在上 ∴当时，取得最小值，即取得最小值 此时， ∴ ∴ ∴的最小值为，即的最小值为． 16．如图，在中，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，，则四边形的面积等于________． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ， ∵， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，已知， (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【详解】（1）解：设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 2分 解得， ∴； 3分 （2）解：根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 5分 ∴． 6分 18．如图，在中，点在边上，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的面积． 【详解】（1）证明：，， ， 2分 ， 即． 3分 （2）解：在中，根据勾股定理，得， 即， ． ． 5分 ． 6分 19．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口，，其中，．由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少． 【详解】（1）解：，，， ，， ． 2分 是直角三角形，且， ∴， 是村庄到公路距离最短的路； 3分 （2）解：， ． 由（1）可知， ， 4分 ， ，解得， ， 答：新修的小路比原来的路短． 6分 20．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）． 【详解】（1）解：这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下： ，， ， 这个三角形是“平方倍三角形”． 3分 （2）解：设两直角边长为：，，斜边长为：， 为“平方倍三角形”， ，不妨设， ， ， ， ． 6分 21．某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）． (1)求证：； (2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？ 【详解】(1)∵在中，，，， ∴ （）， （）， ∴， ∴是直角三角形，． 3分 （2）解：设路线的总长度为，路线的总长度为， ． ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 6分 ∴路线总长度：． ∵， ∴路线更短． 8分 22．如图，四边形，、、，连接，且． (1)求的长； (2)若，求的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； 2分 （2）解：如图，过点作交延长线于． ∴， 由(1)知，又知， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，， 5分 ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 8分 23．如图，在中，，点P在边上运动，点D在边上，始终保持与相等，的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接． (1)求的度数． (2)若，，，求线段的长． 【详解】（1）解：， ， 垂直平分， ， ， 2分 ， ， ， ； 4分 （2）解：连接， 设，则，， ，， ，， ， ， 6分 ， ， ， ， 解得， ． 8分 24．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． (1)【数学知识】若，，，求证：； (2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【详解】(1)证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， 3分 ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． 6分 (2)小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 9分 ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 12分 25．【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； (2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【详解】（1）解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； 3分 （2）解：设， ， 在中，，即， 5分 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； 7分 (3)设，则， 在中，， 在中，， 10分 ，即， 解得， ． 12分 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $