专题03 绝对值的化简与分类讨论（题型专练）专题03 绝对值的化简与分类讨论（题型专练）

**基本信息** 以绝对值化简为主线，通过5类题型构建“原理-步骤-易错-联系”的方法体系，层级递进覆盖符号化简、非负性、数轴应用、分类讨论及几何意义，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |化简多重符号|1典例+4变式|符号计数法与逐层化简，区分性质符号与运算符号|基于“负负得正”原理，关联去括号法则与有理数运算| |绝对值非负性|1典例+5变式|非负性“和为零则每项为零”，结合平方非负性|源于距离定义，为分类讨论提供符号判断依据| |数轴化简|1典例+6变式|数轴定位判断代数式正负，分步去绝对值并合并|几何直观与代数化简结合，是分类讨论的特殊情形| |分类讨论化简|1典例+7变式|零点分段法划分区间，逐段判断符号并化简|推广数轴法至未知范围，结合非负性验证结果| |几何意义|1典例+6变式|距离转化法解最值与方程，利用数轴直观分析|深化距离本质，关联数轴动点与最值模型|

专题03 绝对值的化简与分类讨论 （题型突破·举一反三） ▌题型01 化简多重符号 【典例1】 【答案】 4 ﹣9 【分析】利用化简多重符号的方法进行判断符号即可得出答案． 【详解】解：－［－（＋4）］＝－（－4）＝4； ＋［－（＋9）］＝＋（﹣9）＝﹣9 故答案为：4；﹣9． 【点睛】本题主要考查变号问题，熟练掌握“同号得正，异号得负”变号法则是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、多重符号化简等知识点，掌握多重符号的化简规律：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．根据多重符号的化简规律即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【变式1-4】 【答案】 7 【分析】本题考查化简多重符号，求一个数的绝对值，根据化简多重符号的方法，负号的个数奇负偶正，进行化简即可． 【详解】解：，，； 故答案为：． ▌题型02 绝对值的非负性 【典例1】 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， ，， ，， ， 故选D． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值．利用绝对值和平方的非负性，求出和的值，然后计算代数式的值． 【详解】解：∵且， 又， ∴且， ∴，即，，即， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-2】 【答案】B 【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、代数式求值，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，有理数的乘方运算． 根据绝对值的非负性和平方的非负性，求出a和b的值，再计算． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-4】 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 【变式1-5】 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． ▌题型03 利用数轴化简绝对值 【典例1】 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据数轴可得，从而即可得到答案； （2）由（1）可得，，，，再根据绝对值的性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：根据数轴可得：， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）可得：，，，， ， ． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，，是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据数轴得出， ，，，进而可判断以及的正负； （2）由（1）得：，，，然后化简绝对值即可解答． 【详解】（1）解：根据数轴可得，，，， ，， 故答案为：；；； （2）解：由（1）知，，，， ， ， ， ． 【变式1-2】 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了由数轴判断式子的正负，化简绝对值，合并同类项，根据数轴得出相应字母的正负与大小是解题关键． （1）观察数轴可知：，且，再根据有理数的加减解答，即可； （2）观察数轴可知：，且，从而得到，然后根据绝对值的性质化简，即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知：，且， ∴， 故答案为：；； （2）解：观察数轴可知：，且， ∴， ∴ ． 【变式1-3】 【答案】(1)＜，＜，＞ (2)a 【分析】（1）先判断、、的正负，再根据加法、减法法则确定、、的正负，得结论； （2）根据（1）先化简绝对值，再加减． 【详解】（1）由数轴知：，， ，，． 故答案为：，，． （2），，，． ，，，． 原式 ． 【点睛】本题考查了实数加减、绝对值的化简等知识，题目综合性较强，掌握绝对值的化简及有理数加减的符号法则是解决本题的关键． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值的性质、有理数的乘法．先利用数形结合思想可以直观的比较有理数的大小，再利用绝对值的性质即可巧妙的化简含有绝对值的式子．正确去掉绝对值是解本题的关键所在． （1）由数轴知，，从而得出； （2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ． 【变式1-5】 【答案】（1）＞；＜；＜（2） 【分析】（1）观察数轴可知，，，根据有理数的乘法运算法则和加减法运算法则即可解答； （2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值. 【详解】解：（1）由数轴得：，， ∴，， 故答案为＞；＜；＜ （2）∵，， ∴ 【点睛】本题考查数轴、有理数的加减法、乘法以及化简绝对值，熟练掌握各个知识点是解题关键. 【变式1-6】 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】试题分析：（1）在数轴上表示出-a、-b，根据数轴上的数右边的总比左边的大，观察数轴，即可得结论；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可. 试题解析： （1）； （2）根据图示，可得a<-1<0<b<1， ∴a<0，a+b-1<0，b-a-1>0， ∴=-a+2(a+b-1)-(b-a-1)=-a+2a+2b-2- =； （3）∵， ∴c<0. ∵， ∴， ∴c+1>0，c-1<0，a-b+c<0， ∴原式=1-1-（-1）=1. 点睛：本题考查了用数轴比较数的大小：数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．本题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题时要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． ▌题型04 利用分类讨论化简绝对值 【典例1】【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可． 【详解】解：①根据题意得，或，或， ∴或或， ∴的值为或，故①正确； ②当时，异号， 当时，； 当时，； ∴的值为，故②错误； ③∵，， ∴中有1个负数，2个正数， 不妨设， ∴，故③正确； ④由得，， ∴中有1个负数，2个正数或3个都是负数， 当有1个负数，2个正数时，； 当3个都是负数时，； ∴的值为或，故④正确； ⑤由得，中有1个负数，2个正数或有2个负数，1个正数， 当有1个负数，2个正数时，； 当有2个负数，1个正数时，； ∴的所有可能的值为，故⑤正确； 综上，结论正确的是①③④⑤， 故选：A． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】本题考查绝对值的性质以及有理数的运算．解题关键是根据绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合已知条件对字母的正负性进行分析，进而求解． （1）为正数，则代入求解即可； （2），即异号，需要分类讨论：①若，，②若，再化简求解即可； （3）且，可以得到，，需要分类讨论①，②，再化简求解即可． 【详解】（1）解： 为正数，则， 故答案为：1； （2） ，即异号 ①若，， ②若，， 综上所述： 故答案为：； （3） 且 ， ①，， ②， 综上所述，1或 故答案为：1或． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据，得到a、b异号，不妨设，则； （2）根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可； （3）先由题意得到，再根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 不妨设， ∴； （2）解：∵， ∴a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数， 当a、b、c三个都是负数时，； 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴； 综上所述，的值为或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴a、b、c中有三个负数（由题意舍去）或两个正数一个负数， 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴ ， 综上所述，的值为． 【变式1-4】 【答案】（1）0；（2）的值是1或；（3）的值是或1． 【分析】（1）由，知a，b异号，即可得到答案； （2）由，可得a，b，c中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得结果； （3）由，可得a，b，c中有一个为负，两个为正，即可得最终结果． 本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握去绝对值的法则． 【详解】解：（1）∵， 异号， 假设， 则 故答案为：0； （2）∵， 中有一个为负，两个为正或三个都为负 当中有一个为负，两个为正 假设， ∴ ， 当中三个都为负时， ∴ ∴的值是1或； （3）∵， 中有一个为负，两个为正，或者两个为负数，一个为正数 假设 ∴ ， 假设 ∴ ∴的值是或1； 【变式1-5】 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由且，得到和的值，代入求解即可； （2）由、异号分情况讨论：①；②，分别求解即可； （3）由可分情况讨论①皆为正；②一正两负，分别求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， 故答案为或； （2）解：∵， ∴异号， ∵当时，， 当时，， ∴； （3）解：∵， ∴三个数皆为正或一正两负， 当三个数皆为正时， 当三个数一正两负时， ∴或. 【变式1-6】 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，，时，根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （4）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当，时， ， 故答案为：． （2）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （3）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，两正一负，． 故的值为或 （4）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 【变式1-7】 【答案】． 【详解】解：因均不为0，且，故中或两正一负，或两负一正，且，所以． 于是． ▌题型05 绝对值的几何意义 【典例1】 【答案】(1)， (2)或 (3)5；3或 (4)4或 【分析】本题考查了数轴上表示数，两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分，，三种情况讨论即可求解； （4）分当时，则；当时，则；当时，则，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：，数轴上表示的点与表示的点的距离为2， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或； （3）解：即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离， 则的最小值是， 故答案为：； ，即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离和等于7， 当时，， ∴， 当时，， ∴此情况不存在， 当时，， ∴， 故答案为：3或； （4）解：，表示数轴上表示的点与表示，2和的点的距离之和，且有最小值为7， 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴； 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴此情况不存在； 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4或． 【变式1-1】 【答案】(1)； (2)，或 (3)； (4)； 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可． （2）化简绝对值方程即可． （3）根据题意可得原式表示数到的距离，从而可得答案． （4）根据题意可得表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，根据数轴即可得当时，的最小值是． 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， ∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是， 故答案为：；． （2）解：∵表示数轴上表示数与数的两点之间距离等于2， ∴， ∴，， 故答案为：或． （3）解：∵示数轴上表示数的点与点、之间的距离之和， ∴当时，的最小值为 ∴当取最小值时，所有整数的值是， 故答案为：；． （4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离， ∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和， 当时，最小，最小值是， 故答案为：；． 【变式1-2】 【答案】（1）3，5，，或1；（2）6；（3）时取得最小值，最小值为9；（4）最小值为2500， 【分析】（1）根据数轴上的两点之间的距离可直接进行求解； （2）由题意易得，然后根据绝对值的性质可求解； （3）分别讨论当或或或时，然后去绝对值即可求解； （4）根据（3）的结论可直接进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；所以表示数a和的之间的距离是3，则有或； 故答案为3；5；；或1． （2）∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴． （3）由题意可分： ①当时，则有，无最小值； ②当时，则有，无最小值； ③当时，则有，当时，有最小值，最小值为9； ④当时，则有，当时，有最小值，最小值为12； ∴综上所述：最小值为9，在时取得最小值． （4）由（3）中结论可知：当时，原式有最小值， ∴ = = = =2500． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及有理数混合运算的应用，熟练掌握数轴上的两点距离及有理数混合运算的应用是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 且， 最小值为， 所以， 当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 【变式1-4】 【答案】(1)6；或 (2)①，0，1，2，3；3；②；6 (3)菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求出线段的长度，根据的几何意义分两种情况求解即可． （2）①根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7，即可求解；根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差，分为当在1的右边时，和当在1的左边时，求解即可． ②根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离，确定出在和2之间时，三个距离之和最小即可解答． （3）菜鸟驿站P在x处，根据题意得出运输总成本为，再根据其几何意义求出的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：线段的长度， ∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∵， ∴当在2的左边时，则； ∴当在2的右边时，则； 则的值为：或5； 故答案为：6；或5． （2）解：①根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7， ∵， ∴在和3之间， ∴整数的值为：，0，1，2，3； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在1的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为3； 当在1的左边时，则， ∴最大值为3； 故答案为：，0，1，2，3；3． ②解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和2之间的距离，即为6， ∴最小值为6； 故答案为：； （3）解：设菜鸟驿站P在x处， 根据题意可得，运输总成本为， 的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本为12元， ∴菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元/（千份·千米）． 【变式1-5】 【答案】(1)或4 (2)7 (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． 【变式1-6】 【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9 【分析】探究一：根据绝对值的概念可得； 探究二（2）根据绝对值的概念计算即可； （3）根据绝对值的概念计算即可； 解决问题：根据绝对值的概念计算即可； 实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念列方程解答即可； 拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念计算即可． 【详解】探究一：当b＝n时，， 故答案为：n； 探究二：（2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； 解决问题：， 故答案为：； 实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是， 故答案为：5； （2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5， ∴， ∴或， 得或， 故答案为：7或； 拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4， ∴的最小值是4， 故答案为：4； （2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9， ∴的最大值是9， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 绝对值的化简与分类讨论 （题型突破·举一反三） 题型01 化简多重符号 题型02 绝对值的非负性 题型03 利用数轴化简绝对值 题型04 利用分类讨论化简绝对值 题型05 绝对值的几何意义 ▌题型01 化简多重符号 1.本质与原理 化简多重符号是指去掉一个数或代数式前面层层嵌套的正号“+”和负号“-”，最终确定其简化符号。其核心依据是符号法则：一个数前面有奇数个负号时，结果为负；有偶数个负号时，结果为正；正号不改变符号。这源于“负负得正”的基本运算规律，也可理解为每次乘以 -1，奇数次取反，偶数次不变。 2.深度识别特征 题目中出现类似 或 的形式，带有多个括号和符号。 有时与括号的运算结合，如 的化简也属于此类（但可能涉及去括号）。 纯符号化简通常不涉及数值计算，只要求写出最简形式。 3.操作细化步骤 从内向外逐层化简：先处理最内层括号前的符号，再逐层向外。每去一层括号，根据“负号个数奇偶性”改变或保持符号。 计数法：直接数整个式子中负号的个数（不包括括号内数本身的符号），若负号个数为奇数，最终结果为负；若为偶数，结果为正；正号可忽略。 若式子为带括号的代数式（如 ）：必须将负号乘入括号内，即 （分配律），此时不能简单数负号，因为括号内有字母运算。 写出最简形式：化简后通常只保留一个符号（正号可省略）。 4.易错点与注意事项 混淆“负号”与“减号”：在纯符号表达式中，所有“-”都是性质符号；但在代数式中，“-”可能是运算符号，去括号时要按分配律处理。 括号前有系数时：如 ，需先乘系数再化简，不能只数负号个数。 正号不写：最终结果如果是正数，正号通常省略，但学生有时会误写成“+3”也没错，但习惯上省略。 漏层数：多层括号时，易漏掉某一层的负号，建议用计数法校验。 5.与其他方法的联系 是去括号法则的基础，也是有理数加法和乘法符号法则的直接应用。 与“乘法分配律”紧密关联： 可看作 ，展开后即为分配律的逆向运用。 在后续解方程、整式加减中频繁使用，是基本功。 6.变化形式 可推广到多个括号相乘，如 的化简，仍然适用计数法。 与绝对值结合时，如 ，需先化简符号再取绝对值。 在比较大小中，常需先化简符号再比较。 【典例1】－［－（＋4）］＝_________； ＋［－（＋9）］＝___________． 【答案】 4 ﹣9 【分析】利用化简多重符号的方法进行判断符号即可得出答案． 【详解】解：－［－（＋4）］＝－（－4）＝4； ＋［－（＋9）］＝＋（﹣9）＝﹣9 故答案为：4；﹣9． 【点睛】本题主要考查变号问题，熟练掌握“同号得正，异号得负”变号法则是解题的关键． 【变式1-1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简符号： _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、多重符号化简等知识点，掌握多重符号的化简规律：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．根据多重符号的化简规律即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26六年级下·全国·单元复习）化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25七年级上·四川凉山·阶段检测）_____________；_____________：_____________． 【答案】 7 【分析】本题考查化简多重符号，求一个数的绝对值，根据化简多重符号的方法，负号的个数奇负偶正，进行化简即可． 【详解】解：，，； 故答案为：． ▌题型02 绝对值的非负性 1.本质与原理 绝对值的代数定义是：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离。因此任何数的绝对值都是非负的，即 ，且 当且仅当 。这个性质称为绝对值的非负性。它的重要推论是：若若干个绝对值的和等于0，则每个绝对值都必须等于0，即每个未知数都取特定值。这是解决含绝对值方程、求值问题的重要依据。 2.深度识别特征 题目中出现形如 或 的等式。 或者题目条件给出“某式子的绝对值为0”来求参数。 也可能与平方的非负性联合使用，如 。 3.操作细化步骤 识别绝对值的和为零的模式：若题设给出若干个绝对值相加等于0，则根据非负性，每一项绝对值必须分别为0。 分别令每个绝对值内的式子等于0：解出每个未知数的值。 若只有单个绝对值等于0：直接令其内部等于0求解。 若与平方或偶次幂结合：平方也具有非负性，因此同样可以令平方项为0。 代入验证：将求出的值代回原式，确保成立。 4.易错点与注意事项 误以为绝对值可为负：这是最根本的误解，要反复强调绝对值是距离。 忽略绝对值的零值条件：若 ，不能直接推出 ，但如果题目给出 则推出 ，这是非负性的延伸。 多个绝对值相加为0时，必须每个都为0，不能漏解。 与不等式结合：若 ，则 ，这也利用了非负性。 5.与其他方法的联系 是“分类讨论化简绝对值”的基础，因为分类讨论时常常需要用到非负性来判断正负。 与“数轴”联系：非负性源于几何距离，数轴上任意点到原点的距离不可能为负。 在后续学习中，与方程、函数的值域相关。 6.变化形式 可推广到多个绝对值与平方、偶次根式的和为零。 也可用于最值问题：如求 的最小值，利用非负性可得最小值为1。 在证明题中，非负性常用于确定参数范围。 【典例1】若，则的值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，再代入求解即可． 【详解】解： ， ，， ，， ， 故选D． 【变式1-1】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）若，则代数式 (        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值．利用绝对值和平方的非负性，求出和的值，然后计算代数式的值． 【详解】解：∵且， 又， ∴且， ∴，即，，即， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】B 【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、代数式求值，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键． 【变式1-3】（25-26七年级上·河南许昌·期中）若，则的值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，平方的非负性，有理数的乘方运算． 根据绝对值的非负性和平方的非负性，求出a和b的值，再计算． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴且， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-4】（24-25九年级下·全国·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 【变式1-5】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知x，y为有理数，且，则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． ▌题型03 利用数轴化简绝对值 1.本质与原理 绝对值在数轴上的几何意义是两点间的距离。当给定数轴上若干点的位置（通常用字母表示）时，可以通过观察这些点相对于原点以及它们彼此之间的位置关系，判断绝对值内部代数式的正负，从而去掉绝对值符号。其本质是将抽象的绝对值转化为具体的符号判断，再结合“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”进行化简。 2.深度识别特征 题目给出数轴，并在数轴上标出若干个有理数（如 ）的位置（可能含正负）。 要求化简含有这些字母的绝对值表达式，如 、、 等。 有时数轴上只给出大致位置（如 且 ），也需要借助数轴关系判断。 3.操作细化步骤 观察数轴，确定每个字母的正负性：原点左侧为负，右侧为正。 确定任意两个字母的大小关系：数轴右边的数总大于左边的数，因此可判断 是正、负还是零。 对每个绝对值内部的代数式判断符号： 若 ，则 ；若 ，则 。 对于 ，若 ，则 ，绝对值等于 ；若 ，则绝对值等于 （即 ）。 去绝对值符号：根据符号判断，将每个绝对值改写为不含绝对值的代数式。 合并同类项：将得到的代数式进行加减运算，化简至最简。 4.易错点与注意事项 混淆字母的大小关系：必须准确读出数轴上点的左右顺序，如 在 左边，则 。 忽略零的情形：若某点恰好在原点或两点重合，则绝对值为零，需单独考虑（通常题目会明确不重合）。 绝对值前有系数或符号：如 或 ，要先化简绝对值再乘系数。 去括号时的符号变化：当绝对值等于相反数时（如 ），去掉绝对值后要注意括号，如果前面还有负号，需要变号。 5.与其他方法的联系 是“分类讨论化简绝对值”的特殊情形——数轴给出了明确的符号信息，减少了分类。 与“绝对值的几何意义”一致：数轴上两点间的距离可以直接用绝对值表示。 为后续有理数大小比较和运算提供直观支持。 6.变化形式 可涉及多个字母的绝对值差，如 ，需分别判断每个差式的符号。 可结合“相反数”概念：若两点关于原点对称，则它们的绝对值相等。 可在数轴上添加动点，研究绝对值表达式随位置变化的情况。 【典例1】有理数在数轴上的位置如图．    (1)判断正负，用“”或“”填空： ___________0， ___________ 0， __________0， ___________0． (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据数轴可得，从而即可得到答案； （2）由（1）可得，，，，再根据绝对值的性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解：根据数轴可得：， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）可得：，，，， ， ． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，，是解题的关键． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南信阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据数轴得出， ，，，进而可判断以及的正负； （2）由（1）得：，，，然后化简绝对值即可解答． 【详解】（1）解：根据数轴可得，，，， ，， 故答案为：；；； （2）解：由（1）知，，，， ， ， ， ． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了由数轴判断式子的正负，化简绝对值，合并同类项，根据数轴得出相应字母的正负与大小是解题关键． （1）观察数轴可知：，且，再根据有理数的加减解答，即可； （2）观察数轴可知：，且，从而得到，然后根据绝对值的性质化简，即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知：，且， ∴， 故答案为：；； （2）解：观察数轴可知：，且， ∴， ∴ ． 【变式1-3】已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图：    (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0． (2)化简． 【答案】(1)＜，＜，＞ (2)a 【分析】（1）先判断、、的正负，再根据加法、减法法则确定、、的正负，得结论； （2）根据（1）先化简绝对值，再加减． 【详解】（1）由数轴知：，， ，，． 故答案为：，，． （2），，，． ，，，． 原式 ． 【点睛】本题考查了实数加减、绝对值的化简等知识，题目综合性较强，掌握绝对值的化简及有理数加减的符号法则是解决本题的关键． 【变式1-4】（24-25七年级上·吉林·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较、绝对值的性质、有理数的乘法．先利用数形结合思想可以直观的比较有理数的大小，再利用绝对值的性质即可巧妙的化简含有绝对值的式子．正确去掉绝对值是解本题的关键所在． （1）由数轴知，，从而得出； （2）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ ． 【变式1-5】已知a，b，c在数轴上的位置如下图，且|a|＜|c|．    (1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，“＞”填空)； (2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|． 【答案】（1）＞；＜；＜（2） 【分析】（1）观察数轴可知，，，根据有理数的乘法运算法则和加减法运算法则即可解答； （2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值. 【详解】解：（1）由数轴得：，， ∴，， 故答案为＞；＜；＜ （2）∵，， ∴ 【点睛】本题考查数轴、有理数的加减法、乘法以及化简绝对值，熟练掌握各个知识点是解题关键. 【变式1-6】有理数、在数轴上的对应点位置如图所示 （1）用“<”连接、、、 （2）化简： （3）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】试题分析：（1）在数轴上表示出-a、-b，根据数轴上的数右边的总比左边的大，观察数轴，即可得结论；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可；（2）先确定绝对值号里面的式子的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，化简即可. 试题解析： （1）； （2）根据图示，可得a<-1<0<b<1， ∴a<0，a+b-1<0，b-a-1>0， ∴=-a+2(a+b-1)-(b-a-1)=-a+2a+2b-2- =； （3）∵， ∴c<0. ∵， ∴， ∴c+1>0，c-1<0，a-b+c<0， ∴原式=1-1-（-1）=1. 点睛：本题考查了用数轴比较数的大小：数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．本题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题时要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． ▌题型04 利用分类讨论化简绝对值 1.本质与原理 当绝对值内部的代数式符号不确定（即含有未知数或参数，且未给出范围）时，必须根据绝对值的定义，将整个实数集划分为若干区间，在每个区间内确定代数式的正负，从而分别去掉绝对值符号。其理论依据是“零点分段法”——找出每个绝对值内部表达式的零点，这些零点将数轴分成若干段，在每一段上各个表达式的符号是确定的，因此可以分别化简。 2.深度识别特征 化简含有绝对值的代数式，如 。 求含有绝对值的方程或不等式的解，需要分类讨论。 题目中未给出字母的取值范围，或给出条件不足以唯一确定符号。 3.操作细化步骤 求出每个绝对值内部表达式的零点：令每个绝对值内的式子等于0，解出对应的 值。例如，对于 ，零点为 。 将所有零点按大小排列，把数轴分成若干区间：若有 个零点，则分成 个区间（包括零点本身，通常将零点归入某一侧）。 在每个区间内，判断每个绝对值内部的正负：取区间内的一个代表数（如区间的中点），代入各表达式判断符号。 根据符号去掉绝对值：正数直接写本身，负数写相反数。 合并各区间的化简结果：通常写成分段函数的形式，或者针对方程不等式分别求解，再与区间范围求交集。 若题目要求化简为一个整体表达式，往往得到分段表达式。 4.易错点与注意事项 遗漏零点或重复零点：若多个绝对值有相同零点，合并处理，避免区间重复。 区间端点归属：零点处的值应单独讨论，通常可归入相邻任一区间，但需保证不重复不遗漏，有时端点处绝对值为0，两种代入结果一致。 符号判断错误：取代表数时，确保在区间内，并正确计算正负。 最终结果的分段形式要注明取值范围，不能只写化简式不写条件。 若含参数（如 ），分类讨论的区间会含有字母，需小心处理。 5.与其他方法的联系 是“利用数轴化简绝对值”的推广——数轴法给出具体位置，分类讨论法则处理未知位置。 与“绝对值的几何意义”密切相关：分类讨论的每个区间对应数轴上的不同区域，而几何意义可提供直观检验。 在解含有绝对值的方程时，分类讨论后往往与“非负性”结合进行验证。 6.变化形式 可用于化简多个绝对值相加，如 。 可结合“零点分段法”求最值（如绝对值函数的最小值）。 在不等式中的应用更复杂，需要结合不等式性质。 【典例1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（    ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为的有理数，当时，则的值为或； ③已知，，是有理数，，，则； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的运算法则，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． 根据绝对值的意义以及题中条件，逐个分析论证即可． 【详解】解：①根据题意得，或，或， ∴或或， ∴的值为或，故①正确； ②当时，异号， 当时，； 当时，； ∴的值为，故②错误； ③∵，， ∴中有1个负数，2个正数， 不妨设， ∴，故③正确； ④由得，， ∴中有1个负数，2个正数或3个都是负数， 当有1个负数，2个正数时，； 当3个都是负数时，； ∴的值为或，故④正确； ⑤由得，中有1个负数，2个正数或有2个负数，1个正数， 当有1个负数，2个正数时，； 当有2个负数，1个正数时，； ∴的所有可能的值为，故⑤正确； 综上，结论正确的是①③④⑤， 故选：A． 【变式1-1】下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①由题意可得，，则中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由可得中有一个值为负数，求解即可；③根据化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得或，分别求解即可；⑤根据题意可得异号，分两种情况求解即可． 【详解】解：①由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时， 当时， 故①正确； ②由和得中有一个值为负数， ∴，， ∴， 故②错误； ③当时，，， 则，此时最大值为7，最小值为 当时，， 则 故③正确； ④由可得或 当时，与矛盾，舍去； 当时，，且 解得或 则， 故④正确； ⑤由题意可得异号， 当，时，，， 由可得，即符合题意，此时 则 当，时，， 由可得，即，与矛盾，舍去， 综上 故⑤正确； 正确的个数为4 故选：C 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，新定义问题，解题的关键是熟练应用绝对值的性质化简含有绝对值的式子． 【变式1-2】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）已知均为不等于零的有理数，完成下列问题： (1)若为正数，则的值为______； (2)若满足，求的值； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)1或 【分析】本题考查绝对值的性质以及有理数的运算．解题关键是根据绝对值的定义，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合已知条件对字母的正负性进行分析，进而求解． （1）为正数，则代入求解即可； （2），即异号，需要分类讨论：①若，，②若，再化简求解即可； （3）且，可以得到，，需要分类讨论①，②，再化简求解即可． 【详解】（1）解： 为正数，则， 故答案为：1； （2） ，即异号 ①若，， ②若，， 综上所述： 故答案为：； （3） 且 ， ①，， ②， 综上所述，1或 故答案为：1或． 【变式1-3】已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，熟知化简绝对值的方法是解题的关键． （1）根据，得到a、b异号，不妨设，则； （2）根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可； （3）先由题意得到，再根据，得到a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数，再分当a、b、c三个都是负数时，当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设，然后化简绝对值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴a、b异号， 不妨设， ∴； （2）解：∵， ∴a、b、c中有三个负数或两个正数一个负数， 当a、b、c三个都是负数时，； 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴； 综上所述，的值为或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴a、b、c中有三个负数（由题意舍去）或两个正数一个负数， 当a、b、c中有两个正数一个负数时，不妨设， ∴ ， 综上所述，的值为． 【变式1-4】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论思想解决问题的过程，并解答问题． [提出问题]三个有理数a，b，c满足，求的值． [解决问题]由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数 ①a，b，c都是正数，即时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另外两个为负数时，，则＝ ． 综上所述，的值为3或． [探究拓展]请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当时，则_____； （2）已知a，b，c是有理数，当时，求； （3）已知a，b，c是有理数，，求的值． 【答案】（1）0；（2）的值是1或；（3）的值是或1． 【分析】（1）由，知a，b异号，即可得到答案； （2）由，可得a，b，c中有一个为负，两个为正或三个都为负，分类讨论可得结果； （3）由，可得a，b，c中有一个为负，两个为正，即可得最终结果． 本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握去绝对值的法则． 【详解】解：（1）∵， 异号， 假设， 则 故答案为：0； （2）∵， 中有一个为负，两个为正或三个都为负 当中有一个为负，两个为正 假设， ∴ ， 当中三个都为负时， ∴ ∴的值是1或； （3）∵， 中有一个为负，两个为正，或者两个为负数，一个为正数 假设 ∴ ， 假设 ∴ ∴的值是或1； 【变式1-5】（25-26七年级上·北京通州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数，满足，同号，求的值． 【解决问题】 解：由、同号且都不为可知、有两种可能：①、都是正数：②、都是负数． ①若、都是正数，即，，有及，则； ②若、都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，则_____． (2)两个不为0的有理数，满足，求的值． (3)若，则_____． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由且，得到和的值，代入求解即可； （2）由、异号分情况讨论：①；②，分别求解即可； （3）由可分情况讨论①皆为正；②一正两负，分别求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， 故答案为或； （2）解：∵， ∴异号， ∵当时，， 当时，， ∴； （3）解：∵， ∴三个数皆为正或一正两负， 当三个数皆为正时， 当三个数一正两负时， ∴或. 【变式1-6】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘、除法法则； （1）根据，，时，根据绝对值的意义化简绝对值即可； （2）根据，得出，同号或，异号，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （3）根据，得出，，或，，两正一负，然后根据绝对值的意义化简绝对值即可； （4）根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当，时， ， 故答案为：． （2）解：已知，是有理数，当时， ，， ，， ，异号，． 故的值为或． （3）已知，，是有理数，当时， ，，， ，，两正一负，． 故的值为或 （4）已知，，是有理数，，， 所以，，，，，两正一负， 所以 ． 【变式1-7】已知有理数均不为0，且，设，试求代数式的值． 【答案】． 【详解】解：因均不为0，且，故中或两正一负，或两负一正，且，所以． 于是． ▌题型05 绝对值的几何意义 1.本质与原理 绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离。具体地， 表示数 到原点（0）的距离； 表示数 与数 在数轴上对应点之间的距离。这个几何视角将抽象的绝对值转化为直观的距离问题，使得许多问题（如求两点距离、求到定点的距离等于某值的点、求距离之和最值等）变得易于理解和操作。 2.深度识别特征 题目中明确提到“数轴上点 A 到点 B 的距离”或“绝对值表示距离”。 求满足 的 的值，即到定点 的距离为 的点。 求 的最小值，即数轴上一点到两个定点的距离之和的最小值。 比较 与 的大小关系（三角不等式）。 3.操作细化步骤 将绝对值的代数式翻译成距离语言：例如， 表示数轴上点 到点 3 的距离。 利用数轴直观求解： 对于 ，在数轴上找到所有到 的距离为 的点，即 或 。 对于 的最小值，当 位于 和 之间（包括端点）时，距离之和等于 （即两点之间的距离），这是最小值；若 在区间外，则距离之和大于 。 对于 ，表示到两定点距离之差，可借助数轴分析其取值范围。 推广到多个绝对值和的最值：如 的最小值，在中位数处取得（但对于七年级，通常只涉及两个或三个点）。 利用几何意义验证代数结论：例如，三角不等式 可理解为两点间距离不超过它们到原点距离之和。 4.易错点与注意事项 误将 理解为 的绝对值，而忽略顺序：距离与顺序无关，。 在求最值时，忽略区间端点：当 取在两点之间时，距离之和恒为定值，不要漏掉端点。 距离为负值不成立：任何距离不能为负，因此若解出负值应舍去。 多个绝对值时，区间分段可能更多，几何意义虽直观，但有时仍需分类讨论辅助。 5.与其他方法的联系 是“利用数轴化简绝对值”和“分类讨论化简绝对值”的几何基础，反过来，代数化简结果也符合几何直观。 与“绝对值的非负性”本质一致，因为距离本身就是非负的。 在后续学习“一元一次方程的应用”中，绝对值几何意义常用于解决行程、数轴动点问题。 与“数轴上两点中点”概念结合，可以推出中点坐标公式。 6.变化形式 可扩展到平面直角坐标系中两点距离公式（但七年级不涉及）。 可结合“相反数”理解：互为相反数的两个数到原点距离相等。 可用于证明三角不等式、均值不等式等，但在七年级仅需理解直观含义。 在动点问题中，利用几何意义快速得到解集。 【典例1】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是____；数轴上表示x和的两点之间的距离为____； (2)若，则为____； (3)的最小值是____，当，则的值为____； (4)若的最小值为7，则的值为____． 【答案】(1)， (2)或 (3)5；3或 (4)4或 【分析】本题考查了数轴上表示数，两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意求解即可； （2）根据题意求解即可； （3）分，，三种情况讨论即可求解； （4）分当时，则；当时，则；当时，则，三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ， 故答案为：，； （2）解：，数轴上表示的点与表示的点的距离为2， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或； （3）解：即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离， 则的最小值是， 故答案为：； ，即数轴上表示的点到表示的点的距离与到表示的点的距离和等于7， 当时，， ∴， 当时，， ∴此情况不存在， 当时，， ∴， 故答案为：3或； （4）解：，表示数轴上表示的点与表示，2和的点的距离之和，且有最小值为7， 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴； 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴此情况不存在； 当时，则，原式有最小值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4或． 【变式1-1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)表示数轴上表示数与数______的两点之间距离等于2，那么______； (3)的最小值是______，当取最小值时，所有整数的值是______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)； (2)，或 (3)； (4)； 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点距离，绝对值方程，结合数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可． （2）化简绝对值方程即可． （3）根据题意可得原式表示数到的距离，从而可得答案． （4）根据题意可得表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和，根据数轴即可得当时，的最小值是． 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， ∴数轴上表示3和2的两点之间的距离是，表示和1两点之间的距离是， 故答案为：；． （2）解：∵表示数轴上表示数与数的两点之间距离等于2， ∴， ∴，， 故答案为：或． （3）解：∵示数轴上表示数的点与点、之间的距离之和， ∴当时，的最小值为 ∴当取最小值时，所有整数的值是， 故答案为：；． （4）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数的点的距离， ∴结合数轴可知：表示数轴上表示数的点与点、、之间的距离之和， 当时，最小，最小值是， 故答案为：；． 【变式1-2】规律探究和应用： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ；如果表示数a和的之间的距离是3，那么 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值． （3）当a取何值时，的值最小，最小值是多少？ （4）求的最小值，并求出此时a的取值范围． 【答案】（1）3，5，，或1；（2）6；（3）时取得最小值，最小值为9；（4）最小值为2500， 【分析】（1）根据数轴上的两点之间的距离可直接进行求解； （2）由题意易得，然后根据绝对值的性质可求解； （3）分别讨论当或或或时，然后去绝对值即可求解； （4）根据（3）的结论可直接进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于；所以表示数a和的之间的距离是3，则有或； 故答案为3；5；；或1． （2）∵数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴． （3）由题意可分： ①当时，则有，无最小值； ②当时，则有，无最小值； ③当时，则有，当时，有最小值，最小值为9； ④当时，则有，当时，有最小值，最小值为12； ∴综上所述：最小值为9，在时取得最小值． （4）由（3）中结论可知：当时，原式有最小值， ∴ = = = =2500． 【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及有理数混合运算的应用，熟练掌握数轴上的两点距离及有理数混合运算的应用是解题的关键． 【变式1-3】（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 且， 最小值为， 所以， 当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 【变式1-4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1 (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)6；或 (2)①，0，1，2，3；3；②；6 (3)菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1）根据两点之间的距离公式求出线段的长度，根据的几何意义分两种情况求解即可． （2）①根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7，即可求解；根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差，分为当在1的右边时，和当在1的左边时，求解即可． ②根据的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离，确定出在和2之间时，三个距离之和最小即可解答． （3）菜鸟驿站P在x处，根据题意得出运输总成本为，再根据其几何意义求出的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：线段的长度， ∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∵， ∴当在2的左边时，则； ∴当在2的右边时，则； 则的值为：或5； 故答案为：6；或5． （2）解：①根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离的和是7， ∵， ∴在和3之间， ∴整数的值为：，0，1，2，3； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在1的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为3； 当在1的左边时，则， ∴最大值为3； 故答案为：，0，1，2，3；3． ②解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数2的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和2之间的距离，即为6， ∴最小值为6； 故答案为：； （3）解：设菜鸟驿站P在x处， 根据题意可得，运输总成本为， 的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本为12元， ∴菜鸟驿站P建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元/（千份·千米）． 【变式1-5】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【答案】(1)或4 (2)7 (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． 【变式1-6】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用： （1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸： 结合数轴回答下列问题： （1）的最小值是______； （2）的最大值是______． 【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9 【分析】探究一：根据绝对值的概念可得； 探究二（2）根据绝对值的概念计算即可； （3）根据绝对值的概念计算即可； 解决问题：根据绝对值的概念计算即可； 实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念列方程解答即可； 拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念计算即可． 【详解】探究一：当b＝n时，， 故答案为：n； 探究二：（2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； 解决问题：， 故答案为：； 实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是， 故答案为：5； （2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5， ∴， ∴或， 得或， 故答案为：7或； 拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4， ∴的最小值是4， 故答案为：4； （2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9， ∴的最大值是9， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项03 绝对值的化简与分类讨论 （题型突破·举一反三） 题型01 化简多重符号 题型02 绝对值的非负性 题型03 利用数轴化简绝对值 题型04 利用分类讨论化简绝对值 题型05 绝对值的几何意义 ▌题型01 化简多重符号 1.本质与原理 化简多重符号是指去掉一个数或代数式前面层层嵌套的正号“+”和负号“-”，最终确定其简化符号。其核心依据是符号法则：一个数前面有奇数个负号时，结果为负；有偶数个负号时，结果为正；正号不改变符号。这源于“负负得正”的基本运算规律，也可理解为每次乘以 -1，奇数次取反，偶数次不变。 2.深度识别特征 题目中出现类似 或 的形式，带有多个括号和符号。 有时与括号的运算结合，如 的化简也属于此类（但可能涉及去括号）。 纯符号化简通常不涉及数值计算，只要求写出最简形式。 3.操作细化步骤 从内向外逐层化简：先处理最内层括号前的符号，再逐层向外。每去一层括号，根据“负号个数奇偶性”改变或保持符号。 计数法：直接数整个式子中负号的个数（不包括括号内数本身的符号），若负号个数为奇数，最终结果为负；若为偶数，结果为正；正号可忽略。 若式子为带括号的代数式（如 ）：必须将负号乘入括号内，即 （分配律），此时不能简单数负号，因为括号内有字母运算。 写出最简形式：化简后通常只保留一个符号（正号可省略）。 4.易错点与注意事项 混淆“负号”与“减号”：在纯符号表达式中，所有“-”都是性质符号；但在代数式中，“-”可能是运算符号，去括号时要按分配律处理。 括号前有系数时：如 ，需先乘系数再化简，不能只数负号个数。 正号不写：最终结果如果是正数，正号通常省略，但学生有时会误写成“+3”也没错，但习惯上省略。 漏层数：多层括号时，易漏掉某一层的负号，建议用计数法校验。 5.与其他方法的联系 是去括号法则的基础，也是有理数加法和乘法符号法则的直接应用。 与“乘法分配律”紧密关联： 可看作 ，展开后即为分配律的逆向运用。 在后续解方程、整式加减中频繁使用，是基本功。 6.变化形式 可推广到多个括号相乘，如 的化简，仍然适用计数法。 与绝对值结合时，如 ，需先化简符号再取绝对值。 在比较大小中，常需先化简符号再比较。 【典例1】－［－（＋4）］＝_________； ＋［－（＋9）］＝___________． 【变式1-1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）化简符号：___________． 【变式1-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简符号： _______． 【变式1-3】（25-26六年级下·全国·单元复习）化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【变式1-4】（24-25七年级上·四川凉山·阶段检测）_____________；_____________：_____________． ▌题型02 绝对值的非负性 1.本质与原理 绝对值的代数定义是：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离。因此任何数的绝对值都是非负的，即 ，且 当且仅当 。这个性质称为绝对值的非负性。它的重要推论是：若若干个绝对值的和等于0，则每个绝对值都必须等于0，即每个未知数都取特定值。这是解决含绝对值方程、求值问题的重要依据。 2.深度识别特征 题目中出现形如 或 的等式。 或者题目条件给出“某式子的绝对值为0”来求参数。 也可能与平方的非负性联合使用，如 。 3.操作细化步骤 识别绝对值的和为零的模式：若题设给出若干个绝对值相加等于0，则根据非负性，每一项绝对值必须分别为0。 分别令每个绝对值内的式子等于0：解出每个未知数的值。 若只有单个绝对值等于0：直接令其内部等于0求解。 若与平方或偶次幂结合：平方也具有非负性，因此同样可以令平方项为0。 代入验证：将求出的值代回原式，确保成立。 4.易错点与注意事项 误以为绝对值可为负：这是最根本的误解，要反复强调绝对值是距离。 忽略绝对值的零值条件：若 ，不能直接推出 ，但如果题目给出 则推出 ，这是非负性的延伸。 多个绝对值相加为0时，必须每个都为0，不能漏解。 与不等式结合：若 ，则 ，这也利用了非负性。 5.与其他方法的联系 是“分类讨论化简绝对值”的基础，因为分类讨论时常常需要用到非负性来判断正负。 与“数轴”联系：非负性源于几何距离，数轴上任意点到原点的距离不可能为负。 在后续学习中，与方程、函数的值域相关。 6.变化形式 可推广到多个绝对值与平方、偶次根式的和为零。 也可用于最值问题：如求 的最小值，利用非负性可得最小值为1。 在证明题中，非负性常用于确定参数范围。 【典例1】若，则的值为（    ） A．1 B．4 C．9 D．25 【变式1-1】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）若，则代数式 (        ) A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则的值为（    ） A． B．14 C． D．2 【变式1-3】（25-26七年级上·河南许昌·期中）若，则的值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【变式1-4】（24-25九年级下·全国·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-5】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）已知x，y为有理数，且，则的值为__________． ▌题型03 利用数轴化简绝对值 1.本质与原理 绝对值在数轴上的几何意义是两点间的距离。当给定数轴上若干点的位置（通常用字母表示）时，可以通过观察这些点相对于原点以及它们彼此之间的位置关系，判断绝对值内部代数式的正负，从而去掉绝对值符号。其本质是将抽象的绝对值转化为具体的符号判断，再结合“正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”进行化简。 2.深度识别特征 题目给出数轴，并在数轴上标出若干个有理数（如 ）的位置（可能含正负）。 要求化简含有这些字母的绝对值表达式，如 、、 等。 有时数轴上只给出大致位置（如 且 ），也需要借助数轴关系判断。 3.操作细化步骤 观察数轴，确定每个字母的正负性：原点左侧为负，右侧为正。 确定任意两个字母的大小关系：数轴右边的数总大于左边的数，因此可判断 是正、负还是零。 对每个绝对值内部的代数式判断符号： 若 ，则 ；若 ，则 。 对于 ，若 ，则 ，绝对值等于 ；若 ，则绝对值等于 （即 ）。 去绝对值符号：根据符号判断，将每个绝对值改写为不含绝对值的代数式。 合并同类项：将得到的代数式进行加减运算，化简至最简。 4.易错点与注意事项 混淆字母的大小关系：必须准确读出数轴上点的左右顺序，如 在 左边，则 。 忽略零的情形：若某点恰好在原点或两点重合，则绝对值为零，需单独考虑（通常题目会明确不重合）。 绝对值前有系数或符号：如 或 ，要先化简绝对值再乘系数。 去括号时的符号变化：当绝对值等于相反数时（如 ），去掉绝对值后要注意括号，如果前面还有负号，需要变号。 5.与其他方法的联系 是“分类讨论化简绝对值”的特殊情形——数轴给出了明确的符号信息，减少了分类。 与“绝对值的几何意义”一致：数轴上两点间的距离可以直接用绝对值表示。 为后续有理数大小比较和运算提供直观支持。 6.变化形式 可涉及多个字母的绝对值差，如 ，需分别判断每个差式的符号。 可结合“相反数”概念：若两点关于原点对称，则它们的绝对值相等。 可在数轴上添加动点，研究绝对值表达式随位置变化的情况。 【典例1】有理数在数轴上的位置如图．    (1)判断正负，用“”或“”填空： ___________0， ___________ 0， __________0， ___________0． (2)化简：． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南信阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0； (2)化简：． 【变式1-3】已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图：    (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：　　0，　　0，　　0． (2)化简． 【变式1-4】（24-25七年级上·吉林·期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0， 0． (2)化简下面的代数式． 【变式1-5】已知a，b，c在数轴上的位置如下图，且|a|＜|c|．    (1)abc 0，c＋a 0，c－b 0(请用“＜”，“＞”填空)； (2)化简：|a－b|－2|b＋c|＋|c－a|． 【变式1-6】有理数、在数轴上的对应点位置如图所示 （1）用“<”连接、、、 （2）化简： （3）若，且，求的值． ▌题型04 利用分类讨论化简绝对值 1.本质与原理 当绝对值内部的代数式符号不确定（即含有未知数或参数，且未给出范围）时，必须根据绝对值的定义，将整个实数集划分为若干区间，在每个区间内确定代数式的正负，从而分别去掉绝对值符号。其理论依据是“零点分段法”——找出每个绝对值内部表达式的零点，这些零点将数轴分成若干段，在每一段上各个表达式的符号是确定的，因此可以分别化简。 2.深度识别特征 化简含有绝对值的代数式，如 。 求含有绝对值的方程或不等式的解，需要分类讨论。 题目中未给出字母的取值范围，或给出条件不足以唯一确定符号。 3.操作细化步骤 求出每个绝对值内部表达式的零点：令每个绝对值内的式子等于0，解出对应的 值。例如，对于 ，零点为 。 将所有零点按大小排列，把数轴分成若干区间：若有 个零点，则分成 个区间（包括零点本身，通常将零点归入某一侧）。 在每个区间内，判断每个绝对值内部的正负：取区间内的一个代表数（如区间的中点），代入各表达式判断符号。 根据符号去掉绝对值：正数直接写本身，负数写相反数。 合并各区间的化简结果：通常写成分段函数的形式，或者针对方程不等式分别求解，再与区间范围求交集。 若题目要求化简为一个整体表达式，往往得到分段表达式。 4.易错点与注意事项 遗漏零点或重复零点：若多个绝对值有相同零点，合并处理，避免区间重复。 区间端点归属：零点处的值应单独讨论，通常可归入相邻任一区间，但需保证不重复不遗漏，有时端点处绝对值为0，两种代入结果一致。 符号判断错误：取代表数时，确保在区间内，并正确计算正负。 最终结果的分段形式要注明取值范围，不能只写化简式不写条件。 若含参数（如 ），分类讨论的区间会含有字母，需小心处理。 5.与其他方法的联系 是“利用数轴化简绝对值”的推广——数轴法给出具体位置，分类讨论法则处理未知位置。 与“绝对值的几何意义”密切相关：分类讨论的每个区间对应数轴上的不同区域，而几何意义可提供直观检验。 在解含有绝对值的方程时，分类讨论后往往与“非负性”结合进行验证。 6.变化形式 可用于化简多个绝对值相加，如 。 可结合“零点分段法”求最值（如绝对值函数的最小值）。 在不等式中的应用更复杂，需要结合不等式性质。 【典例1】（25-26七年级上·重庆·阶段检测）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（    ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为的有理数，当时，则的值为或； ③已知，，是有理数，，，则； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【变式1-1】下列说法正确的有（    ） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ②已知a，b，c是有理数，且，时，则的值为或3； ③已知时，那么的最大值为7，最小值为； ④若且，则式子的值为； ⑤如果定义，当，，时，的值为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）已知均为不等于零的有理数，完成下列问题： (1)若为正数，则的值为______； (2)若满足，求的值； (3)若且，求的值． 【变式1-3】已知对于非零有理数x，当时，，当时，．请根据上面的知识解答下面的问题： (1)已知a，b是非零有理数，满足，求的值． (2)已知a，b，c是非零有理数，当，求的值． (3)已知a，b，c是非零有理数，满足且，求的值． 【变式1-4】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论思想解决问题的过程，并解答问题． [提出问题]三个有理数a，b，c满足，求的值． [解决问题]由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数 ①a，b，c都是正数，即时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另外两个为负数时，，则＝ ． 综上所述，的值为3或． [探究拓展]请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当时，则_____； （2）已知a，b，c是有理数，当时，求； （3）已知a，b，c是有理数，，求的值． 【变式1-5】（25-26七年级上·北京通州·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的【探究】． 【提出问题】 两个不为0的有理数，满足，同号，求的值． 【解决问题】 解：由、同号且都不为可知、有两种可能：①、都是正数：②、都是负数． ①若、都是正数，即，，有及，则； ②若、都是负数，即，，有及，； 所以的值为2或． 【探究】 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知且，且，则_____． (2)两个不为0的有理数，满足，求的值． (3)若，则_____． 【变式1-6】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面材料，并解决有关问题，在实数范围内我们知道：，当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面的问题： (1)已知是不为0的有理数，当，时，则的值是___________； (2)已知是不为0的有理数，当时，则的值是___________； (3)已知是有理数，当时，求的值； (4)已知是有理数，，求的值是___________． 【变式1-7】已知有理数均不为0，且，设，试求代数式的值． ▌题型05 绝对值的几何意义 1.本质与原理 绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离。具体地， 表示数 到原点（0）的距离； 表示数 与数 在数轴上对应点之间的距离。这个几何视角将抽象的绝对值转化为直观的距离问题，使得许多问题（如求两点距离、求到定点的距离等于某值的点、求距离之和最值等）变得易于理解和操作。 2.深度识别特征 题目中明确提到“数轴上点 A 到点 B 的距离”或“绝对值表示距离”。 求满足 的 的值，即到定点 的距离为 的点。 求 的最小值，即数轴上一点到两个定点的距离之和的最小值。 比较 与 的大小关系（三角不等式）。 3.操作细化步骤 将绝对值的代数式翻译成距离语言：例如， 表示数轴上点 到点 3 的距离。 利用数轴直观求解： 对于 ，在数轴上找到所有到 的距离为 的点，即 或 。 对于 的最小值，当 位于 和 之间（包括端点）时，距离之和等于 （即两点之间的距离），这是最小值；若 在区间外，则距离之和大于 。 对于 ，表示到两定点距离之差，可借助数轴分析其取值范围。 推广到多个绝对值和的最值：如 的最小值，在中位数处取得（但对于七年级，通常只涉及两个或三个点）。 利用几何意义验证代数结论：例如，三角不等式 可理解为两点间距离不超过它们到原点距离之和。 4.易错点与注意事项 误将 理解为 的绝对值，而忽略顺序：距离与顺序无关，。 在求最值时，忽略区间端点：当 取在两点之间时，距离之和恒为定值，不要漏掉端点。 距离为负值不成立：任何距离不能为负，因此若解出负值应舍去。 多个绝对值时，区间分段可能更多，几何意义虽直观，但有时仍需分类讨论辅助。 5.与其他方法的联系 是“利用数轴化简绝对值”和“分类讨论化简绝对值”的几何基础，反过来，代数化简结果也符合几何直观。 与“绝对值的非负性”本质一致，因为距离本身就是非负的。 在后续学习“一元一次方程的应用”中，绝对值几何意义常用于解决行程、数轴动点问题。 与“数轴上两点中点”概念结合，可以推出中点坐标公式。 6.变化形式 可扩展到平面直角坐标系中两点距离公式（但七年级不涉及）。 可结合“相反数”理解：互为相反数的两个数到原点距离相等。 可用于证明三角不等式、均值不等式等，但在七年级仅需理解直观含义。 在动点问题中，利用几何意义快速得到解集。 【典例1】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示5和2的两点之间的距离是____；数轴上表示x和的两点之间的距离为____； (2)若，则为____； (3)的最小值是____，当，则的值为____； (4)若的最小值为7，则的值为____． 【变式1-1】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示3和2的两点之间的距离是______；表示和1两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)表示数轴上表示数与数______的两点之间距离等于2，那么______； (3)的最小值是______，当取最小值时，所有整数的值是______． (4)当______时，的值最小，最小值是______． 【变式1-2】规律探究和应用： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ；如果表示数a和的之间的距离是3，那么 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值． （3）当a取何值时，的值最小，最小值是多少？ （4）求的最小值，并求出此时a的取值范围． 【变式1-3】（24-25七年级上·重庆万州·阶段检测）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【变式1-4】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如：数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离．如：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1 (1)线段的长度是______，设点P在数轴上对应的数为x，若，则______； (2)①找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是________； 的最大值为________； ②由以上探索猜想：当________时，的值最小，最小值为________； (3)如上图，一条笔直的公路边有三个居民区A，B，C和市民广场O，居民区A，B，C分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．A居民区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这3个小区的快递，若快递的运输成本为1元/（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【变式1-5】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【变式1-6】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用： （1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸： 结合数轴回答下列问题： （1）的最小值是______； （2）的最大值是______． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $