专题01 绝对值相关压轴题（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建绝对值压轴题突破体系，通过分类讨论与几何意义两大核心方法，串联非负性、数轴化简等六大题型，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2个核心通法|分类讨论（零点分段）、几何意义（距离法）|提炼绝对值问题底层解法，奠定能力迁移基础| |题型归纳|6题型（1典例+3变式/题型）|非负性求值：非负数和为0则每项为0；数轴去绝对值：据数轴位置化简等|从基础概念到综合应用，形成“性质-运算-动态问题”递进链| |压轴挑战|15道综合题|综合运用通法与题型解法，强化分类讨论与逻辑推理|对接中考压轴考法，提升复杂问题解决能力，发展推理意识|

专题01 绝对值相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用绝对值的非负性求值 题型二、利用数轴去绝对值 题型三、绝对值相关综合问题 题型四、含绝对值的方程 题型五、绝对值相关最值问题 题型六、绝对值相关数轴动点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 分类讨论（零点分段法）：找零点、画数轴、分段讨论。2. 几何意义（距离法）：|x-a| 是数轴上点 x 到点 a 的距离。遇到多个绝对值加减，立刻想距离。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用绝对值的非负性求值 典例1 已知，则（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值．利用绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，得出的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，且， 且， ，， 解得：； ； ． 故选：C． 题型模版 1.特征：若几个非负数之和为0或互为相反数，则每一项必须同时为0。 2.方法：根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 变式1-1若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数均为0是解题的关键． 首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a和b的值，最后计算的值即可． 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 变式1-2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ， 解得：， ， 故选：D． 变式1-3．已知，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”是解题的关键． 【详解】解：∵ ，，且， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， 故选：． 题型二、利用数轴去绝对值 典例1 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数在数轴上的位置判断出，再进行化简即可． 【详解】解：由题意可知，， 故． 题型模版 1.特征：数轴上点的特点、绝对值的化简．根据数轴上点的位置. 2.方法：根据绝对值的定义化简后再合并同类项． 变式1-1如图，a，b是有理数，则式子化简的结果为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由数轴得到且，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：由数轴可知，且， ∴， ∴ ． 变式1-2．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴可知，，，， ，，， ． 故选：D． 变式1-3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶由数轴可得， 则，． 故选∶D． 题型三、绝对值相关综合问题 典例1 在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】，，①正确； ，，，②错误； 当时，，不是正数，③错误； 当时，无意义，④错误； 若，当负数个数为1时，， 当负数个数为2时， 当负数个数为3时，，故⑤正确． 综上，①和⑤正确，共2个． 故选：． 题型模版 1.特征：绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义及分类讨论. 2.方法：根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断．. 变式1-1下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴， ∴，即， ∴不是正数；故②错误； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ④若，则；故④正确； ⑤∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故⑤错误； 综上正确的④，共1个； 故选：A． 变式1-2．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若是有理数，则，原说法正确，符合题意； ④若时，，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵、、均为非零有理数，若， ∴负数个数可能为1或2或3个： 1个负数时，， 2个负数时，， 3个负数时， 综上，，则的值为 2 或，原说法正确，符合题意； 故选：B． 变式1-3．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．下列说法中正确的有(   )个． ① 若，点表示的数是，则点表示的数是； ② 当取最小值时，所有满足条件的整数有个： ③ 当时， 代数式的最小值为： ④ 若、、满足则的最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：① 由，解得或，点的位置可能为或，故错误； ②当时，的最小值为， 的最小值对应整数有个，故错误； ③ 代入得值为，但最小值在时为，代数式的最小值为而非4，故错误； ④ 当，，，取得最小值， 当各因子取最小值时，则当时，的最小值为而非，故错误， 故选：A． 题型四、含绝对值的方程 典例1 若，则______． 【答案】1或 【分析】根据绝对值的性质，绝对值等于的数为和，【详解】解： 或 当时，解得 当时，解得 题型模版 1.特征：含有绝对值的一元一次方程。 2.方法：根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解 变式1-1若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 变式1-2．若，则______________． 【答案】或 【详解】解： ∴或 解得： 解得： ∴或． 变式1-3．若，则的值为________． 【答案】2或0 【详解】解：， 或 ， 当时，移项得， 当时，移项得． 故答案为：2或0． 题型五、绝对值相关最值问题 典例1 （1）的最小值是_______； （2）的最小值是_______． 【答案】 2 【详解】解：（1）可以表示在数轴上表示到1、2、3三个数的距离和， 当最中间点到的距离为0时，距离和最小，即当，即时，取最小值. （2） 同理（1）可知：原式可以表示在数轴上表示到距离的2倍，到距离的3倍，到距离的7倍的和， 当在最中间的点到的距离为0时，距离和最小，当时，即时，取最小值. 故答案为（1）2；（2）. 题型模版 1.特征：绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义。 2.方法：利用数轴上点到点的距离和，最小值通常出现在中间点. 变式1-1的最小值是______． 【答案】8 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 变式1-2．已知是有理数，则的最小值是______． 【答案】14 【详解】解：根据绝对值的几何意义表示到的距离； 表示到的距离；表示到的距离； 的最小值时，满足条件； 则 故答案为：14. 变式1-3．已知，，且，则的最大值是______ ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的化简． 分别求出x，y的值，由取值计算即可． 【详解】解：， 或， ， 或， ， 异号， 取，或，，分别得到为或， 所以的最大值是1． 题型六、绝对值相关数轴动点问题 典例1 如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 【答案】（1）3或1；； （2）或 （3）或 【详解】解：（1）∵， ∴或 解得或1； ∵即 ∴表示的数为1和的中点 ∴ （2）∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴ 当时，，， 解得； 当时，，， 此情况不成立，舍去 当时，，， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10， （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为， 点、之间的距离为 点到点、点的距离和 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 时，，， 即 解得 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和． 题型模版 1.特征：1. 三大元素：数轴上至少有一个点会动（带速度）、有静点、有距离（常给出 AB=2 或 AB = t）。 2. 蕴含绝对值：求距离必用绝对值（|a-b|），解距离相等必解绝对值方程。 3. 时间参数 t：所有答案都是关于 t 的代数式，最后让你求 t 的值或运动路径。 2.方法：观察动点之间的相对顺序是否改变。若运动速度不同，顺序可能变；若速度相同（相对静止），顺序不变，可直接去绝对值化简为常数。 变式1-1．如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空： ；若 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【答案】(1)， (2)当经过秒或秒时，动点到点、点的距离之和为 (3)当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【详解】（1）解：，，三点分别表示的数为、、， ，， 故答案为：，； （2）设当经过秒时，动点到点、点的距离之和为， ， 点表示的数为， ，， ， 解得或， 当经过秒或秒时，动点到点、点的距离之和为； （3）当取最小值时，， 点表示的数为， 设经过的时间为秒， 当到达点时，秒，当返回到点时，秒； 当到达点时，秒，点返回到点时，秒； ①当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意知， 解得或（舍）； ②当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 解得（舍）； ③当时，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得， 解得或（舍）或（舍）， 综上所述，当经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 变式1-2．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为A B．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，12． (1)直接写出结果， ___________， ___________； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则___________； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是___________； ③点P为直线上的一个动点，则的最大值是___________；最小值是___________； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①1，②③，； (3)1，，7或． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，． （2）解：①∵点P为线段的中点， ∴， ∴，解得． 故答案为：． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， 故答案为：． ③当点P在射线上，如图 即 此时 当点P在线段上，如图 即 此时 ∴； 当点P在线段上，如图 即 此时 则 ∴； 即 当点P在射线上，如图 即 此时 综上：则的最大值是22；最小值是； 故答案为：22 （3）解：∵动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， ∴， ∴点M表示的数为，； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为，． 当时，， ∴或 解得或； 当时，， ∴或 解得或． ∴存在t值，使得，，，7或． 变式1-3．如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【答案】(1)或；； (2)经过或秒时动点到点和点的距离之和为； (3)或或． 【详解】（1）解：， 或， 解得：或， ， 或， 解得：（前一方程无解）， 故答案为：或；； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，点对应的数可以表示为， ①当时，点在点B左侧， ，， 由题意得：， 解得：； ②当时，点在点和点中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点在的右侧．，， 由题意得：， 解得：； 综上所述，经过或时动点到点和点的距离之和为； （3）设经过的时间为， 当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为 又点到点的距离为， ， 解得：或， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为， 又点到点的距离为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，关键是熟练应用知识点解题； 根据绝对值的定义，结合条件 ，排除不满足的情况，计算 的值． 【详解】解：∵ ，∴ 或， ∵ ，∴ 或 ， 又∵ ， ∴或 当时，； 当时，； ∴的值为或 ； 故选 ：B． 2．已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先根据，得到p与q的值，然后结合，选取满足条件的p，q的值，分别计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：C． 3．若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，求代数式的值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．根据得，求得，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴判断 a，b，c 的正负性及绝对值内代数式的符号，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：由数轴，得 ∴， ∴ ． 5．有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，，，，根据负数的绝对值等于它的相反数去绝对值符号，合并同类项即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，， ∴ ． 6．利用绝对值的几何意义，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的减法，理解绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键；根据绝对值的几何意义可知的几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和，当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小，即可得解． 【详解】解：几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和， 当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小， 的最小值是， 故选：． 7．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，且满足，则下列各式：①；②；③．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及有理数运算法则的应用，解题的关键是掌握绝对值的性质．①根据数轴上数的正负来判断大小即可；②根据数轴上数的正负和绝对值的意义进行判断即可；③根据数轴上数的正负去掉绝对值符号再计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即，故②正确； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的有2个． 故选：C． 8．，则_____，若，则_________ 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 9．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【分析】由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而得出的值． 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 10．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 11．若，则______． 【答案】或3 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握“若（），则或”是解题的关键．根据绝对值的定义，将含绝对值的方程转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，解得， 当时，解得， 故答案为：或． 12．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 13．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，， ， . 14．有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的位置，结合有理数的加法法则可得答案； （2）根据（1）中结论和绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，，则； （2）解：∵，， ∴ ． 15．【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）或6.5；（3）①3；，，0，1；②有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对值的几何意义是解题的关键； （1）根据题意可知可看作是数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为，然后问题可求解； （2）同理（1）可求； （3）根据绝对值的几何意义及数轴上两点距离可进行求解①②． 【详解】解：（1）由可知：数轴上表示数x的点与表示数的点之间的距离为， ∴或， 解得：或， 故答案为或； （2）由可知：数轴上表示数x的点到表示数和3的点之间的距离之和为12， ∵， 当数轴上表示数x的点在表示数的左侧时，则有：， 解得：； 当数轴上表示数x的点在表示数3的右侧时，则有：， 解得：； 故答案为或6.5； （3）①由可知：数轴上表示数x的点到表示数和1的点之间的距离之和， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数和1的点之间取得最小值，此时x可以取的整数有，，0，1； 故答案为3；，，0，1； ②由可变形为， ∴同理①可知：当数轴上表示数x的点在表示数和4的点之间取得最小值， ∴最小值为； 由可知：数轴上表示数x的点到表示数和5的点之间的距离之差， ∵， ∴根据绝对值的几何意义可知：当数轴上表示数x的点在表示数5的右侧时，取得最大值，最大值为7； 答：有最小值，最小值为13；有最大值，最大值为7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 绝对值相关压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用绝对值的非负性求值 题型二、利用数轴去绝对值 题型三、绝对值相关综合问题 题型四、含绝对值的方程 题型五、绝对值相关最值问题 题型六、绝对值相关数轴动点问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 1. 分类讨论（零点分段法）：找零点、画数轴、分段讨论。2. 几何意义（距离法）：|x-a| 是数轴上点 x 到点 a 的距离。遇到多个绝对值加减，立刻想距离。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用绝对值的非负性求值 典例1 已知，则（    ） A．1 B． C． D．5 题型模版 1.特征：若几个非负数之和为0或互为相反数，则每一项必须同时为0。 2.方法：根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 变式1-1若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 变式1-2．若，则（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知，则代数式的值是（    ） A．1 B． C．0 D． 题型二、利用数轴去绝对值 典例1 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：数轴上点的特点、绝对值的化简．根据数轴上点的位置. 2.方法：根据绝对值的定义化简后再合并同类项． 变式1-1如图，a，b是有理数，则式子化简的结果为（　　） A．0 B． C． D． 变式1-2．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简式子的结果为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型三、绝对值相关综合问题 典例1 在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型模版 1.特征：绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义及分类讨论. 2.方法：根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断．. 变式1-1下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-2．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式1-3．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．下列说法中正确的有(   )个． ① 若，点表示的数是，则点表示的数是； ② 当取最小值时，所有满足条件的整数有个： ③ 当时， 代数式的最小值为： ④ 若、、满足则的最小值为． A．0 B．1 C．2 D．3 题型四、含绝对值的方程 典例1 若，则______． 题型模版 1.特征：含有绝对值的一元一次方程。 2.方法：根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此列出两个一元一次方程，分别求解 变式1-1若，则 __________． 变式1-2．若，则______________． 变式1-3．若，则的值为________． 题型五、绝对值相关最值问题 典例1 （1）的最小值是_______； （2）的最小值是_______． 题型模版 1.特征：绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义。 2.方法：利用数轴上点到点的距离和，最小值通常出现在中间点. 变式1-1的最小值是______． 变式1-2．已知是有理数，则的最小值是______． 变式1-3．已知，，且，则的最大值是______ ． 题型六、绝对值相关数轴动点问题 典例1 如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 题型模版 1.特征：1. 三大元素：数轴上至少有一个点会动（带速度）、有静点、有距离（常给出 AB=2 或 AB = t）。 2. 蕴含绝对值：求距离必用绝对值（|a-b|），解距离相等必解绝对值方程。 3. 时间参数 t：所有答案都是关于 t 的代数式，最后让你求 t 的值或运动路径。 2.方法：观察动点之间的相对顺序是否改变。若运动速度不同，顺序可能变；若速度相同（相对静止），顺序不变，可直接去绝对值化简为常数。 变式1-1．如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． (1)填空： ；若 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒个单位长度的速度返回点，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 变式1-2．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为A B．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，12． (1)直接写出结果， ___________， ___________； (2)设点P在数轴上对应的数为x． ①若点P为线段的中点，则___________； ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是___________； ③点P为直线上的一个动点，则的最大值是___________；最小值是___________； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 变式1-3．如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知，，且，则的值为（   ） A． B．或 C． D．以上都不是 2．已知，且，则的值是（   ） A．6或 B．6或 C．10或 D．6或10 3．若，则多项式的值为（    ） A． B．5 C． D． 4．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简的结果为（     ） A． B． C． D． 5．有理数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 6．利用绝对值的几何意义，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 7．有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，且满足，则下列各式：①；②；③．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．，则_____，若，则_________ 9．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 10．若，则的值为________． 11．若，则______． 12．若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 13．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 14．有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 15．【问题背景】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴作为一个非常重要的数学工具，它揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础． 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点之间的距离；又如式子，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离；即若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B之间的距离可表示为．请你根据上述材料，尝试探究并解决下列问题． 【问题探究】 （1）若，则_______． （2）若，则_______． 【问题解决】 （3）利用数轴解决以下问题： ①的最小值为_______，此时x可以取的整数有_______； ②有最小值吗？有最大值吗？若有，请直接写出答案；若没有，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $