专题6 第二章有理数运算压轴题专题3绝对值问题专项训练-2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦绝对值核心考点，构建从代数意义、几何意义到多绝对值综合应用的递进式训练体系，融合符号意识与几何直观，提炼分类讨论、零点分段等解题方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数意义|6题|符号判断与概念辨析|从绝对值定义出发，结合数轴深化符号意识| |几何意义|2题|距离转化与数形结合|将代数问题转化为数轴距离问题，发展几何直观| |非负性|3题|非负性质应用与方程求解|利用绝对值非负性构建等量关系，培养推理意识| |多绝对值化简与分类讨论|4题|分类讨论与符号规则|通过参数取值范围分类，提升逻辑推理能力| |多绝对值与零点分类法|1题|零点分段与分段化简|引入零点值划分区间，强化分类讨论的系统性| |多绝对值的最值问题|2题|奇点偶段法与几何模型|结合数轴模型分析最值，发展空间观念与创新意识|

专题6 第二章有理数运算压轴题专题3绝对值问题 类型一 绝对值的代数意义 1．若，则m一定（   ） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 2．下列说法：①若|x|＋x＝0，则x为负数；②若－a不是负数，则a为非正数；③|－a2|＝（－a）2；④若，则＝－1；⑤若|a|＝－b，|b|＝b，则a≥b． 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 4．“符号化思想”不仅能简化记正负数的问题，也能简化和规范解答题的过程．如下题中符号“”表示因为；“”表示所以．，为条件①；为条件②．故可简化和规范解答如下，请根据信息完成答题：已知：，且，求的值． 解：，， ，． 又（备注：“又”可以不写）， ①当时，，则． ②当时，，则． 综上所述：的值为2或． (1)已知：，，且，求的值． (2)已知：，，且，求的值． 5．已知：，． (1)若，，求的值； (2)若，定义一种运算：，求的值； (3)若，求的值． 6．将1~200的200个自然数任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为，另一组从大到小排列，设为．求代数式的值． 类型二 绝对值的几何意义 7．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例：数轴上表示数和数3的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示和2的两点之间的距离等于______；如果表示数a和的两点之间的距离等于3，那么______． (2)若数轴上表示数m的点位于和2之间，求的值． (3)如图，点A、O、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、C表示的数分别是a、c．若点A代表的数为，B为A右侧的一个动点，用b表示，数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式的值都不变，求的值． 8．如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____； (3)请写出的几何意义，并求出当时的值； (4)请画出数轴求的最小值，并直接写出此时可取哪些整数值． 类型三 绝对值的非负性 9．若，则a是（   ） A．零 B．负数 C．负数或零 D．非负数 10．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 11．若与互为相反数，求： (1) 的值； (2) 的值. 类型四 多绝对值的化简与分类讨论 12．已知x，y为有理数，且，求的值． 13．若为整数且，求的值． 14．若三个非零有理数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．或3 15．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则______． 16．阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： (1)已知是有理数，当时，求的值； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，求的值． 类型五 多绝对值与零点分类法 17．阅读下列材料． 我们知道，现在我们利用这一结论来化简含绝对值的代数式． 例如：化简代数式． 可令和，分别求得和（这里称，2分别为与的零点值）． 在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；． 从而在化简代数式时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 所以 通过以上阅读，解决下列问题： (1)的零点值是______； (2)化简； (3)直接写出的最大值． 类型六 多绝对值的最值问题（含奇点偶段法） 18．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是__________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_______________；最小值是_________； (3)，x的值是________； (4)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 19．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： (1)若，则________，若，则________； (2)的最小值是________，若，则________； (3)代数式的最小值为________； (4)求代数式的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6 第二章有理数运算压轴题专题3绝对值问题 类型一 绝对值的代数意义 1．若，则m一定（   ） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的非负性解决此题． 【详解】解：， ． 故选：C． 2．下列说法：①若|x|＋x＝0，则x为负数；②若－a不是负数，则a为非正数；③|－a2|＝（－a）2；④若，则＝－1；⑤若|a|＝－b，|b|＝b，则a≥b． 其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据相反数的定义、绝对值的性质、有理数的乘方运算逐个判断即可得． 【详解】①项，|x|＋x＝0，由绝对值的概念可知，所以，即为负数或零，故①项错误； ②项，－a不是负数，即为正数或零，由相反数的概念可知a为负数或零，即为非正数，故②项正确； ③项，，所以，故③项正确； ④项，a为正时，的值为1；a为负时，的值为-1，对有相同结论，又因为，可知a、b异号，，则＝－1，故④项正确； ⑤项，由|b|＝b可知；又因为|a|＝－b，，所以可得a=0，b=0，所以a=b，故⑤项错误； 综上所述，正确的说法有②③④三个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值、相反数、有理数的乘方等知识点，属于综合题，熟练掌握绝对值和相反数的概念是解题的关键． 3．有理数 a、b、c在数轴上所对应的点的位置如图：    (1)在数轴上表示； (2)化简： ； (3)用“>”或“<”填空： 0， 0， 0； 化简：． 【答案】(1) 如图所示， (2) (3)，，；0 【分析】（1）a为负数，负数的绝对值是它的相反数，根据绝对值的意义即可表示出的位置； （2）分别计算、、和与0的大小关系，再根据有理数混合运算法则进行计算即可； （3）数轴上的点，右边总比左边的大，据此确定各项的符号，再根据绝对值的意义化简计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得：， ∴、、、， ∴ 故答案为：； （3）解：∵， ，，； ∴ 故答案为：，，． 【点睛】本题考查利用数轴判断式子的符号，整式的加减，以及化简绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 4．“符号化思想”不仅能简化记正负数的问题，也能简化和规范解答题的过程．如下题中符号“”表示因为；“”表示所以．，为条件①；为条件②．故可简化和规范解答如下，请根据信息完成答题：已知：，且，求的值． 解：，， ，． 又（备注：“又”可以不写）， ①当时，，则． ②当时，，则． 综上所述：的值为2或． (1)已知：，，且，求的值． (2)已知：，，且，求的值． 【答案】(1)的值为8或 (2)的值为或 【分析】仿照题意先求出，，再根据对应的条件确定出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：，， ，． 又， ①当时，，则． ②当时，，则． 综上所述：的值为8或． （2）解：，， ，． 又 ①当时，，则． ②当时，，则． 综上所述：的值为或． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，求一个数的绝对值，有理数的乘法计算，有理数的减法计算等等，正确理解题意是解题的关键． 5．已知：，． (1)若，，求的值； (2)若，定义一种运算：，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，倒数，相反数以及绝对值、求代数式的值，熟练掌握有理数运算法则是解本题的关键． （1）利用绝对值的代数意义求出与的值，代入代数式计算即可求值； （2）把的值代入定义的算式中即可求解； （3）根据，可得，得出或，再代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或． 6．将1~200的200个自然数任意分为两组（每组100个），将一组从小到大排列，设为，另一组从大到小排列，设为．求代数式的值． 【答案】10000 【分析】设组有k个数小于等于100，那么B组数也有k个大于100，任意，，其余个组数大于100，其余个组数小于等于100，对于任意，， 由此得出 ，得到 ，正好是大于100小于等于200的自然数的和减去小于等于100的自然数的和即可得出答案． 本题考查数字问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 【详解】解：设，，则，， ∴， 对于任意，，对于任意，， ∴ ． 类型二 绝对值的几何意义 7．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，例：数轴上表示数和数3的两点之间的距离等于． (1)数轴上表示和2的两点之间的距离等于______；如果表示数a和的两点之间的距离等于3，那么______． (2)若数轴上表示数m的点位于和2之间，求的值． (3)如图，点A、O、C从左向右依次在数轴上的位置如图所示，点O在原点，点A、C表示的数分别是a、c．若点A代表的数为，B为A右侧的一个动点，用b表示，数轴上B、C两点之间有一动点M，点M表示的数为x，无论点M运动到何处，代数式的值都不变，求的值． 【答案】(1)5；或 (2)6 (3)或 【分析】本题考查两点间的距离，绝对值，整式加减中的无关型问题，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点的位置，化简绝对值即可； （3）化简绝对值，合并同类项后，根据代数式的值不变，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：； 或； 故答案为：5；或． （2）∵数轴上表示数m的点位于和2之间， ∴； （3）由题意，点在点的右侧，则， 当时， ， ∵代数式的值都不变， ∴， ∴； 当时， ， ∵代数式的值都不变， ∴， ∴； 综上：或． 8．如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为_____； (3)请写出的几何意义，并求出当时的值； (4)请画出数轴求的最小值，并直接写出此时可取哪些整数值． 【答案】(1)； (2) (3)表示与之间的距离，或 (4)最小值是，此时可取的整数值是：，，，，，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质， 对于（1），根据两点之间的距离可得答案； 对于（2），根据两点之间的距离可得答案； 对于（3），根据两点之间的距离可得或，求出解即可； 对于（4），根据题意可得当时，取得最小值，进而得出整数解. 【详解】（1）解：由题意可得，数轴上表示和两点之间的距离是：，数轴上表示和的两点之间的距离是：. 故答案为：4，3； （2）解：由题意可得，数轴上表示和的两点之间的距离是：， 故答案为： （3）解：表示与之间的距离， ， 或， 或； （4）解：由数轴可知当时，取得最小值， 最小值是：， 此时，可取的整数值是：，，，，，，，． 即的最小值是，此时可取的整数值是：，，，，，，，. 类型三 绝对值的非负性 9．若，则a是（   ） A．零 B．负数 C．负数或零 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．根据绝对值的意义解答即可． 【详解】解：当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 故选C． 10．若，则的值是（    ）． A．5 B．1 C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出x、y的值，然后代入所求代数式中求解即可． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴； 则． 故选A． 11．若与互为相反数，求： (1) 的值； (2) 的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据相反数的定义：两数之和为0，两个数互为相反数，求出的值，代入求出绝对值即可； （2）据相反数的定义：两数之和为0，两个数互为相反数，求出的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∴． 【点睛】本题考查了相反数的定义和绝对值的非负性．熟练掌握相反数的定义和绝对值的非负性是解题的关键． 类型四 多绝对值的化简与分类讨论 12．已知x，y为有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值；根据绝对值的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．若为整数且，求的值． 【答案】2，见解析． 【详解】解：因均为整数，故均为非负整数，由，只能得或者． 当时，，这时． 当时，，这时． 故总有． 14．若三个非零有理数满足，则的值为（    ） A．3 B． C．0 D．或3 【答案】D 【分析】根据得到，再分中有两个小于0、均大于0两种情况分别求解即可． 【详解】解：， ， 当中有两个小于0时，原式； 当均大于0时，原式． 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值的意义和化简、多个数相乘的法则、有理数的加减法则等知识，分类讨论是解题的关键． 15．已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则______． 【答案】7 【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答． 【详解】解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 16．阅读下列材料：，即当时，．用这个结论可以解决下面问题： (1)已知是有理数，当时，求的值； (2)已知是有理数，当时，求的值； (3)已知是有理数，，求的值． 【答案】(1)2 (2)或3 (3) 【分析】本题考查了有理数的加法、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c的分类讨论．注意． （1）根据和绝对值的意义计算得到结果； （2）对、、进行讨论，然后计算的结果； （3）根据是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：是有理数，， ； （2）解：是有理数，当时， ①； ②； 故的值为或3； （3）解：因为是有理数，． 所以两正一负， 因为两正一负时，， 所以 ． 类型五 多绝对值与零点分类法 17．阅读下列材料． 我们知道，现在我们利用这一结论来化简含绝对值的代数式． 例如：化简代数式． 可令和，分别求得和（这里称，2分别为与的零点值）． 在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：；；． 从而在化简代数式时，可分以下三种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 所以 通过以上阅读，解决下列问题： (1)的零点值是______； (2)化简； (3)直接写出的最大值． 【答案】(1)5 (2) (3)最大值为4 【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算． （1）先令，再解方程可得零点值； （2）先令令和，可得和，再分三种情况化简绝对值即可； （3）令和，可得和，再分三种情况化简绝对值，再求解化简后的代数式的值的范围即可得到最大值． 【详解】（1）解：令，解得：， ∴的零点值是． （2）令和，解得和 ①当时，原式 ②当时，原式； ③当时，原式． ∴ （3）令和，解得和， 当时， ； 当时， ， 当时，代数式的值最大，最大为， 当时， ， 综上：的最大值为：4 类型六 多绝对值的最值问题（含奇点偶段法） 18．【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是____________________________________，若，则x的值为_________； (2)当|取最小值时，x可以取整数_______________；最小值是_________； (3)，x的值是________； (4)当x=_________时，的值最小，最小值为_________； 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或 (2)，，，0，1；4 (3)或5 (4)，7 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）结合题意直接可以得出在数轴上的几何意义，表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点，结合数轴找到点即可； （2）表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，找到满足条件的点即可； （3）表示数轴上x到与x到3的距离之和，分当x在的左边和当x在3的右边两种情况求解即可； （4）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小，x应该在与1之间的线段上，当是，x到、x到与x到1的距离之和最小． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的几何意义是：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 表示数轴上与有理数的点之间的距离等于6的点， 由于，， 所以x得知为或． 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或； （2）解：表示数轴上x到与x到1的距离之和最小，最小值是， 所以x应该在与1之间的线段上， 所以x可以取整数，，，0，1． 故答案为：，，，0，1；4； （3）解：即表示数轴上x到与x到3的距离之和， 由于， ∴x在的左边或x在3的右边． 当x在的左边时，， 解得； 当x在3的右边时，， 解得， 所以x的值是或4； 故答案为：或4； （4）解：表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和最小， 所以x应该在与1之间的线段上，且当是，x到、x到与x到1的距离之和最小，最小值为到1的距离为7； 故答案为：，7． 19．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： (1)若，则________，若，则________； (2)的最小值是________，若，则________； (3)代数式的最小值为________； (4)求代数式的最小值． 【答案】(1)3或；2或 (2)3；或3 (3) (4)2500 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为，2，则的值即为线段的长度与线段的长度之和，再分当点A在点B左侧时，当点A在点B与C之间时，当点A在点C右侧时，三种情况求出的最小值为3，再由，得到或，据此去绝对值解方程即可； （3）同（2）可得，当时，有最小值，又有当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可； （4）同理推出当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点对应的数为3和， ∴x的值为3或； ∵在数轴上与距离为4的点对应的数为2和， ∴x的值为2或； 故答案为：3或；2或； （2）解：设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为，2， ∴的值即为线段的长度与线段的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时，    如图所示，当点A在点B与C之间时，    如图所示，当点A在点C右侧时，    ∴综上所述，当点A在点B与C之间时，有最小值3； ∵当点A在点B与C之间时，的最小值为3，， ∴或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，若，则或； 故答案为：3；或3； （3）解：同（2）可得，当时，有最小值， 又∵， ∴当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16； （4）解：同（2）可得当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， …… 当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，解绝对值方程，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $