专题02 有理数混合运算技巧（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算6大核心技巧，构建“原理-特征-步骤-易错-联系”五层方法体系，实现从单点技巧到系统思维的提升，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |凑整法|1典例+3变式|基于运算律，识别互补项，统一形式后配对凑整|与拆项法配合，延伸至乘法凑整思想| |拆项法|1典例+3变式|带分数拆为整数与分数部分，分组合并|负带分数拆法为核心，结合组合法分组| |组合法|1典例+3变式|按分母、符号或类型分组，减少通分次数|与拆项法互补，同分母优先组合| |裂项相消法|1典例+3变式|分母因式分解后拆为差式，抵消中间项|基于分式恒等变形，迁移至三项乘积裂项| |乘法分配律|1典例+3变式|正向展开与逆向提取公因式，简化运算|融合凑整与拆项思想，代数变形基础工具| |错位相减法|1典例+3变式|等比数列求和，乘公比后错位相减消项|方程思想应用，与裂项法同属构造消项策略|

专题02 有理数混合运算技巧 （题型突破·举一反三） ▌题型01 凑整法 【典例1】 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：原式 【变式1-1】 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的加法．利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： 【变式1-2】 【答案】-4 【分析】利用加法的交换律与结合律先对分母相同的有理数进行加法运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】（+）+（-3）+（-1）+（+2）+（+）+（-2） =（+）+（+）+（-3）+（+2）+（-1）+（-2） =[（+）+（+）]+[（-3）+（+2）]+[（-1）+（-2）] =1+(-1)+(-4) =-4. 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，涉及了有理数加法的交换律与结合律，根据式子的特点灵活运用相关知识是解题的关键. 【变式1-3】 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． 去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解： ． ▌题型02 拆项法 【典例1】 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 【变式1-1】 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1-2】 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 【变式1-3】 【答案】(1)，， (2)4046 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． （1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，． （2）解： ． ▌题型03 组合法 【典例1】 【答案】－2500 【分析】从左边开始，相邻的两项分成一组，共分成组，每组的和是，据此即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，找到规律方可简化计算． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据观察可得，即有25个相乘，再求解即可； （2）先把整数部分相加，再把分数部分相加即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据式子的特点找出计算的简便方法是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)1012 【分析】本题考查了有理数的加减运算，乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，再添加括号，然后计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，进行简算即可． （2）合理分组：，每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ； （2）解： 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； 原式 ． ▌题型04 裂项相消法 【典例1】 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 【变式1-1】 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），将原式整理为，再计算即可； 对于（2），仿照上述做法，应用裂项公式，提取公因数后消项即可； 对于（3），先提出负号，再将分母写成乘积的形式，然后裂项，消项即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． ▌题型05 巧用乘法分配律 【典例1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律进行简算即可； （2）除法变乘法，再用乘法分配律进行简算即可． 【详解】（1）解：； （2）原式． 【点睛】本题考查有理数的乘除法．熟练掌握有理数的乘除法则，以及有理数的乘法运算律，是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）先变形，然后根据乘法分配律计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用. 【变式1-2】 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． ▌题型06 错位相减法 【典例1】 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，审清题意、掌握所给的算法成为解题的关键． 仿照题中给出的推理计算方法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴，即的值是． 故答案为：． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而完成解答； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而完成解答． 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①可得：． 所以． （2）解：令，① 则，② ②－①可得：，解得：． 所以． 【变式1-2】 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）依照题意设设值，然后在其两边同乘以3得，再求出两式的差变形即可． （2）可仿照（1）求解； （3）仿照（1）求解． 【详解】解：（1）设①， 则：②， ②①得：， 即：； （2）设①， 则②， ①②得：， 即； （3）设① 且， ② ②①得：， ， 即：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，解题的关键是理解题目中所体现的一种解题方法与思路，培养学生的自学能力． 【变式1-3】 【答案】①；②. 【分析】①根据材料中的方法，设原式=S，两边乘以5变形后，相减求出S即可； ②根据材料中的方法，设原式=S，两边乘以3变形后，相加求出S即可. 【详解】①设S=， 则5S=， 所以5S-S=5101-1， 所以S=， 所以=； ②设S=， 则3S=， 所以3S+S=32017+1， 所以S=， 所以=. 【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解题目中的运算方法是解题的关键. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数运算 （题型突破·举一反三） 题型01 凑整法 题型02 拆项法 题型03 组合法 题型04 裂项相消法 题型05 巧用乘法分配律 题型06 错位相减法 ▌题型01 凑整法 1.本质与原理 凑整法基于加法交换律和结合律，利用数的互补关系（如小数部分互补、分数与小数互化后互补）将若干个数凑成整数（尤其是10、100、1000等）。其数学依据是：在加法中，任意调换加数顺序或添加括号不影响最终和。 2.深度识别特征 算式中同时出现小数和分数，且某些小数与分数的小数部分或分数部分之和恰好为整数。 多个数相加，其中某些数的末位数字或小数部分（如0.25与0.75，0.125与0.875）明显互补。 出现互为相反数的项（如 +3.2 与 -3.2），这本身就是最直接的凑零。 3.操作细化步骤 统一形式：观察所有数，将小数化为分数或分数化为小数，选择一种统一形式，但不必强制全部统一——只需把能凑整的几项化为相同形式即可。 配对寻找：用加法交换律将能凑整的项移动到一起，注意移动时要带上前面的符号。 添加括号：用结合律将配对项括起来，明确先算。 计算配对和：快速得出每个括号内的整数或简单数。 剩余项合并：将未配对的项依次计算，最终得出结果。 4.易错点与注意事项 符号丢失：移动项时务必连同其前面的“+” “-”号一起移动，例如 移动后仍是“-3.2”。 误判互补：并非所有小数都能凑整，需精确计算小数部分之和是否为1（或整数）。 过度拆分：有时凑整需要拆数，比如把 3.8 拆成 4 - 0.2，但拆分会增加步骤，需权衡是否真的简便。 5.与其他方法的联系 与“拆项法”常常配合：带分数可拆出整数部分来凑整，分数部分再单独处理。 在乘法中也有“凑整”思想（如 25×4=100），但在本章有理数乘法中通常归入“巧用分配律”或“因数分解”。 6.变化形式 多个数相加，不仅限于两项互补，也可以三项或更多项凑整，例如 0.3+0.4+0.3=1.0。 减法中也可使用，如 可将减数凑整再减。 【典例1】（24-25七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：原式 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）简便计算：． 【答案】3 【分析】此题考查了有理数的加法．利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解： 【变式1-2】计算：（+）+（-3）+（-1）+（+2）+（+）+（-2）； 【答案】-4 【分析】利用加法的交换律与结合律先对分母相同的有理数进行加法运算，然后再按运算顺序进行计算即可. 【详解】（+）+（-3）+（-1）+（+2）+（+）+（-2） =（+）+（+）+（-3）+（+2）+（-1）+（-2） =[（+）+（+）]+[（-3）+（+2）]+[（-1）+（-2）] =1+(-1)+(-4) =-4. 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，涉及了有理数加法的交换律与结合律，根据式子的特点灵活运用相关知识是解题的关键. 【变式1-3】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． 去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】解： ． ▌题型02 拆项法 1.本质与原理 拆项法主要针对带分数（尤其是负带分数）的加减运算。带分数由整数和真分数合成，将每个带分数拆成“整数部分 + 分数部分”，就能把整数与整数归并、分数与分数归并，避免逐一通分。其数学依据是加法结合律和减法转化为加法的法则。 2.深度识别特征 算式中出现多个带分数（如 、 等）。 这些带分数的整数部分和分数部分各自有规律（如整数部分可抵消，分数部分分母相同或便于通分）。 特别是负带分数，若不拆项，计算时容易出错。 3.操作细化步骤 将每个带分数转化为“整数 + 分数”的规范形式：对于正带分数 ，写作 ；对于负带分数 ，必须写作 ，千万不能写成 。 将所有整数部分（包括符号）集中求和：将所有正负整数相加，得到一个整数。 将所有分数部分集中求和：将所有正负真分数相加，此时需要通分，但通常分母种类较少。 将整数和与分数和相加：得到最终结果（若分数和为假分数，可化为带分数再合并）。 4.易错点与注意事项 负带分数的拆法是重中之重，学生常误把 拆成 ，正确是 。可借助数轴理解：负带分数是小于负整数的数。 通分时的符号：分数部分求和时，每个分数都带有正负号，通分后分子相加减时要谨慎。 最终结果化简：若分数部分为假分数，需化为带分数，然后再与整数部分相加。 5.与其他方法的联系 拆项后常与“凑整法”结合，因为整数部分可能互相抵消或凑整。 也可视为“组合法”的一种特殊形式——按整数和分数分别组合。 6.变化形式 不仅用于带分数，也可用于小数（拆成整数部分和小数部分），但小数拆项不如分数直观，故较少用。 在乘法中，带分数可拆成整数加分数，然后运用乘法分配律，这也是拆项思想的延伸。 【典例1】（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式1-2】阅读下面的解题方法，回答问题． 计算：． 解：原式= = = =． 上述解题方法叫作拆项法，请按此方法计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 【变式1-3】（25-26六年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 【答案】(1)，， (2)4046 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． （1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，． （2）解： ． ▌题型03 组合法 1.本质与原理 组合法是指将具有共同特征（如同分母、同类型、可简单通分）的项放在一起计算，以减少通分次数或降低计算难度。其数学基础同样是加法交换律和结合律。 2.深度识别特征 算式中分数较多，且存在多个分母相同或成倍数关系的分数。 存在正负数混合，可以把所有正数归一组、所有负数归一组，分别求和（此为“归类组合”）。 存在整数、小数、分数混合，可按类型分组。 3.操作细化步骤 观察分母特征：找出所有分数的分母，判断是否有相同分母、互为倍数、或互质但通分后公分母较小。 按分母分组：将分母相同的分数用交换律移在一起，每组分别通分求和（分母相同的直接加减分子）。 对于不同分母组：如果组数不多，各组分别通分；如果组数多，可考虑整体通分，但整体通分较繁琐，故分组更优。 若含整数或小数：可将整数、小数分别归组，最后与分数组合并。 合并各组结果：将所有组的计算结果相加，注意符号。 4.易错点与注意事项 分组过多：不是所有同分母都必须放在一起，如果移动项过多容易出错，要权衡。 符号转移：移项时符号要带全。 通分后约分：每组求和后应约分为最简分数，避免最后结果复杂。 5.与其他方法的联系 与“拆项法”互补：拆项先拆整数和分数，而组合法则是在分数部分内部按分母再分组。 与“凑整法”常常结合——组合后若出现互补分数，可进一步凑整。 6.变化形式 乘法中也可“组合”，比如把乘积为整数的因数配对（如 ）。 在多个括号的加减中，也可以将括号内同类项组合。 【典例1】计算：． 【答案】－2500 【分析】从左边开始，相邻的两项分成一组，共分成组，每组的和是，据此即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，找到规律方可简化计算． 【变式1-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 【变式1-2】用适当的方法计第，并写清解题过程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据观察可得，即有25个相乘，再求解即可； （2）先把整数部分相加，再把分数部分相加即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，根据式子的特点找出计算的简便方法是解题的关键． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】本题考查了有理数的加减运算，乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，再添加括号，然后计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，进行简算即可． （2）合理分组：，每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ； （2）解： 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； 原式 ． ▌题型04 裂项相消法 1.本质与原理 裂项相消法的核心是将一个分数拆分成两个分数之差（或和），使得展开后中间项正负抵消。最常见的模型是 。其原理是分式的恒等变形，利用等式两边通分后分子相等来验证。此方法可极大简化形如“连加分数且分母为连续整数乘积”的和式。 2.深度识别特征 算式为若干个分数之和，每个分数的分母是两个因数相乘，且因数之间相差固定值（常见为1，也可为2、3等）。 分子通常为1，但也可为其他常数（若分子不为1，可先提取公因数）。 项数较多，且分母有明显的规律（如 ）。 3.操作细化步骤 验证分母形式：检查每项分母是否可写成 （d为固定差）。 确定裂项公式：若为 ，则拆成 。若d=1，则直接为 。 写出裂项后的展开式：将每一项按照公式展开，注意不要丢失系数 。 观察抵消规律：展开后，除了第一项的正数和最后一项的负数，其余各项均会成对抵消（如 ）。 计算残余项：将残余项合并，得出结果。 4.易错点与注意事项 系数处理：当分母差不为1时，容易忘记乘以 。例如 应拆成 。 符号顺序：裂项后的两项顺序很重要，一般是“前项减后项”，若写成“后项减前项”则抵消模式不同，但也能做，需保持统一。 项数判定：展开后要准确判断第一项和最后一项是哪几个，避免漏掉。 5.与其他方法的联系 与“错位相减法”有相似思路——都是通过构造抵消简化求和，但裂项是局部拆项，错位是整体乘比。 也可与“组合法”结合，若裂项后出现同类分数可合并。 6.变化形式 分母为三项乘积时，可裂成两个分数之差，但较复杂（如 ）。 分子不是1时，可提取分子因数后再裂项。 也可用于乘法形式，但较少见。 【典例1】（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 【变式1-1】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用裂项抵消法解答问题． （1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想； （2）根据式子的特点，采用裂项抵消法可以解答本题； （3）将题目中的式子变形，然后裂项抵消即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）由（1）得： ； （3） ． 【变式1-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 对于（1），将原式整理为，再计算即可； 对于（2），仿照上述做法，应用裂项公式，提取公因数后消项即可； 对于（3），先提出负号，再将分母写成乘积的形式，然后裂项，消项即可． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． ▌题型05 巧用乘法分配律 1.本质与原理 乘法分配律是 。其逆用是 。在有理数运算中，灵活运用分配律可将复杂乘法转化为简单乘法，或将复杂加法转化为乘法后一次计算。它是代数变形最基础也最强大的工具。 2.深度识别特征 算式中有乘法与加减法混合，且存在相同因数（或互为相反数的因数）。 括号外的数与括号内各项相乘后，会得到整十、整百或简单分数。 逆用时，各项含有公因数，可提取公因数使括号内变为简单整数。 3.操作细化步骤 正向使用（展开）： 识别括号外的因数与括号内的加减项。 将因数分别乘以括号内的每一项（注意符号：因数带符号，每项也带符号）。 分别计算出各乘积，再合并。 逆向使用（提取公因式）： 观察各项是否含有相同的因数（包括数字因数和字母因数，本章主要是数字）。 提取公因数，将其放在括号外，括号内为剩余部分相加减。 计算括号内的简单结果，再乘以公因数。 4.易错点与注意事项 符号错误：当括号前为负号时，展开后括号内每一项都要变号，例如 。 提取公因数不彻底：有时公因数是分数或小数，要确保提取后括号内没有可以再提的公因数。 分数乘法的约分：使用分配律时，可以先约分再乘，以减少计算量。 5.与其他方法的联系 是“凑整法”在乘法中的体现（如 99×13 = (100-1)×13）。 常与“拆项法”结合，将带分数拆成整数和分数，再用分配律。 也是“组合法”的逆用——组合法是合并同类项，而提取公因式就是合并同类项的过程。 6.变化形式 多个括号相乘时，可先分别展开再合并，但有时也可先整体提取公因式。 小数与分数混合时，可将小数化为分数以方便约分。 连乘中可交换因数顺序，把能约分的放在一起（乘法交换律）。 【典例1】用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律进行简算即可； （2）除法变乘法，再用乘法分配律进行简算即可． 【详解】（1）解：； （2）原式． 【点睛】本题考查有理数的乘除法．熟练掌握有理数的乘除法则，以及有理数的乘法运算律，是解题的关键． 【变式1-1】运用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）先变形，然后根据乘法分配律计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用. 【变式1-2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． ▌题型06 错位相减法 1.本质与原理 错位相减法适用于求等比数列的和，即每一项都是前一项乘以同一个常数（公比）。设原和为 ，将 乘以公比 得到 ，此时 与 的对应项相同，错位相减后中间项全部抵消，从而可解出 。其理论基础是等比数列的定义和方程思想。 2.深度识别特征 算式为若干个数的和，且相邻两项的比值恒定（例如 1, 2, 4, 8, 16... 比值为2；或 3, 9, 27... 比值为3）。 这些数常常是幂的形式，如 。 也可用于有规律的循环小数化分数，但本章较少涉及。 3.操作细化步骤 设和为S：将原式记为 。 确定公比q：计算任意相邻两项的比值（如）。 写出qS的表达式：将原式每一项都乘以q，注意新式子要从第二项开始与原式对应，通常写作 （其中 ）。 作差：用 或 ，选择使运算方便的。通常用 时，右边为 ，因为中间项抵消。 解方程：得到 ，从而 （若用 则分母为 ）。 4.易错点与注意事项 公比判断错误：必须确保每一项与后一项的比值完全相同。 项数计算：要准确知道总共有多少项，尤其在幂指数范围中，如从0到n共n+1项。 符号处理：若公比为负数，相减时注意符号。 错位对齐：相减时要把两个式子的同次项对齐，以免漏项。 5.与其他方法的联系 与裂项相消法本质上都是“消去中间项”，但错位相减是整体性消去。 在有理数运算中，错位相减也可用于某些非等比但可转化为等比的和式（如乘以一个合适的数后变成等比）。 与“凑整法”无关，但都属于“构造法”。 6.变化形式 公比可为分数（如），此时乘以公比后式子更简单。 也可用于无限循环小数化为分数，但需极限思想，七年级较少涉及。 若首项不为1，只需代入公式即可。 【典例1】（24-25七年级上·全国·单元复习）为了求的值，可令，则，因此，，所以，即，仿照以上推理计算：的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，审清题意、掌握所给的算法成为解题的关键． 仿照题中给出的推理计算方法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴，即的值是． 故答案为：． 【变式1-1】（25-26七年级上·甘肃酒泉·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② 得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)______．（结果用幂表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算．理解并掌握题干中的计算方法是解题的关键． （1）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而完成解答； （2）根据题中计算方法，可以对所求式子变形，从而完成解答． 【详解】（1）解：令，① 则，② ②－①可得：． 所以． （2）解：令，① 则，② ②－①可得：，解得：． 所以． 【变式1-2】在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个数的2倍，于是他设：①，然后在①式的两边都乘以2，得： ②；②-①得 （1）求的值； （2）求的值； （3）求（且）的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）依照题意设设值，然后在其两边同乘以3得，再求出两式的差变形即可． （2）可仿照（1）求解； （3）仿照（1）求解． 【详解】解：（1）设①， 则：②， ②①得：， 即：； （2）设①， 则②， ①②得：， 即； （3）设① 且， ② ②①得：， ， 即：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，解题的关键是理解题目中所体现的一种解题方法与思路，培养学生的自学能力． 【变式1-3】仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值. 解：令S＝ ， 则2S＝ ， 所以2S﹣S＝ ，即S=， 所以＝ 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： ①       ② 【答案】①；②. 【分析】①根据材料中的方法，设原式=S，两边乘以5变形后，相减求出S即可； ②根据材料中的方法，设原式=S，两边乘以3变形后，相加求出S即可. 【详解】①设S=， 则5S=， 所以5S-S=5101-1， 所以S=， 所以=； ②设S=， 则3S=， 所以3S+S=32017+1， 所以S=， 所以=. 【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解题目中的运算方法是解题的关键. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数混合运算技巧 （题型突破·举一反三） 题型01 凑整法 题型02 拆项法 题型03 组合法 题型04 裂项相消法 题型05 巧用乘法分配律 题型06 错位相减法 ▌题型01 凑整法 1.本质与原理 凑整法基于加法交换律和结合律，利用数的互补关系（如小数部分互补、分数与小数互化后互补）将若干个数凑成整数（尤其是10、100、1000等）。其数学依据是：在加法中，任意调换加数顺序或添加括号不影响最终和。 2.深度识别特征 算式中同时出现小数和分数，且某些小数与分数的小数部分或分数部分之和恰好为整数。 多个数相加，其中某些数的末位数字或小数部分（如0.25与0.75，0.125与0.875）明显互补。 出现互为相反数的项（如 +3.2 与 -3.2），这本身就是最直接的凑零。 3.操作细化步骤 统一形式：观察所有数，将小数化为分数或分数化为小数，选择一种统一形式，但不必强制全部统一——只需把能凑整的几项化为相同形式即可。 配对寻找：用加法交换律将能凑整的项移动到一起，注意移动时要带上前面的符号。 添加括号：用结合律将配对项括起来，明确先算。 计算配对和：快速得出每个括号内的整数或简单数。 剩余项合并：将未配对的项依次计算，最终得出结果。 4.易错点与注意事项 符号丢失：移动项时务必连同其前面的“+” “-”号一起移动，例如 移动后仍是“-3.2”。 误判互补：并非所有小数都能凑整，需精确计算小数部分之和是否为1（或整数）。 过度拆分：有时凑整需要拆数，比如把 3.8 拆成 4 - 0.2，但拆分会增加步骤，需权衡是否真的简便。 5.与其他方法的联系 与“拆项法”常常配合：带分数可拆出整数部分来凑整，分数部分再单独处理。 在乘法中也有“凑整”思想（如 25×4=100），但在本章有理数乘法中通常归入“巧用分配律”或“因数分解”。 6.变化形式 多个数相加，不仅限于两项互补，也可以三项或更多项凑整，例如 0.3+0.4+0.3=1.0。 减法中也可使用，如 可将减数凑整再减。 【典例1】（24-25七年级上·全国·课堂例题）用简便方法计算： 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）简便计算：． 【变式1-2】计算：（+）+（-3）+（-1）+（+2）+（+）+（-2）； 【变式1-3】计算：． ▌题型02 拆项法 1.本质与原理 拆项法主要针对带分数（尤其是负带分数）的加减运算。带分数由整数和真分数合成，将每个带分数拆成“整数部分 + 分数部分”，就能把整数与整数归并、分数与分数归并，避免逐一通分。其数学依据是加法结合律和减法转化为加法的法则。 2.深度识别特征 算式中出现多个带分数（如 、 等）。 这些带分数的整数部分和分数部分各自有规律（如整数部分可抵消，分数部分分母相同或便于通分）。 特别是负带分数，若不拆项，计算时容易出错。 3.操作细化步骤 将每个带分数转化为“整数 + 分数”的规范形式：对于正带分数 ，写作 ；对于负带分数 ，必须写作 ，千万不能写成 。 将所有整数部分（包括符号）集中求和：将所有正负整数相加，得到一个整数。 将所有分数部分集中求和：将所有正负真分数相加，此时需要通分，但通常分母种类较少。 将整数和与分数和相加：得到最终结果（若分数和为假分数，可化为带分数再合并）。 4.易错点与注意事项 负带分数的拆法是重中之重，学生常误把 拆成 ，正确是 。可借助数轴理解：负带分数是小于负整数的数。 通分时的符号：分数部分求和时，每个分数都带有正负号，通分后分子相加减时要谨慎。 最终结果化简：若分数部分为假分数，需化为带分数，然后再与整数部分相加。 5.与其他方法的联系 拆项后常与“凑整法”结合，因为整数部分可能互相抵消或凑整。 也可视为“组合法”的一种特殊形式——按整数和分数分别组合。 6.变化形式 不仅用于带分数，也可用于小数（拆成整数部分和小数部分），但小数拆项不如分数直观，故较少用。 在乘法中，带分数可拆成整数加分数，然后运用乘法分配律，这也是拆项思想的延伸。 【典例1】（24-25七年级上·广东汕头·阶段检测）（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【变式1-1】（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． 【变式1-2】阅读下面的解题方法，回答问题． 计算：． 解：原式= = = =． 上述解题方法叫作拆项法，请按此方法计算： ． 【变式1-3】（25-26六年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． ▌题型03 组合法 1.本质与原理 组合法是指将具有共同特征（如同分母、同类型、可简单通分）的项放在一起计算，以减少通分次数或降低计算难度。其数学基础同样是加法交换律和结合律。 2.深度识别特征 算式中分数较多，且存在多个分母相同或成倍数关系的分数。 存在正负数混合，可以把所有正数归一组、所有负数归一组，分别求和（此为“归类组合”）。 存在整数、小数、分数混合，可按类型分组。 3.操作细化步骤 观察分母特征：找出所有分数的分母，判断是否有相同分母、互为倍数、或互质但通分后公分母较小。 按分母分组：将分母相同的分数用交换律移在一起，每组分别通分求和（分母相同的直接加减分子）。 对于不同分母组：如果组数不多，各组分别通分；如果组数多，可考虑整体通分，但整体通分较繁琐，故分组更优。 若含整数或小数：可将整数、小数分别归组，最后与分数组合并。 合并各组结果：将所有组的计算结果相加，注意符号。 4.易错点与注意事项 分组过多：不是所有同分母都必须放在一起，如果移动项过多容易出错，要权衡。 符号转移：移项时符号要带全。 通分后约分：每组求和后应约分为最简分数，避免最后结果复杂。 5.与其他方法的联系 与“拆项法”互补：拆项先拆整数和分数，而组合法则是在分数部分内部按分母再分组。 与“凑整法”常常结合——组合后若出现互补分数，可进一步凑整。 6.变化形式 乘法中也可“组合”，比如把乘积为整数的因数配对（如 ）。 在多个括号的加减中，也可以将括号内同类项组合。 【典例1】计算：． 【变式1-1】（24-25七年级上·全国·单元测试）计算． (1) (2) 【变式1-2】用适当的方法计第，并写清解题过程． (1) (2) 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算． (1) (2) ▌题型04 裂项相消法 1.本质与原理 裂项相消法的核心是将一个分数拆分成两个分数之差（或和），使得展开后中间项正负抵消。最常见的模型是 。其原理是分式的恒等变形，利用等式两边通分后分子相等来验证。此方法可极大简化形如“连加分数且分母为连续整数乘积”的和式。 2.深度识别特征 算式为若干个分数之和，每个分数的分母是两个因数相乘，且因数之间相差固定值（常见为1，也可为2、3等）。 分子通常为1，但也可为其他常数（若分子不为1，可先提取公因数）。 项数较多，且分母有明显的规律（如 ）。 3.操作细化步骤 验证分母形式：检查每项分母是否可写成 （d为固定差）。 确定裂项公式：若为 ，则拆成 。若d=1，则直接为 。 写出裂项后的展开式：将每一项按照公式展开，注意不要丢失系数 。 观察抵消规律：展开后，除了第一项的正数和最后一项的负数，其余各项均会成对抵消（如 ）。 计算残余项：将残余项合并，得出结果。 4.易错点与注意事项 系数处理：当分母差不为1时，容易忘记乘以 。例如 应拆成 。 符号顺序：裂项后的两项顺序很重要，一般是“前项减后项”，若写成“后项减前项”则抵消模式不同，但也能做，需保持统一。 项数判定：展开后要准确判断第一项和最后一项是哪几个，避免漏掉。 5.与其他方法的联系 与“错位相减法”有相似思路——都是通过构造抵消简化求和，但裂项是局部拆项，错位是整体乘比。 也可与“组合法”结合，若裂项后出现同类分数可合并。 6.变化形式 分母为三项乘积时，可裂成两个分数之差，但较复杂（如 ）。 分子不是1时，可提取分子因数后再裂项。 也可用于乘法形式，但较少见。 【典例1】（25-26七年级上·浙江湖州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【变式1-1】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（1）猜想并写出：______； 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（3）探究并计算：． 【变式1-2】（25-26七年级上·四川成都·期中）阅读材料： 在计算时，直接计算很繁琐，我们可以采用“裂项——消项”法简化运算．如下所示： 方法应用：试用“裂项——消项”法解下面各题： (1)通过观察，计算的值________；（直接写出结果） (2)； (3)． 【变式1-3】（25-26七年级上·广东佛山·阶段检测）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． ▌题型05 巧用乘法分配律 1.本质与原理 乘法分配律是 。其逆用是 。在有理数运算中，灵活运用分配律可将复杂乘法转化为简单乘法，或将复杂加法转化为乘法后一次计算。它是代数变形最基础也最强大的工具。 2.深度识别特征 算式中有乘法与加减法混合，且存在相同因数（或互为相反数的因数）。 括号外的数与括号内各项相乘后，会得到整十、整百或简单分数。 逆用时，各项含有公因数，可提取公因数使括号内变为简单整数。 3.操作细化步骤 正向使用（展开）： 识别括号外的因数与括号内的加减项。 将因数分别乘以括号内的每一项（注意符号：因数带符号，每项也带符号）。 分别计算出各乘积，再合并。 逆向使用（提取公因式）： 观察各项是否含有相同的因数（包括数字因数和字母因数，本章主要是数字）。 提取公因数，将其放在括号外，括号内为剩余部分相加减。 计算括号内的简单结果，再乘以公因数。 4.易错点与注意事项 符号错误：当括号前为负号时，展开后括号内每一项都要变号，例如 。 提取公因数不彻底：有时公因数是分数或小数，要确保提取后括号内没有可以再提的公因数。 分数乘法的约分：使用分配律时，可以先约分再乘，以减少计算量。 5.与其他方法的联系 是“凑整法”在乘法中的体现（如 99×13 = (100-1)×13）。 常与“拆项法”结合，将带分数拆成整数和分数，再用分配律。 也是“组合法”的逆用——组合法是合并同类项，而提取公因式就是合并同类项的过程。 6.变化形式 多个括号相乘时，可先分别展开再合并，但有时也可先整体提取公因式。 小数与分数混合时，可将小数化为分数以方便约分。 连乘中可交换因数顺序，把能约分的放在一起（乘法交换律）。 【典例1】用简便方法计算： (1) (2) 【变式1-1】运用简便方法计算： (1) (2) 【变式1-2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． ▌题型06 错位相减法 1.本质与原理 错位相减法适用于求等比数列的和，即每一项都是前一项乘以同一个常数（公比）。设原和为 ，将 乘以公比 得到 ，此时 与 的对应项相同，错位相减后中间项全部抵消，从而可解出 。其理论基础是等比数列的定义和方程思想。 2.深度识别特征 算式为若干个数的和，且相邻两项的比值恒定（例如 1, 2, 4, 8, 16... 比值为2；或 3, 9, 27... 比值为3）。 这些数常常是幂的形式，如 。 也可用于有规律的循环小数化分数，但本章较少涉及。 3.操作细化步骤 设和为S：将原式记为 。 确定公比q：计算任意相邻两项的比值（如 ）。 写出qS的表达式：将原式每一项都乘以q，注意新式子要从第二项开始与原式对应，通常写作 （其中 ）。 作差：用 或 ，选择使运算方便的。通常用 时，右边为 ，因为中间项抵消。 解方程：得到 ，从而 （若用 则分母为 ）。 4.易错点与注意事项 公比判断错误：必须确保每一项与后一项的比值完全相同。 项数计算：要准确知道总共有多少项，尤其在幂指数范围中，如从0到n共n+1项。 符号处理：若公比为负数，相减时注意符号。 错位对齐：相减时要把两个式子的同次项对齐，以免漏项。 5.与其他方法的联系 与裂项相消法本质上都是“消去中间项”，但错位相减是整体性消去。 在有理数运算中，错位相减也可用于某些非等比但可转化为等比的和式（如乘以一个合适的数后变成等比）。 与“凑整法”无关，但都属于“构造法”。 6.变化形式 公比可为分数（如），此时乘以公比后式子更简单。 也可用于无限循环小数化为分数，但需极限思想，七年级较少涉及。 若首项不为1，只需代入公式即可。 【典例1】（24-25七年级上·全国·单元复习）为了求的值，可令，则，因此，，所以，即，仿照以上推理计算：的值是______． 【变式1-1】（25-26七年级上·甘肃酒泉·期中）数学课上老师出了一道题计算：，老师在教室巡视了一圈，发现同学们都做不出来，于是给出答案： 解：令，① 则，② 得． 根据以上方法请计算： (1)；（写出过程，结果用幂表示） (2)______．（结果用幂表示） 【变式1-2】在求的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个数的2倍，于是他设：①，然后在①式的两边都乘以2，得： ②；②-①得 （1）求的值； （2）求的值； （3）求（且）的值． 【变式1-3】仔细阅读下面的例题，找出其中规律，并解决问题： 例：求的值. 解：令S＝ ， 则2S＝ ， 所以2S﹣S＝ ，即S=， 所以＝ 仿照以上推理过程，计算下列式子的值： ①       ② 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $