专题04 有理数规律探究问题（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04有理数规律探究问题 (题型突破举一反三) 题型01数字类规律探究 典例精析 【典例1】 【答案】-399 举一反三 【变式1】 【答案】 2n-1 【变式2】 【答案】C 【变式3】 【答案】B 【变式4】c 题型02四则运算中的规律探究 典例精析 【典例2】 【答案】644070 举一反三 【变式1】B 【变式2】 9 【答案】( 21-2 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)2027 【变式3】 6 1 1 【答案】(1)a4= 4×5×25 4×245×2 2@79 1 0: ②5.=2n+1x2；2 【变式4) 【答案】(1)102 (2)n2 (3)2475 题型03乘方中的规律探究 三典例精析 【典例3】D 举一反三 【变式1】B 【变式2】D 【变式3】B 【变式4】 【答案】素材：13+15+17+19，规律总结：49,99,101：综合应用：4356；拓展延伸：64或216 题型04数轴中的规律探索 E 典例精析 【典例4】C 举一反三 【变式1】D 【变式2】C 【变式3】 【答案】-1 【变式4】 2/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】98 题型05周期中的规律探索 典例精析 【典例5】 【答案】 2 6034 3n+1/1+3n 举一反目 【变式1】 【答案】 2 0 【变式2】C 【变式3】B 【变式4】 【答案】(1)4个单位长度 (2)6 (3)点D 题型06表格中的规律探索 E 典例精析 【典例6】B 举一反三 【变式1】B 【变式2】 【答案】 8:4 10a+5 【变式3】 【答案】 3 512或-1000/-1000或512 【变式4】 1 【答案】 7 题型07末尾数字规律探索 3/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例7】A 三举一反王 【变式1】B 【变式2】D 【变式3】A 【变式4】 【答案】43 题型08新定义有送的规律探索 典例精析 【典例8】B 三举-反目 【变式1】B 【变式2】D 【变式3】 【答案】-2021 【变式4】 【答案】(1)ab-a-b (2)(-7)★2=-9.2★(-7)=-9 a★b=ab-a-b,b★a=ab-b-a=ab-a-b, ∴a★b=b★a, ∴新定义的运算“★”满足交换律，即a★b=b★a成立. (3)m=1 【变式5】 【答案】(1) 3 ①2与3不是互为“友好数”，理由如下： 4/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +2=3 3 3 ≠×2=3 22 3 2与3不是互为“友好数”： ②-3 (2)-3 1 313 【变式6】 【答案】(1)F(3,1)=8 (2)n的值是6或32 (3)F(3,2022)=3 5/5 专题04 有理数规律探究问题 （题型突破·举一反三） 题型01 数字类规律探究 题型02 四则运算中的规律探究 题型03 乘方中的规律探究 题型04 数轴中的规律探索 题型05 周期中的规律探索 题型06 表格中的规律探索 题型07 末尾数字规律探索 题型08 新定义有关的规律探索 ▌题型01 数字类规律探究 【典例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，，，，……则第个数是_______（用含的代数式表示）． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）以下是一组有规律地按顺序排列的数：①②③，④，……以下选项的数中，不符合这个规律的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，将一列有理数按如图规律排列，请回答下列问题：数对应，，，的位置对应的字母是_______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江台州·期中）将有理数按如图所示的规律排列，则是（　　） A．第44行第18个数 B．第44行第20个数 C．第45行第18个数 D．第45行第20个数 ▌题型02 四则运算中的规律探究 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么她输入的密码是___________． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，取一条长为1的线段，把它中间的去掉得到两条分开的线段，再对剩下的两段进行相同的操作，得到4条线段，这样重复进行下去，得到图形集合——康托尔集．利用图形揭示的规律计算： （    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）符号“h”表示一种运算，它对一些整数的运算如下： ，，，，，… (1)利用以上运算的规律写出______； (2)计算的值； (3)若（n为整数），求n的值． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）趣味数学社团课上，李老师提供了一系列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 观察上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式． (2)若，为正整数． ①计算的值． ②用含的代数式表示，并猜想当越来越大时，越来越接近的数． 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）探索规律：观察下面※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想___________； (2)请猜想___________； (3)请用上述规律计算：的值． ▌题型03 乘方中的规律探究 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）所有放射性物质都有半衰期，半衰期是放射性物质的原子核数目缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．现有原子核数目为的放射性物质，经历了4个半衰期后剩余的原子核数目为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·期中）各数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫作“水仙花数”，比如153是“水仙花数”，因为．以下四个数中是“水仙花数”的是（   ） A．131 B．371 C．345 D．417 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，第5天截取后，截取木棍的总长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（    ） A． B． C． D． 【变式4】（22-23七年级上·浙江温州·期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 探索数的神秘性质 素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和． 举例论证： ；；； 请你按规律写出： ． 规律总结 当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ； 当m为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ． 综合应用 利用上面结论计算：． 拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”：   若（且m，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31，则的值为 ． ▌题型04 数轴中的规律探索 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 【典例4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其移动路线如图所示，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）在数轴上，点P表示的数是a，点表示的数是，我们称点是点P的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为…，这样依次得到点、、、、…、．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_______． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第100次移动后这个点在数轴上表示的数是_______． ▌题型05 周期中的规律探索 这类问题，一定是有周期规律的，多写几个数，找到数列的周期.假如周期为T，只需用n除以T，看余数为多少，余数是几，就和第一个周期的第几个数相同.如果没有余数，那就和第一个周期的最后一个数相同. 【典例5】（24-25七年级上·浙江杭州·单元测试）如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）．先让原点与圆周上O所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4．…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1．…．所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）若圆周上的数字a（a是0，1，2中的一个）与数轴上的数5对应，则_____． （2）若数轴绕过圆周2011圈后，数轴上的一个整数点，刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是 _________． （3）若数轴绕过圆周n（n为正整数）圈后，数轴上的一个整数点，刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是 _________．（用含n的代数式表示） 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，圆的周长为3个单位长度．在该圆的三等分处分别标上数字0、1、2，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数1的点重合，再将数轴按照逆时针方向环绕在该圆上，数轴上表示整数x的点与圆周上表示数字y的点重合，简记为．如数轴上表示0的点与圆周上表示数字2的点重合，简记为，则_____，_____． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的个分点处标上数字，，，．数轴上的个单位长度与这个圆周长的相等．先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字(  )重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合． (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动，当点B第二次与数轴重合时，此时点B重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示的点与点B重合，数轴上表示的点与点C重合…），那么数轴上表示的点与圆周上哪个点重合？ ▌题型06 表格中的规律探索 【典例6】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，图1所示的数字规律表，已知图2是从图1中按未显示部分截取下来的一部分，则△处的数字不可能是（　　）    A．75 B．50 C．26 D．9 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第7个网格中右下角的数为（    ） A．62 B．79 C．88 D．98 【变式2】（21-22七年级上·浙江金华·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示． （1）仿照图1，在图2中补全672的“竖式”，空格处的两个数从左到右依次为___． （2）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示，若这个两位数的十位数字为a，则这个两位数为___（用含a的代数式表示）． 【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）如图，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________，n的值是________    【变式4】（24-25七年级上·浙江·阶段检测）《易·系辞上》记载：“河出图，洛出书，圣人则之．”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，如图1，则________．图2是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，x的值为_________． ▌题型07 末尾数字规律探索 求的末位数字的解题步骤: 1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n. 2)用N除以n，当能整除时，a的N次方的末位数字就是的末位数字；当商b余m(0＜m＜n)时，a的N次方的末位数字就是的末位数字 【典例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）观察下列等式：，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．3 B．2 C．9 D．0 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数…中，则的个位数字是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，，则的末位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）观察：，，，，，则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）观察算式，可以得出的末尾两位数字是 _______． ▌题型08 新定义有关的规律探索 【典例8】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，，，，那么等于（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）规定，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如图1，表示a1＝a2+a3，把10个不同的正整数按图2排列，则的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：当时，，．若，则______． 【变式4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【变式5】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【变式6】（21-22七年级上·浙江湖州·期末）定义一种对正整数的“”运算：．以表示对正整数进行次“”运算．例如，表示对2进行2次“”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是6．据此回答： (1)求的运算结果； (2)若为偶数，且的运算结果为8，求的值； (3)求的运算结果． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数规律探究问题 （题型突破·举一反三） 题型01 数字类规律探究 题型02 四则运算中的规律探究 题型03 乘方中的规律探究 题型04 数轴中的规律探索 题型05 周期中的规律探索 题型06 表格中的规律探索 题型07 末尾数字规律探索 题型08 新定义有关的规律探索 ▌题型01 数字类规律探究 【典例1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 【答案】 【分析】根据所给各数，发现其变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知，第奇数个数为正数除外，第偶数个数为负数； 各数的绝对值依次可表示为：…， 所以第n个数可表示为：， 当时，第20个数是：， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1，，，，……则第个数是_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律问题． 根据已知数据找出规律即可． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 依此类推，第n个数为． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）以下是一组有规律地按顺序排列的数：①②③，④，……以下选项的数中，不符合这个规律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解一元一次方程，观察可知，从左往右，第n个数的分子为，分母为,其中奇数项符号为正，偶数项符号为负，根据每个选项中的数的分母确定对应的n，进而求出对应的数，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：①，②，③，④，…… 以此类推可知，从左往右，这一列数的分子是从1开始的连续的正奇数，分母是底数为2，指数为序号加1的数，其中奇数项符号为正，偶数项符号为负， ∴从左往右，第n个数为, ，， 当时，，则第5个数为，故A选项不符合题意； 当时，，则第6个数为，故B选项不符合题意； 当时，，则第9个数为，故C选项符合题意； 当时，，则第12个数为，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，将一列有理数按如图规律排列，请回答下列问题：数对应，，，的位置对应的字母是_______． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键； 通过观察发现，每6个数是一组循环，其中第2，4，6个数符号为负，由此即可求解． 【详解】解：由图可知，每6个数是一组循环，其中第2，4，6个数符号为负， ∵， ∴数与字母的位置相对应， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江台州·期中）将有理数按如图所示的规律排列，则是（　　） A．第44行第18个数 B．第44行第20个数 C．第45行第18个数 D．第45行第20个数 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字总结出存在的规律． 根据题意得到第行最后一个数为：，再观察选项推算出所在的行，据此解答即可． 【详解】解：第一行最后一个数为：， 第二行最后一个数为：， 第三行最后一个数为：， …… 第行最后一个数为：， ， 第44行最后一个数为． 第45行第一个数为1981． ， 是第45行第18个数． 故选：C． ▌题型02 四则运算中的规律探究 【典例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么她输入的密码是___________． 【答案】644070 【分析】本题考查数字类规律探究，观察等式可知，密码的前两位为后面的数字的平方，中间两位为第一个数字和第三个数字的乘积，后两位为第一个数字与后两个数字的和的乘积，据此进行求解即可． 【详解】解：观察可知：密码的前两位为后面的数字的平方，中间两位为第一个数字和第三个数字的乘积，后两位为第一个数字与后两个数字的和的乘积， ∵， 故小红输入的密码为：644070； 故答案为：644070． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，取一条长为1的线段，把它中间的去掉得到两条分开的线段，再对剩下的两段进行相同的操作，得到4条线段，这样重复进行下去，得到图形集合——康托尔集．利用图形揭示的规律计算： （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及有理数的混合运算，根据题意，利用数形结合的数学思想进行计算即可． 【详解】解：，， ……， ∴ 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期末）符号“h”表示一种运算，它对一些整数的运算如下： ，，，，，… (1)利用以上运算的规律写出______； (2)计算的值； (3)若（n为整数），求n的值． 【答案】(1) (2) (3)2027 【分析】本题考查数字规律型、解一元一次方程、有理数的加减混合计算，（1）根据题意，总结归纳得，进而求解即可； （2）根据归纳的规律求解即可； （3）根据题意得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵（n为整数）， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）趣味数学社团课上，李老师提供了一系列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… 观察上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式． (2)若，为正整数． ①计算的值． ②用含的代数式表示，并猜想当越来越大时，越来越接近的数． 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】本题考查了数字类规律探究． （1）根据前几个式子的规律写出第4个等式，即可求解； （2）①根据题意计算的值； ②根据题意表示出，进而根据当越来越大时，越来越接近，即可求解． 【详解】（1）解：根据规律可得：第4个等式：， （2）解：① ②根据规律可得 ∴ 当越来越大时，越来越接近 ∴越来越接近的数是 【变式4】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）探索规律：观察下面※组成的图案和算式，解答问题： (1)请猜想___________； (2)请猜想___________； (3)请用上述规律计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字类规律探索，有理数的混合运算； （1）观察图案和算式，得出从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，是10个连续奇数，即可得到结果； （2）观察图案和算式，得出从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，是n个连续奇数，即可得到结果； （3）由规律先算出，再出算出，最后相减即可得出结果. 【详解】（1）解：∵是从1开始的个连续奇数， ∴. （2）解：∵是从1开始的个连续奇数， ∴. （3）解：∵，， ∴. ▌题型03 乘方中的规律探究 【典例3】（25-26七年级上·浙江金华·期末）所有放射性物质都有半衰期，半衰期是放射性物质的原子核数目缩减为原来的一半所用的时间，是一个不变的量．现有原子核数目为的放射性物质，经历了4个半衰期后剩余的原子核数目为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用．根据半衰期的定义，每经历一个半衰期，原子核数目变为原来的，经历4个半衰期后，原子核数目为，计算即可得出结果． 【详解】解：∵每经历一个半衰期，原子核数目变为原来的 ∴经历4个半衰期后剩余的原子核数目为 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·浙江·期中）各数位上数字的立方和等于其本身的三位数叫作“水仙花数”，比如153是“水仙花数”，因为．以下四个数中是“水仙花数”的是（   ） A．131 B．371 C．345 D．417 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据“水仙花数”的定义，分别计算，即可得到答案． 【详解】解：A．，故不是“水仙花数”； B．，故371是“水仙花数”； C．，故345不是“水仙花数”； D．，故不是“水仙花数”； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，第5天截取后，截取木棍的总长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方的应用．每天截取剩余木棍的一半，总截取长度可用总长度减去剩余长度求得． 【详解】解：原木棍长1米，每天截取后剩余长度为前一天的．第5天截取后剩余长度为：（米）， 总截取长度为原长减去剩余长度：（米） 故第5天截取后总长度为米， 故选：D． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方及根据图形找规律问题的应用，理解有理数乘方的意义是解题的关键． 首先得出前几次捏合后得到的面条根数，从而得出面条根数与捏合次数之间的关系，用式子表示出规律，根据得出的规律进行求解即可． 【详解】解：根据题意：第一次捏合后面条根数为：2， 第二次捏合后面条根数为：4， 第三次捏合后面条根数为：8， 以此类推：第n次捏合后面条根数为：， ∴当拉出根面条时，， ∵， ∴捏合到第7次后可拉出根面条， 故选B． 【变式4】（22-23七年级上·浙江温州·期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 探索数的神秘性质 素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和． 举例论证： ；；； 请你按规律写出： ． 规律总结 当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ； 当m为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ． 综合应用 利用上面结论计算：． 拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”：   若（且m，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31，则的值为 ． 【答案】素材：；规律总结：49，99，101；综合应用：4356；拓展延伸：64或216 【分析】素材：设未知数，列方程求解即可； 规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解即可； 综合应用：找出规律，根据规律进行计算即可求解； 拓展延伸：根据题意，验证求解． 【详解】解：素材：设， 解得：， ， 故答案为：； 规律总结：设， 解得：， 当时，，， 故答案为：49，99，101； 综合应用：， ， ， ， … ， 拓展延伸：当时，， 解得：， 此时， 当时，， 解得， 此时， 故答案为：64或216． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，有理数的加法运算，指数方程，利用方程思想是解题的关键． ▌题型04 数轴中的规律探索 1)确定起始位置对应的数：起始点为a； 2)确定移动的方向：移动奇数次即向左移动，移动偶数次即向右边移动； 3)确定移动的距离：若n为奇数：即向左移动了次，移动距离为. 若n为偶数：即向右移动了次，移动距离为 4.确定终点的位置：起始点+移动的距离(向右移动)； 起始点-移动的距离(向左移动) 【典例4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律问题，关键是用代数式表示数字的变化规律；先分析数列的符号规律与绝对值的变化规律，再根据规律计算第项对应的数． 【详解】解：∵观察数列， ∴符号规律：奇数项为正，偶数项为负， 绝对值规律：第项的绝对值为， ∵第项是偶数项，符号为负， ∴第项的绝对值为， ∴表示的数是：． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进步后退步的程序运动．设该机器人每秒前进或后退步，且每步的距离都是个单位长度，表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．则下列结论：；；；，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上点的规律问题，根据“前进步后退步”这秒组成一个循环结构找出规律即可求解，通过点的变化得出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意每前进步后退步的程序运动则有 ，，，，， ，，，，， ，，，，， ， 故正确，正确； 由上可知，“前进步后退步”这秒组成一个循环结构， 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数；第个循环第个数； 第个循环第个数，第个循环第个数， …… 第个循环第个数，第个循环第个数， ∵， ∴在第个循环第个数， ∵， ∴，，，故正确； 由上规律可得：∵， ∴， ∴， ∴，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其移动路线如图所示，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察图形可得表示的数为，据此可得表示的数为，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，表示的数是1， 表示的数是3， 表示的数是5， 表示的数是7， ……， 以此类推可知，表示的数为（n为自然数）， ∵， ∴表示的数为， 又∵，且与垂直， ∴的面积是， 故选：C． 【变式3】（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）在数轴上，点P表示的数是a，点表示的数是，我们称点是点P的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为…，这样依次得到点、、、、…、．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数与数轴，分别求出、、、在数轴上表示的数，可得规律点、、、、…、表示的数中，每3个数为一个循环，依次为，据此求出2025除以3的商和余数即可得到答案． 【详解】解：∵点在数轴表示的数是， ∴点在数轴表示的数是， ∴点在数轴表示的数是， ∴点在数轴表示的数是， ∴点在数轴表示的数是， ……， 以此类推，可知点、、、、…、表示的数中，每3个数为一个循环，依次为， ∵， ∴点在数轴上表示的数是， 故答案为：． 【变式4】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第100次移动后这个点在数轴上表示的数是_______． 【答案】98 【分析】本题考查的是数轴上的动点规律探索，先依次写出第一次、第二次、第三次移动后点在数轴上表示的数，进而找出规律解决问题． 【详解】解：第一次移动后这个点在数轴上表示的数是：； 第二次移动后这个点在数轴上表示的数是：； 第三次移动后这个点在数轴上表示的数是：； 第n次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第100次移动后这个点在数轴上表示的数是； 故答案为：98． ▌题型05 周期中的规律探索 这类问题，一定是有周期规律的，多写几个数，找到数列的周期.假如周期为T，只需用n除以T，看余数为多少，余数是几，就和第一个周期的第几个数相同.如果没有余数，那就和第一个周期的最后一个数相同. 【典例5】（24-25七年级上·浙江杭州·单元测试）如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为3个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）．先让原点与圆周上O所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4．…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1．…．所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． （1）若圆周上的数字a（a是0，1，2中的一个）与数轴上的数5对应，则_____． （2）若数轴绕过圆周2011圈后，数轴上的一个整数点，刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是 _________． （3）若数轴绕过圆周n（n为正整数）圈后，数轴上的一个整数点，刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是 _________．（用含n的代数式表示） 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）根据题意可得数轴上从1开始的连续的正整数每3个数字为一个循环，分别对应圆上的数为1，2，0，求出5除以3的商和余数即可得到答案； （2）根据（1）所得规律可知数轴上经过2011个循环后与数字1对应的数是循环次数乘以每个循环内的数字数加1，据此可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上从1开始的连续的正整数每3个数字为一个循环，分别对应圆上的数为1，2，0， ∵， ∴圆周上的数字2（a是0，1，2中的一个）与数轴上的数5对应， ∴， 故答案为：2； （2）由（1）可知数轴上从1开始的连续的正整数每3个数字为一个循环，分别对应圆上的数为1，2，0， ∵数轴绕过圆周2011圈后，数轴上的一个整数点，刚好落在圆周上数字1所对应的位置，∴这个整数是， 故答案为：； （3）同（2）可知，若数轴绕过圆周n（n为正整数）圈后，数轴上的一个整数点，刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，圆的周长为3个单位长度．在该圆的三等分处分别标上数字0、1、2，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数1的点重合，再将数轴按照逆时针方向环绕在该圆上，数轴上表示整数x的点与圆周上表示数字y的点重合，简记为．如数轴上表示0的点与圆周上表示数字2的点重合，简记为，则_____，_____． 【答案】 2 0 【分析】根据题意，可以得到，，，，…，然后即可发现数字的变化特点，从而可以得到和的值． 【详解】解：由题意可得， ，，，，…， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的个分点处标上数字，，，．数轴上的个单位长度与这个圆周长的相等．先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字(  )重合． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、循环的有关知识，找到表示数的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键．由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点重合． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数的点与圆周上起点处表示的数字重合． 故选∶C． 【变式3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先分别求出在数轴上，与正方形上表示数字0，2，4，6的点重合的点所表示的数，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴在数轴上，与正方形上表示数字6的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字0的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字2的点重合的点所表示的数依次是，，，，， 在数轴上，与正方形上表示数字4的点重合的点所表示的数依次是3，，，，， ∵， ∴数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是2， 故选：B． 【变式4】（22-23七年级上·浙江宁波·期中）如图，圆的半径为个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示的点重合． (1)圆的周长为多少？ (2)若该圆在数轴上向右滚动，当点B第二次与数轴重合时，此时点B重合的点表示的数为多少？ (3)若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上，（如数轴上表示的点与点B重合，数轴上表示的点与点C重合…），那么数轴上表示的点与圆周上哪个点重合？ 【答案】(1)4个单位长度 (2)6 (3)点D 【分析】（1）利用圆的周长公式计算； （2）滚动一周点A的对应数为3，可列式，从而可求解； （3）此题需要寻找规律：每4个数一组，计算，可得表示的点是第506个循环组的第4个数D重合． 【详解】（1）解：， 答：4个单位长度． （2）滚动2周后点B对应的数是； 答：点B重合的点表示的数为6． （3）由图可知，A点对应的数是，B点对应的数是，C点对应的数是，D点对应的数是， ∴每4个数为一个循环组依次循环， ∵， ∴表示的点是第506个循环组的第4个数D重合． 【点睛】本题考查了数轴的基础知识，关键在于观察出每4个数为一个循环组依次循环，难点在于找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． ▌题型06 表格中的规律探索 【典例6】（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，图1所示的数字规律表，已知图2是从图1中按未显示部分截取下来的一部分，则△处的数字不可能是（　　）    A．75 B．50 C．26 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探究． 根据数字规律表可知，偶数行为负数，奇数行为正数；第二行的数是第一行数正序对应数的倍，第三行的数是第一行数反序后对应数的倍，第四行的数是第一行数反序后对应数的倍，第五行的数是第一行对应数的倍，，则第一行从第一行到第四行的排序方式是正序、正序、反序、反序的方式循环；第行就是倍，偶数行时为，奇数行时为；按此规律列出所以可能情况即可判断． 【详解】解：根据题意，当在第6行时，△在第7行，数字为第一行反序后对应数的倍，即为； 当在第8行时， △在第9行，数字为第一行数正序对应数的倍，即为； 当在第12行时， △在第13行，数字为第一行数正序对应数的倍，即为； 当在第24行时， △在第25行，数字为第一行数正序对应数的倍，即为； 综上所述，可能出现的数字为：， ∴不可能出现的数字是50， 故答案为：B． 【变式1】（22-23七年级上·浙江宁波·期末）如图，各网格中四个数之间都有相同的规律，则第7个网格中右下角的数为（    ） A．62 B．79 C．88 D．98 【答案】B 【分析】根据，得到规律为，选择即可． 【详解】∵， ∴第7个网格中右下角的数为． 故选B． 【点睛】本题考查了整式的加减中的规律探索，正确探索规律是解题的关键． 【变式2】（21-22七年级上·浙江金华·期末）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示． （1）仿照图1，在图2中补全672的“竖式”，空格处的两个数从左到右依次为___． （2）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图3所示，若这个两位数的十位数字为a，则这个两位数为___（用含a的代数式表示）． 【答案】 8；4 【分析】（1）观察图象可知，从左边向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可； （2）设这个两位数的个位数字为b，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系列出方程用a表示出b，然后写出即可． 【详解】（1）仿照图1，从左边向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，故空格从左往右依次为8和4． 故答案为：8；4； （2）设这个两位数的个位数字为b， 由题意得2ab=10a， 解得b=5， 所以这个两位数是10×a+5=10a+5． 故答案为：10a+5． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，仔细观察图形，观察出前两行的数与两位数的十位和个位上的数字的关系是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）如图，填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是________，n的值是________    【答案】 3 512或/或512 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给正方形发现其中四个数之间的关系是解题的关键．由所给正方形中的四个数，发现它们之间存在的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给正方形中的四个数， ， 所以左下方的数是右上方数的立方； ， 所以右下方的数比右上方的数大1； ， 所以左上方的数是右下方数的平方； 故． 最后一个正方形中的左上方的数是81， 所以此正方形中右下方的数为9或． 当右下方数为9时， 右上方的数为， 所以． 当右下方数为时， 右上方的数为， 所以． 综上所述：或． 故答案为：3，512或． 【变式4】（24-25七年级上·浙江·阶段检测）《易·系辞上》记载：“河出图，洛出书，圣人则之．”洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，如图1，则________．图2是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，x的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算． 【详解】解：如图， 则， 则； 如图，①， ②， ①②得：， 即：， 解得：； 故答案为：，． ▌题型07 末尾数字规律探索 求的末位数字的解题步骤: 1)通过观察乘方结果的末位数字，得到经过一个循环变换需要的次数，记为n. 2)用N除以n，当能整除时，a的N次方的末位数字就是的末位数字；当商b余m(0＜m＜n)时，a的N次方的末位数字就是的末位数字 【典例7】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）观察下列等式：，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．3 B．2 C．9 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，先找出3的幂次的个位数字的循环规律，再计算每一组循环的个位数字和，接着确定总数包含多少个完整循环及剩余个数，最后计算总和的个位数字． 【详解】解：∵的个位数字是3，的个位数字是9，的个位数字是7，的个位数字是1，的个位数字是3，…， ∴3的幂的个位数字以3，9，7，1为周期循环，周期为4． ∵每个周期内个位数字的和为，个位数字为0． ∵从到共有2025个数． ∵，即包含506个完整周期，剩余1个数． ∴剩余数的个位数字为3（与的个位数字相同）． ∵506个周期的和的个位数字为0，． ∴的结果的个位数字是3． 故选A． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数…中，则的个位数字是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了数列的递推关系与周期性，解题的关键是通过递推公式找出数列个位数字的周期，利用周期求解目标代数式的个位数字． 由递推公式推导前几项的个位数字，确定周期规律；根据周期求出的个位数字，再结合计算差值的个位数字． 【详解】解：∵， ∴，即 由，得：(个位数字为3)，(个位数字为5)，(个位数字为9)，(个位数字为7)，(个位数字为3)， 可见从起，个位数字周期为4(即3，5，9，7)． ∵，，余数为0， ∴的个位数字为周期最后一项7， ∴的个位数字为， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）观察下列算式：，，，，，，，，则的末位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】此题考查数字的变化规律；得到底数为2的幂的个位数字的循环规律是解决本题的关键． 观察数字的变化可得底数为的幂的个位数字依次是2，，，循环，根据，即可得结果． 【详解】解：由已知得的末位数字为2，，，四个一循环，， ∵， ∴各项末位数字之和 ， ∵的末位数字是0，所以该和的末位数字是2， ∴的末位数字是， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）观察：，，，，，则的个位数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据，，，，可得个位数字是以，，，循环出现，由此解答即可，正确发现规律是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴这列数的个位数字每个数字为一个循环，个位数字分别为，，，， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， 故选：． 【变式4】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）观察算式，可以得出的末尾两位数字是 _______． 【答案】43 【分析】本题考查了尾数特征．由题意依次求出7的乘方对应的值，归纳出末两位数出现的规律，再确定的末两位数． 【详解】解：根据题意得，， 发现：的末两位数字是49，的末两位数字是43，的末两位数字是01，的末两位数字是49，（、2、3、4、…）， ∵， ∴的末两位数字为43， 故答案为：43． ▌题型08 新定义有关的规律探索 【典例8】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）下列定义一种关于正整数的“运算”：①当是奇数时，；②为偶数时，结果是（其中是奇数），并且运算重复进行．例如：取，如图，                                                   若，则第次“运算”的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化类，解题的关键是先分别计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：根据题意，得 当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算，， 第五次运算：， 第六次运算：， …… 规律：从第三次开始，结果就只是，两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是，次数是奇数时，结果是， ∵次是偶数， ∴第次“运算”的结果是． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）我们规定一个新数“”，一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，，，，，那么等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查新定义情境下的有理数的运算，数字变化的规律，掌握新定义的含义及总结运算规律是解题的关键． 利用新定义的规定，发现的值每4个循环一次，且每4项之和为0．可得． 【详解】解：，，，， ． 又，，……， 以此类推，可知，的值每4个循环一次，且每4项之和为． ， ． 故选：B． 【变式2】（21-22七年级上·浙江杭州·期中）规定，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如图1，表示a1＝a2+a3，把10个不同的正整数按图2排列，则的最小值为（    ） A．15 B．17 C．18 D．20 【答案】D 【分析】由题意可得，要使取得最小值，则尽可能的小，取，可得，，中不能有3，据此对于，分别取4、5、6、7检验可得，从而得出答案． 【详解】解：∵ 要使取得最小值，则尽可能的小， 取， ∵ ∴，中不能有3， 若 则， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了数字的变化，根据题目要求得出取得最小值的切入点是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义一种新运算：当时，，．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，数字规律问题，先令，根据新定义求出，，……，根据规律求出，然后根据新定义求出，，……，根据规律求出即可． 【详解】解∶∵，，， ∴， ， …… ∴， ∵， ∴， ， …… ， 故答案为：． 【变式4】（24-25七年级上·浙江金华·期末）在教科书第二章《有理数及其运算》中，我们学习了有理数的五种运算，学会了研究运算的方法，现定义一种新运算：，定义的内容被遮盖住了，观察各式，并回答下列问题： ； ； ． (1)请你补全定义内容：______（用含，的代数式表示） (2)先计算和，再说明新定义的运算“”是否满足交换律，即是否成立． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，， ∵， ， ∴， ∴新定义的运算“”满足交换律，即成立． (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，解一元一次方程，求代数式的值，解题的关键是掌握新定义的运算法则； （1）根据给出的式子总结规律：，即可得到答案； （2）根据（1）中总结的规律进行计算和验证； （3）利用（1）中的规律列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为： （2） ， ∴； （3）∵ ∴， 解得 【变式5】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为，所以与5互为“友好数”． (1)①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由．②求的“友好数”为__________． (2)若有理数与互为“友好数”，与互为相反数，求代数式的值． (3)对于有理数且，设的“友好数”为的倒数的“友好数”为的倒数为；……；依次按如上的操作，得到一组数．当时，求的值． 【答案】(1) ①与3不是互为“友好数”，理由如下： ∵， ∴与3不是互为“友好数”； ② (2) (3) 【分析】本题考查数字规律，整式的加减： （1）①根据“友好数”的定义即可求解；②根据“友好数”的定义即可求解； （2）有理数与互为“友好数”，与互为相反数，可知，，化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出，由此即可找出数字规律求解． 【详解】（1）解：①略 ②∵， ∴， ∴的“友好数”为； 故答案为： （2）解：∵有理数与互为“友好数”，与互为相反数， ∴， ∴ （3）解：解：由题意得，当时，它的友好数， ∴， ∴这组数从开始4次一循环， ∵， ∴的值为． 【变式6】（21-22七年级上·浙江湖州·期末）定义一种对正整数的“”运算：．以表示对正整数进行次“”运算．例如，表示对2进行2次“”运算，由于2是偶数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果1是奇数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是6．据此回答： (1)求的运算结果； (2)若为偶数，且的运算结果为8，求的值； (3)求的运算结果． 【答案】(1) (2)的值是6或32 (3) 【分析】（1）根据新定义的对正整数进行次“”运算求解即可； （2）根据是偶数，可得，然后分为奇数和为偶数两种情况分别求解即可； （3）找到的“”运算结果呈现的规律，然后根据该规律求解即可． 【详解】（1）解：依题意可得，． （2）∵是偶数， ∴， 若为奇数，则，令，解得； 若为偶数，则，令，解得． 故的值是6或32； （3）的“”运算结果呈现的规律为：8，4，2，1，6，3，8，4，2，1，…， ∴运算结果以8，4，2，1，6，3为一组循环， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探索等知识，理解新定义的对正整数进行次“”运算是解题关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $