4.5.1 函数的零点与方程的解(2)课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的零点与方程的解，核心内容包括零点、方程解与图象交点的联系，零点存在定理及零点个数判断。课堂导入从二次函数零点实例出发，关联一元二次方程根，逐步推广到一般函数，构建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理、直观想象为核心，通过分段函数零点求解、零点存在定理判断区间等实例，引导学生抽象概念，推理零点存在性，结合图象法培养直观。方法总结系统归纳三种判断方法，助力学生形成结构化思维，既提升学生数学能力，又为教师提供清晰教学方案。

第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 课时1 函数的零点与方程的解 1 学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.（数学抽象） 2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.（逻辑推理） 3.能借助函数的单调性及图象判断零点的个数.（直观想象） 2 探究1 函数的零点 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根x就是相应二次函数的零点． 例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2，x2=3，则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3． 其图像与x轴的公共点坐标为（2,0），（3,0） y 6 3 x O 2 即二次函数f(x)=x2-5x+6的零点为其图像与x轴公共点的横坐标． 3 与二次函数的零点一样，对于一般函数y= f (x)，我们把使f (x)=0的实数 x叫做函数y= f (x)的零点． 函数y=f(x)的零点  方程f(x)=0的实数解  函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标． 代数法 几何法 等价关系 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 函数的零点是一个点.( ) × （2） 任何函数都有零点.( ) × （3） 函数的零点是 .( ) × 2.函数 的零点是( ) . A A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 令,得 .故选A. 5 例1（1） 函数 的零点是( ) . B A. B. C.1 D.0 [解析] 令,解得 . （2） 函数 的零点为_______. 1和10 [解析] 令,得 , 或,或 . 6 方法总结 函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图象与 轴 交点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的一定是 一个数字,而不是一个坐标. 巩固训练1 已知函数则函数 的零点为( ) . D A.,0 B.,0 C. D.0 [解析] 当时,令,解得;当时,令,解得 ,此时 无解. 综上所述,函数 的零点为0. 7 巩固训练2 若函数有一个零点3,则函数 的零点 是_______. 和0 [解析] 因为的零点是3,所以,即 . 所以,所以方程的两个根分别为 和0, 即函数的零点为 和0. 8 3.函数 的零点所在的区间是( ) . A A. B. C. D. [解析] ,,,,.因为 , ,,,所以函数 的零点所在的 区间是 .故选A. 4.若函数只有一个零点,则实数 _______. 0或 [解析] 当时,令,解得,符合题意;当时, 为二次函数,因为函数只有一个零点,所以,解得 , 符合题意.故或 . 9 问题：函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点? 探究2 函数零点存在定理 探究2 函数零点存在定理 函数 的图象如图所示. 问题1: 函数 的零点是什么？ [答案] ,3. 问题2: 判断与 的符号. [答案] ,, , , . 11 如果函数在区间 上的图象是一条__________的曲线,且有__________ ________,那么,函数在区间内至少有一个零点,即存在 ,使得 _________,这个也就是方程 的解. 连续不断 x a c b x b a 12 思考1：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？ 0 y x 思考2：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点？ 0 y x 这说明什么？ “在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件缺一不可 思考3：如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间 (a,b) 内有零点，是否一定有f(a) f(b)<0 ？ x y 0 这说明什么？ “在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”这两个条件是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。 问题4 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？ 0 y x 这又说明什么？ 函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。 在上存在唯一零点 思考5： 如果函数 y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，函数在单调，且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点，但是否只有一个零点呢？ x a c b 一、探求零点所在区间 例2（1） 下列区间中,是函数 的零点所在区间的是( ) . C A., B., C., D., [解析] 因为,,所以,又函数 在 定义域上单调递增,所以函数的零点在区间, 上. 17 （2） 二次函数 的部分对应值如下表: 0 1 2 3 4 6 6 不求,,的值,可判断方程 的两根所在的区间是( ) . A A., B., C., D., [解析] 因为该二次函数的图象在定义域内是连续时,且, , 所以在区间内必有实数根,又,,所以在区间 内 必有实数根.故选A. 18 巩固训练1 函数 的零点所在的大致区间是( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题意知,在定义域 上单调递增. , , 在内 无零点. 又, , 在 内有零点. 同理可知在, 内均无零点. 19 方法总结 判断单调函数零点所在区间的方法:将区间端点值代入函数解析式求出函数值,进 行符号判断后即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,对此可运用函 数的有关性质进行判断. 20 二、判断函数零点个数 例3（1） 函数 的零点个数为( ) . B A.3 B.2 C.1 D.0 [解析] 当时,令,解得, （舍去）; 当时,令,解得 . 综上,函数 的零点个数为2. 21 （2） 判断函数 的零点的个数. 22 [解析] （法一） 函数对应的方程为 , 原函数零点的个数即函数与 图象的交点的个数. 在同一平面直角坐标系下,作出两函数的图象（如图）. 由图象知,函数与的图象在 上只有一个 交点, 只有一个实数根,即函数 只有一个零点. （法二）, , ,又的图象在区间 上是不间断的, 在区间上必有零点,又在区间 上是单调递增的, 函数 的零点只有一个. 23 巩固训练2 求函数 的零点的个数. 24 [解析] （法一）, , 在 上必定存在零点. 又在 上为增函数, 函数 有且只有一个零点. （法二）在同一平面直角坐标系下作出 和 的草图，如图. 由图象知的图象和 的图象有且只 有一个交点, 即 有且只有一个零点. 25 方法总结 判断函数存在零点的三种方法 （1）方程法:若方程 的解可求或能判断解的个数,则可通过方程的解来判 断函数是否存在零点或判断零点的个数. （2）图象法:由,得 , 在同一平面直角坐标系内作出和 的图象,根据两个图象交点的 个数来判断函数零点的个数. （3）定理法:函数的图象在区间 上是一条连续不断的曲线,由 即可判断函数在区间内至少有一个零点.若函数 在区间上是单调函数,则函数在区间 内只有一个零点. 26 $