4.5.1 函数的零点与方程的解 4.5.2 用二分法求方程的近似解课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点与方程的解、二分法求近似解，系统梳理零点概念、零点与方程根及图象交点的关系、零点存在定理和二分法步骤，通过复习函数性质导入，衔接函数与方程知识，搭建学习支架。 其亮点在于含思维导图、分层训练（基础到拔高）及高考对接例题，运用数形结合（数学思维）和实例分析（如判断零点个数、二分法求近似解），培养学生抽象能力与应用意识（数学眼光、数学语言），助力教师一体化教学，提升学生解题能力与数学素养。

高一数学●2024人教A版必修一 4.5.1函数的零点与方程的解 4.5.2用二分法求方程的近似解 本节理解函数零点的概念，掌握零点与方程根、函数图象交点的关系，学会零点存在定理，并学会二分法原理，能用二分法求方程近似解，掌握步骤；感受无限逼近的思想 第四章 指数函数与对数函数 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括119张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 函数的零点 1 函数零点的概念 对于一般函数，我们把使的实数 （【抓关键】函数的零点是实数， 而不是点）叫做函数 的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. 特别提醒（1）并不是所有的函数都有零点，如函数, 均没有零点. （2）若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内. 4 2 函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与 轴 的公共点的横坐标.所以方程有实数解 函数有零点 函数 的图象与 轴有公共点. 知识剖析（1）函数的零点就是方程 的实数根，也是 函数与 的图象交点的横坐标. （2）如果方程有两个相等的实数根,那么叫做函数 的二重零点. 如2就是函数 的二重零点. 5 例1 下列说法正确的是( ) C A.函数 的零点为1 B.函数的零点为, C.对数函数有且只有一个零点1 D.“”是“函数 有零点”的充分不必要条件 6 【解析】虽然,但 ，即1不在定义域内，所以函数无零点,故A不正确. 因为函数的零点是定义域内的实数，而不是点，所以B不正确. 根据对数函数,且 的图象可知，对数函数有且只有一个零点， 为1，故C正确. 因为函数有零点，所以，解得 .由于 ，而,所以“”是“函数 有零点” 的必要不充分条件，故D不正确. 7 知识点2 函数零点存在定理 1 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ， 那么,函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得 ， 这个也就是方程 的解. 8 2 函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点 与终点 分别在轴的两侧，则连续曲线与 轴至少有一个交点. （方程在区间 内至少有一个实数解） 9 图4.5.1-1 知识剖析（1）成立条件的严密性：一个 函数在区间 内有零点必须同 时满足：①函数在区间 上的图象 是一条连续不断的曲线； . 这两个条件缺一不可，否则结论不一定成立，如函数 ，易知 ,但显然在 内没有零点. （2）存在性：函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点的个 数.如图4.5.1-1（1）（2），虽然都有 ，但图4.5.1-1（1）中函数在区间 内有4个零点，图4.5.1-1（2）中函数在区间 内仅有1个零点. 10 （3）不可逆性：“”是“函数的图象在 上是连续不断 的）在区间 内至少有一个零点”的充分不必要条件.如图4.5.1-1（3），虽然函数 在区间内有零点，但 . （4）唯一性：如果单调函数（【重点结论】该结论常用来判断函数零点的个数） 在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 ，那么 函数在区间内有唯一的零点，即存在唯一的，使得 . . . 11 3 函数零点的性质 图4.5.1-2 如果函数图象通过零点时穿过 轴，则称 这样的零点为变号零点，如图4.5.1-2（1） 中，,, 都是变号零点；如果没有穿 过 轴，则称这样的零点为不变号零点， 如图4.5.1-2（2）中，二次函数 有一 个不变号零点（或叫二重零点）. 对于任意函数 ，只要它的图象是连续不断的，则有： （1）当它的图象通过零点且穿过 轴时，零点两侧附近的函数值异号； （2）相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 12 例2 ［多选题］(2026·贵州省铜仁市月考)若函数在区间 上的图象是一 条连续不断的曲线，则下列说法正确的是( ) CD A.若，则不存在实数使得 B.若，则只存在一个实数使得 C.若，则有可能存在实数使得 D.若，则一定存在实数使得 【解析】当零点在区间内时， 也可能成立，因此A不正确，C正确; 若 满足函数零点存在定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数 不能确定，故B不正确，D正确. 13 例3 判断函数在区间 内是否存在零点. 【解析】作出函数 的图象，如图4.5.1-3所示. 图4.5.1-3 由图可知，函数在区间 内无零点. 14 很多同学在看到这道题后就想到利用函数零点存在定理求解，即 ，，则 ,于是得到函数有零点，从而产生错 误.错误的根本原因在于利用函数零点存在定理时，没注意到函数图象在区间 上不是连续不断的曲线，通过作出的图象能很好地解释这一错误原因. 15 知识点3 用二分法求方程的近似解 1 二分法的定义 对于在区间上图象连续不断且的函数 ，通过不断地把它 的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近 似值的方法叫做二分法. 知识剖析（1）用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点 （曲线通过零点，且在零点两侧附近函数值异号），对函数的不变号零点 （曲线通过零点，且在零点两侧附近函数值不异号）不适用.如求函数 的零点近似值就不能用二分法. （2）用二分法求函数零点的近似值，定初始区间时要尽可能地找到含有零点的较小 的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量. 16 2 用二分法求函数零点的近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点 的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点的初始区间，验证 . 2.求区间的中点 . （一般地，称为区间 的中点） 3.计算 ，并进一步确定零点所在的区间： （1）若（此时），则 就是函数的零点； （2）若（此时），则令 ； （3）若（此时），则令 . 4.判断是否达到精确度若，则得到零点近似值（或 ）;否则重复步骤 . 17 知识剖析 1.用流程图表示二分法求零点近似 值： . 2.零点近似值的确定:若由二分法得到精确度为的零点 所在的区间,则这个区间内的 任意一个值都可作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为零点的近似值. 18 例4 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由二分法的定义，可知只有当函数在区间 上的图象连续不断，且 ，即函数的零点是变号零点时，才能将区间 一分为二，逐步得到 零点的近似值. 对各选项分析可知，选项A,B,D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧附近函数 值不异号，所以不能用二分法求函数零点的近似值. 19 例5 (2026·安徽省蚌埠市部分高中期中)用二分法求函数 在 区间 上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】开区间 的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经 过次操作后，区间长度变为.令，解得，且 ， 故所需二分区间的次数最少为7. 20 方法帮丨解题突破 题型1 求函数的零点（或方程的根） 例6（1） 的零点是___； 1 【解析】令,则且 （注意不要遗 漏分母不为0），解得 ， 所以函数存在零点，且零点为 . （2）函数 的零点为_______. ，4 【解析】令，得，解得或 ． 故所求函数的零点为 ，4． 21 例7 函数 的所有零点之和为( ) A A.7 B.5 C.4 D.3 【解析】令，当时，由，解得（ 舍去） （注意结合对值进行取舍）；当时，，解得 . 则的所有零点之和为 求分段函数的零点要“分段求解”，即根据分段函数自变量的取值范 围，找到相应的解析式求零点，求解时，要注意零点应在自变量的取值范围内. 22 解题通法 求函数 的零点的方法 （1）代数法：根据零点的定义，解方程,它的实数根就是函数 的零点. （2）几何法或性质法：若方程的解不易求出，可以根据函数 的性 质及图象求出零点. 练变式1 函数 的零点为( ) B A.0 B.1 C. D. 【解析】根据题意，函数的定义域为，若 ，即 ，变形可得，解得或 （舍去），故函 数的零点为1．（注意零点是 的值，不是点） 23 题型2 函数零点位置的确定 类型1 确定零点所在区间 例8 方程 的根所在区间是( ) C A., B., C., D., 24 【解析】构造函数 （【会构造】构造函数，将方程根的问题转变为 函数零点问题，以便利用函数零点存在定理）， 函数 的图象是一条连续不断的曲线， ,， ， 则 , 故函数的零点所在的区间为, , 即方程的根 . 25 类型2 根据零点位置确定函数值大小 例9 已知是函数的一个零点.若， ，则 ( ) B A.， B.， C.， D.， 26 图4.5.1-4 【解析】方法1：（数形结合）在同一平面直角坐标系中画出函 数和函数的图象（函数 的图象向右平移1个单 位长度得到）,如图 所示，由图可知函数 和函数 的图象只有一个交点，即函数 只有一个零 点,且 . 因为，，所以结合函数图象可知，， . 27 方法2：（性质结合） 显然当时，，无零点.因为函数 与 在区间上都是单调递增的，所以函数在区间 上单调递增，从而函数在区间内只有一个零点，又 ， ，则由函数的单调性可知，， . 28 解题通法 函数零点位置的确定方法 1.利用函数零点存在定理：将问题转化为判断区间的两个端点对应的函数值是否异 号来确定零点位置. 2.图象法：分别画出两个函数的图象，观察两个函数图象的交点，由交点的横坐标 的位置判断函数零点的位置. 29 练变式2 (2026·湖南省常德市石门县第一中学段考)函数 的零点 所在区间为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为函数在上单调递减，函数在 上单调递 减，所以在 上单调递减.（单调递减，说明最多只有一个零点） ，当时， ， ， ，因为 ，所以，所以 ， 所以的零点所在区间为 ． 30 题型3 判断函数零点（或方程实根）的个数致敬经典 例10 方程 的实根的个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 31 【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数与 的大致图象， 如图4.5.1-5.由图象可观察出两个函数图象共有两个不同的交点，故方 图4.5.1-5 程 有两个根． 32 数形结合之妙用——判断方程的根或函数的零点个数 函数零点问题可看成与函数图象有关的问题的衍生与升华，研究此类问题多采用数 形结合法，把方程的根的问题转化为两函数图象的交点问题，解题时要能够恰当地 对方程进行同解变形，化归为易于作出函数图象的两个函数. 33 子题 函数 的零点个数是( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】令得 ,在同一平面直角坐标系中作出 ,在 内的大致图象，如图4.5.1-6所示，由图可知两个图象 有两个交点，故函数 有两个零点. 图 4.5.1-6 34 例11 (2026·重庆市期中)已知定义在上的奇函数，当 时， 则方程 实根的个数为___. 7 令，则方程化归为关于的二次方程，求出 值，再结合函数 的图象，由 即得原方程实根的个数. 35 图4.5.1-7 【解析】设 ，则原方程化为 ，解得或 . 利用奇函数的性质作出函数在 上的 图象，如图4.5.1-7所示， 当时， 有3个实根， 当时， 有4个实根， 综上可知，所求方程的实根个数为7. 36 对于复合型方程的实根个数问题，通常令 ，从而将复合型 方程“分解”为方程与，利用求出值，再根据 ,由函 数 的图象，数形结合即可确定原方程实根的个数. 37 解题通法 判断函数 的零点的个数的方法 1.解方程法，方程的实数根的个数就是函数 的零点的个数. 2.借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断. 3.数形结合法，即对方程作同解变形得，则函数 的零点即 函数与 在同一坐标系中的图象交点的横坐标，因此可由函数 与图象交点的个数来判断函数 零点的个数.值得注意的是函数 与的图象是否易于作出，取决于对方程 的同解变形. 4.对于复合型函数（或方程）零点（或实根）个数的确定，通常令 ，即将复 合型函数（或方程）化归为一般的函数或方程问题，数形结合即可确定零点 （或方程实根）的个数. 38 练变式3 函数 的零点的个数为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】函数的零点的个数即方程 的根的个数， 也就是函数与 的图象的交点的个数． 图D 4.5.1-1 画出函数与 的大致图象，如图D 4.5.1-1所示，观察图象可得函数 与 的图象的交点个数为2，从而函数 的零点的个数为2. 39 练变式4 [多选题](2026·湖南省益阳市期末)已知函数 则下列说 法正确的是( ) ABD A. B.函数 有2个零点 C.函数 有4个零点 D.若时，有成立，则 40 【解析】由在上单调递增，且值域为，在 上单调递增，且值域为 ， 41 图D 4.5.1-2 得 的大致图象如图D 4.5.1-2所示， ，A正确. 令，即，结合图象知方程 有 两个根，B正确. 令，即 ， 则或所以 或 所以或或 ， 显然 有3个零点，C错误. 由题设及函数图象知， ，所以 ，D正确.故选 . 42 题型4 由函数零点（或方程实根）的个数（或位置）求变量的取值 教材深挖：教材第156页【习题4.5】第13题，考查若函数在区间内恰有一个零点， 求解参数的取值范围.此类题可拓展为函数在区间上有零点、有1个零点、有2个零点、 有3个零点等，然后求解参数的问题.此处需要注意的是函数在区间上恰有1个零点和 有零点的区别，前者是在区间上只有1个零点，后者是在区间上至少有1个零点.下面 通过几个例题总结一下由函数零点求解参数的解题规律. 43 例12 函数的一个零点在区间内，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 一般地，函数在内存在零点，未必有 ，而 当在内单调且存在零点，则一定有 . 44 例13 (2026·福建省厦门市月考)已知函数 ,若存在3个零点，则实数 的取 值范围为_ ______. ,） 45 图4.5.1-8 【解析】函数 存在3个零点，等价于 函数的图象与 的图象有3个交点.画出函数 和 的图象如图4.5.1-8所示. 根据图象可知，直线与 的图象恰有3个交 点， 向上平移直线 ，至多有2个交点，不合题意； 向下平移直线，在经过, 之前，一直有3个交点， 当直线经过，时 ,只有 2个交点,再向下平移,仅1个交点. 所以要使函数和的图象有3个交点，则,即 . 46 解题通法 根据函数零点个数或零点所在区间求参数的方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），通过解不等式（组） 确定参数的取值范围． （2）分离参数法：先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决． （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象， 然后利用数形结合思想进行求解． 47 练变式5 [新考法·新定义题](2026·福建省莆田锦江中学期中)已知,符号 表示 不大于的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则 的取值范 围是( ) C A. B., C., D., 48 图D 4.5.1-3 【解析】 有且仅有3个零点，等价于当 时，与 的图象有且仅有3个 交点.画出与 的大致图象，如图D 4.5.1-3所示，由 图可知，当 时，（注意端点值的取舍）两函数图象有3个交点， 即的取值范围是, . 49 练变式6 [多选题](2026·湖南省株洲市第一中学一模)已知函数 若关于的方程 有5个不同 的实根，则实数 的取值可以为( ) ACD A. B. C. D. 50 图D 4.5.1-4 【解析】作出函数 的图象,如图D 4.5.1-4 所示.由于关于的方程 有5个不 同的实根， 令，则方程有2个不同的实根 ， ， 则，解得或 ， 若，则或 ， 令，所以 51 解得,或 无解. 综上可得，．故选 ． 题型5 讨论与函数零点相关的代数式的取值范围 例14 ［多选题］(2026·湖南省常德市临澧一中段考)已知函数 若函数有四个零点，，， ，且 ，则( ) AD A. B. C. D., 53 【解析】函数 的图象如图4.5.1-9所示. 图4.5.1-9 对于A，由题意可知直线与函数图象的4个交点横坐标分别为， ， ，，则，则 ，故A正确； 对于B，函数的图象关于直线对称，则 ，又 ，所以，故 ，故B错误； 54 对于C，由图象可知，且，所以 ， 即 ， 所以 ， 由于，故 ，故C错误； 对于D，由图象可知，则（当时，函数 没有四 个零点）， ， 因为函数在 上单调递增， 所以 ， 则的取值范围为 ，故D正确． 故选 ． 例15 (2026·福建省厦门市双十中学期末)已知函数 ， ，为函数的一个零点，则 的取值范围为( ) B A., B., C., D., 56 【解析】由题意知，显然，则 ， 由于，故 . 当时，,所以 ，不符合题意. 当时，，则可化为 . 令 ， 由于，则,均在上单调递增，即得在 上单调递增， 因为 ， 所以当时，，即得 . 又 ， 所以 ， 即的取值范围为 ,4）. 构造函数，并利用函数在上单调递增，且 ， 确定是求 取值范围的关键，也是难点. 解题通法 求解与函数零点相关的代数式的取值范围问题的关键是通过数形结合确定各零点的 取值范围及部分零点之间的数量关系，构建关于某零点的目标函数求值域. 59 练变式7 (2026·黑龙江省大庆中学开学考试)已知函数 若方 程有三个不相等的实数根,,，且，则 的取值范围 是( ) C A. B., C., D., 60 【解析】令，得，所以 因为是增函数，所以在上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减, 61 图D 4.5.1-5 所以 的图象如图D 4.5.1-5所示. 因为方程有三个不相等的实数根,, ， 且，所以函数 的图象与直线 有三个不同的交点，交点横坐标分别为, , ，且 . 因为，且 ，所以 . 当时，令，则；当时，令，得 ，所 以.所以.结合 的解析式及图象，知 ，即，所以，所以 ，所以 ，所以的取值范围是, . 62 题型6 一元二次方程根的分布及应用致敬经典 命题探源:教材第155页【习题4.5】第7题，考查二次函数在区间上的零点分布情况. 由三个二次之间的关系，以二次函数为载体，利用函数零点存在定理，考查一元二 次方程根的分布.下面通过经典母题及子题总结出一元二次方程根的分布情况. 例16 若方程的两根, 满足 ，求实数 的取值范围. 【解析】函数 的图象是连续曲线，则由题意可知 且,即解得或 .故 实数的取值范围是或 . 63 子题1 若将本例中的条件改为“方程 的一个根小于1，另一个 根大于1”，实数 的取值范围是什么呢？ 【解析】方法1：当时， 的图象开口向上，必存在 两个数和，使,且,,只需即可，即 , 解得.又,所以 . 类似可得，当时，有 ， 即 ． 故所求的实数的取值范围为或 ． 64 图4.5.1-10 方法2：分别作出和时 的 大致图象，如图4.5.1-10所示， 由图可知，即 ， 解得或 ． 故所求的实数的取值范围为或 ． 65 子题2 若将本例中的条件改为“方程在 时有两个 相异实根”，实数 的取值范围是什么呢? 图4.5.1-11 【解析】分别作出和 时符合题意的函数 的大致图象（如图4.5.1-11所示）， 由图可得 即 66 则 ， 故的取值范围为 }. 例17 若函数在上有零点，则实数 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 【解析】方法1：（分离参数法） 令，得 （分离参数）, 令,因为，所以，所以 , 所以 . 方法2：（数形结合法） 当时,，令，得 ,符合题意； 当时,二次函数的图象开口向下，因为 ，所以 在 上一定有零点； 68 当时,二次函数的图象开口向上，对称轴为 ，要 使在上有零点，需,解得，即 . 综上，实数的取值范围为 . 方法3：（特值法） 对于选择题，可考虑特值检验. 当时，,符合题意，排除A；当取 时， ，, 无解,排除C，D.故B正确. 归纳总结 常见的一元二次方程 的根的分布表如下.（令 , ）#5.1 根的 分布 , , 有且只 有一个在 内且 图象 70 根的 分布 , , 有且只 有一个在 内且 条件 对于 时的情形，可作类似讨论.#5.2 续表 71 练变式8 (2026·安徽师范大学附属中学期末)已知函数 在区 间内有两个零点，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 72 【解析】由函数在区间内有两个零点，得到函数 的图象在上与 轴有两个交点， 所以即 整理得解得 ， 所以的取值范围为 . 练变式9 已知函数有一个零点在区间 内， 则实数 的取值范围是_ ________． ， 【解析】当 时（先讨论二次项系数是否为0）， ，函数的零点为 ，不满足题意. 当 时， 若二次函数只有一个零点，则关于对应方程有 ，解得，此时的零点为 ，不满足题意; 若二次函数有两个零点，①若,则,得 ,所以 ,其零点为0， ，不满足题意； 74 ②若,则,得 ,所以 ,其零点为 ,1,不满足题意； ③若，且有且只有一个零点在区间 中，则 ，解得 ; 若二次函数有两个零点,,且都在区间 内， 则即 无解， 故不存在两个零点在区间 内. 综上，的取值范围为， ． 题型7 用二分法求方程的近似解（或函数零点的近似值） 例18 (2026·陕西省西北工业大学附属中学期末)用二分法求方程 根的近似解时，令 ，并用计算器得到如下表数据.则由表 中的数据，可得方程 的一个近似解为（精确度为0.1）( ) 1.00 1.25 1.375 1.50 B A.1.125 B. C. D. 76 【解析】设函数的零点为，因为， ，所以 ，所以 ，区间长度为0.5. 取区间中点，，则，所以 ， 区间长度为0.25. 取区间的中点，，则 ，所以 ，区间长度为0.125. 取区间的中点，则或 ，此 时区间长度为，结合选项可知方程 的一个近似解为 . 77 解题通法 利用二分法求方程近似解的入手点 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解，即对于求 方程的近似解，可以通过移项转化为求方程 的近 似解，然后按照用二分法求函数 零点近似值的步骤求解. 78 练变式10 [多选题，教材改编P146例2](2026·吉林省长春市十一高中月考)教材中用 二分法求方程的近似解时，设函数 来研究，通过 计算列出了它的对应值表： 1.25 1.375 1.422 1.5 0.02 0.33 分析表中数据，则下列说法正确的是( ) BCD A. B.方程 有实数解 C.若精确度为 ，则近似解可取为1.375 D.若精确度为，则近似解可取为 79 【解析】与都是上的增函数，是 上的增 函数，在 上至多有一个零点， 由表格中的数据可知：，，在 上有唯一零点，零 点所在的区间为， ，A错误； 方程 有实数解，B正确； ，， ， 即若精确度为，则近似解可取为 ，C正确； ，， ， 则近似解可取为，D正确.故选 . 80 高考帮丨考向追踪 考向1 确定函数的零点所在的区间 例19 (2025·天津)函数 的零点所在区间是( ) B A. B. C. D. 【解析】易知单调递减，又 , , ， 所以的零点所在区间是 . 81 考向2 确定函数零点的个数 例20 (天津高考题)已知函数函数 ,则函数 的零点个数为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 82 83 【解析】函数的零点个数即, 图象的交点个数.在同一平面直角坐标系中分别画出函数 和函 数 图4.5.1-12 的图象，如图4.5.1-12所示，其中函数的图象可由 的图象 的图象的图象的图象 的图象得到.由 图可知，函数,的图象有2个交点，所以函数 的零点个数为2. 84 考向3 已知函数的零点个数求参数的取值范围 例21 (2023·天津)若函数有且仅有两个零点，则 的 取值范围为________________________. 85 【解析】当时，函数只有一个零点，不符合题意;当时，函数 只有一个零点，不符合题意;当时，函数有两个零点,分别为和 ， 符合题意. 若且 ，分以下两种情况： ①当 时, ,令，由且，得 , ，且 . 86 又时，有，解得且,; 时，有 ，解得且, . ②当 时， ,令,由且，得 ， ，且 . 同理，时,,则;时,,则 . 综上，的取值范围为 . 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·广东省深圳市期末)函数 的零点所在区间为( ) C A.（0,） B.（,1） C. D.（2, ） 【解析】，因为,均为增函数，所以 为增 函数，又, , 所以的零点所在区间为 . 88 2.(2026·江苏省扬州市期末)设为实数，若关于的方程有两根, ， 且，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】关于的方程有两根,，且 , 解得 . 89 3.(2026·安徽省芜湖市月考)函数 的所有零点之和为 ( ) A A. B.1 C. D.2 【解析】令，可得, . 设，则,，解得, , ,，则, . 所以的所有零点之和为 . 90 4.(2026·山东省菏泽市郓城县实验中学月考)已知函数 ,利用二分 法求函数在 内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为 ( ) A A.（2,） B.(,) C.(,) D.（ ,3） 【解析】函数， ， ，故函数的零点在 内； ，故函数的零点在（2, ）内； ，故函数的零点在（2, ）内. 91 5.函数 的零点个数为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 图D 4.5.1-1 【解析】函数 的零点个数等价于方程 的解的个数，即函数与 的图象的 交点个数，作出函数与 的图象如图D 4.5.1-1 所示，由图象可知,函数与 的图象有且仅有两 个不同交点，所以函数 的零点个数为2. 92 6.［多选题］ (2026·湖北恩施州高中教学联盟期末)已知函数 , ,的零点分别为，， ，则下列结论正确的是 ( ) ACD A. B. C. D. 【解析】,在 上单调递增， 在 上单调递增， ，，故 . ，，故 . ，故，故，.故选 . 93 7.(2026·山东省日照市期末)已知函数 有两个零点，则实 数 的取值范围是________. 【解析】由题可得直线与函数 的图象有两个交点， 作出函数的图象如图D 4.5.1-2所示.由图可得，即 ，所 以实数的取值范围是 . 图D 4.5.1-2 94 8.已知函数 . （1）如果函数的一个零点为0，求 的值； 【答案】由,得 . （2）当函数有两个零点时，求 的取值范围； 【答案】因为函数有两个零点，所以方程 有两个不相等的实数根，所 以，，解得且 . 故的取值范围为且 . （3）当函数有两个零点，且其中一个大于1，另一个小于1时，求 的取值范围. 【答案】当 有两个零点，且其中一个大于1，另一个小于1时， 有或解得 . 故的取值范围为 }. 95 B 综合练丨高考模拟 建议时间：40分钟 9.(2026·江苏省新海高级中学月考)偶函数满足 ，且当 时，，则函数在 上的零点的个数为 ( ) D A.7 B.8 C.9 D.10 96 【解析】且是偶函数，, 的图 象关于直线对称，（若，则的图象关于 对称） , 图D 4.5.1-3 是周期函数，且周期 ，在同一平面直 角坐标系中作出和在 上的 图象，如图D 4.5.1-3所示． 由图可知，在上函数和 的 图象共有10个交点，故函数 的 零点的个数为10． 97 10.若关于的方程有实数根，则实数 的取值范围为( ) C A. B.) C.( , D., ) 【解析】令，，则关于的方程 有实数根等价于关 于的方程 有正实数根． 令，则 . ①当方程有一个正根,一个负根时， 解得 ． ②当方程有两个相等的正根时， 解得 . 98 ③当方程有两个不相等的正根或一个根为零另一个根为正时， 解得 . 由①②③可得实数的取值范围为 ． 11.［多选题］ (2026·湖南省邵阳市期末) 已知函数 则下列结论正确的是( ) ACD A.函数 有3个零点 B.若函数有四个零点，则 C.若关于的方程有四个不等实根，，，，则 D.若关于的方程有8个不等实根，则， ) 100 【解析】A选项，当时， 单调递增， 当时， 单调递减， 画出 的图象， 图D 4.5.1-4 并在同一坐标系内作出 的图象，如图D 4.5.1-4可看出两函 数图象有3个交点， 所以函数 有3个零点，A正确； 101 图D 4.5.1-5 如图D 4.5.1-5，数形结合可得，函数 有四个零点， 则 ,B错误； 由图D 4.5.1-5可知，若关于的方程有四个不等实根 , ,,,不妨设 , 其中,关于直线对称，,关于直线 对称，则 ,,所以 ,C正确； 令,则要有2个不相等的实数根,,且 , ,则 , 因为,所以 , 102 由,解得 , 综上, ,故D正确． 故选 ． 12.［多选题］ (2026·甘肃省定西市期末)已知函数 ，下列结论正确的是( ) BCD A. 有2个零点 B.的单调递减区间为 C.若，则 有6个零点 D.若有7个零点，则的取值范围为 ) 104 【解析】当时，单调递增，所以，所以 无零点； 当时，由，得，所以有1个零点.综上，函数 有 且只有1个零点，所以A错误. 由，得，所以 所以的单调递减区间为 ，所以B正确. 105 图D 4.5.1-6 的图象如图D 4.5.1-6所示. 等价于 . 令，则 . 因为时，或或 ， 所以结合图可知若,则有两根, ， 且, . 所以有3个根，有3个根，所以 有6个零点，所以C正确. 若，由图可知有1个根，因为有3个根，所以 有3个 零点； 若，由图可知有3个根或或 ， 106 因为有1个根，有3个根，有3个根，所以 有7个零点； 若，由图可知有3个根,, ， 且,, ， 而有2个根，有2个根，有3个根，所以 有7个零点； 若，由图可知有2个根或 ， 而有2个根，有2个根，所以 有4个零点. 综上可知D正确.故选 . 13.(2026·天津市经济技术开发区第一中学期末)函数 若 函数有四个不同的零点，，，，则 的 取值范围是_________. 【解析】因为 当时，，可知其图象的对称轴为直线 , 108 图D 4.5.1-7 作出函数 的图象，如图D 4.5.1-7所示. 令，解得或 ; 令，解得或 . 当时，，令 , 解得或 , 若方程有四个不同的实根,, , ，即的图象与直线 有四个不同的交点，交点横 坐标依次为,,, , 则 . 109 对于,，有 , 可得，所以 . 对于,，有,,，可得 ，所以 , ，所以 . 14.已知 ． （1）当时，解不等式 ； 【答案】当时， . 因为，所以或 ，所以不等式的解集为 . 111 （2）若，且函数的图象与直线 有3个不同的交点，求 实数 的取值范围． 【答案】由题设得 作出函数 的大致图象，图D 4.5.1-8如图D 4.5.1-8. 所以在上单调递增，在上单调递减，在 上单调递增，要使函数的图象与直线 有3个不同的交点，则 ,所以,解得，又，所以 的取值范围 为 . 112 （3）在（2）的条件下，假设3个交点的横坐标分别为，，，且 ， 若恒成立，求实数 的取值范围． 113 【答案】由（2）可知，当时，，为方程 的两根，则 ，即 . （ⅰ）当，即时，是方程 的较小根， ，令 , 则在上单调递减，则 ， 所以 . （ⅱ）当，即时，是方程 的正根，所以 ， 所以，则 . 综上，的取值范围为 ． 114 C 培优练丨能力提升 15.已知函数，若函数 有三个零点， 则实数 的取值范围是___________________. 【解析】令,则 ， 有三个零点，有两个根，,且需满足 有两解时， 有且仅有一解. 115 图D 4.5.1-9 ①时， 的图象如图D 4.5.1-9所示. 由，得， ， 由，得 ，由图可知此时直线 与 的图象有两个交点， 由，得，此时要使直线 与 的图象有且仅有一个交点， 则解得 . 116 图D 4.5.1-10 ②时，图象如图D 4.5.1-10所示， 只 有一个解， 没有三个解，不符合题意. 117 图D 4.5.1-11 ③时， 的图象如图D 4.5.1-11所示. 由，得， ， 由，得，直线 和 的图象必有两个交点； 由，得 ，此时要使直 线和 的图象有且仅有一个交点，则有 ，解得， . 118 图D 4.5.1-12 ④时， 的图象如图D 4.5.1-12所示. 只有一个根， 没有三个解． 综上所述，， ． 119 $