上册 第3章 图形的相似&第4章 投影与视图(考点梳理对点练)-【千里马·单元测试卷】2026-2027学年九年级全一册数学(北师大版·新教材)

单元测试卷·九年级数学·北师版·全一册 第三章 图形的相似 考点7相似多边形 ⊙建议用时：25分钟答案P32 考点梳理 是 厘米 1.比例线段T1,T3,T7 8.如图，已知四边形ABCD∽四边形EFGH,若 2.相似多边形T2,T4,T8,T10 EF=2AB,BC+CD=5,则FG+GH的长为 3.比例的性质T5,T6,T9 1.已知线段AB的长是4a,线段CD的长是a,则 线段AB与CD的比为 () A.4:1B.5:1 C.3:1 D.1:4 2.如图所示的甲、乙两个平行四边形相似，则a 的值是 () 8题图 9已知号=台=号=2，且6+d+f0 甲 (1)求粉+号的值： 2题图 (2)若b-2d+3f=5,求a-2c+3e的值， A.1 B.2 C.3 D.4 3.线段a,b,c,d是成比例线段，已知a=2,b= 5,c=23,则d= ) A.15 B.415 3 5 C.25 D.√15 4.如图，有三个矩形，其中是相似图形的是( 10.数学活动课上，老师布置了一个任务：在长为 A.甲和乙 6,宽为2的矩形纸片内，分别剪下两个小矩 B.甲和丙 2.5 1 形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，甲 C.乙和丙 7 丙 同学的设计方案如图①，乙同学的设计方案 D.甲、乙和丙 4题图 如图②.请你判断选择谁的方案剪下的两个 5如果号-子，那么等于 矩形的周长之和最大，并说明理由， A青 c. D.S 6 6 6.已知c, a =k,且a+b+c≠0，则 10题图① 10题图② a+bb+cc+a k的值是 ( ) A.2 B.3 c 7.若甲地到乙地的实际距离为480千米，在比例 尺是1：16000000的地图上，两地的图上距离 —8一 第三章 图形的相似补 考点8相似三角形的判定（含黄金分割） ⊙建议用时：30分钟答案P33 考点梳理 60°，BC=4cm,D为BC的中点，若动点E以 1.两角相等T5,T6,T8 1cm/s的速度从点A出发沿AB向点B运动， 2.两边成比例且夹角相等T3,T6 设点E的运动时间为ts,连接DE,当以B,D, 3.三边成比例T1 E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为 4.黄金分割T4,T7 () 5.平行线分线段成比例T2,T9 A.1 B.4 C.7 D.4或7 1.若△ABC的三边长分别为1，√2，W5,△DEF的 6.如图，AB与CD交于点O,若使得△OAC∽ 三边长分别为2,2，√10，则△ABC与△DEF △OBD,则可以添加的一组条件为 ( A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.一定全等 D C 2如图，AB月CD/ER,若品-多，BD=12,则 6题图 7题图 DF的长为 ( 7.如图，将舞台的长看作线段AB,C,D是舞台的 A.2 B.4 C.6 D.8 黄金分割点，为了增强视觉平衡和美感，需要 A B 演员从舞台A处出发，最终站在该舞台的黄金 分割点处.若AB=am,则演员最终位置到点A C 的距离为 m(用含a的代数式表示). 8.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，点 E P在BC上，且∠APD=90°.求证：△ABPM 2题图 3题图 △PCD. 3如图，在△c和△0s中，品-2且∠1= ∠2，若∠B=40°，则∠D的度数为 ( A.40° B.30°C.20° D.15° 8题图 4.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都 是黄金比，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P 9.如图，已知在△ABC中，EF∥CD,AF=3,AD= 5,AE=4 是AB的黄金分割点(AP>BP).若线段AB的 长为4，则AP的长为 (1)求AC的长； ( A.25-2 B.25+1 (2)当AB-时，求证：DE/BC C.6-25 D.25-1 9题图 4题图 5题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= —9 单元测试卷·九年级数学·北师版·全一册 芳点9 相似三角形的性质 ⊙建议用时：30分钟答案P33 考点梳理 5.如图，在△ABC中，E是AB边上的点，F是AC 1.对应高、角平分线、中线比等于相似比T1,T2 边上的点，且EF∥BC,AE:AB=3:4,D是AE T3,T4 的中点，若△ADF的面积为9，则△ABC的面 2.周长比等于相似比T2,T7 积为 3.面积比等于相似比的平方T3,T5,T6,T8 4.相似三角形的判定与性质T4,T8 1.如图，已知△ABC∽△A'B'C',CD和C'D'分别 是△ABC和△A'BC的高，份 =m(m≠1)， 5题图 6题图 则 cD的值为 6.如图，在口ABCD中，点E在边BC上，DE交对 角线AC于点F,若CE=2BE,△CEF的面积 等于4，那么△AFD的面积等于 7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4. (1)在AB上求作一点D,使△ABC∽△CBD 1题图 (尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； A.1 B.1 C.m D.m2 (2)在(1)的条件下，求△BCD的周长 m 2.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的 对应高线，若AD=4,A'D'=2,则△ABC与 △A'B'C'的周长比是 A.2:1 B.2:3 C.4:1 D.4:9 7题图 3.若两个相似三角形的面积之比为4：9，则它们 8.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC边上的 对应的角平分线之比为 点，且满足∠ADE=∠C. (1)求证：△ADE△ACB; A.2:3 B.3:2 C.√6：3 D.√6：2 (2)若AB=3,AE=1,S△ADE=6,求S网边形BCED 4.如图，在由单位长度为1的小正方形组成的网 格中，已知BF为△ABC的角平分线，DM为 △ADE的角平分线，则BF:DM的值为( 8题图 4题图 A.1:4 B.1:√2 C.2:1 D.1:2 -10 第三章 图形的相似补 考点101 图形的位似 ⊙建议用时：30分钟答案P33 考点梳理 标为 1.位似图形T1 7.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(0, 2.位似变换T2,T3,T4,T5,T6 -3),B(3,-2),C(2,-4),正方形网格中，每 3.作图位似变换7，T8 个小正方形的边长是1个单位长度： 1.下列各组图形中不是位似图形的是( (1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的 ☒ △AB1C1; (2)以点C为位似中心，在网格中画出 A B D △A,B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且 2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF △A2B2C2与△ABC的相似比为2：1； 是位似图形，则它们位似中心的坐标为 (3)求△ABC的面积， A.（1,1)B.(1,2) C.(2,1)D.(2,2) 3-2-10 0 -4-3-2-10123x B 7题图 E 2题图 3题图 8.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个 3.如图，点O是△ABC与△DEF的位似中心，若 单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系， AD=OA,SADEF=12,则△ABC的面积为 △OAB的顶点都在格点（网格线的交点）上， ( 已知点A(-4,-2),B(-2,-6). A.2 B.3 C.4 D.5 (1)将△OAB向右平移4个单位长度得到 4.如图，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点 △01A1B1,请画出△01A1B1; 0为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点 (2)将△OAB绕点0顺时针旋转90°，画出所 A,B,E在x轴上，若OA=1,则点F的坐标为 得的△OA2B2,并写出点A2,B2的坐标； ( (3)以点0为位似中心，缩小△OAB,使缩小后 A.(3,6)B.(6,3) C.(9,6) D.(6,9) 的三角形与△OAB的相似比为1：2，画出 缩小后的三角形 G 4 OA B 4题图 6题图 5.以0为位似中心，将△AOB扩大得到△COD, --4-320.3.4.6x 且相似比为1：4，若△AOB的周长为6，则 23 △COD的周长为 6.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的 6 顶点C,D的坐标分别为(5,0)，(1,0)，正方形 EFGH的顶点E,F的坐标分别为(-3，-1)， 8题图 (-1,-1),则这两个正方形的位似中心的坐 -11 单元测试卷·九年级数学·北师版·全一册 考点11相似三角形的实际应用 ⊙建议用时：30分钟答案P34 1.如图，将木棒AB竖直举起靠近墙面，打开手机 头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起 手电筒P照射木棒AB,在墙面上形成投影 8cm,已知AP:BP=4:1,要使这块石头滚动， CD,过点P作PF⊥CD,分别与AB,CD交于点 至少要将杠杆的A端向下压 cm. E,F,AB =10 cm,PF =80 cm,PE =20 cm, 则CD的长度为 () A.20 cm B.40 cm C.60 cm D.80 cm B 5题图 6.如图，数学兴趣小组想要利用镜子与皮尺测量 大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直 接测量，测量者站在点F处，将镜子放在点M 处时，刚好看到大树的顶端A,沿大树方向向 1题图 2题图 前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处 2.如图，晚上小明从路灯AC走向路灯BD.当他 时，刚好看到大树的顶端A(点F,M,D,N,B 走到点P时，他身后的影子的顶部刚好落在点 在同一条直线上).若测得FM=1.5米，DN= A处；当他再向前步行一段距离到达点Q时， 1.1米，测量者眼睛到地面的距离EF=CD= 他身前影子的顶部刚好落在点B处.两个路灯 1.6米，求大树AB的高度， 的高度都是9m,则AP与BQ的数量关系为 A.AP=2BQ B.AP-2BQ E C C.AP=BO D.无法确定 3.某数学兴趣小组计划用激光笔来测量某大厦 6题图 CD的高度，如图，在点P处放一平面镜（厚度 7.为了保障市民出行方便，某市在流经该市的河 不计)，光线从点A出发经平面镜反射后刚好 流上架起一座桥，小明和小颖想通过自己所学 射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD, 的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧 CD⊥BD,测得AB=1.5m,BP=2m,PD= 河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为 52m,那么该大厦的高度为 点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分 A.39m B.30m C.24m D.15m 别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥ BC.经测量，BC=80米，DE=140米，且点E 到河岸BC的距离为75米.已知AF⊥BC于点 c F,请你根据提供的数据帮助他们计算桥AF 的长度 D 3题图 4题图 4.如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚B 距墙2米，小红上了两节梯子到点D,此时点 D距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为 米. E 5.用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点， 7题图 当用力压杠杆的A端时，杠杆绕点P转动， 一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石 -12 第四章投影与视图补 第四章 投影与视图 考点12投影与视图 ⊙建议用时：25分钟答案P34 考点梳理 6.如图①是一个直四棱柱，图②是它的三种视 1.中心投影T3,T4,T7 图，其中俯视图为一个等腰梯形，根据图中的 2.平行投影T2 数据，计算这个直四棱柱的表面积为 3.三种视图T1,T5,T6,T8 1.下列几何体中，左视图是三角形的是 ( 10 323 正面 主视图 左视图 A ☑ 2.如图，哪一个是太阳光下形成的影子？ 2 俯视图 6题图① 6题图② 7.如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所 示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小 A B D 亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线 3.如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路， 段DE上. 小路的正中间有一路灯，晚上小亮由A处径直 (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在 走到B处，他在灯光照射下的影长与行走的 灯光下形成的影子； (2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子AC 路程S之间的变化关系用图象刻画出来，大致 =1.4m,且他到路灯的距离AD=2.1m, 图象是 求灯泡的高度比小明高多少米？ B CADF 7题图 8.某工厂加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐 的三种视图如图所示（单位：mm). (1)图中的立体图形的名称是： 3题图 4题图 (2)请你按照三种视图确定制作一个茶叶罐所 4.广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放 需铁皮的面积. 置，其投影如图所示，则该投影属于 120 .(填“平行投影”或“中心 200 投影”) 主视图 5.如图是由几个相同的小正方体搭成 主视图 左视图 的几何体的主视图与俯视图，则搭成 这个几何体的小正方体的个数最多 俯视图 是 个，最少是 5题图 俯视图 个 题图 -13解单元测试卷·九年级数学·北师版·全一用 x(x+5)=0. x=0,或x+5=0, x1=0,x2=-5. (2)这里a=3,b=6,c=-4. 4=b2-4ac=62-4×3×(-4)=84>0, x=-b±y8-4.-6±84.-3±I 2a 2×3 3 ，3k=-1-2 即=-1+ 3 (3)移项，得x2-2x=5. 配方，得x2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6. 两边开平方，得x-1=±6， 即x-1=6,或x-1=-6 .x1=6+1,x2=-W6+1. 7.解：(1)② (2)这里a=1,b=-8,c=-4, b2-4ac=(-8)2-4×1×(-4)=64+16=80>0, 六x=8±80=4士25， 2 .x1=4+2√5，x2=4-25 考点5一元二次方程的根与系数的关系 1.A2.D3.B 4.m>-2且m≠-1 5.-2(答案不唯一，k<-1即可) 6.解：(1)方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根， 4=(-3)2-4×1×(-k)>0,解得k>-9 4 (2)将k=4代入方程，得x2-3x-4=0, 则(x+1)(x-4)=0, ∴.x+1=0,或x-4=0,解得x1=-1,x2=4. 7.(1)证明：：4=(2m+1)2-4×1×(m-2)=4m2+ 4m+1-4m+8=4m+9>0, ∴.无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根。 (2)解：由根与系数的关系，得名+名=-(2m+1), lx1x2=m-2. 由x1+x2+3x1x2=1,得-(2m+1)+3(m-2)=1, 解得m=8. 8.解：(1)当m=2时，原方程为x2-8x+12=0, .∴.a=1,b=-8,c=12. 设关于x的一元二次方程x2-8x+12=0的两个根分别 为名1，x2, 名+2=-么=8,4162=6=12. :关于x的一元二次方程x2-8x+12=0的两个根是矩 形ABCD的两邻边长，.矩形的对角线长度为√+ =√（x1+2)2-21x2=√82-2×12=2√10. (2).:关于x的一元二次方程x2-4mx+8m-4=0的 两个根是菱形ABCD的两邻边长， ∴.关于x的一元二次方程x2-4mx+8m-4=0有两个 相等的实数根， ∴.△=(-4m)2-4×1×(8m-4)=0, 解得m1=m2=1, .原方程为x2-4x+4=0,即(x-2)2=0, 解得x1=x2=2, ∴.菱形的周长为2×4=8. -3 考点6一元二次方程的应用 1.B 2.解：设增长率为x, 由题意，得25(1+x)2=36, 解得x1=0.2,x2=-2.2(不合题意，舍去) 答：增长率为20%. 3.解：设BC的长为xm,则AB的长为19+1=xm 2 根据题意，得x.19+-x=48,整理，得-20x+96=0, 2 解得x1=8,x2=12(不合题意，舍去)， 19+1-x=19+1-8=6. 2 2 答：当所围成的矩形电动车棚的长是8m、宽是6m时， 其面积为48m. 4.解：设矩形田地的宽为x步，则长为(x+12)步. 依题意，得(x+12)x=864. 整理，得x2+12x-864=0, 解得x1=24,x2=-36(不合题意，舍去)， .∴.x+12=24+12=36. 答：矩形田地的长为36步、宽为24步. 5.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得1+x+x(1+x)=144, 解得x1=11,x2=-13(不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人 (2)1728 6解：(1)由题意，得（号×10+20×(40-4）=108（元） 答：商场每件衬衫降价4元，则每天可盈利1008元. (2)设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得(40-)(20+号×10）=120. 整理，得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20. 商场为了扩大销售量，尽量减少库存，.x1=10应舍 去，∴x=20 答：每件衬衫应降价20元. 7.解：依题意，得10+(80-x)·100=25, 整理，得x2-80x+1500=0, 解得x1=30,x2=50. .6月份用电45kW·h,且缴电费10元， .x≥45，..x=50. 8.解：(1)设原计划B型设备每小时铺设路面x米，则A 型设备每小时铺设路面(2x+30)米. 根据题意，得32x+32(2x+30)=4800, 解得x=40, 则2x+30=110. 答：原计划A型设备每小时铺设的路面长度为110米. (2)根据题意，得40(32+m+25)+（110-3m)(32+ m)=4800+1000. 整理，得m2-18m=0, 解得m1=18,m2=0(舍去)， ∴.m的值为18. 第三章图形的相似 考点7相似多边形 1.A2.B3.D4.B5.C6.D 7.38.10 9解：(1：合=台-宁=2，且6+d+/0, 小8+号-2…8+9并的值为2 2:=7=2， 8器-等2…88=2 b-2d+3f=5,∴.a-2c+3e=2×5=10, .a-2c+3e的值为10. 10.解：选择乙同学的设计方案。 理由如下：如答图①，设甲同学的设计方案中剪下的小 矩形的宽CE=x, .原矩形的长与宽之比为6：2=3：1， ∴.CF=3x,∴.BF=BC-CF=6-3x, BG=}BF=6,3=2-x, 3 .甲同学的设计方案中两个矩形的周长之和为2(2一 x+6-3x)+2(3x+x)=16. 如答图②，设CE=y,同理可得剪下的两个矩形的周长 之和为2+3)+2(6-y+5号)-9+16 .0<3y≤2， 0<y≤号，当y=子时，两个矩形的周长之和最大， 最大值为176 9 1g>16, ·选择乙同学的设计方案剪下的两个矩形的周长之和 最大 A D 2-x B 6-3x F3x C 6-yE 10题答图① 10题答图② 考点8相似三角形的判定（含黄金分割） 1.A2.D3.A4.A5.D 6.∠A=∠B(答案不唯一) 75-1 )。或3,5。【解析]若演员最终位置为，点C的在 里，此时-54C=5m若演灵最终位至 AB 为点D特保，此时0品点00 2a m, D=a-D=35,m演员录终位至到点A的阳 离为5-1 2m浅3m 8.证明：∠APD=90°，∠B=∠C=90°， ∴.∠APB+∠CPD=90°，∠BAP+∠APB=90°， .∠CPD=∠BAP. 又.∠B=∠C,∴.△ABP△PCD. 9.(1)解：.EF∥CD, 品荒 .AF=3,AD=5,AE=4, —3 参考答案及解析什 号=是解得4C- (2)证明：：AD=5,AE=4, AB-亨Ac-9 六0器子DE/C 考点9相似三角形的性质 1.C2.A3.A4.D5.326.9 7.解：(1)如答图，点D即为所求. (2)∠ACB=90°，AC=3,CB=4, .AB=√AC+BC2=√32+4=5， .△ABC的周长=3+4+5=12. .·△ABC∽△CBD, ·.AABC的周长=AB5 B △CBD的周长CB=4, 7题答图 △CB0的周长=袋 8.(1)证明：：∠ADE=∠C,∠A=∠A, ∴.△ADE∽△ACB. (2)解：，△ADE∽△ACB,AB=3,AE=1, 方分 SAADE =6, .S四边形BCBD=8S△ADE=48. 考点10图形的位似 1.D2.B3.B 4.C[解析]：正方形ABCD与正方形BEFG是以原，点O 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，.AD:BG= 1:3,AD∥BG,∴.∠OAD=∠OBG,∠ODA=∠OGB, ÷△04D△08c,8%-2品=3：0A=10B= 3,AB=OB-OA=2.四边形ABCD为正方形，AD =AB=2,∴.BG=3AD=6,∴.BE=6,∴.OE=OB+BE= 3+6=9,∴.，点F的坐标为(9,6).故选C. 5.24[解析]依题意，得△A0B与△COD的相似比为 1:4,.△A0B与△C0D的周长比为1：4.△AOB的周 长为6，∴.△C0D的周长为24. 6(-7,-6或（分，号） 7.解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求 y B 4 3 -3-2-10 B 3外 ..i-4 CC,) 7题答图 (2)如答图，△A2B2C2即为所求. (3)Sm=2×3-7×1x2-7×1x2-7×1×3= 2.5. 解单元测试卷·九年级数学·北师版·全一 8.解：(1)如答图，△01A1B,即为所求. y B -4-3-2 023 R- 3 6 B 8题答图 (2)如答图，△OAB,即为所求 A2(-2,4),B2(-6,2). (3)如答图，△OA3B,和△OA4B4即为所求 考点11相似三角形的实际应用 1.B2.C3.A4.65.32 6.解：设NB的长为x米，则BM=x+1.1+2.8-1.5=(x +2.4)米. 由题意，得∠CND=∠ANB,∠CDN=∠ABN=90°， △cD△ANB90-0 同理△EMF△AMB器微 EF=CD=1.6米， 器2 xx+2.4 解得x=6.6. 880…866AB=96米 答：大树AB的高度为9.6米。 7.解：如答图，过点E作EG⊥BC于点G -------------- 。。▣=。。==， ”====” ==“““”一”“。” -一=”“一””” ”””””“”””””” BG/C D 7题答图 DE∥BC,.△ABC△ADE, AC BC 80 4 ·AE=0E=140=7, .AF⊥BC,EG⊥BC .∠CFA=∠CGE=90°. 又：∠ECG=∠ACF,.△ACF△ECG, 2-即5=专4=10米， .桥AF的长度为100米 第四章投影与视图 考点12投影与视图 1.A2.B3.B4.中心投影5.866.240 -3 丹 7.解：(1)如答图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小 亮在灯光下形成的影子. E O 、G CA D FH 7题答图 (2)由题意，可得AB∥D0,∴.△ABC∽△DOC, …8品 即6=1.4 D0=1.4+2.1' 解得D0=4,.D0-AB=4-1.6=2.4(m). 答：灯泡的高度比小明高2.4m. 8.解：(1)圆柱 (2)120÷2=60(mm), 120×T×200+2×π×60×60=31200m(mm2), ∴.制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为31200mmm2 第五章二次函数 考点13二次函数的概念及其图象 1.C2.D3.B4.C5.D6A7.C8.-230 9.下直线x=-1（-1,2) <-1>-1 10.解：(1)(0，-3)(1，-4)(2)列表： -1 0 1 2 y… 0-3 -4-3 0 抛物线图象如答图所示 yt 「-r----1-1-6 --t--1-5 x2站3 3 -2 -1 -5-4-3-2=0 1245x L--1--1--1--46----1- 10题答图 (3)-4≤y<5 11.解：(1)b=-2a(2)><<> (3)2>(4)>>> (5)<<(6)a+b+c≤(7)> (8):抛物线经过点(-3，n),,点(-3，n)关于直线 x=1对称的点(5，n)也在该抛物线上，∴.关于x的一 元二次方程a2+bx+c-n=0的另一根为x=5. 2解：(1y=-(x-1P+2 (2)当x=0时y=-2++是=2 33 则抛物线与y轴的交点坐标为(0，) 当y=0时，-之(x-1)2+2=0,解得名=3，=-1，