上册 第5章 二次函数能力提升卷-【千里马·单元测试卷】2026-2027学年九年级全一册数学(北师大版·新教材)

第五章 能力提升卷 [答案：P46] 【考查范围：二次函数】 时间：120分钟 满分：120分 h 题号 二 三 总 分 把 得分 第一部分选择题（共30分） 装 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.用配方法将二次函数y=x2+8x-9化成顶点式的形式，下列 订 正确的为 A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 线 2.根据下表中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y 的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a,b,c为常数)的 一个解x的范围是 内 x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.06 A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 不 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 3.二次函数y=(x-3)(x+5)的图象的对称轴是 A.直线x=3 B.直线x=-5 要 C.直线x=-1 D.直线x=1 4.若抛物线y=x2+2x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为 ( 答 A.-1 B.1 C.-4 D.4 5.在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+mx+m2+m(m为 常数)的图象经过点(0,6)，其对称轴在y轴右侧，则该二次 题 函数有 ( A.最小值7 B.最大值C最大值7D.最小值 6.如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点P,若点P的横坐 标为-1，则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是( 6题图 7.（安徽淮南期末)李明同学在探究函数y=-1-x2+x+51的 性质时，作出了如图所示的图象.当方程-1-x2+x+51=k 有两个实数根时，常数飞满足的条件是 A.k< 21或k=0 B.k<0 4 21 C.k>- D.k=0 7题图 8题图 9题图 10题图 8.如图，已知抛物线y1=(x+1)2-3向右平移2个单位长度得 到抛物线y2,则阴影部分的面积为 A.3 B.4 c.5 D.6 9.(菏泽中考)如图，正方形ABCD的边长为2cm,动点P,Q同 时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C,A→B→C 的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接 PQ,设运动时间为xs,△APQ的面积为ycm2,则下列图象中 能大致表示y与x的函数关系的是 y/cm2 y/cm ↑ylcm2 y/cm2 0 2 4x/s0 4 x/s 0 2 4xs0 2 4 x/s A C 10.(日照中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图 象如图所示，对称轴为直线x=子，且经过点(-1,0).下列 结论：①3a+6=0:②若点（分，(3,2）是抛物线上的两 点，则y1<y2;③10b-3c=0;④若y≤c,则0≤x≤3.其中正 确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第二部分非选择题（共90分）】 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知某抛物线与二次函数y=2x2的图象的开口大小相同， 方向相反，且顶点坐标为(-1,2026)，则该抛物线对应的 表达式为 九年级数学 北师版全一册 12.如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与二次函数y=ax2(a≠0) 的图象相交于点A(-1,1),B(2,4),则关于x的方程ax2= x+b的解为 y y=kx+6 4 m 12题图 13题图 14题图 13.（绵阳中考)如图是抛物线形状的拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m,则水面下降2m,水面宽度增加 m. 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴 正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，抛物线y=a(x-1)2+c (a<0)的顶点为D,且经过点A,B.若△ABD为等腰直角三 角形，则a的值为 15.已知二次函数y=x2的图象如图，点A。为坐标 4 原点，点A1,A2,A3,…在y轴的正半轴上，点B1, B B2,B,…在二次函数y=x2位于第一象限的图 象上，△AB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…都是直 B 角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则 B △A,B1oA10的斜边长为 15题图 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演 算步骤或推理过程) 16.（10分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的自 变量x与函数值y的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 y=ax2+bx+c 9 2 根据以上信息，解决下列问题： (1)直接写出c,m的值； (2)求此二次函数的表达式； (3)直接写出当-2≤x<1时，y的取值范围。 ·19 见此图标眼微信扫码 分阶突破智趣成长 17.(8分)（青岛中考）已知二次函数y=x2+mx+m2-3(m为 常数，m>0)的图象经过点P(2,4). (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m-3的图象与x轴交点的 个数，并说明理由. 18.(8分)（温州中考）已知抛物线y=ax2+bx+1经过点(1， -2),(-2,13). (1)求a,b的值； (2)若(5，y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点，且y2=12- y1,求m的值. 19.（8分)（湖州中考）某水产经销商以每千克30元的价格购 进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销 售量y(千克)与销售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一 次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x(元/千克) 50 40 日销售量y(千克) 100 200 (1)求y关于x的函数表达式； (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如 果不考虑其他因素，问：当销售价格x为多少时，日销售 利润W的值最大？最大日销售利润是多少元？ ·20. 20.(8分)已知二次函数y=ax2(a≠0)与一次函数y=kx-2(k ≠0)的图象交于A,B两点，如图所示，其中A(-1,-1). (1)求a和k的值； (2)求点B的坐标； (3)求△OAB的面积. 20题图 21.(8分)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的点A处 射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离 为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB 为2.44m,现以0为原点建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求抛物线的表达式，并通过计算判断球能否射进球门 (忽略其他因素)； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均 保持不变，则当时小明应该带球向正后方移动多少米射 门，才能让足球经过点0正上方2.25m处？ ty/m 3 0 x/m 21题图 22.(12分)某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（图中 粗线A-B-C表示墙面，其中AB⊥BC,AB=3米，BC=9 米)和总长为42米的篱笆围成一个“日”字形的饲养场 BDEF(细线表示篱笆，饲养场中间GH也用篱笆隔开)，点F 可能在线段BC上（如图①），也可能在线段BC的延长线上 (如图②)，设EF的长为x米 (1)当点F在线段BC上时. ①DE= 米（用含x的代数式表示）； ②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为78平方米， 求EF的长； (2)当EF的长为多少米时，饲养场BDEF的面积最大，最大 面积为多少平方米？ B 9 FC H B 9 3 CF A 0 G E D G 22题图① 22题图② 23.（13分)（广安中考）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交 x轴于点A,B,交y轴于点C,点B的坐标为(1,0)，对称轴 是直线x=-1,P是x轴上一动点，直线PM⊥x轴，交直线 AC于点M,交抛物线于点N. (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点P在线段A0上运动（点P与点A、点O不重合），求 四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q,使以 M,N,C,Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写 出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 23题图见此图标眼微信扫码分阶突破智趣成长 由题意，得(m-100)(50+280m×10 20 =9600, 整理，得m2-480m+57200=0, 解得m1=260,m2=220. :要尽快减少库存，∴.m=220, ∴.每件休闲服的售价应定为220元. (2)不正确. 理由：设每件休闲服的售价为x元，日利润为y元 由题意，得y=(x-10)(30+2890×10)=-2(x 20 240)2+9800,∴.当x=240时，日利润最大. 设日箱皆颜为p元，则p=(0+220×0）=-+ 190x=-2(x-190)2+18050, .当x=190时，日销售额最大 综上所述，小张的观点不正确. 22.解：(1)将点A(-2,0)代人y=-x2+mx,得0=-4-2m, 解得m=-2,.抛物线的函数表达式为y=-x2-2x. (2)将点A(-2,0)代入y=-x+b,得0=2+b, 解得b=-2,∴.直线的函数表达式为y=-x-2. 粒32解得02 1y=-x2-2x, .点B的坐标为(1，-3). 从图象看，不等式-x2+mx<-x+b的解集为x<-2 或x>1. (3)由题意可知抛物线y=-x2+mx与直线y=n在-2 ≤x≤1的范围内只有一个交点. 抛物线的顶点坐标为(-1,1)， .n的取值范围是-3≤n<0或n=1 23.解：(1)设石块的运动轨迹所在抛物线的表达式为y= a(x-20)2+10(a≠0)， 把(0,0)代入，得400a+10=0,解得a=-40 y=0(x-20)2+10,即y=0+x 1 (2)把x=30代入y=-40+x, 得y=-0×90+30=7.5i 7.5>6,∴.石块能飞越防御墙AB. (3)设直线OA的函数表达式为y=x(k≠0)， 把(30,3)代入，得3=30k,解得k=10: 1 直线0A的函数表达式为y=10 1 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为 (,+小过点P作PMLx轴，垂足为M,交0A于 点Q,则Q,）P0=+i0=+ 0=-04-18)户+81， 9 ∴.当t=18时，PQ取最大值，最大值为8.1. ·46· 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是 8.1米. 第五章能力提升卷 1.D2.C3.C4.B5.C6.D7.A 8.D[解析]如答图，设点M为抛物线y1 2 y1的顶点，点N为抛物线y2的顶点，连 接MA,NB,则四边形AMWB的面积和 阴影部分的面积相等.由题意，得AB∥ MN,AB=MWN=2,∴.四边形AMNB是 MI N 平行四边形.抛物线y1=(x+1)2- 8题答图 3,∴.顶，点M的坐标为(-1，-3)，.点M到x轴的距离 为3，∴.平行四边形AMNB的面积是2×3=6，∴.阴影部 分的面积是6.故选D. 9.A b3 10.C[解析]~抛物线的对称轴为直线x=-2a=2心b =-3a,.3a+b=0,故结论①正确；抛物线开口向 上，点分)国时稀铅的距离小子点3，)到对茶轴 的距离，∴.y1<y2,故结论②正确；：b=-3a,·a= 台：鹅物线经过点(-1,0)a-b+c=0,号 b -b+c=0,∴.3c=4b,46-3c=0.又b≠0，∴.10b-3c 0,故结论③错误；点(0，c)关于直线x=弓的对称 点的坐标为(3，c),抛物线开口向上，∴.y≤c时，0≤x≤ 3,故结论④正确.故选C. 11.y=-2(x+1)2+202612.x1=-1,x2=2 13.(42-4) 14.-1[解析].抛物线y=a(x- 1)2+c(a<0)的顶点为D,且经过 点A,B,∴抛物线的对称轴是直线 E x=1,且A,B关于直线x=1对称. 过，点D作DF⊥x轴于点F,交AB O F C 于点E,如答图所示，则AE=BE= 1,∴.AB=2.当△ABD为等腰直角 14题答图 三角形时，DB=分AB=1:四边形0ABC是正方形， 0A=AB=BC=0C=2,.DF=1+2=3,.A(0,2), D(1,3).把点A,D的坐标代入y=a(x-1)2+c,得 C091子年释8 1a(1-1)2+c=3, 15.20 16.解：(1)c=4,m=2 5 (2)由(1)得c=4,∴.y=ax2+bx+4. 将(-3,2）(-1，号)代入y=a+c+4, /2=9a-3b+4, 得 9 解得0=2， 2=a-b+4, lb=-1, ∴.y=- (3)3<y≤号 9 把点0,225)代人，得225=-20-2-m户+3， 17.解：(1)将(2,4)代人y=x2+mx+m2-3, 解得m=-5(舍去)或m=1, 得4=4+2m+m2-3,解得m1=1,m2=-3. ∴.当时小明应该带球向正后方移动1m射门，才能让足 .m>0,.m=1. 球经过点0正上方2.25m处. (2)交点个数为两个. 22.解：(1)①(45-3x) 理由：m=1,∴.y=x2+x-2. ②，：要求所围成的饲养场BDEF的面积为78平方米， 12-4×1×(-2)=9>0, ∴.DE·EF=78,即x(45-3x)=78,解得x1=2,x2=13. .二次函数图象与x轴有两个交点， 45-3x≤9，即x≥12，∴.x=13. 18.解：(1)把点(1，-2)，(-2,13)代入y=ax2+bx+1, 答：EF的长为13米 利{328oi64 (2)设饲养场BDEF的面积为S, 可1b=-4. 当点F在线段BC上时，S=DE·EF=x(45-3x)= (2)由(1)，得抛物线为y=x2-4x+1. r+5-3 把x=5代入y=x2-4x+1,得y1=6,.y2=12-y1=6. =%,且对称轴为直线x=25生0-2，解得m=-1 :-3<0,≥12，且x>5时，y随x的增大面减小， .当x=12时，S有最大值，最大值为108， 19.解：(1)设y关于x的函数表达式为y=x+b(k≠0)， 此时BF=45-3×12=9,符合条件； 将x=50,y=100和x=40,y=200分别代入， 得50k+6=100, 当点F在线段BC的延长线上时，设DE为y米，由(1) 06=2网解得6d0 可得DB=GH=EF=x,DE=BF=y,AD=x-3. .BC=9,..CF=y-9,..DE+CF=42-AD-GH-EF, ∴.y关于x的函数表达式是y=-10x+600. (2)W=(x-30)(-10x+600)=-10x2+900x-18000 y+y-9=42-(x-3)-x-x,即y=2(54-3), =-10(x-45)2+2250. :-10<0,.当x=45时，W取得最大值，最大值是2250. S=DEBF=7(54-3)=-(x-92+29 答：销售价格为45元/千克时，日销售利润最大，最大日 销售利润是2250元. :-子<0当=9时，S有最大值最大值为孕， 20.解：(1)一次函数y=kx-2(k≠0)的图象过点A(-1, -1),∴.-1=-k-2,解得k=-1. 此时BF=宁×(54-3×9)=号>9，符合条件 :二次函数y=ax2(a≠0)过点A(-1,-1), :2型>108，BF的长为9米时，铜养扬BDEF的面积 -1=a×1,解得a=-1. （②)立2代[2 最大，最大面积为平方米 ly=-4, 23.解：(1)：二次函数图象的对称轴是直线x=-1,点B ∴点B的坐标为(2，-4). 的坐标为(1,0)， (3)设直线AB交y轴于点G. 点A的坐标为(-3,0)， 在y=-x-2中，令x=0,得y=-2, ∴.二次函数的表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3. ∴.G(0,-2),.0G=2, (2)连接OW,CN,AN,BC,如答图. Ssau=Sse+Ssm=20Gll+20G.1l y↑ 分×2x1+分×2x2=1+2=3. B x 21.解：(1)8-6=2， .抛物线的顶点坐标为(2,3) 设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+3(a≠0)， 把点A(8,0)代入，得36a+3=0,解得a=-2: 1 23题答图 设P(m,0),则N(m,m2+2m-3) 抛物线的表达式为y=立(x-2)户+3。 在y=x2+2x-3中，令x=0,得y=-3, .C(0,-3),.0C=3,.S网h形Bcw=SA4oN+S△Bc+SACON 当=0时y=-7×4+3=号>24， 1 =分×3×(-m-2m+3)+7×1x3+7×3×(-m) 1 ∴.球不能射进球门 (2)设小明带球向正后方移动mm,则移动后的抛物线 -2(m+2)+8 的表达式为y=(x-2-m)2+3 :-子<0当m=昌时，5驰网取最大值空， 一四边形ABCN面积的最大值是？，此时点P的坐标为 ( (3)在y轴上存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形 是菱形.点Q的坐标为(0，-1)或(0，-1-3√2)或(0， -1+3√2). 第六章基础测试卷 1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.C8.A 9.D[解析]如答图，任选两条横线和两条竖线共可以围 成9个不同的矩形，其中含点A的矩形有4个，故从这些 矩形中任选一个，所选短形含点A的概率是号故选A ·A 9题答图 10.B1.0912.g13.3146 15.1 16.解：(1)0.90.9 (2)①估计这批花卉成活的棵数为 20000×0.9=18000(棵). ②估计还需要移植这种花卉的棵数为270000÷0.9 20000=280000(棵). 17解：(1)号 (2)画树状图如答图所示. 共有6种等可能的结果，其中取出的钥 开始 匙恰好能打开取出的锁的结果有2种， 即Aa,Bb,.取出的钥匙恰好能打开取个、 a b c a b c 出的债的概率为名宁 17题答图 18.解：(1)画树状图如答图所示 开始 3.4 1 18题答图 可知点M所有可能的坐标为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2， 1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3). (2)在所有12种等可能的结果中，在函数y=x+1的 图象上的有(1,2)，(2,3)，(3,4)这3种结果，.点 M(,）在函数y=+1的图象上的概率为号=子 19.解：(1)小王选择C,座位的概率为了 (2)列表如下： 小王 小李 C C2 C3 B, (B2,C) (B2,C2) (B2,C3) B, (B3,C) (B3,C2) (B3,C3) Ba (B4,C1) (B4,C2) (B4,C3) 共有9种等可能的结果，其中小李和小王刚好坐在同一 列的结果有(B2,C2),（B,C3),共2种，∴.小李和小王 刚好坐在同一列的概率为子 20.解：(1)这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是0.95. (2)①.袋中总球数为5+13+22=40（个），黄球有 5个， 从经中陵机损背一个球是黄球的概率为易一日 ②设从袋中取出了x个黑球，由题意，得茹≥分， 解得x≥8弓 答：至少取出了9个黑球 21解：(1)号 (2)列表如下： b 6 -7 4 -6 0 -13 -2 -1 5 -8 3 5 11 -2 9 一共有9种等可能的结果，其中a+b>0有4种结果，a+ b<0有4种结果，P(小聪获胜)=g,P(小明获胜)= 号Pr(小聪获胜)=（小明获胜）这个游戏公平 22.解：(1)50 (2)健关操项目所对应的扇形圆心角的度数为360°×号 108°，喜欢“跳绳”的学生人数为50-20-15-10=5（人）， 补全条形统计图如答图所示. 学生最喜爱运动项目条形统计图 十人数 20 20 15 15 10 、、 0 篮球健美操跳绳键球运动项目 22题答图 九年级数学 北师版全一册 (3)用列表法表示所有可能出现的结果如下： 分y=2+分+分当=1时y=1+分分-2此 1 1 第2人 第1人 时该函数图象经过点(1,2)；若a=c,此时不成立，D符合 班1 一班2 二班1 二班2 题意.故选D. 班1， 班1， 班1， 10.D[解析]如答图，连接PC. 一班1 一班2 二班1 二班2 ①：BD是正方形ABCD的对角线， 班2， -班2， 一班2 班2， ∴.∠PDF=∠PBE=45°.又PF 一班1 二班1 二班2 ⊥CD,∴.△PDF为等腰直角三角 二班1， 二班1， 二班1， 形，∠PFC=90°，.PF=DF,∴.PD 二班1 班1 一班2 二班2 =√PF+DF=√PF+PF=B 二班2， 二班2， 二班2， 二班2 √2PF.PE⊥BC,.∠PEC=90°.10题答图 一班1 一班2 二班1 :四边形ABCD为正方形，.∠BCD=90°，.四边形 :共有12种等可能出现的结果，其中2人来自同一班 PECF是矩形，∴CE=PF,.PD=√2CE,故①正确； 级的结果有4种， ②∠PBE=45°，PE⊥BC,∴△PBE为等腰直角三角 ∴从一班2人，二班2人中任取2人，来自同一班级的 形，∴.BE=PE.四边形PECF为矩形，.四边形PECF 概率为后宁 的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,故②正确； ③：四边形PECF为矩形，∴.PC=EF.:四边形ABCD 答：选中的2名同学恰好是同一个班级的概率为3· 1 为正方形，.AD=CD,∠ADP=∠CDP.在△ADP和 23.解：(1)2 AD=CD, △CDP中，∠ADP=∠CDP,.△ADP≌△CDP(SAS), (2)设小林使用“求助”去掉第二题中的错误选项为D,画树 (DP=DP, 状图如答图所示 ∴AP=CP,∴.AP=EF,故③正确；④EF=PC=AP, 开始 ∴.当AP最短时，EF最短，当AP⊥BD时，AP最短，在 第一题 R△ABD中，BD=VG+AD=42,AP=2BD= 第二题C 22,.EF的最小值为2√2，故④正确.综上，正确的结论 23题答图 有4个.故选D. 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小林顺利通关 11.202212.-5313.1214.24+25 的结果只有1种， 1s9 D 1 [解析]连接FM,FC,如答图 小林顺利通关的概率为4 所示.四边形ABCD是正方形，EF (3)如果在第一题使用“求助”，那么小林顺利通关的概率 ∥BC,∴.∠BAC=45°，四边形BCEF 为}；如果在第二题使用“求助”，那么小林顺利通关的概 为矩形，∴.△AFG为等腰直角三角 B C 率为好：了>子建议小林在第一愿使用求助。 形，BE=CF.M是AG的中点， 15题答图 ∴AM=MG,则FM⊥AG,即△FMC是直角三角形.N 期末综合测试卷（一） 是BE的中点，四边形BCEF是矩形，∴.点N在CF上，且 1.A2.A3.D4.D5.A6.C7.C8.C 是CF的中点，MN=2fC.DE=1,BC=DC=3, 9.D[解析]若a=-2,则-2-b=-2b=c,.b=2,c=-4, ∴y=-2x2+2x-4.当x=1时，y=-4≠2，.该函数图象 .CE=2,.BE=FC=√BC+CE=V√32+2=√3， 不经过点(1,2，A不树合题意；若c=2,则[0-b2解得 lab=2, .MN-C 2 [a=1+5,支a=1-5,六y=1+)2+(-1+ 16.解：(1)移项，得(x+1)2=4. lb=-1+5lb=-1-√5， 由此可得x+1=±2，解得x1=1,2=-3. 5)x+2或y=(1-5)x+(-1-√5)x+2.:当x=1时，y (2)a=1,b=-2,c=-3, .4=(-2)2-4×1×(-3）)=16>0, =2+23≠2或y=2-2√3≠2，∴.该函数图象不经过点 (1,2),B不符合题意；a,b,c的绝对值相等，a-b=ab 故该方程有两个不相等的实数根. =c,∴.a=b=c=0,C不符合题意；若a=b,则a-b=0, 代人公式，得x=二(-2)±6_2±4 2×1 2 a=6=c=0,不特合题意：若6=c,则a=1,6=分，c 即x1=3,x2=-1. ·47·