上册 第3章 图形的相似基础测试卷-【千里马·单元测试卷】2026-2027学年九年级全一册数学(北师大版·新教材)

31-万 (3)x=1+万 3 （4)x1=1,x2=3. 17.解：(1)△ABC是等腰三角形 理由：x=-1是方程的根， ∴.(a+c)×(-1)2-2b+a-c=0, ∴.a+c-2b+a-c=0,.a-b=0,∴.a=b, .△ABC是等腰三角形 (2)△ABC是直角三角形 理由：方程有两个相等的实数根， .4=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 4b2-4a2+4c2=0,a2=b+c2 ∴.△ABC是直角三角形 18.解：(1)关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0 有实数根， .△=(-6)2-4×1×(4m+1)≥0，解得m≤2. (2):方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1,x2, .x1+x2=6,x1x2=4m+1, .(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42, 即32-16m=16,解得m=1. 19.解：令x2+5x+1=t,则原方程化为t(t+6)=7, t2+6t-7=0,解得t=1或t=-7. 当t=1时，x2+5x+1=1,x2+5x=0, 解得x1=0,x2=-5; 当t=-7时，x2+5x+1=-7,即x2+5x+8=0. 因为△=52-4×1×8<0，此时方程无实数根. 故原方程的解为x1=0,x2=-5. 20.解：(1)(28-x) (2)y=100+20x (3)根据题意，得(28-x)(100+20x)=4000, 解得x1=3,x2=20. 当x=3时，68-x=68-3=65>58,不合题意，舍去； 当x=20时，68-x=68-20=48<58,符合题意. 答：每顶头盔应降价20元. 21.解：(1)x2-3x+2=0,.(x-2)(x-1)=0, .x-2=0或x-1=0,即x1=2,x2=1, .方程x2-3x+2=0是“倍根方程” (2).（x-2)(x-m)=0,.x-2=0或x-m=0, 解得x1=2,x2=m. :(x-2)(x-m)=0是“倍根方程”，∴.m=4或m=1. 当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26; 当m=1时，m2+2m+2=1+2+2=5. 综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5 (3)根据题意，设方程的两根分别为a,2a. 根据根与系数的关系，得a+2a=m-1,a·2a=32, 解得a=4,m=13或a=-4,m=-11, .m的值为13或-11. 2.解：(1)根据题意，得24×40-2×2(40-x)(24-) 2x1 =440,整理，得2-32x+220=0, 即(x-22)(x-10)=0,解得x1=22,x2=10 .x的值为22或10. (2)种花的面积不能达到520平方米. 理由：根据题意，得24×40-2×2(40-x)(24-x)- 2×7=520,整理，得-32x+260=0, .62-4ac=(-32)2-4×260=1024-1040=-16<0, .此方程无实数根， ∴.种花的面积不能达到520平方米 (3)根据题意，得24×40-2×2(40-)(24-x)-2× 72=a,整理，得父-32+分=0， ①x的值有且只有一个， 8-4ac=(-32)2-4×2=0, 即2a=1024,解得a=512; ②若方程有两个不相等的实数根，0<x<24,a>0, 则62-4ac=(-32)2-4×号>00<a<512, 解方程，得名=16+√256-号，.=16-√256-分 :x的值有且只有-个，√256-号≥8， ∴.0<a≤384. 综上，a=512或0<a≤384. 28解：(1)-号-7 (2):一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根分别 1 为m,nm+n=-号，mm三2 m2+i=(m+)2-2m=+1- 41 (3)实数s,1满足22+3s-1=0,22+36-1=0,且s≠t, .5,t是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根， -)2=+)2-4=(-2)-4x(-）-, 9 s t st =±17 2 -2 第三章基础测试卷 1.D2.B3.B4.D5.C6.A7.C8.B9.C 10.D[解析]设运动ts时，以A,D,E为顶，点的三角形与 △ABC相似，则AD=tcm,CE=2tcm,∴.AE=AC-CE= (10-2t)cm.①当，点D与，点B对应时，有△ADE AABC,..AD:AB =AE:AC,..t:4=(10-2t):10,..t= 2)=2.2;②当点D与点C对应时，有△ADE一△AC AD:AC=AE:AB,心10=(10-2）：4，t=6≈4.2 ∴.当以A,D,E为顶，点的三角形与△ABC相似时，运动时 间约是2.2s或4.2s.故选D. 九年级数学 北师版全一册 11.32012.10413.10814.65° G 15.6或8[解析]依题意可得DE=CE=2CD=32,BD =√AB2+AD=√(62)2+(62)2=12.设BF=x, 则有DF=12-x①当△ABF∽△FDE时，由DF=DE BA=8BF· 20题答图 即2=-3巨，解得1=为=6；②当△ABF~△EDF (2)证明：'△ADE△CDG,.∠EAD=∠GCD. 62x ∠AOP=∠COD,∴.∠AP0=∠CD0=90°，∴.AE⊥CG. 21.证明：(1)四边形ABCD是菱形， 时，尚-即2-解得=8解上所述，脉 .AD∥BC,AB∥CD,AD=CD. x62 的值为6或8. a/服c/A0,8-品 16.解：(1)如答图，△A1B1C,即为所求. w器-器恶-器 .FG=BF. (2)如答图，连接BD. 四边形ABCD是菱形， BB0..cC元 AC垂直平分BD, B0=D0. 16题答图 四边形ABCD是菱形， B (2)A1(2,4),D1(2a,2b). .∠FAO=∠DAO. 21题答图 17.解：设a=4k,b=3k,c=5k(k≠0) ∠FOB=∠DAO,∴.∠FOB=∠FAO. (1)9+2b-4k+6k。10k a-364h-9%--5%=-2. 又.∠FB0=∠ABO,.△BOF△BA0, (2)a+b+c=72, 小船-B6B0=BMR ∴.4k+3k+5k=72,解得k=6, 由(1)知BF=GF, ∴.a=24,b=18,c=30, B0=D0,.D02=AB·GF .2a-b+c=2×24-18+30=60. 22.解：(1)∠DFA=∠ACB=90°，∠DAF=∠BAC, 18.解：(1)设CE=AD=x,:EF∥AC, DF AF 0器-=e71540=75 .△DFA△BCA,.BC-CM 在Rt△ABC中，AB=0.5m,BC=0.3m (2)AD=7.5,DF=3,AF=4.5. P/D8品-品-号=是 由勾股定理，得AC=√AB2-BC=0.4m DF 16 19.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， AF=16m,0.3=0.4DF=12m, ∴.∠EAF=∠ABG=90°，AB=BC=AD. .DE=DF+EF=12+1.5=13.5(m). 又：E,G分别是边AD,BC的中点， 答：古树的高度DE为13.5m. 5A6=2A0=74B,Bc=8C=2Aa (2)∠DFB'=∠A'C'B'=90°，∠DB'F=∠A'B'C', 又，An=00-能-分△BFn△hc △na4rcg8器-8S-品 .BF=9m,.16-9=7(m) (2)解：△AEF△BAG,∴.∠AEF=∠BAG 答：小丽向前移动了7m :∠BAG+∠EA0=90°，∴.∠AEF+∠EA0=90°， 23.(1)解：四边形ABCD是菱形，BE=BC, ∴.∠EOG=∠AEF+∠EA0=90°. 20.(1)解：如答图，设AD交CG于点0， AB=BC=BE,AD/∥BC,LABD=7∠ABC=40, :四边形ABCD、四边形DEFG都是矩形， .∠BAD=180°-∠ABC=180°-80°=100°， ∴.∠ADC=∠EDG=90°，AB=CD, ∠BAE=180°，LABE=180°，40°=70， ∴.∠ADE=∠CDG. 2 2 AB=20c,AD=208品品=2， ,∠DAE=∠BAD-∠BAE=100°-70°=30° (2)证明：四边形ABCD是菱形， △ADEAcDC2瓷-20 ∴.DA=DC,∠ADE=∠CDE. DE=DE,.△ADE≌△CDE,∴∠DAF=LDCE. A0=c2总%-宁 AD∥BC,.∠DAF=∠F,∴.LDCE=∠F 又.LCEF=LGEC,∴.△CEG∽△FEC, ·43· 见此图标眼微信扫码 分阶突破智趣成长 ·8g-gS即BC=BF,BG (3)解：在菱形ABCD中，CD=AB=AD=BC=6. 器=3设cE=a,则4B=CE=3a .'AG=AE+EG=3a +a=4a. EC2=EF·EG,∴.EF=9a,∴.FG=FE-EG=9a-a=8a. 又：AD∥BC,∴.∠ADG=∠DCF,∠DAF=∠F, △C--g-2. ∴.CF=2AD=2×6=12. 第三章能力提升卷 1.B2.B3.B4.A5.B6.B7.A8.A9.B10.C Ⅱ∠B4C=∠D(答案不唯-）12.号1B3.12014.200 3 152或5[解析]设，点P,Q的运动时间为t秒，根据题意， 得AP=tcm,BQ=2tcm,则BP=(10-t)cm.当△PBQ∽ △MBC时，衢-器即90-品解得1=5；当△08r 一△AC时配-器即90-器解得4=2签上点 P,Q运动2s或5s时，△PBQ与△ABC相似. 16.解：(1)如答图，△AB1C1即为所求. (2)如答图，△A2B,C,即为所求 2 .B2 Bi .A. 16题答图 17.解：1)4%票-胎=号 g=房Bc-9AC=AB+Bc-号 3 （24%%六6-限2p 6,EF=48 18.解：由题意可得∠ADC=∠FDE,∠DEF=∠DCA, .△DEF∽△DCA,DC-CM DE EF DE=1.6米，EF=1.1米，DC=40米， 8-64c=275米 :DF与地面保持平行，DG=1.3米， .BC=DG=1.3米， AB=AC+BC=27.5+1.3=28.8(米) 答：宝岩寺塔的高度为28.8米 19.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD∥BF,∠A=∠C, ∴.∠CDF=∠F,.△CDE∽△AFD. ·44· (2)解：.四边形ABCD是平行四边形， .CD∥BF,CD=AB,AD∥BC, .∴.△BEF∽△CED,△BEF∽△ADF, 小器器=分照-分柴-分 ,BF_1 SAADF=9SAEP=9,∴.S四边形BBD=SAADF-SABEF=8. 20.(1)证明：：菱形AEFG∽菱形ABCD, ∴.∠EAG=∠BAD,∴.∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB, 即∠EAB=∠GAD. AE=AG,AB=AD,∴.△AEB≌△AGD,∴EB=GD. (2)解：如答图，连接BD,交AC于点P,则BP⊥AC. ∠DAB=60°，.∠PAB=30. 菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是3：2，AB=2, .AE=3,BP=2AB=1,AP=AB-BP =3, .EP=25,EB=√EP2+BP2=√I2+I=I3, .∴.GD=EB=13. D B G 20题答图 21.解：(1)由题意可得CF∥DE, 则△BFC∽△BED,·BD-DE BC CF .CD=4m,CF=1.5m,DE=3.5m, BC1.5 六BC+4-35BC=3m (2)AC=5.4m,BC=3m,.AB=5.4-3=2.4(m) :反射角等于人射角，∴.∠FBC=∠GBA. .∠FCB=∠GAB=90°，.△BGA△BFC, e-8…S-244c=12m 答：灯泡到地面的高度AG为1.2m. 22.(1)证明：：四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， .∠ACD=∠AFG=45°. ∠CFM=∠AFG,.∠CFM=∠ACM=45°. .·∠CMF=∠AMC,.∴.△MFC∽△MCA. (2)证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°，∠BAC=45°，AB=BC, ∴.根据勾股定理，得AC=√2AB. 同理可得AP=E能治=2 ·.·∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°， ∴.∠CAF=LBAE,∴.△ACF∽△ABE. (3)解：DM=1,CM=2,.AD=CD=1+2=3, .AM=√AD2+DM=√32+1下=√10. 由(1)知△MFc△Mc州-2器即型 w/102 .FM1AF-AM-FM3 5 ÷AG=AB=2Ar-35 16.解：(1).a=2,b=3,c=-5 , .△=b2-4ac=32-4×2×(-5)=49>0, 即正方形ABFG的边长为35 .方程有两个不相等的实数根， x=b±-4c.-3±49-3±2 23.(1)解：2 3 2a 2×2 4 (2)证明：如答图①，作BP∥EF交AD于点P,CQ∥GH 即1-多 分别交AB,BP,EF于点Q,I,K (2)方程可化为(x-3)2-2(x-3)=0, 易知四边形BPEF和四边形CQHG是平行四边形， 分解因式，得(x-3)(x-5)=0, ∴.BP=EF,CQ=GH. .x-3=0或x-5=0,即x1=3,x2=5. 设EF交GH于点L, 17.证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC. EF⊥GH,.∠BIC=∠FKC=∠FLG=90. .AE⊥BC,CF⊥AD, ∠QBC=∠PAB=90°，∴.∠BCQ=∠ABP=90°-∠PBC, .AE⊥AD,∠AEC=∠AFC=90°， .△BCQ∽△ABP. .∠EAF=90°，∴.四边形AECF是矩形. CQ BC AD.GH AD :BC=AD,AB=CD,.∴BP=AB-CD心EFCD 18.解：(1)如答图，点P即为所求.(-5，-1) D G H B C D B 23题答图① 23题答图② (3)解：如答图②，过点A作AG∥BC,交CF的延长线于 、AGAF 点G,则△AGF△BCF,.BC=BF B2 18题答图 :∠ACB=90°，AC=3,BC=4, (2)如答图，△OA2B2即为所求. ∴AB=√AC2+BC=√32+42=5. 19.(1)证明：·四边形ABCD是矩形，.AB∥CD ?Br=号AF=AB-Br=5-号-子 :CF∥ED,∴.四边形CDEF是平行四边形 .·DC=DE,·.四边形CDEF是菱形 7 :46.BG:AE_4×37 (2)解：如答图，连接GF. D BF 82=2 3 G :∠GAC=180°-∠ACB=90°，∴.∠ACD=∠GAC. :CE⊥AD,∴.∠AEC=90°，∴.∠CAD=∠G=90°-∠ACG, △40acc器指m%-号-9 AF B 19题答图 2 :四边形ABCD是矩形，∴.AB=CD=5. 阶段综合测试卷（一） :四边形CDEF是菱形， .CF=CD=5,∠DCG=∠FCG 1.B2.D3.A4.A5.C6.C7.B8.B 9.B[解析]作DH∥EG交AB于点H,则△AEG∽△ADH, BC=3,.BF=CF-BC=V√52-32=4， 六%-器BF1AC,LC=0∠BA=LC=90, ∴AF=AB-BF=5-4=1. CD=CF. ∥cD,△M5r△MDC,铝-需器-品 在△CDG和△CFG中，{∠DCG=∠FCG, LCG=CG. EG=EF,∴DH=CD.设DH=x,则CD=x.BC=12, ∴.△CDG≌△CFG(SAS),∴.DG=FG, AC=6,∴.BD=12-x.EF⊥AC,EF⊥EG,DH∥EG, .∴.FG=GD=AD-AG=3-AG Ec/Ac/Da,△B0I△BCA,-8e中若= 在Rt△FGA中，根据勾股定理，得FG2=AF2+AG, 1行，解得=4CD=4故选B (3-AG2=1P+AG,解得AG=手 20.解：(1)由根与系数的关系，得x1+x2=6,x1x2=2m-1. 10.D11.2(答案不唯一，k>1即可) x1=1,.1+x2=6,x2=2m-1,x2=5,m=3. 2201B号145-2515.2 根据题意，得△=（-6)2-4×1×(2m-1)≥0， 2 m≤5，∴.m=3符合题意，∴x2,m的值分别为5,3.第三章 基础测试卷 [答案：P43] 【考查范围：图形的相似】 时间：120分钟 满分：120分 h 题号 二 三 总 分 把 得分 第一部分选择题（共30分） 装 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.在下列各组图形中，一定相似的是 童 订 B D 线2.已知四条线段a,b,c,d成比例，则下列结论正确的是( c4=6 内3.（乐山中考）如图，DE∥FC∥BC,若DB=4FB,则EG与GC 的关系是 () A.EG-4CC B.EG-3GC C.EG-CC D.EG-2GC 不 D 要 6769 D 3题图 4题图 5题图 4.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是 答 A.∠ABD=∠ACB B.∠ADB=∠ABC C.AB2=AD·AC D.AD、AB AB BC 5.如图，在△ABC中，∠A=76°，AB=8,AC=6.将△ABC沿下 题 列各图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似 的是 C 4 769 76° B A B A B C 6.黄金分割是汉字结构基本的规律.借助如图所示的正方形习 字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观.已知点C为习字 格边框AB的黄金分割点(AC>BC),则下列结论正确的是 BC-5-1B.AC-5-1c.BC-5-1D.A8-5- A BC AB 2 AC 彩 H DG 6题图 7题图 8题图 7.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，连接DE,F为 BC上一点，BF=2FC,连接AF交DE于点N,则下列结论错 误的是 4船 B0心-号 C.Ac-2 8.如图，在△ABC中，BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边 在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N,则AN 的长为 () A.15 B.20 C.25 D.30 9.在研究相似问题时，甲、乙、丙三位同学的说法如下： 甲：将长和宽分别为8和5的矩形按图①的方式向外扩张， 得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形 相似. 乙：将边长为5,12,13的三角形按图②的方式向外扩张，得 到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角 形相似. 丙：将边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的 正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形 相似. 上述三人的说法中正确的个数是 9题图① 9题图② 9题图③ A.0 B.1 C.2 D.3 10.如图，在钝角三角形ABC中，AB =4cm,AC=10cm,动点D从点 D E A出发沿AB以1cm/s的速度向B C 点B运动，同时动点E从点C出 10题图 发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A,D,E为顶点 的三角形与△ABC相似时，运动时间约是 A.2.2s或4.5s B.4.2s C.3s D.2.2s或4.2s 九年级数学 北师版全一册 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.在比例尺为1：8000000的地图上测得甲、乙两地的距离为 4厘米，那么甲、乙两地的实际距离为 千米 12.已知两个相似三角形的周长比为2：3，它们的面积之差为 40,那么它们的面积之和为 13.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O. 若A5=),四边形ABCD的面积为27，则四边形EFGH的面 积为 D B 13题图 14题图 15题图 14.如图，在△ABC中，∠B=25°，AD是BC边上的高，并且AD =BD·DC,则∠BCA的度数为 15.如图，有一正方形ABCD,边长为62，E是边CD的中点，对 角线BD上有一动点F,当△ABF与△DEF相似时，BF的值 为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演 算步骤或推理过程) 16.（10分)如图，在6×8的网格中，每个小正方形的边长均为 1,点O和△ABC的顶点均为格点. (1)以点0为位似中心，在网格中作△AB,C1,使△AB,C1 与△ABC相似，且相似比为2：1； (2)在(1)的条件下，若点A的坐标为(1,2)，△ABC的边上 任意一点D(a,b)的对应点为D1,直接写出点A1、点D 的坐标 B:O 16题图 ·9 见此图标眼微信扫码 分阶突破智趣成长 1.(8分)已知好=号-号 （山)求栏治的值： (2)若a+b+c=72,求2a-b+c的值. 18.(8分)如图，AB与CD相交于点E,点F在线段AD上，且 BD∥EF∥AC.若DE=5,DF=3,CE=AD. (1)求AD的长； (2)求能的值 18题图 19.(8分)如图，在正方形ABCD中，E,G分别是边AD,BC的中 点，AF=AB,连接AG,EF交于点0， (1)求证：△EAF∽△ABG; (2)求∠E0G的度数. G 0 F 19题图 。10· 20.(8分)在矩形ABCD和矩形DEFG中，AD=2DE,AB=2DG, AD=DG,将矩形DEFG绕点D旋转，直线AE,CG交于点P. （1)求瓷的值： (2)求证：AE⊥CG. B 20题图 21.(8分)如图，在菱形ABCD中，点E在边CB的延长线上，连 接DE交边AB于点F,连接AE,过点F作FG∥BE交AE于 点G. (1)求证：FG=BF; (2)连接AC交DE于点O,连接B0,当∠FOB=∠DAO时， 求证：DO2=AB·GF. A D B C 21题图 22.（12分)学习了相似三角形的知识后，小丽同学准备用自制 的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度.已知三角 形纸板的斜边长为0.5m,较短的直角边长为0.3m. (1)小丽先调整自己的位置至点P,将直角三角形纸板的三 个顶点位置记为A,B,C(如图①)，斜边AB平行于地面 MN(点M,P,E,N在同一直线上)，且点D在边AC(较 长直角边)的延长线上，此时测得边AB距离地面的高 度EF为1.5m,小丽与古树的距离AF为16m,求古树 的高度DE; (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点 Q,将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为A',B', C'(如图②)，使直角边B'C(较短直角边)平行于地面 MN(点M,Q,E,N在同一直线上)，点D在斜边B'A'的 延长线上，且测得此时边B'C距离地面的高度依然是 1.5m,那么小丽向前移动了多少米？ D B 22题图① 22题图② 23.（13分)如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连接AG并 延长交BC的延长线于点F,连接BD交AF于点E,连接 CE. (1)若BE=BC,∠ABC=80°，求∠DAE的度数； (2)求证：EC2=EF·EG: (3)若AB=6,g=3,求cF的长。 23题图