上册 第2章 一元二次方程基础测试卷-【千里马·单元测试卷】2026-2027学年九年级全一册数学(北师大版·新教材)

第二章 基础测试卷 [答案：P42] 【考查范围：一元二次方程】 时间：120分钟 满分：120分 h 题 号 二 三 总分 0 得分 第一部分选择题（共30分） 装 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是 蜜 订 A.x2+1=2x B+x-1=0 C.ax2+bx=0 D.x2+2x=y 2.一元二次方程x2-2(3x-2)+x+1=0的一般形式是（ 线 A.x2-5x+5=0 B.x2+5x-5=0 C.x2+5x+5=0 D.x2+5=0 3.(赤峰中考)用配方法解方程x2-4x-1=0时，配方后正确 内 的是 ( 数 A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 不 4.一元二次方程3x2=12的二次项，一次项系数和常数项分别 为 ( A.3x2,无一次项，-12 B.3x2,无一次项，12 要 C.3x2,0,-12 D.3x2,0,12 5.观察下列表格（结果均精确到0.01），一元二次方程x2-3x =4.6的一个近似解为 ) 答 -1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07 x2-3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35 A.-1.123 B.-1.117 C.-1.089 D.-1.073 题 6.若a是方程x2+3x-1=0的一个根，则a2+3a+2026= ( A.-2024 B.2027 C.2025 D.2026 7.（威海中考)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有 实数根，则m的最大整数值是 () A.5 B.2 C.3 D.4 8.[传统文化]我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中 记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔 及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为 864平方步，它的宽比长少12步，问该矩形田地的宽和长各 是多少步？若设长为x步，则可列出方程 ) A.x(x+12)=864 B.x(x-6)=864 C.x(x-12)=864 D.x(x+6)=864 9.若有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感， 设每轮传染中平均每人传染了x人，则下列结论错误的是 A.第一轮后有(x+1)人患流感 B.第二轮又增加x(x+1)人患流感 C.依题意可得方程(x+1)2=121 D.不考虑其他因素，经过三轮一共会有1210人患流感 10.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,动点P, Q分别从点A,B同时开始移动（移动方向 如图所示)，点P的速度为1cm/s,点Q的 速度为2cm/s,点Q移动到点C处停止， 点P也随之停止运动.当四边形APQC的 B 面积为12cm2时，点P运动的时间是 10题图 A.6s B.2s或6sC.3s D.2s 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.若关于x的方程(k-1)x1+1-x+5=0是一元二次方程， 则k= 12.（泰安中考)已知关于x的一元二次方程x2-4x-a=0有 两个不相等的实数根，则α的取值范围是 13.我们知道方程x2+2x-3=0的两个根是1，-3，现给出另 一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,它的根是 14.某商店经销一批小家电，每个小家电成本为40元，经市场 预测，每个小家电定价为50元时，可销售200个；若每个小 家电定价每增加1元，则销售量将减少10个.如果商店进 货后全部销售完，赚了2160元，那么该小家电每个定价是 15.（四川巴中期末)对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 下列说法：①若a+b+c=0,则b2-4ac≥0；②若方程ax2+ bx+c=0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a=0的两根符 号也相同；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定 有ac+b+1=0成立；④若ax2-bx=c(ac≠0)的一个实数 根为4，则方程c2+x=a(ac≠0)一定有一个实数根为好， 其中正确的是 ·（请填写序号) 九年级数学 北师版全一册 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演 算步骤或推理过程) 16.（10分)用适当的方法解下列方程： (1)x2-8x-1=0; (2)2x2-4x-5=0; (3)(x-2)2=2x-4; (4)(y-1)2+2y(1-y)=0. 17.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+2m=0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根大于3，求m的取值范围. 18.(8分)新情境如图所示的是2026年1月的月历，1月1日 下方标有“元旦”二字.“元旦”意为“初始之日”，中国历史 上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和 国以公历1月1日为元旦.用“日”形框框住任意6个数，若 其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数 一二三四五六日 1234 567891011 12131415161718 19202122232425 262728293031 18题图 ·5 见此图标眼微信扫码 分阶突破智趣成长 19.（8分)如图，某城市建设部门计划在城市广场的一块长方 形空地上修建一个面积为1500㎡2的长方形停车场（图中 阴影部分)，使停车场四周余下的空地修建成同样宽的通 道，已知长方形空地的长为60m,宽为40m. (1)求通道的宽度； (2)某公司希望用60万元承包修建该广场的工程，城建部门 认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以48.6万 元达成一致意见.若两次降价的百分率相同，求每次降 价的百分率. 通道 40m 停车场 -60m 19题图 20.(8分)新考向定义：如果关于x的一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)满足a-b+c=0,那么我们称这个方程为 黄金方程 (1)判断一元二次方程2x2+5x+3=0是不是黄金方程，并 说明理由； (2)已知3x2-ax+b=0是关于x的黄金方程，若a是此黄 金方程的一个根，求a的值 。6… 21.(8分)某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了 合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是50 元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每 天就少售出2件，但要求销售单价不得超过65元. (1)若销售单价为每件60元，求每天的销售利润； (2)要使每天销售这种工艺品的销售利润为1350元，每件 工艺品的售价应为多少元？ (3)公司每天销售这种工艺品的利润能否达到2000元？请 说明理由， 22.（12分)阅读材料： 已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,m≠n,则 m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由一元二 次方程的根与系数的关系可知m+n=1,mn=-1. 根据上述材料，解决以下问题： 【直接应用】 (1)已知实数a,b满足a2-7a+1=0,b2-7b+1=0,a≠b, 则a+b= ab= 【间接应用】 (2)在(1)的条件下，求二+二的值： a 6 【拓展应用】 《(3)已知实数m,n满足+7，元-n=7且mm≠-1 求+n的值。 m 23.（13分)如图，在平面直角坐标系中，直线CD与x轴交于点 C,与y轴交于点D,OC,OD的长是一元二次方程x2-7x+ 12=0的两个根(OC>0D),直线y=x+1与x轴交于点B (1)求直线CD的函数表达式； (2)M(x,y)是直线y=x+1上一动点，设△BCM的面积为 S,请求出S关于x的函数表达式； (3)直线CD上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形？如 果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明 理由. D D B0C主 23题图 23题备用图见此图标跟微信扫码 分阶突破智趣成长 (2)AF=BD,AF∥BD .四边形ADBF是平行四边形. AB=AC,D为BC的中点，.AD⊥BC, ,∠ADB=90°，.四边形ADBF是矩形 20.(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.0A=0B,∠DA0=45°，∠0BA=45°， .∴∠0AM=∠OBN=135. .·∠EOF=90°，∠AOB=90°，..∠AOM=∠BON, ∴.△OAM≌△OBN,∴.OM=ON. (2)解：过点0作OH⊥AD于点H,如答图. :正方形ABCD的边长为4，∴.OH=HA=2. :E为OM的中点，.A为HM的中点，.HM=2HA=4. 在Rt△MH0中，得0M=√22+4=2√5， .易得MN=2√/10. D 20题答图 21.(1)证明：：AD∥BC,∴.∠DM0=∠BNO. ·:MN是对角线BD的垂直平分线， .OB=OD,MN⊥BD r∠DMO=∠BNO, 在△MOD和△NOB中， ∠MOD=∠NOB, LOD=OB. ∴.△MOD≌△NOB(AAS),∴.OM=ON OB=OD,.四边形BNDM是平行四边形 又.MN⊥BD,.平行四边形BNDM是菱形 (2)解：由(1)可知OB=0D,0M=0N=之MN=5. 四边形BNDM是菱形，周长为52， BN=DN=DM=BM=4×52=13. ·MN⊥BD, .在Rt△B0N中，0B=√BW2-0W=√132-52=12， .BD=20B=24, Sew=2BD·MN=7×24×10=120 22.【推理证明】证明：：O是AC边的中点， .OA=OC,∴.四边形ABCD是平行四边形. ∠ABC=90°，∴.四边形ABCD为矩形， AC-BD-20B...O8-AC. 【探究问题】解：四边形BDFG是菱形 理由：在△ABC中，过点A作BD的平行线，交CE的 延长线于点F,FG=BD, ∴AG∥BD,∴.四边形BDFG是平行四边形. CE⊥BD,∴CF⊥AG. 又BD为AC的中线，∴.FD为AC的中线， BD=DF=子AC,四边形BDFG为菱形. ·42· 【拓展思考】解：65° 23.(1)证明：.四边形ABCD是矩形， .∴.AB=CD,AB∥CD,AD∥BC,∠B=90°， ∴.∠BAC=∠DCA. AB=6 cm,BC=8 cm, 在Rt△ABC中，AC=√AB+BC2=√62+82=10(cm). G,H分别是AB,DC的中点， AG-AB.CH-2CD,AG-CH. E,F是对角线AC上的两个动点，分别从A,C同时出 发，相向而行，速度均为2cm/s, ∴.AE=CF,∴.AF=CE,∴.△AGF≌△CHE, ∴.GF=HE,∠AFG=∠CEH,∴.GF∥HE, ∴.以E,G,F,H为顶点的四边形始终是平行四边形 (2)解：连接GH,由(1)可知四边形EGFH是平行四边形. G,H分别是AB,DC的中点，∴.GH=BC=8cm, ∴.当EF=GH=8cm时，四边形EGFH是矩形. 分两种情况：若AE=CF=2tcm, 则EF=10-4t=8,解得t=0.5; 若AE=CF=2tcm, 则EF=2t+2t-10=8,解得t=4.5, 即当t为0.5s或4.5s时，四边形EGFH是矩形 (3)解：如答图，连接AG,CH. A H D .·四边形EGFH是菱形， F ∴.GH⊥EF,OG=OH,OE=OF. AF=CE,..0A=OC, 0 ∴.四边形AGCH是菱形，.AG=CG 设AG=CG=xcm, 则BG=(8-x)cm. B G 23题答图 由勾股定理，得AB2+BG=AG2, 即6+(8-)2=2，解得x=2 8c=8-9=子(am, = B+Bc=6+子-头(em)-}2=(o), 即当为}时，以，CF,H为顶点的四边形是菱形 第二章基础测试卷 1.A2.A3.C4.C5.B6.B7.D8.C9.D 10.D[解析]设动，点P,Q运动ts时，四边形APQC的面积 为12cm2,则BP=（8-t)cm,BQ=2tcm.由题意，得 分×(8-)x21=7×6×8-12,解得名=26=6 1 当t=6时，BQ=12cm,不合题意，.t=2,.动点P,Q 运动2s时，四边形APQC的面积为12cm2.故选D. 11.-112.a>-413.x1=-1,2=-3 14.52元或58元[解析]设该小家电每个定价是x元，则 每个小家电的销售利润为(x-40)元，可销售[200- 10(x-50)]个.根据题意，得(x-40)[200-10(x- 50)]=2160,整理，得x2-110x+3016=0,解得x1= 52,x2=58,∴.该小家电每个定价是52元或58元. 15.①②④ 16.解：(1)x1=4+√17，x2=4-√17. (2)x=2+,,-2-4 (信+子1+2岩+右8 2 2 1+2>0,… 1,1 =3. (3)x1=2,x2=4. √a'石 (4)y1=1,y2=-1. 17.(1)证明：4=b2-4ac=(m+2)2-4×2m=(m-2)2. (3)令=a,-n=b,则a2+a-7=0,b+b-7=0. m 无论m取何值时，(m-2)2≥0， m≠-1,1≠-n,即a≠6， .方程总有两个实数根. m. (2)解：：原方程可化为(x+2)(x+m)=0, .a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根， .x1=-2,x2=-m ∴.a+b=-1,ab=-7, 该方程有一个根大于3，.-m>3,.m<-3. 18.解：设最小数为x,则最大数为(x+15). 放2+=+=(a+bP-2a=(-12-2x(-7) 根据题意，得x(x+15)=100,解得x1=5,x2=-20. =15. 由题意可知x>0, 23.解：(1)由x2-7x+12=0得x1=3,x2=4, 所以x2=-20不合题意，舍去，所以x=5, .0C=4,0D=3,.C(4,0),D(0,3). 故这个最小数为5 设直线CD的函数表达式为y=kx+3(k≠0)，把C(4, 19.解：(1)设通道的宽度为xm, 依题意，得(60-2x)(40-2x)=1500, 0)代人，得4钻+3=0，解得长=-子 即x2-50x+225=0, 3 直线CD的函数表达式为y=-x+3. 解得x1=5,x2=45(不合题意，舍去) 答：通道的宽度为5m. (2)在y=x+1中，令y=0得x=-1,.B(-1,0). (2)设每次降价的百分率为y, C(4,0),∴.BC=5. 依题意，得60(1-y)2=48.6, M(x,y)是直线y=x+1上一动点，∴.M(x,x+1), 1 解得y1=0.1=10%,y2=1.9(不合题意，舍去). S=28c,1=3x5x1版+l=2x+1l, 答：每次降价的百分率为10%. 20.解：(1)是 3+(≥-1， 2 理由：a=2,b=5,c=3,∴.a-b+c=2-5+3=0, .S= 55 ∴.一元二次方程2x2+5x+3=0是黄金方程. 2x- 2(x<-1). (2)3x2-ax+b=0是关于x的黄金方程， .3-(-a)+b=0,.b=-a-3, (3)存在，点P的坐标为（子）成(-号，)或(0， .原方程为3x2-ax-a-3=0. 3)或(8，-3). a是此方程的一个根，.3a2-a2-a-3=0, 第二章能力提升卷 即2a2-a-3=0,∴.（a+1)(2a-3)=0, 1.B2.B3.B4.D5.A6.C7.D8.D9.A 解得a=-1或a=是 10B[解析]设AD=x,根据勾殿定理，得(x+2)=+ 21.解：(1)依题意，得(60-40)×[100-(60-50)×2]= 1600(元). (受)，整理，得+=6，则该方程的一个正根是AD 答：每天的销售利润为1600元. 的长.故选B. (2)设每件工艺品的售价为x元，则每天的销售量为 11.3x2+9x+1=012.±1413.x=3或x=-万 [100-2(x-50)]件. 14.③[解析]x2-4x-12=0,整理，得x(x-4)=12, 依题意，得(x-40)[100-2(x-50)]=1350, ∴.构造如题图③所示的大正方形，大正方形的面积是(x+ 整理，得x2-140x+4675=0, x-4)2,又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面 解得x1=55,x2=85(不合题意，舍去) 积，即4×12+42，则(x+x-4)2=4×12+42. 答：每件工艺品的售价应为55元. 15.3或1[解析]解方程x2-1=0,得x1=1,x2--1.①x (3)不能.理由如下： =1是两个方程的公共根，将x=1代入方程ax2-x-2 依题意，得(x-40)[100-2(x-50)]=2000, =0,得a=3,此时方程ax2-x-2=0为3x2-x-2=0, 整理，得x2-140x+5000=0. :4=1402-4×5000<0,∴.该方程无实数根 解得=1，名=号，符合题意，a=3:②=-1为两 答：公司每天销售这种工艺品的利润不能达到2000元. 个方程的公共根，将x=-1代入方程ax2-x-2=0,得a= 22.解：(1)71 1,此时方程a2-x-2=0为x2-x-2=0,解得x1=-1,2 =2,符合题意，∴.a=1.综上所述，a的值为3或1. 16.解：(1)y1=-2,y2=1. 由(1)知a+b=7,ab=1, (2)方程无实数根.