专项巩固训练卷(四) 一元二次方程的解法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（北师大版·新教材）

.x+x号=(x1+x2)2-2x1x2=16-2(5-n)=9, 3 3 解得n=…n的值为之 (2):有一组邻边相等的矩形是正方形， .当两实数根相等时该矩形是正方形， .b2-4ac=42-4×(-1)×(n-5)=0,解得n=1, .当n=1时，该矩形是正方形 21.解：设矩形的宽为xm,则长为(12-x)m. （1)可以围成一个面积为35m的矩形 由题意，得x(12-x)=35,解得x1=5,x2=7(舍去)， 12-x=7, ∴.能围成一个面积为35m2的矩形，矩形的宽为5m,长为 7m. (2)不可以围成一个面积为37m2的矩形.理由如下： 假设可以围成一个面积为37m的矩形， 由题意，得x(12-x)=37， .x2-12x+37=0, .4=(-12)2-4×1×37=144-148=-4<0, 原方程没有实数根， .不能围成一个面积为37m2的矩形. 22.解：(1)4008000 (2)设每顶头盔降价x元， 根据题意可得(80-x-50)(200+20x)=7500, 化简可得x2-20x+75=0,解得x1=15,x2=5. .·商店要减少库存，∴.x=15, 80-15=65(元). 答：每顶头盔的售价为65元， (3)每月的销售利润不能达到9000元 理由：设每顶头盔降价y元，若每月的销售利润能达到 9000元，则根据题意可得(80-y-50)(200+20y)= 9000, 化简可得y2-20y+150=0. 4=(-20)2-4×1×150=-200<0, .方程没有实数根， .每月的销售利润不能达到9000元. 23.解：(1)36 (2).∠B=60°， ,∴.△BPQ是直角三角形有两种情况，设运动时间为ts,则 BP=t cm,AO=2t cm,BO =(12-2t)cm 分情况讨论： ①当∠PQB=90时，∠BPQ=30°， BP=2B0,t=2(12-2D),t=24 ②当∠BPQ=90时，LPQB=30°， .BQ=2BP,.12-2t=2t,.t=3. 综上所述，经过：或3：时，△BQ是直角三角形 (3)如答图，过点A作AH⊥BC于点H. :∠B=60,∠BMM=30,B服=24B=6cm, ..AH=AB2-BH2 =63(cm), 参考答案及解析 .S菱形4Bc=BC·AH=12×6V3=723(cm2). 过点Q作QM⊥BC于点M,连接PQ, 设运动时间为ts,则BP=tcm,AQ=2tcm,BQ=（12- 2t)cm. .∠B=60°，∴.∠BQM=30°， :san=7×BP×0M=n×90 ×9x(2-2=-r+3v5em. 2 当△BPQ的面积等于菱形面积的S时， -5+33t=72月×18 1 2 .t2-6t+8=0,.41=2,2=4, :经过25或4s时，△B0的面积等于凌形面积的3 Q B MP H 23题答图 专项巩固训练卷（四） 一元二次方程的解法 1.解：二 正确的解答过程如下： (x+3)2-4=0,….(x+3)2=4, ∴.x+3=±2，∴.x+3=2或x+3=-2, .x1=-1,x2=-5. 2.解：(1)移项，得3x2=27 两边都除以3，得x2=9. 两边开平方，得x=±3. (2)两边开平方，得2x-1=±3， 即2x-1=3或2x-1=-3, 解得x1=2,x2=-1. 3.解：小明的解题过程不正确.正确的解题过程如下： 原方程可化为+多+分=0， 移项，得+ 1 2x=-2 限方，得+子+(+(， 3121 即(+4)=6 两边开平方，得x+4=±4 3 1 x+=人或x+ 31 44 4=-4, 1 小名=2出=-1 4.解：(1)移项，得x2-4x=5. 配方，得x2-4x+4=5+4, 即(x-2)2=9. 两边开平方，得x-2=±3， 。9. 全程时习测试卷·九年级数学·北师版·上册 解得x1=5,x2=-1. (2)移项，得x2-42x=2 配方，得x2-42x+8=2+8,即(x-22)2=10. 两边开平方，得x-22=±√10 解得x1=22+√10，x2=22-√0 (3)原方程移项，得x2-2x=1. 配方，得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2. 两边开平方，得x-1=±√2， 解得x1=1+2,x2=1-√2. (4)2x2-4x=3-8x, 整理，得2以+4=3,2+2x= 配方，得(x+1)2=3 5 两边开平方，得x+1=±√2， 解得x=2+0 2 24=2-0 2 5.解：(1)a=6,b=-13,c=-5, .b2-4ac=169+120=289>0, ·.方程有两个不相等的实数根， x=-b±y6-4c_13±V28913±17 2a 12 121 5 3 (2)a=3,b=2,c=-1, .b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, “.方程有两个不相等的实数根， :x=-b±B-4e=-2±6 2a 6 1 =3x2=-1. (3)原方程可变形为2x2-32x+2=0. .'a=2,b=-32,c=2, ∴.b2-4ac=(-3V2)2-4×2×2=2>0, .方程有两个不相等的实数根， x=-b±yB-4ae_3巨±2 2a 4 名=2两号 6.解：(1)(x-1)+x(x-1)=0,.(x-1)(x+1)=0, .x-1=0或x+1=0,x1=1,x2=-1. (2)x(2x+3)=4x+6,x(2x+3)-2(2x+3)=0, ∴.(x-2)(2x+3)=0,.x-2=0或2x+3=0, 名=2%=- 7.解：(1)一 (2)由题意，得(3x-1)2-2(3x-1)=0, .(3x-1-2)(3x-1)=0,.(3x-3)(3x-1)=0, .3x-3=0或3x-1=0,x1=1,x=3 ·10· 8.解：(1)由题意，得(x-3)(x-4)=0. 即x-3=0或x-4=0,x=3或x=4. (2)由题意，得(x-8)(x+2)=0, x-8=0或x+2=0,.x1=8,x2=-2. (3)由题意，得(3x+1)(x+2)=0, 即3x+1-0或x+2=0,=-=-2 (4)由题意，得(2x-3)(x+7)=0, 即2x-3=0或x+7=0, 小名=2x=-7. 9.解：设x-3=y,则原方程可化为2y-5y-7=0. .a=2,b=-5,c=-7, .b2-4ac=(-5)2-4×2×(-7)=81, 5 7 =42心%=-1，h=2 当y=-1时，x-3=-1,x=2; 当y=7时，-3=子x=是 =23x=2, 13 原方程的根为x1=2,x=2 10.解：(1)换元转化 (2)设a2+2=m,则原方程可化为m2-3m-10=0, .(m+2)(m-5)=0,解得m1=-2,m2=5. a2+b2>0,a2+b2的值为5. (3)设x2+x=y,原方程可变为y-5y+4=0, 则(y-4)(y-1)=0,∴.y-4=0或y-1=0, 解得y1=4,2=1. 当y=4时，2+x=4,解得x=1去页 2 当y=1时，2+x=1,解得x=1±5 2 六原方程的根为名=1+了 2 =1-7 2 525 2 11.解：当x+2≥0，即x≥-2时，原方程化为x2+2x=0, 即x(x+2)=0,解得x1=0,x2=-2. 当x+2<0,即x<-2时，原方程化为x2-2x-8=0, 即(x-4)(x+2)=0, 解得x3=4(不合题意，舍去)，x4=-2(不合题意，舍去). 综上，原方程的根为x1=0,x2=-2. 专项巩固训练卷（五） 一元二次方程应用的常见类型 1.B 2.解：设有x个队参加了报名， 由题意，得(x,-少=66， 2 整理，得x2-x-132=0, ∴.（x-12)(x+11)=0, 解得x1=12,x2=-11(负值舍去). 答：有12个队参加了报名.专项巩固训练卷（四） 学封 一元二次方程的解法 类型一形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法 1.下面是某同学解方程(x+3)2-4=0的过程。 解：移项，得（x+3)2=4.…第一步 两边开平方，得x+3=2,…第二步 解得x=-1.…第三步 该同学的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=9. ·类型二用配方法求解一元二次方程 3.用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1=0.小明同学的解题过程 如下： 解：原方程可化为2+子+宁=-0， x+3x+99,1 2x+4-4+2=0, (+-子两边开平方，得+号=±号 -3+万，=3-万 22 2 小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若不正确，请写 出你的解题过程。 4.用配方法解下列方程： (1)x2-4x-5=0; (2)x2-4√2x-2=0; (3)x2-2x-1=0; (4)2x2-4x=3-8x. ·类型三用公式法解一元二次方程 5.用公式法解下列方程： (1)6x2-13x-5=0; (2)3x2+2x-1=0; (3)2x2=3√2x-2. ·类型四用因式分解法求解一元二次方程 (一)提公因式法 6.解下列方程： (1)x-1=x(1-x); (2)x(2x+3)=4x+6. 九年级数学 北师版上册第13页 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 7.下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应 的任务。 解方程：(3x-1)2=2(3x-1) 解：方程两边都除以(3x-1),得3x-1=2. 第一步 移项、合并同类项，得3x=3. 第二步 两边都除以3，得x=1.…第三步 任务： (1)小明的解法从第 步开始出现错误； (2)请写出此题的正确解题过程， (二)十字相乘法 8.新考向阅读下列材料： I.将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)×(+7) -5 ②交叉相乘，验中项： →7x+(-5x)=2x +7 ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x-5). 我们将这种利用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相 乘法 Ⅱ.根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. 试用上述方法和原理解下列方程： (1)x2-7x+12=0; (2)x2-6x-16=0; (3)3x2+7x+2=0; (4)2x2+11x-21=0. 见此图标目鼠即刻扫码 分层训练助力学习进阶 ·类型五用换元法解一元二次方程 9.阅读下列例题的解答过程： 例：解方程：3(x-2)2+7(x-2)+4=0. 解：设x-2=y,则原方程可化为3y2+7y+4=0 a=3,b=7,c=4, .b2-4ac=72-4×3×4=1, -7±√1-7±1 y=2X3= 6 1=-1n=- 当y=-1时，x-2=-1,∴.x=1; 当y=-时-2=-心x=子， 原方程的根为1，女一号 请仿照上面的例题解一元二次方程：2(x-3)2-5(x-3 10.阅读材料：为了解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将 x2-1看作一个整体，设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4 =0①，解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,.x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,x2=5,.x=±V5. 故原方程的根为x1=2,x2=-2,x3=5,x4=-√5， 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 达到了降次的目的，体现了的数学思想； (2)已知实数a,b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0,试求a2+ b2的值； (3)请利用以上知识解方程：(x2+x)2-5(x2+x)+4=0. )-7=0. 九年级数学 北师版上册 第14页 ●类型六含绝对值的一元二次方程的解法 11.阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的 解法解方程 例：解方程x2-1x1-2=0. 解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0, 解得x1=2,x2=-1. ·x≥0，.x=-1舍去，∴.x=2是原方程的根. 当x<0时，原方程化为x2+x-2=0, 解得x1=-2,x2=1. x<0,.x=1舍去，∴.x=-2是原方程的根 综上所述，原方程的根为x1=2,x2=-2. 解方程x2+21x+21-4=0.