第二十八章 旋转 单元练习题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版2024九年级上旋转单元卷，覆盖旋转性质、中心对称、坐标变换等核心知识，以赵爽弦图等古代数学图案为情境，分层设计选择、填空、解答题，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|中心对称图形判断（如洛书）、旋转角度计算（如第2题△ABC旋转）|文化情境融入，基础概念辨析| |填空题|6题|坐标对称（第11题）、旋转后线段关系（第14题△EBD旋转）|聚焦核心技能，梯度衔接选择与解答| |解答题|7题|旋转与全等证明（第21题等边三角形旋转）、动态问题探究（第23题CE旋转）|综合几何直观与推理能力，适配中考综合题趋势|

人教版（2024）九年级上 第二十八章 旋转 单元练习题 一．选择题（共10小题） 1．我国古代数学蕴含了许多有对称美的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． 杨辉三角 B． 割圆术示意图 C． 赵爽弦图 D． 洛书 2．如图，在△ABC中，∠ACB=50°，将△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，连接AA′，且AA′∥BC，则∠ACB′的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．已知点P（5a+2，3）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=45°，以AB为直角边作等腰直角△ABE，∠BAE=90°，点E正好落在边CD上，则下列结论错误的是（　　） A．∠BEC+∠ABC=180° B．∠AED=∠EBC C． D． 5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C的对应点D恰好落在CB延长线上，已知，∠C=2∠BAD，BC=BD+2，则BD的长为（　　） A． B．1 C． D． 6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转至△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE．若AC=6，CF=3，则线段CE的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点B的坐标为（2，0），将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OCD，则点C的坐标为（　　） A． B．（-2，1） C． D．（-1，2） 8．如图，在△ABC中，∠ACB=40°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A，C的对应点分别为D，E，连接DA，若点C，A，D在一条直线上，下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABC=∠EBA B．∠DEC=90° C．DE∥AB D．BE⊥CD 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A，C在第一象限内，点B（0，8），AB=AO，CA=CB，∠OAB=∠ACB=120°，将四边形OACB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第89次旋转结束时，点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC绕某个点顺时针旋转90°后得到△DEF，则旋转中心的坐标是（　　） A．（-1，0） B．（0，-2） C．（0，-1） D．（1，-2） 二．填空题（共6小题） 11．点（a,3）与点（-2，b）关于x轴对称，则点（a,b）关于原点对称点的坐标是______． 12．如图，在△ABC中，∠B=38°，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C的对应点C′落在边BC上．若B′C′⊥AB，则∠C=______°． 13．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，把矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，当点E落在边AD上时，∠AEB的度数为______． 14．如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，连接DC交AB于点F，若∠CBD=60°，则△ACF与△BDF的周长之和为______． 15．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E是AB的中点，若BC=8，，将线段CD绕点C进行旋转，点D的对应点为D′，连接AD′，ED′．当∠AED′=90°时，AD′的长为______． 16．如图，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=150°，点D在AC边上，AD=2，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转150°得到线段DE，连接EC并延长交BA的延长线于点F，连接DF，则DF2的值为______． 三．解答题（共7小题） 17．如图，在边长均为1的小正方形组成的8×8的方格纸中，有两条直线m、n和△ABC，其中直线m⊥n于点O，请按要求画图． （1）在图①中画出△ABC关于直线m成轴对称的△A1B1C1； （2）在图②中的直线n上找一点P，使BP+CP最小； （3）将△ABC绕点O旋转180°，在图③中画出旋转后的△A2B2C2． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE． （1）求证：DC平分∠ADE； （2）若∠A=70°，求∠DEB的度数． 19．在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D在射线BC上，连结AD，将线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F． （1）如图1，α=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC． （2）如图2，点D，F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明． 20．如图，△ABC中，∠B=16°，∠ACB=24°，AB=6cm,△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点． （1）求出旋转角的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 21．如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，将△AMN绕点A旋转（△AMN在直线AC的右侧）． （1）求证：△BAM≌△CAN； （2）若点C，M，N在同一条直线上，点M是CN的中点，求证：BM⊥AC． 22．在△ABC中，∠B=∠C=α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE． （1）如图1，当点E在线段AC上时， ①求证：； ②写出线段AM、AE、AB间的数量关系，并证明． （2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，求证：AE⊥FE． 23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°．，点D始终在AC的上方，且∠CAD=α（0°＜α＜180°），点E为射线AD上任意一点（点E与点A不重合），连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，直线FB交直线AD于点M． （1）如图1，当0°＜α＜45°时，求证BM⊥AE； （2）当点Q为AC边的中点时，连接MQ，求MQ的最大值； （3）如图2，若α=105°，AE=2时，求△BCF的面积． 人教版（2024）九年级上 第二十八章 旋转 单元练习题 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、B 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、C 8、C 9、A 10、C  二．填空题（共6小题） 11、（2，3）； 12、64； 13、75°； 14、16； 15、或； 16、；  三．解答题（共7小题） 17、解：（1）△ABC关于直线m成轴对称的△A1B1C1，如图①即为所求； （2）使BP+CP最小的点P，如图②即为所求； （3）△ABC绕点O旋转180°后的△A2B2C2，如图③即为所求． 18、（1）证明：∵由题意可得：CA=CD，∠A=∠CDE， ∴∠A=∠CDA， ∴∠CDA=∠CDE， ∴DC平分∠ADE． （2）解：∵∠ACB=90°，∠A=70°， ∴∠CBA=20°， ∵∠A=∠CDA=70°， ∴∠ACD=40°， ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=40°，∠CED=∠CBA=20°， ∴， ∴∠DEB=∠CEB-∠CED=70°-20°=50°． 19、（1）证明：∵∠ACB=90°，∠BAC=45°， ∴∠BAC=∠ABC=45°． ∵线段AD绕点A逆时针旋转2×45°=90°得到线段AE，点D与点C重合， ∴AE=AD=AC，∠EAB=90°-∠BAC=45°， ∴∠EAB=∠ABC， ∴BC∥AE． ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴BF=AE， ∴BF=AC； （2）DF=2BC． 证明：在DC上取一点G，使得CG=CB，连接AG、BE，如图， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACG=∠ACB=90°． 在△ACG和△ACB中， ∴△ACG≌△ACB（SAS）， ∴AG=AB，∠GAC=∠BAC=α， ∴∠BAG=2α． ∵线段AD绕点A逆时针旋转2α得到线段AE， ∴DA=EA，∠DAE=∠GAB=2α， ∴∠DAG=∠EAB， 在△DAG和△EAB中， ， ∴△DAG≌△EAB（SAS）， ∴DG=BE，∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=90°+α． 又∵∠ABC=90°-α， ∴∠FBE=∠ABE-∠ABC=2α． ∵EF∥AB， ∴∠BFE=∠ABF=90°-α， ∴∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=90°-α， ∴BE=BF， ∴DG=BF， ∴DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC． 20、解：（1）∵△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合， ∴旋转中心是点A， ∴∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=140°， ∴旋转角度是140°； （2）∵△ABC中，∠B=16°，∠ACB=24°，AB=6cm,△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合， ∴△ABC≌△ADE， ∴AD=AB=6cm,AC=AE，∠BAC=∠EAD=140°， ∴∠BAE=360°-140°×2=80°， ∵C为AD中点， ∴． 21、（1）证明：∵△ABC和△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°， ∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，即∠BAM=∠CAN， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）； （2）证明：∵点M是CN的中点， ∴MN=CM， ∵△AMN是等边三角形， ∴AM=MN=CM， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=CB， ∴MB是AC的垂直平分线， ∴BM⊥AC． 22、（1）证明：①∵将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE， ∴∠EDM=2α，DM=DE， ∵∠EDM=∠C+∠DEC， ∴∠DEC=∠EDM-∠C=2α-α=α=∠C， ∴DC=DE， ∴DC=DE=DM， ∴； ∵∠B=∠C， ∴AB=AC， 又∵AM⊥BC， ∴BM=CM， ∴； ②解：AM2=AE•AB， 证明：由①得DC=DE，DM=DE， ∴∠DEC=∠C，∠DEM=∠DME， 又∵∠DEC+∠C+∠DEM+∠DME=180°， ∴， ∴∠MEC=90°， ∵∠MEA=∠CMA=90°，∠MAE=∠CAM， ∴△MAE∽△CAM， ∴， ∴AM2=AE•AC， ∵AB=AC， ∴AM2=AE•AB； （2）证明：如图，延长FE至H使FE=EH，连接CH，AH， ∵DF=DC，FE=EH， ∴DE是△FCH的中位线， ∴DE∥CH，CH=2DE， 由旋转的性质得：∠EDM=2α，DM=DE， ∴∠FCH=2α， ∵∠B=∠C=α， ∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形， ∴∠ACH=∠B，AB=AC， 设DM=DE=m,DF=CD=n,则CH=2m,CM=m+n, ∴FM=DF-DM=n-m, ∵AM⊥BC， ∴BM=CM=m+n, ∴BF=BM-FM=m+n-（n-m）=2m, ∴BF=CH， 在△ABF和△ACH中， ， ∴△ABF≌△ACH（SAS）， ∴AF=AH， ∵FE=EH， ∴AE⊥FE． 23、（1）证明：设BC、AD交于点O， ∵将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF， ∴CE=CF，∠ECF=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCF=∠ACE， ∵CB=CA， ∴△CBF≌△CAE（SAS）， ∴∠CBF=∠CAE， ∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=BOM， ∴∠CBF+∠BOM=90°， ∴∠AMB=90°， ∴BM⊥AE； （2）解：当90°＜α＜180°时，MQ有最大值， 如图，取AB的中点N，连接NQ，MN， ∵∠ACB=90°，CB=CA=4， ∴AB==8，∠BAC=45°， 由（1）知BM⊥AE， ∴MN=AB=4， ∵Q为AC边的中点，N为AB的中点， ∴QN=BC=2， 由三角形的三边关系得MQ＞MN+QN， ∴当M、N、Q三点共线时，MQ的最大值为MN+QN=4+2， 即MQ的最大值为4+2； （3）解：过点C作CG⊥BM于G，作CH⊥AM于H， ∵BM⊥AE， ∴四边形MHCG是矩形， ∴∠HCG=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACH=∠BCG， ∵∠AHC=∠BGC，CB=CA=4， ∴△ACH≌△BCG（AAS）， ∴CG=CH，BG=AH， ∴四边形MHCG是正方形， ∴MH=MG=AM+AH， ∴BM=MG+BG=AM+AH+AH=AM+2AH， ∵∠CAD=α=105°，∠BAC=45°， ∴∠BAM=60°， ∵BM⊥AE， ∴∠ABM=30°， ∴AM=AB=4，BM=AM=4， ∵BM-BG=AM+2AH， ∴4=4+2AH， ∴AH=BG=2-2， ∴CG=CH=MH=AM+AH=2+2， 由（1）知CBF≌△CAE， ∴△BCF的面积=△CAE的面积=×2×（2+2=2+2． 即△BCF的面积为2+2． 学科网（北京）股份有限公司 $