湖北黄冈市实验中学2025-2026学年上学期九年级10月学情自测数学试题

2025-2026学年黄冈市实验中学学校九年级（上）月考数学试卷（10月）一．选择题（共8小题） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2x+5y ＝ 8 B． C．3x2＝ 9 D．x2+xz ＝ 7 2．已知m、n、p、q依次成比例线段，其中m ＝ 2cm，p ＝ 5cm，q ＝ 10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 3．一元二次方程x2﹣3x﹣2 ＝ 0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．如图，直线a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，DE＝4，则EF的长为（　　） A．6 B． C．4 D． 5．正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 6．如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（　　） A．（4，2） B．（4，6） C．（6，3） D．（6，2） 7．春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房15.36亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．3（1+x）＝ 15.36 B．3（1+x）2＝ 15.36 C．3（1+x）+3（1+x）2＝ 15.36 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝ 15.36 8．如图，AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC． 条件①：CD平分AB； 条件②：OBOA； 条件③：AD2＝AO•AB． 则所有可以添加的条件序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 二．填空题（共10小题） 9．若，则． 10．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需制作一个符合黄金矩形的相框，若相框的长为3米，则相框的宽为 米（结果保留根号）． 11．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何步而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门15里有树，则出南门 　 　 里见到树． 12．关于x的一元二次方程（n﹣2）x2+x+（n2﹣4）＝ 0的一个根是0，则n的值是． 13．如图，点O是正方形ABCD的中心，．在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，，则OE+OM的值为　 　 ． 14．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+1 ＝ 0的两个实数根，则的值为． 15．已知，则k的值为． 16．小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为　 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，1），点D在抛物线y＝4x2﹣2x﹣1上．若以点D，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，则点D的坐标为　 　 ． 18．对于一个三位自然数n，将各个数位上的数字分别乘以2后，取其个位数字，得到三个新的数字a，b，c，我们对自然数n规定一个运算：G（n）＝a2+b2+c2，例如：n＝247，其各个数位上的数字分别乘以2后，再取其个位数字分别是：4，8，4，则G（247）＝42+82+42＝96．则G（531）＝______；若已知两个三位数m＝b5b，n＝3c3（b，c为整数，且3⩽b⩽6，3⩽c⩽6），若m+n能被9整除，则G（m+n）的最大值是______． 三．解答题（共8小题） 19．（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）用配方法解方程：x2﹣8x+5＝0． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3k+3＝0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程的两实数根为x1，x2满足x1x2＝x1+x2﹣3，求k的值． 21．2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m＝　 　 ；a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 22．如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时大华的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 23．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 24．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． （1）求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； （2）3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过20%）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 25．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 26．综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片ABCD对折，使边AD，BC重合，再展开，折痕与AB交于点F． 第二步：如图（2），在AD上取一点E，沿EF折叠矩形ABCD，点A的对应点为G．延长EG交BC于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在EH上，折痕与DC交于点M． 【初步发现】 （1）探究图（2）中EF和MH的位置关系． 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了AB＝4dm，BC＝8dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与AD交于点M，把纸片展开后，连接GM（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当△EGM为直角三角形时，直接写出AE的长． 2025-2026学年黄冈市实验中学学校九年级（上）月考数学试卷（10月） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B C C D B 一．选择题（共8小题） 1．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．2x+5y ＝ 8 B． C．3x2＝ 9 D．x2+xz ＝ 7 【分析】本题考查一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c ＝ 0（a，b，c是实数且a≠0）．判断一个方程是否为一元二次方程，需满足：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．解题的切入点就是依据这些条件逐一分析选项． 【解答】A选项：2x+5y ＝ 8含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，错误；B选项：是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，错误；C选项：3x2＝ 9符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，正确；D选项：x2+xz ＝ 7含有两个未知数x和z，不是一元二次方程，错误．所以答案是C． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，关键是准确把握其条件，注意分式方程和含多个未知数方程的干扰． 2．已知m、n、p、q依次成比例线段，其中m ＝ 2cm，p ＝ 5cm，q ＝ 10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 【分析】本题考查比例线段的性质．若a、b、c、d成比例线段，则有a：b ＝ c：d，即ad ＝ bc．解题的切入点就是根据这一性质列出关于n的方程并求解． 【解答】因为m、n、p、q依次成比例线段，所以m：n ＝ p：q，即2：n ＝ 5：10，根据比例的性质可得5n ＝ 2×10，5n ＝ 20，解得n ＝ 4cm．逐一分析选项：A选项4cm是正确答案；B选项错误；C选项5cm错误；D选项错误．所以答案是A． 【点评】本题考查比例线段的基础知识点，关键是理解并运用比例的性质进行计算，计算时要细心． 3．一元二次方程x2﹣3x﹣2 ＝ 0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】本题考查根的判别式．对于一元二次方程ax2+bx+c ＝ 0（a≠0），其根的判别式为Δ ＝ b2﹣4ac，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝ 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．解题的切入点就是先确定方程中a、b、c的值，再代入判别式计算并判断根的情况． 【解答】在方程x2﹣3x﹣2 ＝ 0中，a ＝ 1，b ＝﹣3，c ＝﹣2，所以Δ ＝ （﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝ 9+8 ＝ 17＞0，所以方程有两个不相等的实数根．逐一分析选项：A选项有两个不相等的实数根，正确；B选项有两个相等的实数根，错误；C选项只有一个实数根，错误；D选项没有实数根，错误．所以答案是A． 【点评】本题考查根的判别式的应用，关键是准确计算判别式的值并根据其与0的大小关系判断根的情况． 4．如图，直线a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，DE＝4，则EF的长为（　　） A．6 B． C．4 D． 【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据a∥b∥c可得，代入求值即可． 【解答】解：∵a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，DE＝4， ∴， 即， 解得， 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 5．正方形的一条对角线长为8，则正方形的面积是（　　） A．16 B．64 C．32 D．4 【分析】本题考查正方形的性质．正方形的面积可以用对角线乘积的一半来计算（因为正方形的两条对角线相等且互相垂直平分）．解题的切入点就是利用这一性质，将对角线长代入公式计算面积． 【解答】根据正方形面积公式S ＝ （d为对角线长），已知对角线长d ＝ 8，则S ＝ ＝ ＝ 32．逐一分析选项：A选项16错误；B选项64错误；C选项32正确；D选项4错误．所以答案是C． 【点评】本题主要考查正方形面积与对角线的关系，关键是掌握用对角线求面积的公式并准确计算． 6．如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（　　） A．（4，2） B．（4，6） C．（6，3） D．（6，2） 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【解答】解：∵CD＝3AB， ∴△COD与△AOB的位似比为3， ∵B点坐标为（2，1）， ∴点D的坐标为（6，3）， 故选：C． 【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 7．春节期间某电影上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房15.36亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（　　） A．3（1+x）＝ 15.36 B．3（1+x）2＝ 15.36 C．3（1+x）+3（1+x）2＝ 15.36 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝ 15.36 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．第一天票房已知为3亿元，因为平均每天票房增长率为x，所以第二天票房为3（1+x）亿元，第三天票房为3（1+x）2亿元，三天累计票房就是三天票房相加．解题的切入点就是根据三天票房的关系列出方程． 【解答】第一天票房为3亿元，第二天票房为3（1+x）亿元，第三天票房为3（1+x）2亿元，三天累计票房15.36亿元，所以可列方程3+3（1+x）+3（1+x）2＝ 15.36．逐一分析选项：A选项3（1+x）＝ 15.36只表示了第二天票房与累计票房的错误关系，错误；B选项3（1+x）2＝ 15.36只表示了第三天票房与累计票房的错误关系，错误；C选项3（1+x）+3（1+x）2＝ 15.36少了第一天票房，错误；D选项3+3（1+x）+3（1+x）2＝ 15.36正确．所以答案是D． 【点评】本题考查一元二次方程在实际票房增长问题中的应用，关键是理清每天票房的关系并准确列出方程． 8．如图，AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，BC是⊙O的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得AD＝BC． 条件①：CD平分AB； 条件②：OBOA； 条件③：AD2＝AO•AB． 则所有可以添加的条件序号是（　　） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】连接AC，OC，令AB，CD交于点E，由垂径定理可知，CE＝BE，∠AED＝∠BEC＝90°，则AC＝AD，若选条件①，可是 AE＝BE，证△AED≌△BEC（SAS），可得 AD＝BC，若选条件②，可知，得 ，设 OA＝OC＝r，则，可得BEr，AE＝rr，则AE≠BE，可得AD≠BC，若选条件③，可知，即可证△CAO∽△BAC，进而可证∠OAC＝∠B，得AC＝BC，可知AD＝BC，即可判断答案． 【解答】解：连接AC，OC，令AB，CD交于点E， ∵AB经过圆心O，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB， ∴CE＝BE，∠AED＝∠BEC＝90°， 则AC＝AD， 若选条件①， ∵CD平分AB， ∴AE＝BE， ∴△AED≌△BEC（SAS）， ∴AD＝BC， 故①符合题意； 若选条件②， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵BC是⊙O的切线， ∴OC⊥BC， ∵， 则，得， 设OA＝OC＝r， 则 ，，BE＝OB﹣OE，AE＝OA+OE＝rr， 则AE≠BE， ∴AC≠BC，即AD≠BC， 故②不符合题意； 若选条件③， ∵AD2＝AO•AB，即AC2＝AO•AB，， 又∵∠CAO＝∠BAC， ∴△CAO∽△BAC， ∴∠B＝∠OCA， 又∵∠OAC＝∠OCA， ∴∠OAC＝∠B， ∴AC＝BC， ∴AD＝BC， 故③符合题意； 综上，所有可以添加的条件序号是①③， 故选：B． 【点评】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 9．若，则． 【分析】本题考查比例的性质．可将变形为，再把的值代入计算． 【解答】因为，而，把代入可得：． 【点评】本题考查比例性质的简单应用，关键是掌握对的变形，计算时要细心． 10．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需制作一个符合黄金矩形的相框，若相框的长为3米，则相框的宽为 米（结果保留根号）． 【分析】本题考查比例线段中黄金比的应用．黄金比为，已知长，求宽，用长乘以黄金比即可． 【解答】因为黄金比为，相框长为3米，所以相框的宽为米． 【点评】本题考查黄金比这一基础知识点在实际场景中的应用，关键是要牢记黄金比的值并准确计算． 11．《九章算术》勾股卷有一题目：今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门十五里有木，问出南门几何步而见木？大意是：如图，今有长方形城池，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各方中央开有城门，出东门15里有树，则出南门 　1.05　 里见到树． 【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可． 【解答】解：如图， ∵AC⊥AB，DE⊥CD，AC⊥CD，BE经过C点， ∴CD∥AB，AC∥DE， ∴∠CDE＝∠BAC＝90°，∠DEC＝∠ACB， ∴△BAC∽△CDE， ∴， ∵AC＝4.5里，CD＝3.5里， 又∵AB＝15里， ∴， 解得，DE＝1.05里， 故答案为：1.05． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长度． 12．关于x的一元二次方程（n﹣2）x2+x+（n2﹣4）＝ 0的一个根是0，则n的值是． 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念．把x ＝ 0代入方程，可得到关于n的方程，求解后再根据一元二次方程的定义进行检验． 【解答】把x ＝ 0代入方程（n﹣2）x2+x+（n2﹣4）＝ 0，得n2﹣4 ＝ 0，即（n+2）（n﹣2）＝ 0，解得n ＝ 2或n ＝﹣2．又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数n﹣2≠0，即n≠2，所以n ＝﹣2． 【点评】本题考查一元二次方程解的应用以及一元二次方程的定义，要注意检验二次项系数不为0这一条件． 13．如图，点O是正方形ABCD的中心，．在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，，则OE+OM的值为　　 ． 【分析】连接BD，过点F作 FH⊥CD于点H，解直角三角形求出AG，BG，证明△BAG∽△DEG，利用相似三角形的性质求出EG，DE，再证明△BAG≌△FHD（AAS），通过性质得出FH＝BC，推出BM＝MF，然后由勾股定理求出MF，BD可得结论． 【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，∠A＝∠ADC＝90°， ∵， ∴，， ∴， ∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE， ∴△BAG∽△DEG， ∴，∠ABG＝∠EDG， ∴， ∴，， ∴， ∵∠ADH＝∠FHD＝90°， ∴AD∥FH， ∴∠EDG＝∠DFH， ∴∠ABG＝∠DFH， ∵，∠A＝∠FHD＝90°， ∴△BAG≌△FHD（AAS）， ∴AB＝FH， ∵AB＝BC， ∴FH＝BC， ∵∠C＝∠FHM＝90°， ∴FH∥CB， ∴， ∴FM＝BM， ∵， ∴， ∵∠BEF＝90°，BM＝MF， ∴， ∵BO＝OD，BM＝MF， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握知识点的应用及学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题． 14．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+1 ＝ 0的两个实数根，则的值为． 【分析】本题考查根与系数的关系．先根据根与系数的关系得出x1+x2和x1x2的值，再将变形为，最后代入计算． 【解答】对于一元二次方程x2﹣2x+1 ＝ 0，其中a ＝ 1，b ＝﹣2，c ＝ 1，根据根与系数的关系，x1+x2 ＝ 2，x1x2＝ ＝ 1．，所以． 【点评】本题考查根与系数关系的应用，关键是对进行正确变形，准确代入计算． 15．已知，则k的值为． 【分析】本题考查比例的性质．分m+n+p ＝ 0和m+n+p≠0两种情况进行讨论．当m+n+p ＝ 0时，可得到一种k的值；当m+n+p≠0时，利用等比性质求解k的值． 【解答】当m+n+p ＝ 0时，m+n ＝﹣p，n+p ＝﹣m，m+p ＝﹣n，则；当m+n+p≠0时，根据等比性质，．所以k的值为1或﹣2． 【点评】本题考查比例性质的应用，关键是要考虑全面，分情况讨论，计算时要细心． 16．小明和小亮在如图所示的地毯上做投球游戏，已知正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则球落在阴影部分的概率为　　 ． 【分析】将阴影部分进行转化为，进行计算即可． 【解答】解：由条件可知S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△DOE＝S△EOF＝S△AOF， S扇形AOB＝S扇形BOC＝S扇形COD＝S扇形DOE＝S扇形EOF＝S扇形AOF， ∴S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6， ∴， ∴球落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查几何概率，正六边形的性质，熟练掌握概率公式是解题的关键． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别为（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，1），点D在抛物线y＝4x2﹣2x﹣1上．若以点D，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，则点D的坐标为　或或（0，﹣1）　 ． 【分析】过点O作直线BC的垂线，交抛物线于点D1，D2，连接BD1，CD2，再求出直线BC的关系式，即可得出直线D1D2的关系式，然后将两个关系式联立可得点，最后说明△ACB∽△OBD1∽△OBD2，则此题可解． 【解答】解：过点O作直线BC的垂线，交抛物线于点D1，D2，连接BD1，CD2， ∵直线BC：y＝kx经过点C（2，1）， ∴， ∴直线． 过直线D1D2上任意一点F作FG⊥y轴，交于点G，设点F（x，y），则OG＝﹣y，FG＝x， ∵点C（2，1）， ∴OE＝1，CE＝2， 在Rt△CEO中，． ∵∠COF＝90°， ∴∠FOG+∠OFG＝90°，∠COE+∠FOG＝90°， ∴tan∠COE＝tan∠OFG＝2， 即， ∴直线D1D2的关系式为y＝﹣2x， 将两个关系式联立，得， 解得， ∴点， 此时点D2在AC上，AC∥x轴∥BD1， ∴∠ACB＝∠OBD2＝∠OBD1． ∵∠BAC＝∠BOD1＝∠BOD2＝90°， ∴△ACB∽△OBD1∽△OBD2， 直线BC过点B（﹣2，﹣1）和C（2，1），其斜率， ∵GF⊥BC， ∴直线GF的斜率KGF＝﹣2， ∵直线GF过原点O（0，0）， ∴方程为：y＝﹣2x， 观察图形，点E在y轴上，且纵坐标与点B相同（均为﹣1）， ∴点E的坐标为（0，﹣1）， ∵△ABC：∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，直角边比AB：AC＝1：2， △EOB：E（0，﹣1），O（0，0），B（﹣2，﹣1）， ∠EOB＝90°（EO⊥OB），EO＝1，OB＝2，直角边比EO：OB＝1：2， ∴△ABC∽△EOB， ∵抛物线方程：y＝4x2﹣2x﹣10， 将E（0，﹣1）代入：y＝4（0）2﹣2（0）﹣1＝﹣1，等式成立， 结论满足条件的点D的坐标为（0，﹣1）． ∴若以点D，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，点D的坐标为或或（0，﹣1）． 【点评】本题考查相似三角形的判定，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．对于一个三位自然数n，将各个数位上的数字分别乘以2后，取其个位数字，得到三个新的数字a，b，c，我们对自然数n规定一个运算：G（n）＝a2+b2+c2，例如：n＝247，其各个数位上的数字分别乘以2后，再取其个位数字分别是：4，8，4，则G（247）＝42+82+42＝96．则G（531）＝______；若已知两个三位数m＝b5b，n＝3c3（b，c为整数，且3⩽b⩽6，3⩽c⩽6），若m+n能被9整除，则G（m+n）的最大值是______． 【分析】本题先根据新定义求出G（531）的值，再根据m+n能被9整除求出m+n可能的值，进而求出G（m+n）的最大值．对于G（531），先求出各个数位乘以2后的个位数字，再根据运算G计算；对于G（m+n），先求出m+n的表达式，根据整除性质确定b、c的值，进而得到m+n的值，再求G（m+n）．用到有理数乘方的知识点． 【解答】1．求G（531）：﹣5×2＝10，个位数字a＝0；3×2＝6，个位数字b＝6；1×2＝2，个位数字c＝2．﹣则G（531）＝02+62+22＝0+36+4＝40．2．求G（m+n）的最大值：﹣m＝100b+50+b＝101b+50，n＝300+10c+3＝303+10c，所以m+n＝101b+10c+353．﹣因为m+n能被9整除，3⩽b⩽6，3⩽c⩽6．﹣当b＝3，c＝3时，m+n＝101×3+10×3+353＝303+30+353＝686．﹣6×2＝12，个位数字x＝2；8×2＝16，个位数字y＝6；6×2＝12，个位数字z＝2．﹣G（686）＝22+62+22＝4+36+4＝44．﹣当b＝4，c＝4时，m+n＝101×4+10×4+353＝404+40+353＝797．﹣7×2＝14，个位数字x＝4；9×2＝18，个位数字y＝8；7×2＝14，个位数字z＝4．﹣G（797）＝42+82+42＝16+64+16＝96．﹣当b＝5，c＝5时，m+n＝101×5+10×5+353＝505+50+353＝908．﹣9×2＝18，个位数字x＝8；0×2＝0，个位数字y＝0；8×2＝16，个位数字z＝6．﹣G（908）＝82+02+62＝64+0+36＝100．﹣当b＝6，c＝6时，m+n＝101×6+10×6+353＝606+60+353＝1019（不符合三位数，舍去）．﹣所以G（m+n）的最大值是100． 【点评】本题考查有理数乘方的应用，关键是理解新定义运算，根据整除性质确定b、c的值，计算时要准确求出各个数位乘以2后的个位数字． 三．解答题（共8小题） 19．（1）解方程：x（x﹣3）＝x﹣3；（2）用配方法解方程：x2﹣8x+5＝0． 【分析】本题���1）考查用因式分解法解一元二次方程，通过移项、因式分解求解；（2）考查用配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再配方求解． 【解答】（1）解方程x（x﹣3）＝x﹣3：移项得x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，因式分解得（x﹣3）（x﹣1）＝0，则x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1．（2）用配方法解方程x2﹣8x+5＝0：移项得x2﹣8x＝﹣5，配方得x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，开方得，解得，． 【点评】本题考查解一元二次方程的两种常见方法，因式分解法要注意提取公因式，配方法要注意配方的步骤和准确性． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+3k+3＝0．（1）求证：方程总有两个实数根．（2）若方程的两实数根为x1，x2满足x1x2＝x1+x2﹣3，求k的值． 【分析】本题（1）根据判别式Δ＝b2﹣4ac判断方程根的情况，（2）根据根与系数的关系，，结合已知条件求解k的值． 【解答】（1）证明：在方程x2﹣（k+4）x+3k+3＝0中，a＝1，b＝﹣（k+4），c＝3k+3．Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（3k+3）＝k2+8k+16﹣12k﹣12＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2．因为（k﹣2）2⩾0，所以方程总有两个实数根．（2）由根与系数的关系得x1+x2＝k+4，x1x2＝3k+3．因为x1x2＝x1+x2﹣3，所以3k+3＝k+4﹣3，移项得3k﹣k＝4﹣3﹣3，合并同类项得2k＝﹣2，解得k＝﹣1． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是准确运用相关公式和条件进行计算和推理． 21．2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量．某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 89 90 a 九年级 89 b 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m＝　25　 ；a＝　94　 ，b＝　87　 ； （2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由；（写一条） （3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率． 【分析】（1）先求出九年级C组占比，进而即可得出m的值，根据众数和中位数的定义即可得出a、b的值； （2）可从平均数、众数、中位数角度分析解答； （3）先列表求出所有可能的结果数，再找出必有甲同学参加比赛的结果数，最后利用概率公式计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴m＝25； 在八年级的成绩中94出现4次，次数最多， 故a＝94； 九年级成绩中D组人数为20×35%＝7人， 中位数应是排列后居于第10位和11位数据的平均数，即； 故答案为：25，94，87； （2）八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好．理由如下： ∵两个年级学生成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数高于九年级， ∴八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好； （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 由表格可知，． 【点评】本题考查了利用列表和树状图求概率，熟练掌握该知识点是估计． 22．如图，花丛中有一路灯杆AB，在灯光下，大华在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时大华的影长GH＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB的高度． 【分析】根据相似三角形的判定，由CD∥AB得△EAB∽△ECD，利用相似比有，同理可得，然后解关于AB和BD的方程组求出AB即可． 【解答】解：∵CD∥AB， ∴△EAB∽△ECD， ∴，即①， ∵FG∥AB， ∴△HFG∽△HAB， ∴，即②， 由①②得， 解得BD＝7.5， ∴，解得：AB＝7． 答：路灯杆AB的高度为7m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 23．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD． （1）求证：△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【分析】（1）根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可得出结论； （2）与相似三角形的性质得出比例式，代入求出AB即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°， ∵∠APD＝60°， ∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BAP＝∠DPC， 即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC， ∴△ABP∽△PCD； （2）解：∵△ABP∽△PCD， ∴， ∵CD，CP＝BC﹣BP＝x﹣1，BP＝1， 即， 解得：AB＝3． 即△ABC的边长为3． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力． 24．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． （1）求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； （2）3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过20%）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【分析】（1）设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为（2x+50）个．，根据费用和为23000元建立一元一次方程求解； （2）设甲款头盔的单价上涨了a元，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【解答】解：（1）设第一批购入乙款头盔的数量为x个， 由题意得40（2x+50）+60x＝23000， 解得x＝150， 则甲款头盔的数量为2×150+50＝350， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个； （2）设甲款头盔的单价上涨了a元， 由题意得，， 解得a＝5或a＝130， 由题意得，a≤40×20%＝8， ∴a＝130舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 25．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA； 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与y轴交点D，点C的坐标为（0，﹣2），A点的坐标为（4，0），求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线yx+3上有一点A，x轴上有一点B（6，0），且满足∠OAB＝45°，直接写出点A的坐标． 【分析】（1）由∠ACB＝90°，可得∠BCE+∠ACD＝90°，又AD⊥ED，BE⊥ED，故∠E＝∠D＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，即得∠BCE＝∠CAD，从而得△BEC≌△CDA（AAS）； （2）过C作GH∥x轴，过A作AG⊥GH于G，过B作BH⊥GH于H，设B（m，n），证明△ACG≌△CBH（AAS），得AG＝CH，CG＝BH，故2＝﹣m，4＝n﹣（﹣2），解得B（﹣2，2），再求出直线AB解析式为yx，得D（0，）； （3）作BK⊥AB于B，交AO的延长线于K，作AT⊥x轴于T，KF⊥x轴于F，设A（a，a+3），证明△ATB≌△BFK（AAS），可得BF＝ATa+3，KF＝BT＝6﹣a，故K（3a，a﹣6），设直线AO解析式为y＝k'x，把A（a，a+3）、K（3a，a﹣6）代入即可解得：a1＝6，a2，从而A1（6，6），A2（，）． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°， ∵AD⊥ED，BE⊥ED， ∴∠E＝∠D＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△BEC和△CDA中， ． ∴△BEC≌△CDA（AAS）； （2）解：过C作GH∥x轴，过A作AG⊥GH于G，过B作BH⊥GH于H，如图： 设B（m，n）， ∵∠ACB＝90°，AG⊥GH，BH⊥GH， ∴∠G＝∠H＝90°，∠ACG＝90°﹣∠BCH＝∠CBH， ∵AC＝BC， ∴△ACG≌△CBH（AAS）， ∴AG＝CH，CG＝BH， ∵A（4，0），C（0，﹣2）， ∴2＝﹣m，4＝n﹣（﹣2）， 解得m＝﹣2，n＝2， ∴B（﹣2，2）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（﹣2，2）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为yx， 令x＝0得y， ∴D（0，）； （3）解：作BK⊥AB于B，交AO的延长线于K，作AT⊥x轴于T，KF⊥x轴于F，如图： 设A（a，a+3），则ATa+3，BT＝6﹣a， ∵∠ABK＝90°＝∠BFK＝∠ATB， ∴∠ABT＝90°﹣∠KBF＝∠BKF， ∵∠OAB＝45°， ∴△ABK是等腰直角三角形， ∴BK＝AB， ∴△ATB≌△BFK（AAS）， ∴BF＝ATa+3，KF＝BT＝6﹣a， ∴OF＝OB﹣BF＝6﹣（a+3）＝3a， ∴K（3a，a﹣6）， 设直线AO解析式为y＝k'x， 把A（a，a+3）、K（3a，a﹣6）代入得： ， ∴， ∴a（a﹣6）＝（3a）（3a）， ∴a（a﹣6）﹣（3a）（3a）＝0， ∴（a﹣3）（2a+3a）＝0， 解得：a1＝6，a2， ∴A1（6，6），A2（，）． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法等，解题的关键是用行字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 26．综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片ABCD对折，使边AD，BC重合，再展开，折痕与AB交于点F． 第二步：如图（2），在AD上取一点E，沿EF折叠矩形ABCD，点A的对应点为G．延长EG交BC于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在EH上，折痕与DC交于点M． 【初步发现】 （1）探究图（2）中EF和MH的位置关系． 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现，点F，G，M共线．请你帮他们求出的值． 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了AB＝4dm，BC＝8dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，折痕与AD交于点M，把纸片展开后，连接GM（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）．请你解决：当△EGM为直角三角形时，直接写出AE的长． 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出∠GEF＝∠GHM，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接FH，设AB＝2m，BC＝2n，先证明△FGH≌△FBH，得到，再证明△FGD∽△MGH，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当∠MEG＝90°时，得出四边形AEGF是正方形，得出AE＝2dm；当∠MGE＝90°时，过点M作MN⊥BC于点N，则MN＝4dm，再证明△GHM≌△NHM，得到MG＝4dm，dm，证明△MGE∽△MAF，得到dm． 【解答】解：（1）EF∥MN； 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEH＝∠CHE， ∵∠GEF∠AEH，∠GHM∠CHE， ∴∠GEF＝∠GHM， ∴EF∥MN； （2）如图（3），连接FH，设AB＝2m，BC＝2n， ∵AF＝FB，AF＝FG， ∴FG＝FB， 由题意知∠FGH＝∠FBH＝90°， 在Rt△FGH和Rt△FBH中， ， ∴Rt△FGH≌Rt△FBH（HL）， ∴BH＝GH， ∵GH＝CH， ∴BH＝GHBC＝n， 由（1）知EF∥MN， ∴△FGD∽△MGH， ∴， ∴2， ∴CM＝GMm， ∴DM＝CD﹣CM＝2mmm， ∵DG2+MG2＝MD2，DG＝AD＝2n， ∴， ∴， ∴； （3）当∠MEG＝90°时，如图（4）， ∴∠AEG＝90°， ∵∠A＝∠EGF＝90°，AF＝FG， ∴四边形AEGF是正方形， ∴AE＝AF＝2dm； 当∠MGE＝90°时，如图（5），过点M作MN⊥BC于点N， MN＝AB＝4dm， ∵∠MGH＝∠MNH＝90°， ∠GHM＝∠NHM， MH＝HM， ∴△GHM≌△NHM（AAS）， ∴MG＝MN＝4dm， ∵AF＝FG＝2dm； ∴MF＝MG+GF＝6dm， ∴AM（dm）， ∵∠A＝∠MGE＝90°， ∠AMF＝∠AMF， ∴△MGE∽△MAF， ∴， ∴， ∴dm． 【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，是一道综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/3 9:17:55；用户：郭海松；邮箱：13597576921；学号：39987097 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $