精品解析：山东省德州市宁津县张宅中学等校2026-2027学年第一学期八年级收心考试数学试题

2026-2027学年第一学期八年级收心考试数学试题 注意事项:总分150分，考试时间120分钟． 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上点与点表示的数互为相反数，若点表示的数是，用圆规以点为圆心，长为半径在数轴上确定一点，则点对应的实数是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 5. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列方程组中，二元一次方程组有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 下列不等式中，与的解集相同的不等式是（    ） A. B. C. D. 9. 若点关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某一批导弹的杀伤半径 B. 了解全国民众观看神舟二十三号载人飞船发射的情况 C. 调查某辆将要使用的轻轨列车的零部件质量 D. 调查某一批新能源汽车的使用寿命 11. 下表记录了年我国新能源汽车销量，若将此表的数据绘制在统计图中，则以下说法中不正确的是（ ） 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 新能源汽车销量/万辆 50.7 77.7 125.6 120.6 136.7 352.1 688.7 A. 根据各数据点可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系 B. 根据各数据点可以绘制折线图，从折线图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 C. 根据各数据点可以绘制条形图，从条形图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 D. 利用数据表和统计图可以计算2023年新能源汽车销量的准确值 12. 下列说法中：①不带根号的数都是有理数； ②-8没有立方根；③平方根等于本身的数是1；④有意义的条件是a为正数；其中正确的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 14. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 15. 如图，菱形的顶点、在轴上，顶点在轴上，点、的坐标分别是、．将菱形沿轴向右平移，当菱形被直线分为面积相等的两部分时，线段扫过的面积是________． 16. 如图，若开始输入的的值为正整数，最后输出的结果为144，则所有满足条件的的值____． 17. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为________． 18. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论： ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 三、计算题：本大题共1小题，共20分．每小题5分． 19. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本题共4小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，直线与直线相交于点C，P点在直线外． （1）根据下列语句画图：过点P作，交于E；过点P作，垂足为点F，交于O点． （2）若，求的度数． 21. 如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是m． （1）实数的值是_______； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； （3）在数轴上还有点表示实数，它的两个平方根分别为与，且，化简：． 22. 某学校开展数学史知识竞赛，并准备购买，两种奖品奖励获奖同学．已知购买2个种奖品和1个种奖品共需55元；购买3个种奖品和2个种奖品共需90元． （1）求，两种奖品的单价． （2）学校准备购买，两种奖品共10个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是多少元？ 23. 对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．已知：；． （1）求出，的值； （2）已知，均为非负数，且，求的取值范围； （3）若，均为正数，且满足，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级收心考试数学试题 注意事项:总分150分，考试时间120分钟． 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键． 根据得到，再由平角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2. 如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 3. 如图，数轴上点与点表示的数互为相反数，若点表示的数是，用圆规以点为圆心，长为半径在数轴上确定一点，则点对应的实数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据相反数的定义可得点B表示的数为，据此可求出，由作图方法可得，则由数轴上两点距离计算公式可得答案． 【详解】解：∵数轴上点与点表示的数互为相反数，点表示的数是， ∴点B表示的数为， ∴， 由作图方法可得， ∴点对应的实数是， 故选：C． 4. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 5. 为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，先根据题意确定平面直角坐标系，然后确定点的位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选A． 6. 下列方程组中，二元一次方程组有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：②中含有三个未知数，④未知数的最高次数是2，都不符合二元一次方程组定义， ①③符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，共两个； 故选B． 7. 在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x＝2时，y＝12，则a+b+c＝（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得到一个三元一次方程组解这个方程组即可求出a，b，c的值，进而求得结果． 【详解】把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得 ， 解得: ， ∴a+b+c＝1+3+2＝6， 故选C． 【点睛】考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组解的步骤是本题的关键，把三元一次方程组通过消元转化成二元一次方程组再进行求解． 8. 下列不等式中，与的解集相同的不等式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分别求出原不等式和四个选项中不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 解不等式得，不符合题意； 解不等式得，符合题意； 解不等式得，不符合题意； 解不等式得，不符合题意； 故选：B． 9. 若点关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，已知点所在的象限求参数，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意可知点在第一象限，然后根据第一象限点的坐标特征列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第四象限， ∴点在第一象限， ∴． 解得：， ∴a的取值范围在数轴上表示为： 故选：C． 10. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某一批导弹的杀伤半径 B. 了解全国民众观看神舟二十三号载人飞船发射的情况 C. 调查某辆将要使用的轻轨列车的零部件质量 D. 调查某一批新能源汽车的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】当调查具有破坏性或调查范围过大时，适合抽样调查；当调查事关安全、要求所有对象都必须检验时，适合采用全面调查． 【详解】解：A、调查导弹杀伤半径，调查具有破坏性，不适合全面调查； B、调查全国民众观看情况，调查范围过大，不适合全面调查； C、轻轨列车零部件质量关系运行安全，需要检查每一个零部件，必须采用全面调查； D、调查新能源汽车使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查． 11. 下表记录了年我国新能源汽车销量，若将此表的数据绘制在统计图中，则以下说法中不正确的是（ ） 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 新能源汽车销量/万辆 50.7 77.7 125.6 120.6 136.7 352.1 688.7 A. 根据各数据点可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系 B. 根据各数据点可以绘制折线图，从折线图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 C. 根据各数据点可以绘制条形图，从条形图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 D. 利用数据表和统计图可以计算2023年新能源汽车销量的准确值 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据各数据点可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系（趋势图可以直观体现两个变量之间的变化关系），此项说法正确； B、折线图可以清晰反映数据的变化趋势，观察表格数据，新能源汽车销量仅2019年小幅下降，整体呈现上升趋势，此项说法正确； C、条形图可以直观展示每年的销量大小，对比各年销量可得到销量整体上升的趋势，此项说法正确； D、已知数据仅为年的历史销量，数据表和统计图只能对未来销量做趋势预测，无法得到2023年销量的准确值，此项说法不正确． 12. 下列说法中：①不带根号的数都是有理数； ②-8没有立方根；③平方根等于本身的数是1；④有意义的条件是a为正数；其中正确的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据是二次根式有意义的条件、平方根的概念和立方根的概念判断即可． 【详解】解：不带根号的数不一定都是有理数，例如π，①错误； -8的立方根是-2，②错误； 平方根等于本身的数是0，③错误； 有意义的条件是a为非负数，④错误， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根的概念和立方根的概念，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 14. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数，勾股定理与数轴的结合．根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角形的斜边长为：， ∴点A所表示的数a的值为：． 故答案为：． 15. 如图，菱形的顶点、在轴上，顶点在轴上，点、的坐标分别是、．将菱形沿轴向右平移，当菱形被直线分为面积相等的两部分时，线段扫过的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，取的中点，可得，设菱形沿轴向右平移个单位，菱形被直线分为面积相等的两部分，可得平移后的对应点坐标为，且在直线上，再进一步求解； 【详解】解：如图，连接，取的中点， ∵点、的坐标分别是、， ∴， 设菱形沿轴向右平移个单位，菱形被直线分为面积相等的两部分， ∴平移后的对应点坐标为，且在直线上， ∴， ∴， ∵，线段沿轴平移，扫过的图形是平行四边形， ∴线段扫过的面积是. 16. 如图，若开始输入的的值为正整数，最后输出的结果为144，则所有满足条件的的值____． 【答案】29或6##6或29 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出144，可得方程，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案． 【详解】解：第一个数就是直接输出其结果的：， 解得：， 第二个数是， 解得：； 第三个数是：， 解得：（不合题意舍去）， 第四个数是， 解得：（不合题意舍去） ∴满足条件所有x的值是29或6． 故答案为：29或6． 17. 如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确结论的序号为________． 【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】连接，交于点O，证明，延长交于点，交于点，根据题意，当时，最短，此时最短，解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴ ∴， ∴； 故①正确； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②③正确； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 根据题意，当时，最短，此时最短， ， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故④错误． 18. 如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于，交于），点的对应点分别是、，交于，再将四边形沿折叠，点、的对应点分别是、，交于，给出下列结论： ① ② ③若，则 ④ 上述正确的结论是________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由折叠性质得到，根据平行线性质得到，再由三角形外角性质确定，设，则，只有当时结论①才成立；由，得到，结合折叠性质求证即可得到②正确；在①的求证过程中可知，设，则，从而由折叠性质表示出角度关系列方程求解即可得到③正确；在①的证明过程中，结合外角性质即可得到④正确；从而得到答案． 【详解】解：由折叠性质得， ， ， ，则， 是的一个外角， ， 设，则， 当时，， 题中并未明确的度数，故①错误； ， ， 由折叠性质可知，则，故②正确； 由折叠性质得， 由①的证明过程可知，， 设，则， ， ， ，解得，即，故③正确； 由①知， 是的一个外角， ，故④正确； 综上所述，题中正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查折叠求角度关系，涉及折叠性质、邻补角定义、三角形外角性质、平行线性质等知识，数形结合，利用相关几何性质准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共20分．每小题5分． 19. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 四、解答题：本题共4小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 如图，直线与直线相交于点C，P点在直线外． （1）根据下列语句画图：过点P作，交于E；过点P作，垂足为点F，交于O点． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）过点作 ，由垂线的定义得到．根据 ， ，得到 ， ，由 即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作 ， ， ． ∵ ， ， ， ， ． 21. 如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点表示的数是2，则滚动前点表示的数是m． （1）实数的值是_______； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的算术平方根； （3）在数轴上还有点表示实数，它的两个平方根分别为与，且，化简：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，和两点间的距离公式解答即可； （2）由题意得，求出，，代入求它的算术平方根即可； （3）由题意得，求得，，由（1）得 则，，，，据此化简即可． 【小问1详解】 解：∵直径为， ∴， 由题意得 ∴； 【小问2详解】 解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ； 【小问3详解】 解：∵两个平方根分别为与， ∴即， 解得， ∴， 由（1）得 ∵，即， ∴，，， ∴ ． 22. 某学校开展数学史知识竞赛，并准备购买，两种奖品奖励获奖同学．已知购买2个种奖品和1个种奖品共需55元；购买3个种奖品和2个种奖品共需90元． （1）求，两种奖品的单价． （2）学校准备购买，两种奖品共10个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是多少元？ 【答案】（1）种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； （2）在购买方案中最少费用是170元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列二元一次方程求解即可； （2）设购买种奖品个，则购买种奖品个，根据题意列不等式，得到的取值范围，令购买费用为，得到关于的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：，解得：， 答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买种奖品个，则购买种奖品个， 由题意得：， 解得：， 令购买费用为， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， 即在购买方案中最少费用是170元． 23. 对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．已知：；． （1）求出，的值； （2）已知，均为非负数，且，求的取值范围； （3）若，均为正数，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得一个关于，的二元一次方程组，解方程组即可得； （2）先求出，则，再建立不等式组求出的取值范围即可； （3）先求出，则，再建立不等式组求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，均为非负数， ∴，即， 解得， ∴， 即． 【小问3详解】 解：由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，均为正数， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $