第一章集合与常用逻辑用语单元测试A卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 集合与常用逻辑用语单元复习卷，覆盖集合关系、命题否定、充分必要条件等核心知识点，题型多样，梯度分明，适配单元复习检测，注重数学思维与抽象能力培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合关系、命题否定|基础巩固，如第1题集合关系判断| |多选|3/18|充分必要条件、集合性质|能力辨析，如第9题条件判断| |填空|3/15|子集个数、参数范围|简洁应用，如第12题子集计算| |解答|5/77|集合运算、命题真假、创新定义|综合探究，如第19题封闭集证明，体现推理能力|

单元测试A卷——第一章 集合与常用逻辑用语 第四章 指数函数和对数函数单元测试B卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】利用元素与集合的关系及实数集､有理数集､自然数集的性质直接求解. 【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 2．命题“，能被整除”的否定是（     ） A．，不能被整除 B．，能被整除 C．，不能被整除 D．，不能被整除 【答案】C 【详解】命题“，能被整除”的否定是： “，不能被整除”． 3．已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据题意可知， ，所以，顾选C． 考点：集合的运算． 4．设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 5．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】依题意中一定含有元素0，即可得，可得实数的取值范围. 【详解】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 故选：B 6．已知集合，则集合 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：求出或，，可得. 详解：， 或，， ，故选C. 点睛：本题主要考查集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇. 7．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出使命题“”为真命题的的范围，然后根据充分不必要条件的概念确定选项. 【详解】命题“”为真命题 则在上恒成立 又， 则 命题“”为真命题的一个充分不必要条件需要选择比范围小的选项， 观察可得符合 故选：A. 8．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可. 【详解】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 因为全班共36名同学参加课外探究小组， 所以， 解得， 即同时参加数学和化学小组的有8人． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，” 【答案】AB 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合特称命题的否定的性质逐一判断即可. 【详解】A：由不一定能推出，但由一定能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，因此本选项说法正确； B：因为一元二次方程有一正一负根， ，所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，因此本选项说法正确； C：且一定能推出，但是不一定能推出且，例如，所以“”是“且”的必要不充分条件，因此本选项说法不正确； D：命题“，”的否定为“，，所以本选项说法不正确， 故选：AB 10．“关于x的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得. 【详解】因为方程至多有一个实数根， 所以方程的判别式， 即：，解得， 利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项A、选项B和选项C， 故选：ABC. 11．非空集合A具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则，下列判断一定成立的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】A选项：先根据题意得到，进而得到，，…，故；B选项：假设推导出，进而推出矛盾，假设不成立，所以；C选项：利用，能推导出；D选项举出若，则的反例 【详解】对于B选项：假设，则令，则，令，则，，令x=1，y=0此时无意义，即不能为0，与前面y=0矛盾，所以，故B选项正确； 对于A选项：由题意知，，则，，…，所以，故选项A正确； 对于C：，，所以，，，故选项C正确； 对于D：，，若，，则，故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则集合M的子集的个数是__________． 【答案】16 【分析】根据集合的描述确定集合M中元素的个数，进而可知其子集个数. 【详解】由题设，，故集合M的子集的个数是. 故答案为：16 13．已知集合,,若,则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】求出集合,而根据，得出,从而可讨论是否为空集：时,根据,解出；时,可得出,或,或,可分别求出的值,并验证是否满足题意,从而最后得出实数的取值范围． 【详解】由题意，可得， 因为，所以∴， (1)当时,即方程无解，则， 解得，此时满足题意； (2)当时，要使得,则,或,或； ①当时,则，得，此时,满足题意； ②当时,则，得，此时, 不满足题意,即； ③当时,根据韦达定理，此时； 综上得,实数的取值范围为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及利用集合的包含关系求解参数问题，同时考查了一元二次方程的应用，其中解答中根据集合的包含关系，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 14．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案. 【详解】因为为假命题，所以为真命题，即， 又因为集合，集合， 所以当时，，即，此时满足； 当时，或，解得， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合，． （1）若，判断集合与的关系； （2）若，求实数组成的集合． 【答案】（1）A；（2）． 【分析】（1）先解方程化简两个集合，再根据元素判断两个集合的包含关系即可； （2）先判断，再讨论a是否为零，即B是否为空集时满足要求，列式解得参数a即得结果. 【详解】解：（1）由的解为或4，故， 当时，，A； （2），故，分如下两种情况讨论： ①当时，，符合题意； ②当时，由得，所以或，解得或． 故实数组成的集合． 16．设为全集，集合，集合. (1)，求集合和集合； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）将代入集合B求解，利用集合的并集和补集、交集运算求解即可； （2）利用充分不必要条件的定义，根据真子集关系列不等式可求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 又，所以或， 所以，； （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 又， 所以，所以． 17．已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据判别式与韦达定理求解即可； （2）首先求出当两个命题是真命题时，的取值范围，再根据两命题中一真一假，列不等式求的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则 ， 解得：，故m的取值范围为 （2）若方程无实根，则，解得：， 当真假时， ，解得：； 当假真时， ，解得：， 综上可知：的取值范围是或. 故m的取值范围为 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，重点考查根据一元二次方程实数根求参数的取值范围，属于基础题型. 18．命题成立；命题成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当为真命题时，，求解即可； （2）当命题为假命题时，，求解即可； （3）先求出命题与命题均为假命题时的取值的范围，再求出补集即可求解 【详解】（1）若命题为真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （2）若命题为假命题， 则，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则 或， 解得， 故命题与命题中至少有一个为真命题， 则或 所以实数的取值范围是. 19．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 【答案】(1)集合是封闭集，不是封闭集，理由为： 对于集合 因为， 所以是封闭集； 对于集合，因为，， 所以集合不是封闭集； (2)命题为假命题，命题q为真命题，理由为： 对命题：令， 则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集， 所以， 同理可得， 所以， 所以是封闭集，故正确； (3) 证明：假设结论成立，设， 若，矛盾，所以，所以有， 设且，否则， 所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕. 【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可； (2) 对命题举反例说明即可； 对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确； (3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元测试A卷——第一章 集合与常用逻辑用语 第四章 指数函数和对数函数单元测试B卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 2．命题“，能被整除”的否定是（     ） A．，不能被整除 B．，能被整除 C．，不能被整除 D．，不能被整除 3．已知集合，则 A． B． C． D． 4．设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 5．已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 6．已知集合，则集合 A． B． C． D． 7．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 8．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的人数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 D．命题“，”的否定为“，” 10．“关于x的方程至多有一个实数根”的必要条件可以是（　　） A． B． C． D． 11．非空集合A具有下列性质：（1）若，则；（2）若，则，下列判断一定成立的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则集合M的子集的个数是__________． 13．已知集合,,若,则实数的取值范围为______． 14．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设集合，． （1）若，判断集合与的关系； （2）若，求实数组成的集合． 16．设为全集，集合，集合. (1)，求集合和集合； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 17．已知命题p:方程有两个不等的负根；命题q:方程无实根. （1）若为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q两命题一真一假，求m的取值范围； 18．命题成立；命题成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 19．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $