精品解析：山东诸城市龙城中学2026-2027学年高二上学期开学验收考试数学试卷

高二上学期开学验收考试 数学试题 一、单选题 1. 设复数则z的虚部是（ ） A. i B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【详解】，其虚部为 2. “有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为（ ） A. 成 B. 竟 C. 者 D. 事 【答案】A 【解析】 【详解】将此展开图还原，以“者”为正方体的下底面， 则“志”为正方体的背面，“有”为正方体的左侧面，“事”为正方体的右侧面，“竟”为正方体的上底面，“成”为正方体的正面， 所以这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为“成”. 3. 的值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角和与差的余弦公式，即可得解. 【详解】 故选：A. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积坐标表示计算出，再求. 【详解】由题意可得 ，， 所以，故. 5. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得各个角度，根据正弦定理，可得BC，根据三角形的性质，即可得答案. 【详解】由已知得在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 又因为仰角为45°，所以三角形是等腰直角三角形， 所以. 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 7. 在中，,,,,垂足为，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】如图： 因为，所以. 且，所以. 所以. 8. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则还原原图形，确定边长关系，利用正弦定理或三角函数定义求解. 【详解】设，由， 可得，． 根据斜二测画法的规则，原图形中，，，，且． 在中，， 在中，． 由正弦定理得． 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 相等的角在直观图中仍然相等． 【答案】BC 【解析】 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，如图所示， 由图知，该几何体上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B，由平行六面体的概念和性质可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C，根据正棱锥的概念和性质可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确； 对于D，相等的角在直观图中不一定相等，比如直角在直观图中可能变为或，故D错误. 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式及正弦型函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】. 由题意知，则，又，则，所以， 故. 对于A，若的一个对称中心为， 则， 可得，，所以，. 又，所以，A错误. 对于B，若为偶函数，则，， 所以，， 又，所以，B正确. 对于C，当时，， 且区间的长度为， 若在区间内有三个零点，则，，则，， 又因为，故，C正确. 对于D，当时，， 因为，所以， 若在上单调递增，则， 即，解得，故的最大值为，D正确. 11. 如图，在中，是中点，是靠近的三等分点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意得，利用向量的线性运算可判断A；利用，结合已知计算可判断B；设，利用共线求得，结合向量的线性运算可判断C；由选项C可得，可得，进而计算可判断D. 【详解】因为是靠近的三等分点，所以， 所以，所以，故A正确； ，故B正确； 设，则， 又是中点，所以，所以， 又因为在同一直线上，所以，解得， 所以，所以， ， 所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又是中点，所以，所以，故D错误. 三、填空题 12. 写出函数的一个对称轴方程为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴公式，结合整体代换法计算即可. 【详解】令，解得， 所以函数的对称轴方程为. 13. 化简：____________. 【答案】1 【解析】 【详解】 14. 如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 四、解答题 15. 已知. （1）求和的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先对两边平方，可得，， 方法一：结合平方和关系式联立方程组，即可求解； 方法二：先求解的值，再联立方程组求解； （2）先求解，再把表示为，最后利用两角和的正切公式即可求解. 【小问1详解】 由，且， 将两边同时平方并整理得：，所以， 故，， 方法一：由， 解得：， 方法二：由题意可得， 于是， 所以， 解得：，. 【小问2详解】 由（1）知，， 可得， 又， 所以． 16. 已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设的坐标为：，结合题意根据向量夹角公式得，再根据得，故； （2）根据题意得，再根据模的计算公式计算得出关于的式子，即可求出最值. 【详解】（1）设的坐标为：， 因为向量的夹角为，且，. 所以，解得， 所以，解得， 所以. （2）因为， 所以， 由于，所以， 所以 ， 当时， 取的最小值为. 【点睛】本题考查向量的夹角的公式，模的公式，考查数学运算能力，是基础题. 17. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）将等式左边用平方差公式展开，化简后与余弦定理的标准形式对照，可得  的值，从而求出  的大小； （2）由内角和求出角，利用正弦定理求出边，再代入面积公式即可求得三角形面积． 【小问1详解】 由已知， 整理得， 由余弦定理， 所以，因为，所以，又为锐角，所以. 【小问2详解】 因为，，由(1)知，则， 由正弦定理得， 所以． （） 18. 已知函数的最大值为2． （1）求a的值； （2）在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一确定，求的最小正周期及在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：为函数的最值点； 条件③：． 【答案】（1）. （2）选择条件②，最小正周期为，取值范围为. 【解析】 【小问1详解】 因为. 因此. 又， 所以. 的最大值为，解得. 【小问2详解】 由(1)知. 已知在上单调递减，且. 先考虑需要满足的单调性条件. 令，当时，，区间长度为 . 的递减区间为 ， 该区间长度为 ，故需 ，即 . 若 ，区间起点 ，而 ，无交集. 若 ，区间终点 ，而 ，无交集. 故只能取 ，故需且. 解前一不等式得，解后一不等式得. 所以的取值范围是. 若选条件①：. 代入得，即. 所以，解得. 结合，无整数使落在该区间，故条件①不满足. 若选条件②：为的最值点. 最值点满足. 两边乘6：，即，. 在内，时；时超出，故唯一. 若选条件③：. 计算，. 由得. 所以或. 解得（舍去，不在区间内）或. 时，超出；无合适解，故条件③也不成立. 三个条件逐一检验后发现：条件②中在区间内且满足单调性，且唯一确定为. 此时最小正周期. 当时，. 正弦在此区间从递减到，所以取值范围是. 综上，；满足条件的为条件②，，最小正周期，取值范围. 19. 已知分别为三个内角的对边，，． （1）求角的值； （2）如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为． （i）求的值； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理进行边化角，再利用正弦的和角公式进行化简，即可得解； （2）（i）运用三角形面积公式得到，再运用余弦定理得到，即可解得；（ii）设，在中运用正弦定理可得，再结合，即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理可得：，在中，， 所以， 得，因为在中，，所以， 得，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 （i）因为，所以，最后结合，即可确定 因为， 所以， 又， 所以， 由，得或， 由图可知：， 所以，故； （ii）由，得，所以， 设，其中，则，， 在中，由正弦定理可得 ， 因为，则，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期开学验收考试 数学试题 一、单选题 1. 设复数则z的虚部是（ ） A. i B. C. i D. 2. “有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“志”字所在面相对的面上的字为（ ） A. 成 B. 竟 C. 者 D. 事 3. 的值等于（ ）． A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北30°的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北75°的方向上，塔顶的仰角为45°，则此铁塔的高度为（ ） A. m B. m C. m D. m 6. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，,,,,垂足为，则（ ） A. B. C. D. 4 8. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D. 相等的角在直观图中仍然相等． 10. 已知函数且图象的相邻两条对称轴间的距离为，则以下说法正确的是（ ） A. 若的一个对称中心为，则 B. 若为偶函数，则 C. 若在区间内有三个零点，则 D. 若在区间上单调递增，则的最大值为 11. 如图，在中，是中点，是靠近的三等分点，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 三、填空题 12. 写出函数的一个对称轴方程为__________. 13. 化简：____________. 14. 如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 四、解答题 15. 已知. （1）求和的值； （2）若，求的值． 16. 已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值. 17. 在锐角中，内角所对的边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 18. 已知函数的最大值为2． （1）求a的值； （2）在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数存在且唯一确定，求的最小正周期及在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：为函数的最值点； 条件③：． 19. 已知分别为三个内角的对边，，． （1）求角的值； （2）如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为． （i）求的值； （ii）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $