精品解析：山东烟台市莱州市第一中学2026-2027学年上学期高二开学收心检测数学试题

2025级高二收心检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，且，则向量的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据平面向量垂直的充要条件：若两个非零向量 则， 已知，设 ，则需满足． 选项A：，代入得，不符合要求； 选项B：，代入得，符合要求； 选项C：，代入得，不符合要求； 选项D：，代入得，不符合要求． 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 当且仅当时取等号，故选C. 点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题.解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件，应用均值不等式. 3. 已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（　　） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称关系，写出点B的坐标，利用空间中点与点的距离公式进行计算即可. 【详解】因为，故点关于平面的对称点为为， 故， 故选：C. 4. 如图，在平行六面体中，．点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于的表达式. 【详解】在平行六面体中， 则， . 故选：D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，求出，得到最大值. 【详解】，故， 因为，，所以，解得， 故， 故当时，取得最大值，最大值为4. 故选：B 6. 已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点， 所以， 因为M为BC中点，N为AD中点， 所以有， ， 根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为， 故选：B 7. 如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用垂直关系求出，再利用向量运算将所求式转化为，进而可得答案. 【详解】记的中点为，由题可知，， 所以. 故选：A. 8. 在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以，因为平面，平面， 所以，以为空间直角坐标系的原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，， ，，， 设平面的法向量为， 所以有， 设直线与平面所成角为， 所以， 故选：B 二、多项选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0分 9. 如图，四棱柱为正方体，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间直线的方向向量的概念以及平面的法向量的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】设正方体的棱长为， 对于选项A，由，，则，所以与平行， 故直线的一个方向向量为，故选项A正确； 对于选项B，由，，则， 所以与平行，故直线的一个方向向量为，故选项B正确； 对于选项C，由，，则， 又是平面的一个法向量，且与平行， 所以平面的一个法向量为，故选项C正确； 对于选项D，由，，则， 又，则与不垂直， 所以不是平面的一个法向量，故选项D不正确． 故选：ABC 10. 已知、是正数，且，下列叙述正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ABC选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故最大值为，A对； 对于B选项，由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，则为，B对； 对于C选项，因为， 解得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，C错； 对于D选项，因为， 当且仅当且即时取等号， 此时最小值为，所以D对． 故选：ABD. 11. 已知向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 与共线的单位向量 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平面向量垂直、平行的坐标表示公式，结合平面向量数量积的性质、单位向量的定义逐一判断即可. 【详解】由，所以选项A正确； 因为与的夹角为锐角，所以有且与不是同向向量， 即，假设与是同向向量，故有，因为，所以方程组无实数解， 因此选项B正确； 由，所以有， 所以选项C不正确； 因为，所以与共线的单位向量为， 即或，所以选项D不正确， 故选：AB 12. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 【答案】BC 【解析】 【分析】利用异面直线夹角范围、法向量数量积、四点共面向量推论、空间基底条件进行逐项判断即可. 【详解】对于A：异面直线夹角的范围为，故夹角的余弦值不可能为负数，故A错误； 对于B：因为，则，故B正确； 对于C：根据空间向量共面定理的推论，因为，且、、三点不共线，所以、、、四点共面，故C正确； 对于D：因为，所以、、共面，不能成为基底，故D错误. 13. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为棱上的点，且（），现有下列结论： ①当时，平面； ②当时，点到平面的距离为； ③存在，使得平面； ④对任意，直线与是异面直线． 其中所有正确结论的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BD 【解析】 【分析】对于①，假设线面平行，推出矛盾，①错误；对于②，利用等体积法进行求解点到平面的距离；对于③，假设线面垂直，推出矛盾，③错误；对于④，由异面直线的定义可知④正确 【详解】对于①，若平面，如图，连接， 设，连接，则， 因为为的中点，所以也为的中点， 延长交的延长线于，则， 所以，， 故，， 因为，所以，解得，故①错误； 对于②，当时，点为的中点， 其中， ，，则， 所以，所以， 设点到平面的距离为，则， 解得，②正确； 对于③，假设存在，使得平面， 因为平面，所以， 又因为，为平面内的两条相交直线， 所以⊥平面，这是不可能的，假设不成立， 所以不存在，使得平面，③错误； 对于④，连接，显然平面， 对任意，平面，而平面， 所以直线与是异面直线，④正确. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上） 14. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 15. 已知向量，，其中，，若，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】先由向量平行得到方程，求出，再由基本不等式“1”的代换求出最小值 【详解】，故，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 16. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为___________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，由于三个侧面与底面全等，，可证，则是面BCD与面BCA为面的二面角的平面角，根据余弦定理即可求解． 【详解】取中点，连接 因为，三个侧面与底面全等，则， 所以，故是面BCD与面BCA为面的二面角的平面角，又 所以 由，所以 故答案为： 17. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共2小题，每题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】（1）由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）距离为1. 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 19. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）因为，为的中点， 所以，且． 连结． 因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论； （2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果．方法二：通过作垂线构造二面角的平面角，再利用体积法求点到面的距离，最终转化为线面角的正弦值.方法三：构造线面角定义所需的垂线，直接求出线面角的正弦值.方法四：先找出点C到平面PAM的垂足T，再利用二面角的平面角关系直接求出垂线长度，最后在直角三角形中计算线面角正弦值. 【详解】（1）略 （2）［方法一］： 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 ， 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取， 所以 ． 由已知得 ， 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图5，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结， 则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，． 在中，由，得，则． 设点C到平面的距离为h， 由，得，解得， 则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］： 由（1）知平面，可得平面平面． 如图6，在平面内作，垂足为N，则平面． 在平面内作，垂足为F，联结，则， 故为二面角的平面角，即． 同方法二可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结． 在中，． 因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为． 在平面内，由，可得平面， 则为直线与平面所成的角． 设，则， 又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］： 如图7，取的中点H，联结，则． 过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）． 连结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角． 在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二收心检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，且，则向量的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 3. 已知空间直角坐标系O﹣xyz中的点A（2，﹣1，﹣3）关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为（　　） A. B. 4 C. 6 D. 4. 如图，在平行六面体中，．点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 6. 已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等腰三角形中，，点是边上的动点，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8. 在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2或3分，有选错的得0分 9. 如图，四棱柱为正方体，则（ ） A. 直线的一个方向向量为 B. 直线的一个方向向量为 C. 平面的一个法向量为 D. 平面的一个法向量为 10. 已知、是正数，且，下列叙述正确的有（ ） A. 最大值为 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 已知向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与的夹角为锐角，则 C. 若，则 D. 与共线的单位向量 12. 给出以下命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则异面直线与所成角的余弦值为； B. 若平面与平面的法向量分别是与，则； C. 已知、、三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足，则点平面； D. 若向量，，是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底； 13. 如图，正方体的棱长为，为棱的中点，为棱上的点，且（），现有下列结论： ①当时，平面； ②当时，点到平面的距离为； ③存在，使得平面； ④对任意，直线与是异面直线． 其中所有正确结论的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上） 14. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________． 15. 已知向量，，其中，，若，则的最小值是____． 16. 已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的平面角大小为___________. 17. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题：本题共2小题，每题15分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 19. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $