辽宁铁岭市开原市高级中学2026-2027学年高一新生上学期暑期学习质量检测数学试题

绝密★启用前 开原高中2026级新生暑期学习质量检测 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．下列关系正确的是 A． B． C． D． 2．已知命题：，，则是 A．， B．， C．， D．， 3．下列各组对象中，能构成集合的是 A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 4．已知集合，，则 A． B． C． D．、没有包含关系 5．已知集合，，则 A．， B．， C．， D．， 6．若，，（），则的最小值为 A． B． C． D． 7．若方程组的解集是，则方程组的解集是 A． B． C． D． 8．若不等式对任意正实数，，恒成立，则实数的最小值为 A． B．1 C． D．2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知集合是全集，集合，的关系如图所示，则 A． B． C． D． 10．对任意实数，，，下列命题是真命题的是 A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“不等式成立”的充要条件 D．“”是“”的充分不必要条件 11．已知，，下列说法正确的是 A．若，，则 B．设，，则 C．若，则的最小值为 D．若，则的最大值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设集合，，若，则________． 13．已知命题：，，若的否定为假命题，则实数的取值范围为________． 14．记，当正数、变化时，也在变化，则的最大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知集合，非空集合． （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使是的充要条件？说明理由． 16．（本小题满分15分） （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足． （i）求的最大值； （ii）求的最小值． 17．（本小题满分15分） 已知集合，集合或，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知，是一元二次方程（）的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）是否存在整数，使的值为整数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 非空有限集合是由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于2个，对于任意、，，若数或中至少有一个属于，则称集合是“好集”，否则称集合是“坏集”． （1）判断集合和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由； （2）若题设中的数、都属于，则称集合为“超级好集”，写出一个“超级好集”（无需证明）； （3）若题设的有限集合中，既有大于1的元素，又有小于1的元素，证明：集合是“坏集”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 开原高中2026级新生暑期学习质量检测 数学参考答案及解析 高一数学 一、单选题 1．C 2．B 3．C 4．B 5．A 6．D 7．D 8．C 二、多选题 9．ABD 10．AD 11．BD 三、填空题 12．1 13． 14． 四、解答题 15．解：（1）是的必要条件，故， （2分） ， （4分） 解得， 实数的取值范围是． （6分） （2）若是的充要条件，则， （9分） ， （11分） 由于该方程组无解， 即不存在实数，使是的充要条件． （13分） 16．解：（1）由，所以， 所以， {4分} 当且仅当，即时，函数取到最小值14． （7分） （2）（i）由均值不等式得， （9分） 解得（当且仅当，时取等号）， 所以的最大值为． （11分） （ii）， （13分） 当且仅当时，即，时取等号， 故的最小值为4． （15分） 17．解：（1）时，集合或， （2分） 所以， （4分） 因为集合， 所以． （7分） （2），或，，两个集合均为非空数集， （9分） 因为，所以与没有公共元素． （11分） 当，即时，，此时，不合题意； （13分） 当，即时，，解得， 综上，实数的取值范围是． （15分） 18．解：（1）因为，是一元二次方程（）的两个实数根， 所以，解得， （2分） 又，所以， 由韦达定理得， （4分） 又， 则， （6分） 即，解得， 因为，所以不存在实数，使成立． （8分） （2） ， （10分） 由于的值为整数，即的值为整数， （11分） 所以只能取，，， （12分） 又， 所以当时，得（舍）或， 当时，得（舍）或， 当时，得（舍）或， 综上所述，存在整数，使的值为整数，且的值为、或． （17分） 19．解：（1）因为， 当时，，， 所以是“坏集”． （2分） 因为，不妨设， 当时，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，， 因为对于任意，，，数或中至少有一个属于，所以集合是“好集”． （6分） （2）一个“超级好集”为（且）． 当（且）时，，，则为“超级好集”． （9分） （3）假设有限集合中的大于1的最小元素为，小于1的最大元素为，则，， （11分） 因为，无最小值，与集合的有限性和有最小值相矛盾，所以， （14分） 而，所以， 所以有限集合是“坏集”． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $