辽宁沈阳市第一二〇中学2026-2027学年高一年级“华罗庚班”选拔及能力素养测试数学试卷

沈阳市第一二○中学2026一2027学年高一年级 “华罗庚班”选拔及能力素养测试 数学试卷 满分：150分 答题时间：120分钟 一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的。 1、图中阴影部分用集合符号可以表示为() A.Bn(AUC) B.Bn(nc) C.Bnc(AUC) D.(AUB)n(BUC) 2.已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3e4,则a的值为（) A-1或- B.-1 D.1 3.若xEA,时∈A,则称A为“影子关系”集合在集合M=0,号2123,4的所有非空子 集中，为“影子关系”集合的有() A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 4.A,B,C,D四名学生的年龄关系如下A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同，C, D的年龄之和大于A,B的年龄之和，B的年龄大于A,D的年龄之和，则A,B,C,D的 年龄关系是() A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 5.关于x的一元二次方程x2+(a2+2ax+a+1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为 () A.-2 B.0 C.1 D.-2或0 1 6.小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同，爸爸每次都买50 块钱的，而妈妈每次都买10斤。小明若有所思，如果爸爸和妈妈各买两次大米，并且两次 大米每斤的价格是不一样的，如果用平均单价来比较，更合算的是() A.爸爸 B.妈妈 C.一样 D.不确定 7.设x,y∈R,则“y+1≠x+y”的充要条件是() A.x,y不都为1 B.xy都不为1 C.x,y不都为0 D.xy中至少有一个为1 8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数 学家高斯，我们把函数y=[x(x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，如 [1.1]=1,【-1.1=-2,则点集P=x,y)儿x+[y=1所表示的平面区域的面积是() A.2 B.元 C.4 D.6 9.若负实数1满足：Va∈[4，，b,c∈4，小，使得ab+c=1,则1的取值范围是( ) a[引c5r4 10.若集合A= 则集合A的元 素个数为（ A.4052 B.4054 C.20262 D.20272 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 11.已知全集U={-2,-1,0,2,3,4},集合M={-1,0,2},N={xx2+ax-4=0,且NcU, 则() A.a<0 B.3E(MUN） C.M∩N中元素个数为1 D.(CuM)∩N≠Φ 12.已知a,b为正数，且2a+b-2=0,则() A.0<a<1 C.1<a2+b2<4 D.0<bs号 2 13.2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔(Joshua Zahl)通过一系列复杂的 数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界.2026年美国费城国 际数学家大会上王虹荣获数学界最高荣誉“菲尔兹奖”，成为该奖项首位中国籍得主，挂谷 猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过180°后，回到原位置， 扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：如图所示，已知圆O半 径为V2,点A,B为圆O上两点，且AB=2,则线段AB旋转180°后使AB的上下位置交换至 BA'(A,B始终在圆O上)，下列关于扫过的图形描述正确的有() A.线段AB旋转过程中始终与以O为圆心，1为半径的小圆相切： B B.线段AB旋转过程中扫过的图形是一个扇环： 3 C.线段AB旋转过程中扫过的面积为二π； 4 ● D.线段AB旋转过程中扫过的面积为π-1. A 14.对于实数x,a,使不等式x2+ax+a2>0成立的一个充分不必要条件可以是() A.a>0 B.x=a C.x+a≠0 D.a·x≠0 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 15.命题“xEZ,x3-2x+1<0”的否定是 16。关于x的方程x=k-x的解集中只含有一个元素，则k的可能取值构成的集合为 x-1 x2-x 17.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新 学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分 形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 第1行 、 第2行 第3行 第4行 ---- 第5行 -- 第6行 3 18.已知a>0,b∈R,当x>0时，关于x的不等式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立， 则b+二的最小值是 19.法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程x2-x-1=0的两个根x,x,不同幂的和时，发现 了+x2=1,x+x号=3，，由此推算+x°= 4 9 20.已知a,beR且ab>0,则ab a'+b (a+b) 的最小值为 四、解答题：本题共3小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 21.(本题13分)设命题p:对任意x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m恒成立，命题9：存在 x∈[-1，)，使得不等式x2-x+m-1≤0成立， (1)若p为真命题，求实数m的取值范围： (2)若p,g有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围. 22.（本题15分)笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献， 由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”高一某同学在网上查阅资料 时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题 设A,B是任意两个非空集合，则称集合A×B={(a,b)a∈A,b∈B}为“A与B的笛卡尔积”， 如果集合M中元素的个数记为[，则集合A×B的元素个数即为[A×B]. (1)若A={0,1},B={,2,3},求A×B与B×A: ②若Ax]=m,[个[，m为质数，且4+81XBx回≥a对任意质数m恒成立， [AxB] 求实数a的取值范围 23.(本题18分)设关于x的函数y=2x2+(x-a)川x-a|(a∈R). (1)若x=0时，y≥1，求a的取值范围： (2)求y的最小值： (3)若x∈(a,+o),求关于x的不等式y≥1的解集沈阳市第一二○中学2026一2027学年高一年级 “华罗庚班”选拔及能力素养测试数学试卷参考答案 一、单选题(50分) 1.A 【详解】在阴形部分区域内任取一个元素x,则x∈AOB或x∈BOC, 故阴彤部分所表示的集合为B⌒(AUC)或者(AOB)U(BOC),故A正确. 2.C. 【详解】当a-2=-3时，a=-1,此时A={-3,-3,12},不满足集合中元素的互异性， 当2a+5a=-3时，a=或-1（合，此时4={3-312， 满足条件， 综上可知：a的值为放选：C 3.C 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合M=0,号，1,23,4中，为影子关系的集合有 M1=1,M2=(经，2，M3=33,M4=(1,2,2,M5=(1,号3，M6=2,33,M,= 1,2,2号，3故选C. 4.D. 【详解】用A,B,C,D表示A,B,C,D四个同学的年龄，A>0,B>0,C>0,D>0. 则：A+C=B+D①，C+D>A+B②，B>A+D③. ①+②得C>B,①+③得C>2D,②+③得C>2A, 由于A>0,D>0,故由③得B>A,B>D, 由①得C-B=D-A,C>B,C-B>0,D-A>0,D>A, 综上C>B>D>A故选：D. 5.A 【详解】设一元二次方程x2+(a2+2a)x+a+1=0的两个实数根为5,2， 因为x,上，互为相反数，所以根据韦达定理可得：+=(a2+2a)=0, 解得a=-2或a=0,当a=0时，方程为x2+1=0无解，舍去： 当a=-2时，方程为x2-1=0,两根为-1,1符合题意，a的值为-2，故选项A正确 1 6.A 【详解】设这两次大米的单价分别为m和m机，则爸爸两次共买50+50斤，平均单价为 m 100 2 2mn 0+501+ 妈妈两次共买20斤，平均单价为10m+10n=m+n m+n 20 2 m n m n 2(m+”2 2mn 27 m+n 所以爸爸买的更划算。 m+n m+n 2 7.B. 【详解】y+1≠x+y,xy-x≠y-1,x(y-)≠y-1,x(y-1)-y-1)≠0， ∴(x-1)y-1)≠0，∴x≠1且y≠1，即xy都不为1，故选：B 8.C 【详解】由[x+[y=1可得[=0，[Dy]=1或[x=,[y]=0, 即似份6。 [y1=1 即0或s1s<2白≤x<0 或-isy<0或{0sy<i或{0sy<1, 上述不等式组表示的平面区域如图示： 2 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， -10 2 所以点集P={《(x,y[x+[y=1所表示的平面区域的面积是4.故选C 9.B 【详解】Va∈[-4，，b,c∈[4，使得ab+c=1, 即ae【4小3弘，ce4小使得a=,,则a的范围是，范围的子集 b 2 2 则-4小[月所以≤4姐会≥6解得-子1s 所以选择B。 10.B 【详解】由题意可知n2+2mn+n=n(1+2m+1)=2×102026=22027x52026, 当n是偶数时，n+2m+1是奇数，当n=2202”×5*,k=0,1.…2026,共2027个n,每一个n 对应唯一的m: 当n时奇数时，n+2m+1是偶数，此时n=5*,k=0,1..2026,共2027个n,每一个n对 应唯一的m: 综上可知满足条件的n有4054个数，每一个n对应唯一的m, 所有集合4的元素个数为4054个.故选：B 二、多项选择题(24分) 11.BCD 【详解】在集合N中，因为△=a2+16>0,所以方程x2+ar-4=0有两个相异实根， 设为x、为，由韦达定理可得x名=-4，所以x、异号，且CuM={2,3,4, 因为全集的元素中两元素之积为-4的只有两组-2、2和-1、4， 所以N=-2,2}或N=1,4. 当N={-2,2}时，-2+2=-a=0,则a=0, 所以MUN={-2,-1,0,2},MnN={(2},(CuM)∩N={←2： 当N=-L4时，-1+4=-a=3,则a=-3, 所以MUN={-1,0,2,4),MoN={-1},.(CuM)∩N={4} 综上，则a=0或a=-3,3E(MUW),MnN中元螯个数为1，(CuM)∩N=中， 故A错误，B正确，C正确，D正确。 12.AD 【详解】解：由题知2a+b-2=0,即a+名-=1，：a,b均为正数.0<a<1,选项A正确： +6-++-+-号选项B误 3 3 +6=g4-20=02-a44=50-+号 ∴a=号(o2+6)n=号(2+6)<4号s02+公<4故选项C错误 ~2a+b=22=2a+b≥2W2ab,0<ab≤2，故选项D正确：故选AD 13.AD 【详解】圆心O到线段AB的距离为1，所以线段AB在旋转过程中始终与以O为圆心，1 为半径的小圆相切，所以A正确： 线段AB扫过的区域如图，所以B是错误的： 四边形ABA'B为边长为2的正方形，小圆O恰好为正方形的 内切圆，三个弓形面积和为 (宁×W2-之×2xDx3--3,另外一部分的面积为正 2 方形面积减去小圆面积后的一半，即(4一π)×=2-无，所以 1 B 2 线段4B旋转过程中扫过的面积为3弧-3+2-？=π-1，所以 2 2 D正确，C错误 14.ACD 【详解】因为二次函数y=x2+ar+a2的△=a2-4a2=-3a2, 对于A,若a>0,则A=-3a2<0,所以不等式x2+ax+a2>0恒成立， 所以a>0能推出不等式x2+ax+a2>0, 当不等式x2+ax+a2>0成立时，a不一定大于0， 当a=0时，不等式x2+ax+a2>0也成立，故不等式x2+ar+a2>0推不出a>0, 所以a>0是不等式x2+ax+a2>0的充分不必要条件，故A正确： 对于B,将x=a=0代入a2+a2+a2=3a2=0,不能推出不等式x2+ar+a2>0,故B错误： 对于C,若x+a≠0，分两种情况： ①若a=0,x≠0，不等式变为：x2>0成立， ②若a≠0，对任意的xeR,y=x2+ar+a2= +30>0,成立， 4 所以x+a≠0能推出不等式x2+ar+a2>0, 取a=1x=-1,x2+ax+a2=1-1+1=1>0成立，但x+a=0, 4 所以不等式x2+ax+a>0推不出x+a≠0， 所以x+a0是不停式2+ar+a2>0的充分不必要条件，故C正确： 对于D,不答式x2+ar+a2>0成立时，实数x,a不同时为0， 若x和≠0，则xx0且a0,充分性成立，必要性不成立，故D正确 三、填空（30分) 15.3xgZ,X2-2x+120. 16{402 【详解】要想方程有意义，则x≠0且x≠1，所以方程变形为x2+x-k=0 若解集中只有一个元素， 形L方程有两个相答的实根，则△=0，即1+4=0，则k三 此时解集为 满足题意。 2 情形2，方程的一个根为0时，k=0,则另外一个解为1，此时解集为{-1小，满足题意。 情形3，方程的一个根为1时，k=2则另外一个解为-2，此时解集为(2，满足题意。 综上k的可能取值构成的集合为 2 17.144 【详解】由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点每个空 心圆点下一行均为实心圆点故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行之和， .故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：0,1,1,2,3,5,8.13,21,34,55,89,144.故答案为：144 18.4 解：因为当x>0时，关于x的不答式(ax-1)(x2+bx-4)≥0恒成立， 所以x=启一定是x2+bx-4=0的根，所以2+日b-4=0,可得+b=4a, 所以b+=4a+启之4，当且仅当a=时取等号. 19.123 【详解】因为x+x=1,5=-1,=x+1,号=+1， 5 所以+=x(:+1)+2(5+1)=++(:+x)=2(:+x)+2=4, 所以父+=（名+）+(3+)=(g+)+(公+)=（安+）-2(：3)+（名+）=11， 所以°+°=(+x)'-2(出护=121+2=123 故答案为：123 20号 【详解】64- {o时e0-8o可 4+g-4+ 2a2+b a+b}2a2+6 因为4+>0.9g+0. >0 a2+b2 ”（a+b)2 所以ab 9） 4(a+b)29a2+b) 2 .-13 。2+b(a+b2 a2+62 (a+8)2 4(a+b)29(a2+b) 当且仅当。+6 即a2+b2=4ab时，等号成立， (a+b)2 4 9 故ab a2+B2 (a+B)2 的最小值为) 四、解答题(46分) 21.(13分) 【详解】(1)对于p:(2x-2)2m2-3m成立，而x∈[0,1]，有(2x-2)=-2, .-22m2-3m,.1≤m≤2 5分 (2)9:存在x∈[-l,】,使得不等式x2-x+m-1≤0成立，只需(x2-x+m-1)i。≤0 面2-+m-儿=子+m, 5 4+m≤0，六m 8分 由题意知P,9一真一假 1sms2 若9为假命题，P为真命题，则 ，所以 ms2: 10分 m>- 6 6 m<1或m>2 若P为假命题，9为真命题，则 .5 m≤ ,所以m<1. -12分 4 综上，m<1或三<m52. 13分 4 22.（15分) 【详解】(1)因为A=(0,1),B=L,2,3}且4×B={(a,b)a∈A,b∈B, 所以1×B=(0,1),(0,2).(0,3),1,1),(1,2),(1,3)》, B×A=(,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1): -4分 (2)[A×B]=m2,[≠[B],且m为质数，[小=1，[B]=m2或[]=m2,[B]=1, -6分 当[4=1，【B]=m2时，[A×A+81x[B×B)1+81M_1 x81m2=18, [A×B] nf 当=81m,即m=时取等号，又m为质数，÷m之2，所以等号不 3 所以此时4x小+81B×B18. -10分 [A×B] 22,m2 81 貿=m,B时4x小+81x0x:矿+8㎡+8 =18, [A×B] 当且仅当m2=8 ， 即m=3时取答号： -14分 所以a≤18 -15分 23.(18分) 【详解】(1)x=0时，y=-a|-a=-aa:y21.∴aals-1 0ges a<0 -3分 (2)y= (3x2-2ax+a2,x2a 4分 x2+2ax-a2,x<a x2o时，)y=3x-2ar+a,对称轴为x=号<o时，y=+2ar-a3,对称轴为r=-a 7 a>0时，<a,-a<0<a,可得到x≤-a时，y随着x的增大而减少，之-a时，随着x的增大而增大， 3 此时当x=-a时，y有最小值-2a2。 -6分 a=0时，y={ 3x2,x20 .y的最小值为0 7分 x2,x<0 a<0时，日>a,a<0<-a,可得到xs二时，随着x的增大而减少，x≥9时，随着x的增大而增大， 3 3 此时当x=时，有最小值a -8分 综上：a>0时，y最小值为-2a2; a=0时，y最小值为0： a<0时，最小值为2a -9分 (3)x>a时，y=3x2-2ax+a221,即3x2-2ax+a2-1≥0，△=4a2-12(a2-1)=12-8a2 10分 4s0时n2之即a≤-2或a2),呼来为(aoo 11分 2 2 >0时，。2<即6a9,方程3-2ar+Q25E0有两个不的实根 21 2 x=0-V3-2a2 3 x2=0+3-2a2 3 @5=g-6-2a>时，则-5ca<-2 , 3 解集为(a,)U(:2,+o)—13分 2 2 ®x2=0+V3-2a sa时，则s。cV6 -≤a< 解集为(a,+oo) 15分 3 2 2 0-8-2a5a<a+B-2a时，则-55a<5, 解集为(x2,+o)--17分 2 2 综上：a5-5或a2巨时，解集为a,tm 2 、6 a<-时，解集为e,0-5-2a Ua+V3-2a ,+0) 2 2 3 3 2 0<2时，解集为9+3-2 -,+00) 2 3 -18分 8 8