精品解析：辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

调兵山市第二高级中学2025~2026学年上学期期末考试 数 学 考试时间：120分钟命题人：高一数学组 一、单选题(每小题5分，共40分) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 3. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂的运算公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，因为，所以，A正确； 对于选项B，因为，所以，B错误； 对于选项C，因为，所以，C错误； 对于选项D，因为，所以，D错误． 故选：A. 4. 函数的最大值是（ ） A. 6 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值是6， 故选：A． 5. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为（ ） A. 324 B. 345 C. 577 D. 578 【答案】B 【解析】 【分析】用随机数表法抽取，按既定的方法向右读，直到取到符合条件的第8个样本为止，即可得其编号． 【详解】从第6行第6列开始抽取三位数，分别为： 808，不满足；436，满足；789，不满足； 535，满足；577，满足；348，满足； 994，不满足；837，不满足；522，满足； 535，前面已有，故不满足；578，满足； 324，满足；577，前面已有，故不满足； 892，不满足；345，满足，且为第8个样本的编号. 故选：B. 6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 7. 在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 8. 设在定义域上是单调函数，当时，都有，则的为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调函数的性质分析求解． 【详解】∵在定义域上是单调函数，， ∴是一个常数，设，即， 又，∴，即， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查函数的单调性，利用单调性的性质，得出是一个常数，设其为，反代回去从而求得，得函数解析式． 二、多选题(每个小题至少有2个正确的答案，如果试题有2个正确答案，则部分答对得3分，全对得6分，如果试题有3个正确答案，选择1个选项且正确得2分，选择2个选项且正确得4分，3个都正确得6分，选有错误选项的不得分) 9. 如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A. 甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B. 甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C. 甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D. 甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过茎叶图，逐一对各项进行计算判断，从而得到结果. 【详解】对于选项A和B，甲、乙两位选手得分的茎叶图中，每个茎上的叶的数目相同， 乙的所有叶上的数字之和是37，甲的所有叶上的数字之和是20+m<30， 所以甲选手的平均分一定比乙选手的平均分低，所以选项A中的结论与选项B中的结论均不正确； 对于选项C和D，甲选手得分的中位数和众数均为85，乙选手得分的中位数和众数均为84， 所以C中结论不正确，D中结论正确. 故选：ABC. 10. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. A，B，C，D四点共线 B. C，B，D三点共线 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由可得，从而可对ABD进行判断，再对变形化简可对C进行判断 【详解】因为，所以， 所以， 因为有公共端点，所以C，B，D三点共线，且，所以BD正确，A错误， 由，得，所以，所以C错误， 故选：BD 11. 已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互为反函数的性质可得，，从而可判断A；利用基本不等式可判断B； 依题意可得，，则，即可判断C；根据，由A知，，和整理替换可判断D. 【详解】函数与互为反函数，则与的图象关于对称， 因为与垂直，由直线分别与函数和的图象交于点，也与对称，所以，， 又因为在直线 上，所以，即，故A正确；    对于B，， 因为，即等号不成立，所以，故B正确； 对于C：因为，， 所以， 所以，故C错误； 对于D，，因为，所以， 由A可知，所以， 两边同时减，得， 又因为，所以， 由题可知，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数型函数定义域可得，解不等式即可求解. 【详解】由， 则，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 【答案】9 【解析】 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线， 所以，所以， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为：9. 14. 某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用分层抽样的定义和计算方法，即可求解. 【详解】根据题意，可得抽取的专业技术人员的人数是人. 故答案为：. 四、解答题(共77分，每题要求写出必要的解题过程) 15. 已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【答案】 （1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平，理由如下： 不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个， 记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B. 则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以. 故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 【解析】 【分析】（1）根据定义一一列举出即可； （2）由（1）根据古典概型的概率计算公式分别计算概率即可判断. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查概率的应用，古典概型的概率计算问题，属于基础题. 16. 从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：g）都在区间，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求这200个脐橙中质量不低于的个数是多少. （2）求这200个脐橙质量的中位数约为多少.（保留两位小数） （3）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 【答案】（1）110 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得频率，进而求得正确答案. （2）根据频率分布直方图中中位数的求法求得正确答案. （3）根据频率分布直方图中平均数的求法求得正确答案. 【小问1详解】 由题意，不低于的频率为， 所以这200个脐橙中质量不低于的个数是. 【小问2详解】 前两组的频率为， 前三组的频率为， 所以中位数，则， 得，即中位数约为； 【小问3详解】 估计平均数为. 17. 已知函数 . （1）若，求不等式的解集; （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得到，根据指数函数的性质解得即可； （2）令，则，依题意可得对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，再由基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 当时，可得， 即，即，整理得， 因为， 所以，解得， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 因为，令，则，可得， 由，可得， 因为，恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 即实数的取值范围为． 18. 已知函数（且），为的反函数. （1）写出函数的解析式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）（且） （2）当时，解集为，当时，解集为 【解析】 【分析】（1）根据指数函数与对数函数互为反函数，即可求解； （2）根据题意，得到不等式，分和分类讨论，结合单调性，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：因为函数（且）， 由指数函数与对数函数互为反函数，可得的反函数为（且）. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得， 当时，因为函数在上为增函数， 所以，解得； 当时，因为函数在上为减函数， 所以，解得. 综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为. 19. 为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”． 假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者． （1）写出的值； （2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值； （3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值． 【答案】（1）；（2）感染者人数可能的取值为，，；（3）． 【解析】 【分析】（1）由图可计算得到的取值； （2）当经过轮共次检测后确定所有感染者，只需第轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果； （3）当所需检测次数最大时，需有名感染者，并在第轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为的组，每组个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果. 【详解】（1）由题意知：第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；第轮需检测次；； （2）由（1）可知：若只有个感染者，则只需次检测即可； 经过轮共次检测查出所有感染者，比只有个感染者多次检测，则只需第轮时，对两组都都进行检查，即对最后个人进行检查，可能结果如下图所示： 感染者人数可能的取值为，，. （3）若没有感染者，则只需次检测即可； 若只有个感染者，则只需次检测即可； 若有个感染者，若要检测次数最多，则第轮检测时，个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为的组，每组个感染者，此时每组需要次检测；此时两组共需次检测； 若有个感染者，且检测次数最多，共需次检测. 综上所述：所需总检测次数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 调兵山市第二高级中学2025~2026学年上学期期末考试 数 学 考试时间：120分钟命题人：高一数学组 一、单选题(每小题5分，共40分) 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 3. 设，则下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的最大值是（ ） A. 6 B. 16 C. 18 D. 24 5. 某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，分别为001，002，…，599，600，再从中抽取60个样本.随机数表的第5行到第7行如下. 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 若从第6行第6列开始向右每次读取3个数字，则得到的第8个样本的编号为（ ） A. 324 B. 345 C. 577 D. 578 6. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 设在定义域上是单调函数，当时，都有，则的为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、多选题(每个小题至少有2个正确的答案，如果试题有2个正确答案，则部分答对得3分，全对得6分，如果试题有3个正确答案，选择1个选项且正确得2分，选择2个选项且正确得4分，3个都正确得6分，选有错误选项的不得分) 9. 如图是某电视台主办的歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0~9中的一个），则下列结论不正确的是（　　） A. 甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等 B. 甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高 C. 甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低 D. 甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高 10. （多选）已知，则下列结论正确的是（ ） A. A，B，C，D四点共线 B. C，B，D三点共线 C. D. 11. 已知直线分别与函数和的图象交于，，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 函数的定义域为______. 13. 在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 14. 某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是________ 四、解答题(共77分，每题要求写出必要的解题过程) 15. 已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 16. 从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：g）都在区间，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求这200个脐橙中质量不低于的个数是多少. （2）求这200个脐橙质量的中位数约为多少.（保留两位小数） （3）若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数. 17. 已知函数 . （1）若，求不等式的解集; （2）若恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数（且），为的反函数. （1）写出函数的解析式； （2）解关于x的不等式. 19. 为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”． 假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第轮检测（检测次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者． （1）写出的值； （2）若待检测的总人数为，采用“二分检测方案”，经过轮共次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值； （3）若待检测的总人数为，且其中不超过人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $