第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 聚焦高中数学等式与不等式单元，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，覆盖不等式性质、解集、应用等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|不等式性质、解集、命题真假|基础分层，第6题正实数最值考查抽象能力| |选择题|4/18|比较大小、韦达定理应用|选项辨析，第16题存在性问题体现推理能力| |解答题|5/78|不等式证明、经济策略比较、接近度探究|综合应用，第20题策略经济分析培养模型意识，第21题创新探究发展创新意识|

第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若，则_______（填“>”或“<”） 2．若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 3．“如果，那么”是________命题.（填“真”或“假”） 4．若，设 ，则的大小关系为____. 5．已知，，则的取值范围是________． 6．若正实数满足，则的最大值为__________． 7．设，则方程的解集为__________. 8．若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 9．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 11．已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 12．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 14．设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 15．已知，下列选项中正确的选项为（    ） A． B． C． D． 16．已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 18．（14分）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 19．（14分）法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 20．（18分）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (3)请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 21．（18分）对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. > 2. 3. 假 4. 5. 6. 7. 8 . 9. 10 . 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 A D D A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】(1)证明：由于a，b都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以；……（7分） （2）由于， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是；……（7分） （2）若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是．……（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此.……（6分） （2）令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. ……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）因为， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为， 则策略②购买的产品总量，总金额为.……（6分） （2）采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量， 则两次平均价格为， 因为，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当 时，，采用策略②比采用策略①更经济.……（12分） （3）由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2.……（18分） 21．（18分） 【详解】(1)证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间.……（6分） （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于；……（12分） (3)，理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若，则_______（填“>”或“<”） 【答案】> 【详解】因为且，利用不等式性质得， 故答案为：>. 2．若关于x的不等式的解集为，则实数a的值为______. 【答案】 【详解】由关于x的不等式的解集为， 得1是关于的方程的根，且， 因此，即，而，解得， 所以实数a的值为. 故答案为： 3．“如果，那么”是________命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】取，则，故“如果，那么”是假命题. 故答案为：假. 4．若，设 ，则的大小关系为____. 【答案】 【详解】因为恒成立， 所以. 故答案为：. 5．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，， 的取值范围是. 故答案为： 6．若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】因为均为正实数，所以， 当且仅当，时取等号. 7．设，则方程的解集为__________. 【答案】 【详解】时，原式，不合题意 时，原式 时，原式即恒成立 时，原式，不合题意 故 故答案为： 8．若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 9．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【详解】由; 结合绝对值三角不等式得到； 因为对任意的，不等式恒成立； 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 10．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 11．已知关于的一元二次方程，若方程有两个大于1的实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】对于，若方程有两个大于1的实根， 可得，解得或， 设两个根分别为，由韦达定理得，， 则，可得，解得， 可得的取值范围是. 故答案为： 12．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，， 对于A：，即，故A正确； 对于B：，即，故B错误； 对于C：，已知， 当时，，此时，故C错误； 对于D：，已知， 当时，，此时，故D错误． 14．设，若、是方程的两相异实根，则有（   ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【详解】若取，则方程为，解得，，AB都错； 由题意可知，，则， 由韦达定理可得，， 所以，与的大小关系不确定，C错； ， 所以，，D对. 故选：D. 15．已知，下列选项中正确的选项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，易知时，，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取得等号，显然没有取等情况，故B错误. 对于C，因为，等号成立时，， 所以，故C错误； 对于D，因为，等号成立时，， 所以，故D正确． 故选：D 16．已知，若存在实数x，使得不等式成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角不等式可得， 因为存在实数x，使得不等式成立，所以， 两边平方得，所以， 所以，解得或， 可得a的取值范围是. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）设a，b都是正数. (1)证明：； (2)若，求的最小值. 【详解】(1)证明：由于a，b都是正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 所以；……（7分） （2）由于， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.……（14分） 18．（14分）已知关于x的不等式，． (1)若，求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求实数m的取值范围． 【详解】（1）当，不等式， 即 解得：或， 故的解集是． 即不等式的解集是；……（7分） （2）若，则，解得，此时符合题意； 若，二次函数开口向下，必然存在函数值小于0，此时符合题意； 若，二次函数开口向上， 若要不等式的解集非空，则需解得； 综上，的取值范围是．……（14分） 19．（14分）法国数学家弗朗索瓦·韦达1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系．发现一元二次方程，的根与系数有如下的关系：，，此即为韦达定理．韦达定理的逆定理仍成立：如果两个数，满足，，则这两个数，是方程，的两个根．例如：，，则，是方程的两个根．请根据上述材料解决以下问题． (1)已知，是两个不相等的实数，满足，，求的值． (2)已知实数，满足，，求的值． 【详解】（1）由题意，不相等的实数满足、， 因此是一元二次方程的两个不等实根. 根据韦达定理得，， 因此.……（6分） （2）令，，将已知条件变形可得 . 根据韦达定理逆定理，是一元二次方程的两个实根， 解方程得，，即有两组解和. 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时； 当时，是方程的根，判别式，符合题意， 此时. 综上，的值为46或65. ……（14分） 20．（18分）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额. (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由； (3)请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论.并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．” 【详解】（1）因为， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为， 则策略②购买的产品总量，总金额为.……（6分） （2）采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量， 则两次平均价格为， 因为，于是 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当 时，，采用策略②比采用策略①更经济.……（12分） （3）由（1）知，，且，当且仅当时取等号， 当时，由，得，即， 因此，当且仅当时取等号，则， 所以的最小值为2.……（18分） 21．（18分）对于实数，若，则称比更接近于．现已知都是正有理数． (1)证明：必在和之间； (2)试问和这两个数，哪一个更接近于？说明你的理由； (3)请你再写出一个有理数，使得它的值比和的值更接近于，并说明你的理由． 【详解】(1)证明：设（为正有理数），则需证在和（即）之间. 当时，计算得：， 因，则，故； 再计算得：，因， 故，即，从而； 当时，同理可得且，即， 综上，必在和之间.……（6分） （2）设，，比较与， 由（1）知，计算比值：， 因，故，即，即比更接近于；……（12分） (3)，理由为： 设，新数， 由（1）知，计算比值：， 则，因， 故，即，即比更接近于，故更接近.……（18分） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $