第一章 预备知识（单元分层自测·能力提升卷）数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦必修第一册第一章预备知识，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，全面考查集合、不等式等核心知识，注重数学抽象、逻辑推理与模型应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合表示与关系、充分必要条件、不等式性质|单选辨析集合同一性关系（如第1题），多选综合应用均值不等式（如第9题）| |填空题|3/15|真子集个数、不等式求解、命题真假|直接考查集合真子集计算（第12题）、不等式解集（第13题）| |解答题|5/77|不等式解法、集合运算、证明、实际应用|结合科技企业利润模型（第18题），体现数学建模与运算能力，强化逻辑推理（如第17题不等式证明）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 预备知识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 2．设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 3．下列结论不正确的有（    ）个 ①若，则     ②若，则 ③若，，则     ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 6．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．下列命题不正确的是（    ） A．，，则 B．的解集是全体实数 C．，则的最大值是 D．，，则 8．设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 10．若实数，满足，以下选项中正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的值不超过3 D．最小值为 11．已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．集合的真子集个数为__________． 13．不等式的解是__________. 14．设命题：，.写出一个实数___________，使得为真命题. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 16．（15分）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 17．（15分）（1）解不等式：； （2）已知，，求证. 18．（17分）某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 19．（17分）已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 预备知识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合；B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合；D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合 2．设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意.综上所述，. 3．下列结论不正确的有（    ）个 ①若，则     ②若，则 ③若，，则     ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】①当时，在不等式两边同除以,得，故①错误；②令，，满足，不成立，故②错误；③若，不等式两边同乘以负数，不等号方向改变，成立，故③正确；④由，则，故不成立，故④错误. 4．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】选项A中的两个集合不是同一个集合，集合中有两个元素，集合中只有一个元素，故A错误； 选项B中集合是点集，集合是数集，不是同一个集合，故B错误；选项C中的两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，故C正确；选项D中的两个集合都是点集，但是在平面直角坐标系中，点与点是不同的，故D错误． 5．判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B 【解析】对于（1），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的充分条件，故命题（1）是假命题；对于（2），不妨设，但此时有，所以“”不是“”的必要条件，故命题（2）是假命题；对于（3），不妨设，但此时，所以“”不是“”的充要条件，故命题（3）是假命题；对于（4），由于是无限不循环小数当且仅当是无限不循环小数，由无理数的定义可知“是无理数”是“是无理数”的充分必要条件，故命题（4）是假命题；对于（5），当时，有，所以“”是“”的充分条件，故命题（5）是真命题；综上所述：真命题的个数一共有1个. 6．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3． 7．下列命题不正确的是（    ） A．，，则 B．的解集是全体实数 C．，则的最大值是 D．，，则 【答案】C 【解析】A.，因为，，所以，则，则，故A正确；B.因为，恒成立，故B正确；C.因为，所以（当且仅当，即时取等号），则，所以的最小值是，故C错误；D.因为，，所以，则，即满足，故D正确. 8．设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】由，变形可得，，令，，则转化为，即，其中，当且仅当，即，时取等号，所以不等式恒成立，只需， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 【答案】BC 【解析】A选项，令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递增，故，故的最小值为，A错误；B选项，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，故函数最小值为，B正确；C选项，当时，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故，C正确；D选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，故，D错误. 10．若实数，满足，以下选项中正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的值不超过3 D．最小值为 【答案】ACD 【解析】解：∵，∴，即，当且仅当，即时，等号成立，∴的最大值为，故选项A正确，符合题意；， 当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为，故选项B错误，不符合题意；∵，∴，∴，即， ，当且仅当即时，等号成立， 因为，所以,故选项C正确；∵，∴， ∴，∵，∴，∴，∴，即最小值为，当且仅当时，等号成立，故选项D正确，符合题意. 11．已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A，，即，，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8，故A错误；对于B，由得，， 当时，结合，即时等号成立，故B正确；对于C，由，得，由，且，得，所以，故C错误； 对于D，由，两边平方后得，即，由A知， 所以，所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．集合的真子集个数为__________． 【答案】 【解析】,故真子集的个数为 13．不等式的解是__________. 【答案】 【解析】由可得：，即，解得：. 14．设命题：，.写出一个实数___________，使得为真命题. 【答案】(答案不唯一) 【解析】若正确，时,有解，时,则或，所以，综上，真，则，即中任取一个值都可以. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 15.解：（1）由，得不等式的解集为．.........4分 （2），得不等式的解集为或.........8分 （3）不等式等价于，解得，解集为..........13分 16．（15分）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 16.解：（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或；.........4分 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合..........8分 （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意；.........12分 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或..........15分 17．（15分）（1）解不等式：； （2）已知，，求证. （1）将不等式化为：， 即，解之得：或，.........5分 所以不等式的解集为或..........7分 （2）证明：因为，所以，.........8分 又因为，所以， 所以，所以,.........12分 所以， 所以..........15分 18．（17分）某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． （1）当时， ，.........4分 当时， ，.........8分 故；.........10分 （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元，.........12分 当时， （万元），.........15分 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元..........17分 19．（17分）已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. （1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根..........3分 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式，.........7分 则，即且. 综上所述，实数的取值集合.........9分 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集，.........11分 ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得..........15分 综上，可得， 即实数的取值范围是..........17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 预备知识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 2．设集合，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 3．下列结论不正确的有（    ）个 ①若，则     ②若，则 ③若，，则     ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在下列集合的表示中，集合与集合表示同一集合的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．判断下列命题的真假，其中真命题的个数是（    ） （1）“”是“”的充分条件； （2）“”是“”的必要条件； （3）“”是“”的充要条件； （4）“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件； （5）“”是“”的充分条件. A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 6．已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 7．下列命题不正确的是（    ） A．，，则 B．的解集是全体实数 C．，则的最大值是 D．，，则 8．设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列不等式正确的有（    ） A．若，则函数的最小值为2 B．函数最小值为 C．当 D．最小值等于4 10．若实数，满足，以下选项中正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的值不超过3 D．最小值为 11．已知（），则下列结论正确的是（    ） A．ab的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．集合的真子集个数为__________． 13．不等式的解是__________. 14．设命题：，.写出一个实数___________，使得为真命题. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 16．（15分）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 17．（15分）（1）解不等式：； （2）已知，，求证. 18．（17分）某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 19．（17分）已知命题为真命题.设实数的取值集合为， (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年必修第一册数学单元自测 第一章 预备知识·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C C B C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 BC ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13． 14．(答案不唯一) 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：（1）由，得不等式的解集为．.........4分 （2），得不等式的解集为或.........8分 （3）不等式等价于，解得，解集为..........13分 16.解：（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或；.........4分 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合..........8分 （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意；.........12分 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或..........15分 （1）将不等式化为：， 即，解之得：或，.........5分 所以不等式的解集为或..........7分 （2）证明：因为，所以，.........8分 又因为，所以， 所以，所以,.........12分 所以， 所以..........15分 （1）当时， ，.........4分 当时， ，.........8分 故；.........10分 （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元，.........12分 当时， （万元），.........15分 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元..........17分 （1）已知命题为真命题， 则关于的方程至少有一个实数根..........3分 当时：方程变为，存在实数满足方程，所以符合题意； 当时：至少有一个实数根的话，其判别式，.........7分 则，即且. 综上所述，实数的取值集合.........9分 （2）已知集合，，将集合写成， 因是的充分条件，则集合是集合的子集，.........11分 ①当集合为空集时，可得，符合题意； ②当集合不为空集时，则有,解得..........15分 综上，可得， 即实数的取值范围是..........17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $