第2章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第一册

第2章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 2．不等式的解为 ． 【答案】 【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解． 【详解】解：，即，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 3．若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值，再列式求出值. 【详解】依题意，，解得，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以的值为4. 故答案为：4 4．已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【分析】根据韦达定理可求参数的值，从而可得它们的乘积. 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 5．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据集合之间的包含关系和充分必要条件的对应关系，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】不等式的解为； 不等式的解为； 若“”是“”的充分不必要条件，有，可得． 经验证，符合题意， 故答案为：. 6．已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用代换1法,结合基本不等式求最小值即可. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：. 7．已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 8．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 9．已知，，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】由乘一法结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9. 10．已知关于x的不等式其中且，若该不等式的解集恰好为， 则 【答案】4 【分析】利用二次函数的对称性，结合值域和定义域相同，可得到，通过求解参数，再进行检验,即可得出结果. 【详解】由二次函数，所以， 因为，不等式的解集一定是两个区间，而不是一个区间， 所以， 而当时，因为二次函数关于对称， 所以不等式的解集中的端点值满足， 此时有，代入得， 解得或， 当时，与矛盾，故舍去； 当时，，此时满足题意，即； 故答案为：. 11．设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 【答案】 或或 【分析】由，及，可得，由可得，进而可得，分类结合可得. 【详解】若，则，故 因为，故， 因为，故，故，故， 若，则，又，故符合； 若，则，故，又，不符合，均舍； 若，则，故，又，故符合； 若，则，故，又，故符合； 综上，或或． 故答案为：，或或 12．记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意，， 则， 当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据新定义结合不等式性质求得. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 14．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】当时，不等式，解得，显然解集不是，不符合题意； 当，由不等式的解集为， 则，且方程时，， 解得， 即的取值范围为． 故选：A． 15．若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由变形得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由有，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：. 16．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先由题意及根与系数的关系得到，，可得解； （2）把不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 则是方程的两根， 所以， 故，此时； （2）， 解得：或， 所以不等式的解集为或. 18．设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由根的性质列方程求参数值即可； （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）由已知得，解得. （2）由已知得， 由整理得：， 的两根为. 当时，，解得； 当时，不等式为，的解集为； 当时，，解得. 综上， 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，的解集为 19．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 20．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)4045 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可； （3）由题意得到，，进而得到，从而求出最小值. 【详解】（1）由于，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. （3）由是的“下位序列”，得， 即，则， 由是的“下位序列”，得， 即，则， 所以， 则，又对集合内的每个均成立， 则， 所以正整数的最小值为4045. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不等式的性质求解. 21．若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. (1)若，求的取值范围； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，最小值为9， 【分析】（1）根据题意，分类讨论的取值范围解绝对值不等式即可得解； （2）根据题意，利用三角绝对值不等式即可得解； （3）根据题意，利用绝对值的几何意义分析得绝对值的最小值，从而得解. 【详解】（1）依题意，得， 当时，，解得，故； 当时，，故； 当时，，解得，故； 综上：. （2）依题意，得对一切实数恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. （3） 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和， 要想距离之和最小，其中时，取得最小值， 当时，取得最小值，当时，取得最小值， 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为9. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 等式与不等式（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．不等式的解集为 ． 2．不等式的解为 ． 3．若正数满足，且的最小值是16，则的值为 . 4．已知不等式的解集为，则实数 ． 5．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 6．已知，，，则的最小值为 ． 7．已知，则代数式的取值范围为 ． 8．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 9．已知，，且，则的最小值是 . 10．已知关于x的不等式其中且，若该不等式的解集恰好为， 则 11．设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 12．记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 14．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 16．若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．若不等式的解集为 (1)求，b，c之间的关系，并判断的正负； (2)求关于的不等式的解集. 18．设函数. (1)若的两根分别为和1，求实数a，b的值； (2)若，解关于的不等式. 19．设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 20．对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 21．若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. (1)若，求的取值范围； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $