专题 二次函数专题训练（9大考点）2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以“概念-图像-性质-应用”为逻辑主线，系统覆盖二次函数核心考点，通过分层题型培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念|4题|定义辨析与系数识别|从基础概念构建认知起点| |图像性质|15题|一系双图辨析、点坐标比较、a/b/c关系推理|通过图像直观理解性质，培养几何直观| |表达式与交点|9题|解析式确定、坐标轴交点计算|衔接方程思想，强化代数推理| |实际应用|11题|最值问题、运动轨迹建模|运用模型意识解决现实问题，体现应用价值|

二次函数专题训练 ◆课标要求◆ 1.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质 2.知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3.知道二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 4通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义： 5会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题 ◆目录◆ 类型1二次函数的概念 类型2 一系双图 类型3 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、增减性） 类型4 二次函数图像上点的大小比较 类型5二次函数图像与a、b、c的关系 类型6 二次函数表达式的确定 类型7二次函数与坐标轴的交点问题 类型8 二次函数与一元二次方程的关系 类型9二次函数的实际应用 类型1二次函数的概念 1.(26-27九年级上·全国单元复习)下列函数中，一定是二次函数的是() A.y=x(x-1) B.y=(x+4)2-x C.y D.y=ax2+6 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)若函数y=a(a+1)x2+1是关于x的二次函数，则a的值不可能是() A.-2 B.-1或0 C.1 D.4 3.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知二次函数y=2-3x+x2,则其二次项系数4、一次项系数b、常 数项c分别为() A.a=2,b=-3,c=1 B.a=2,b=3,c=1 C.a=1,b=3,c=2 D.a=1,b=-3,c=2 4.（25-26九年级上·新疆哈密·期中)已知函数y=(m+2)xm-2是二次函数，则m等于() A.+2 B.2 C.-2 D.±2 试卷第1页（共12页） 类型2一系双图 5.(26-27九年级上·全国·课后作业)函数y=2和y=-+a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能 为() 6.(25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=-mx+1与二次函数 y=x2+的图象可能是() …年 7.（(25-26九年级上·广西崇左·阶段检测)二次函数y=m2与一次函数y=-x(a≠0)在同一坐标系中的图 像大致是() . 8.(25-26九年级上山西太原·阶段检测)在同一坐标系中，一次函数y=+1与二次函数y=x-α的图 象可能是() 试卷第2页（共12页） 类型3二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、开口方向、最值） 9.(26-27九年级上·全国·课后作业)二次函数y=-(x+1)的最大值是() A.-2 B.-1 C.1 D.0 10.(26-27九年级上·全国·课后作业)在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（) A.y=(x+2)-3B.y=x2-2 C.y=-2x2 D.y=(c-2)2+3 11.(26-27九年级上·全国课后作业)关于函数y=4x2的性质，下列表述正确的是() A.它的图象的顶点坐标为(0,1) B.它的图象关于y轴对称 C.当x的值增大时，y的值也增大 D.它的图象在第一、三象限内 12.(26-27九年级上·全国·课后作业)若一次函数y=m+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0)，则 抛物线y=ax2+br的对称轴为() A.直线x=1 B.直线x=-2 C.直线x=-1 D.直线x=4 13.(25-26九年级下·辽宁大连期末)函数y=(m-2)xm-2+m是二次函数，则它的图象() A.开口向上，对称轴为y轴 B.开口向下，顶点在x轴上方 C.开口向上，与x轴无交点 D.开口向下，与x轴无交点 14.(2026·浙江绍兴·模拟预测)若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，顶点坐标为(2，-3)，则二次函数 y=a2+bx+c有() A.最小值-3 B.最大值-3 C.最小值2 D.最大值2 试卷第3页（共12页） 15.(26-27九年级上·全国单元复习)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)部分x,y的对应 值如表： 则下列判断中正确的是() A.函数图象的开口向下 B.当x>2时，y随x的增大而增大 C,y有最大值为- D.y有最小值为-1 16.(2026甘肃兰州中考真题)已知二次函数y=-x+6x+1,下列结论正确的是 (填序号) ①函数图象与y轴的交点坐标是(0,1)；②函数图象的对称轴是直线x=3: ③当x>3时，y随x的增大而增大；④当x=3时，函数的最大值是10. 类型4二次函数图像上点的大小比较 17.(26-27九年级上全国课后作业)已知点A(-3,),B(-1,为)，C(2,y)都在抛物线y=x2上，则，2，为 3 的大小关系是() A.<y2<3 B.V3<v<v C.y<3<y2 D.y<y3<y 18.(25-26九年级浙江温州学业考试模拟)点A(:,),B(5,乃)，C(,)是抛物线y=x2-4x+√2上 的三个点，若<2<3，则x,x,的值可以为() A.0,2,4 B.1,3,4 C.1,4,5 D.1,2,4 19.(26-27九年级上浙江杭州·开学考试)已知二次函数y=a(x-a)+x-a的图象上有三点(a+1,), (a+2),（a-3,y3),则，，y3的大小关系不可能是() A.3>y2> B.y3>> C.y2>y>y3 D.y>y2>y3 类型5二次函数图像与a、b、c的关系 20.（26-27九年级上·全国·课后作业)已知某二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，下 试卷第4页（共12页） 列结论中正确的有() VA X= ①bc<0:②a-b+c<0:③a=-b :④8a+c>0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac<0;②3a+c=0:③当x>-1时，y随x的 增大而减小.其中正确的有() A.0个 B.3个 C.2个 D.1个 22.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图，有下列结论：①bc>0: ②8a+c>0:③9a+3b+c<0,其中正确的有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 23.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点A(3,0),二次函数的对称轴为x=1,给出 下列结论：①b2>4c:②abc<0；③2a+b=0；④a+b+c=0;⑤当-1<x<3时，y<0,其中正确的 结论有() V A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 试卷第5页（共12页） 类型6二次函数表达式的确定 24.(26-27九年级上·全国·课后作业)已知抛物线y=ax2+bx+c过1,0)，(2,0)，(3,4)三点，则该抛物线的解 析式为(). A.y=x2-3x+2 B.y=2x2-6x+4 C.y=2x2+6x-4 D.y=x2-3x-2 25.(25-26九年级上河北邢台·期末)将抛物线y=-3x2平移，得到抛物线y=-3(x+1)-2,下列平移方 式中，正确的是() A.先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B.先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C.先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D.先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 类型7二次函数与坐标轴的交点问题 26.(26-27九年级上全国单元复习)抛物线y=】(2x-1)(x+3)与x轴的两个交点之间的距离是() 7 A.2 B.2 C. D.4 27.（26-27九年级上·全国·课后作业)抛物线y=-x2+x+1与坐标轴的公共点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 28.(26-27九年级上·全国课后作业)在平面直角坐标系中，抛物线y=2x-1与x轴的交点的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 29.（2026四川乐山·二模)二次函数y=x2-5x+6与x轴的交点坐标是（) A.(2,0),(30) B.（-2,0),(-3,0) C.(0,2),(0,3) D.(0,-2),(0,-3) 30.(25-26九年级上·陕西安康·期中)已知二次函数y=x2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围 是() A.k>-7 B.k>-2且k≠0 4 4 试卷第6页（共12页） C.k≥-7 4 D.k≥-7且k≠0 1 31.(26-27九年级上全国周测)若一元二次方程x+:+c=0的根分别为=2,5=方则二次函数 y=2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别是 32.(26-27九年级上·全国·课后作业)若函数y=(k+3)x2+2x+1的图象与坐标轴至少有两个交点，则k 的取值范围为· 类型8二次函数与一元二次方程的关系 33.(26-27九年级上·全国·周测)根据表格中的对应值，判断关于x的方程2+bx+c=0的一个解x的取 值范围是( 3 ax2+bx+c 0.5 -0.5 -1 A.x<3 B.x<4 C.4<x<5 D.3<x<4 34.(2026年山东省威海市荣成市石岛湾中学九年级五月考前练习数学试题)若抛物线y=a2+b.x+c与x轴 交于点A(-1,0),顶点坐标为(1，)，与y轴的交点在点(0,2)与点(0,3)之间（包含端点），则下列结论： ①3a+b<0: ②-1sas-2 3 ③对于任意实数m,a+b≥a2+b总成立： ④关于x的方程m2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根. 其中结论正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 35.(26-27九年级上·全国周测)如图，抛物线y=a2+bx+c的对称轴为x=1,与x轴分别交于点(m,0), (n,O),且m<n.下列结论：①abc<0;②at+bt<a+b(t为实数)：③当x<2时，y随x的增大而增 大；④若方程a2+bx+c-1=0的两个实数根分别为x,3,且x<x2,则m<x<x<n,正确的有() 试卷第7页（共12页） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 36.(25-26九年级上·福建宁德.阶段检测)已知二次函数y=ax2+bx+c,函数y与自变量x的部分对应值 如表， -1 0 1 2 y 3 6 7 6 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数y=ax+bx+c的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设y=a(x+1)+7； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=6的两个根为0或2： ④若y>3,则-1<x<3. 以上结论正确的是 类型9二次函数的实际应用 37.（26-27九年级上·全国·课后作业)如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的 光线最多，选择窗子的高AB(木条粗细忽略不计)为() B A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 38.(26-27九年级上·全国·单元复习)水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h(米)与时间t (秒)之间的函数关系式为h=4t-t2.当水火箭达到最高点时，其运动时间为() A.1秒 B.2秒 C.3秒 D.4秒 39.(26-27九年级上·全国单元复习)如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线， 出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为() 试卷第8页（共12页） Ah/米 t/秒 A.4-26 B.8 C.4+2√6 D.9 40.(26-27九年级上·全国课后作业)小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感设计了一款杯子，如图 为杯子的设计稿，若AB=4,DB=3,则杯子的高CE为() B A.14 B.11 C.6 D.3 41.(26-27九年级上·全国·课后作业)廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已 知抛物线的函数表达式为y=- x+10,为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C,D 40 两处安装警示灯，则警示灯D离水面AB的距离为 米. B 42.(26-27九年级上·广西南宁.开学考试)综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图.甲、乙、丙三人在表演“踢 枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线 的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点). 地面 (图1) (图2) (1)如图2，甲站在地面的点O处，从距离地面0.6m高的点A踢出花枪，点A与点O的水平距离是1m,花 试卷第9页（共12页） 枪飞行到与O点水平距离6m的C处达到最高，高度为2.6m. ①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到 点O的水平距离为m,求y关于x的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点O水平距离m处接花枪，能接到的高度最大为2.1m,最小为0.6m,求d的 取值范围， (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度与时间ts之间的 关系式是h=-0.2t+1.2t(t>0),丙在距花枪落地点7.2m处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度. 43.(26-27九年级上·全国·周测)某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天 的销售量y(件)与销售单价x（元)满足y=-10x+400,设销售这种商品每天的利润为p（元). (1)直接写出w与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求w的最大值， 试卷第10页（共12页） 44.(2026·江苏宿迁·中考真题)投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.如图，某人掷铅 球时，铅球距地面的高度y(0m叫与距投掷点的水平距离x(叫)之间的函数表达式为y=2+4x+2a<0). 5 ◆/m x/m (1)当投掷的距离为8m时，求a的值； (2)当5<x<6时，铅球处于下落状态，求a的取值范围： (3)当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m,求a的值. 试卷第11页（共12页) 45.(25-26九年级上·陕西安康·期中)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中 的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6，若以点O为 原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1的B处将沙包抛出，其 运动轨迹为抛物线C:y=a(x-3)+2的一部分，小静恰在点C(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运 动轨迹为抛物线C,:y=-】x2+”x+c+1的一部分. 8 8 Ay/m C C B x/m 图1 图2 (1)求a,c的值. (2)小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小 静的回传沙包，求n的整数值. 试卷第12页（共12页） 二次函数专题训练 ——————————————◆课标要求◆—————————————————— 1.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质. 2.知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.知道二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 4.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 5.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. ————————————————◆目录◆———————————————————— 类型1 二次函数的概念 类型2 一系双图 类型3 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、增减性） 类型4 二次函数图像上点的大小比较 类型5 二次函数图像与a、b、c的关系 类型6 二次函数表达式的确定 类型7 二次函数与坐标轴的交点问题 类型8 二次函数与一元二次方程的关系 类型9 二次函数的实际应用 类型1 二次函数的概念 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 类型2 一系双图 5.（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图像大致是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 类型3 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、开口方向、最值） 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 10.（26-27九年级上·全国·课后作业）在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 13.（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 14．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 15.（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 16．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 类型4 二次函数图像上点的大小比较 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 19．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 类型5 二次函数图像与a、b、c的关系 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 23．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型6 二次函数表达式的确定 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·河北邢台·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 类型7 二次函数与坐标轴的交点问题 26．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 27.（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 29．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 30．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 31．（26-27九年级上·全国·周测）若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 32．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 类型8 二次函数与一元二次方程的关系 33．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 34.（2026年山东省威海市荣成市石岛湾中学九年级五月考前练习数学试题）若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 类型9 二次函数的实际应用 37.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 38．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 39.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 40．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 42．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 43．（26-27九年级上·全国·周测）某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 44．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 45．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数专题训练 ——————————————◆课标要求◆—————————————————— 1.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质. 2.知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.知道二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 4.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义； 5.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. ————————————————◆目录◆———————————————————— 类型1 二次函数的概念 类型2 一系双图 类型3 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、增减性） 类型4 二次函数图像上点的大小比较 类型5 二次函数图像与a、b、c的关系 类型6 二次函数表达式的确定 类型7 二次函数与坐标轴的交点问题 类型8 二次函数与一元二次方程的关系 类型9 二次函数的实际应用 类型1 二次函数的概念 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）下列函数中，一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确二次函数的定义：形如（，、、为常数）的函数是二次函数，以此为判断依据．对每个选项的函数表达式进行化简，整理为最简形式．逐一对照二次函数定义判断：如果化简后最高次为二次且二次项系数不为0，那么是二次函数，否则不是． 【详解】解：对选项A，，是二次函数． 对选项B，，是一次函数，不是二次函数． 对选项C，是分式，不是整式，故不是二次函数． 对选项D，当时，是常数函数，不一定是二次函数． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数是关于x的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．或0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义知，，解得的值，在选项中逐个排除即可． 【详解】解： 函数是关于的二次函数， ． 且． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将二次函数按的降幂排列，得， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 4．（25-26九年级上·新疆哈密·期中）已知函数是二次函数，则m等于（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴且， ∴． 类型2 一系双图 5.（26-27九年级上·全国·课后作业）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，当时，当时，结合二次函数图象，一次函数图象经过的象限判定即可求解． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 二次函数的图像开口向上； 当时，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限， 二次函数图象开口向下； 综上所述，D选项符合题意． 6．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 7.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）二次函数与一次函数在同一坐标系中的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与二次函数的图像的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图像与性质． 分析每个选项中一次函数与二次函数的的符号与图像的关系即可． 【详解】解：A．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向下，错误； B．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向上，正确； C．由一次函数解析式可得图像过原点，但是选项中一次函数图像未经过原点，故错误； D．由一次函数的图像可得：，此时二次函数的图像应该开口向上，错误． 故选：B． 8．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质，分情况讨论是解题的关键．根据一次函数和二次函数的性质，讨论：和的情况． 【详解】解：当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是上升的；抛物线开口向上，顶点在轴负半轴，A选项符合题意，选项B、C、D都不符合题意； 当时，直线经过轴正半轴点，图形从左到右是下降的；抛物线开口向上，顶点在轴正半轴，选项A、B、C、D都不符合题意； 综上，A选项正确． 故选：A． 类型3 二次函数的基本性质（顶点坐标、对称轴、开口方向、最值） 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解：， ， 当时，取得最大值． 10.（26-27九年级上·全国·课后作业）在下列二次函数中，其图象的对称轴在y轴左侧的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数顶点式的对称轴与的对应关系，判断各选项对称轴是否在轴左侧． 【详解】解：A选项，的对称轴为直线，在轴左侧，符合题意； B、C选项对应的二次函数对称轴均为轴，不符合题意； D选项，的对称轴为直线，在轴右侧，不符合题意． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于函数的性质，下列表述正确的是（     ） A．它的图象的顶点坐标为 B．它的图象关于y轴对称 C．当x的值增大时，y的值也增大 D．它的图象在第一、三象限内 【答案】B 【分析】利用型二次函数的基本性质判断各选项. 【详解】解：函数的顶点坐标为，故A错误； 对称轴为轴，图象关于轴对称，故B正确； 当时，随增大而减小，故C错误； ，，图象在第一、二象限及原点，故D错误. 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 13.（25-26九年级下·辽宁大连·期末）函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 14．（2026·浙江绍兴·模拟预测）若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 15.（26-27九年级上·全国·单元复习）二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 16．（2026·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 类型4 二次函数图像上点的大小比较 17．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知点都在抛物线上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， . 18．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 19．（26-27九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察三点横坐标的特点，代入解析式可直接得到，，关于的表达式，通过找两两相等的临界点分区间讨论大小关系，判断不可能的选项． 【详解】解：将三点横坐标分别代入函数解析式得： ， ， ， 令，解得； 令，解得； 令，解得， 结合二次函数，分区间讨论： 当时，，选项D成立； 当时，，选项C成立； 当时，，无对应选项； 当时，，选项A成立； 故不可能，答案为B． 类型5 二次函数图像与a、b、c的关系 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 21.二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 22．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 23．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 类型6 二次函数表达式的确定 24．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知抛物线过三点，则该抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知抛物线与轴交于两点，设交点式代入第三点求解更简便． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线解析式为， 将代入解析式，得， 解得， ∴． 25．（25-26九年级上·河北邢台·期末）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 类型7 二次函数与坐标轴的交点问题 26．（26-27九年级上·全国·单元复习）抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：令，得； ∵， ∴或， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点为，， ∴两交点之间的距离为． 27.（26-27九年级上·全国·课后作业）抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】令，转化为一元二次方程，利用根的判别式，求解即可． 【详解】解：令，得， ， ∴抛物线与x轴有2个交点． 29．（2026·四川乐山·二模）二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 30．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 31．（26-27九年级上·全国·周测）若一元二次方程的根分别为，，则二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是_______________． 【答案】和/和 【分析】一元二次方程的根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，轴上点的纵坐标为，据此可直接写出交点坐标． 【详解】解：∵一元二次方程的两根是，，一元二次方程的两根就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，且轴上点的纵坐标为， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 32．（26-27九年级上·全国·课后作业）若函数的图象与坐标轴至少有两个交点，则k的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，函数值恒为，函数图象一定与轴交于，只需分一次函数和二次函数两种情况，讨论函数与轴的交点，满足至少存在一个交点即可． 【详解】解：当时，， 函数图象一定与轴有个交点， 函数图象与坐标轴至少有两个交点， 函数与轴至少有个交点， 分两种情况讨论： ①函数为一次函数时，二次项系数为，即，解得， 此时函数解析式为，与轴有一个交点，与坐标轴共两个不同交点，符合要求； ②函数为二次函数时，，即， 二次函数与轴至少有一个交点，需满足判别式， 其中，，， ， ， ， ， 或， 综上可知， 的取值范围为． 类型8 二次函数与一元二次方程的关系 33．（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 34.（2026年山东省威海市荣成市石岛湾中学九年级五月考前练习数学试题）若抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在点与点之间（包含端点），则下列结论： ①； ②； ③对于任意实数，总成立； ④关于的方程有两个不相等的实数根． 其中结论正确的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由顶点横坐标推出，结合抛物线过得到与的关系，再由y轴交点范围确定的取值范围，进而逐一判断各结论． 【详解】解：∵ 抛物线顶点坐标为， ∴ 对称轴为直线， ∴ ． ∵ 抛物线过点， ∴ ， 将代入得， ∴ ． ∵ 抛物线与y轴交点在点与点之间（包含端点）， ∴ ， 将代入得，解得，故②正确； ① ， ∵ ， ∴ ，故①正确； ③ ∵ 抛物线开口向下，顶点为， ∴ 当时，函数取得最大值为， ∴ 对任意实数，有， 两边减得，故③正确； ④ ∵ 函数最大值为， ∴ 直线与抛物线仅有1个交点， ∵ ， ∴ 直线与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，故④正确． 35．（26-27九年级上·全国·周测）如图，抛物线的对称轴为，与x轴分别交于点，，且．下列结论：①；②（t为实数）；③当时，y随x的增大而增大；④若方程的两个实数根分别为，，且，则，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据开口方向可得a的符号，根据与y轴的交点位置可得c的符号，再根据对称轴公式可得b的符号，据此可判断①；根据开口方向可得当时，函数有最大值，最大值为，则可得到，据此可判断②；根据对称轴和开口方向可得增减性，据此可判断③；根据顶点的纵坐标，结合离对称轴越远，函数值越小可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值，最大值为， ∴，即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故③错误； ∵方程的两个实数根分别为，， ∴当时，或， ∵抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵抛物线的顶点的纵坐标为2，且， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有①④，共2个． 36．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④/④③ 【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【详解】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 类型9 二次函数的实际应用 37.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 38．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 39.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 40．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 41．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 42．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 43．（26-27九年级上·全国·周测）某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． (1)直接写出与x之间的函数关系式. (2)若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据利润(售价-进价) 售量，代入数据化简即可得与x之间的函数关系式. （2）根据（1）的解析式，进一步配方后，结合二次函数性质即可得此抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据的取值范围即可得出时， 元，即可得答案. 【详解】（1）解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. （2）解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. 44．（2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 45．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $