第26章二次函数6大考点集训- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 围绕二次函数6大考点，以“概念-性质-应用-综合”递进逻辑设计，覆盖选择、填空、解答题，典例精选近年模拟题，突出知识系统性与解题能力梯度，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数的定义|4选择|概念辨析|从解析式形式抽象二次函数定义，夯实基础| |图象和性质（y=ax²等）|4填空|性质应用|结合图象理解开口、顶点、对称轴，发展几何直观| |图象和性质（y=ax²+bx+c）|4解答|综合性质|通过含参计算深化对称轴、最值推理，提升运算能力| |与一元二次方程|4解答|方程思想|建立函数与方程联系，强化根的判别式应用| |与实际问题|4解答|建模应用|以利润、抛物线模型为例，培养数据观念与应用意识| |二次函数综合|4解答|探究创新|融合动态、最值等，发展批判性思维与创新意识|

第26章二次函数6大考点集训-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 考点汇总 考点一：二次函数的定义 考点二：二次函数y=ax²、y=a（x-h）²+k的图象和性质 考点三：二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点四：二次函数与一元二次方程 考点五：二次函数与实际问题 考点六：二次函数综合 考点集训 考点一：二次函数的定义 1．（2026春•浦东新区校级期中）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 2．（2026春•绿园区校级期末）下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝2x2﹣x3+25 B．y＝22+2x C．y＝3x2﹣12 D． 3．（2026春•江北区校级期中）若函数是关于x的二次函数，则m为（　　） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0 4．（2026•泗阳县一模）函数y＝xm+1是关于x的二次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 考点二：二次函数y=ax²、y=a（x-h）²+k的图象和性质 5．（2026•鼓楼区一模）写出一条抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，共有的性质：　 　 ． 6．（2026春•黄石月考）写出一个开口向下，顶点坐标是（1，2）的二次函数解析式 　 　 ． 7．（2025秋•高新区校级期末）抛物线y＝ax2与抛物线y＝3x2相比开口小，那么a＝　 　 （请写出一个符合条件的a值）． 8．（2025秋•苏州期末）二次函数y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是　 　 ． 考点三：二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 9．（2025秋•河东区期末）二次函数y＝x2﹣2mx（m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1），点B（m﹣1，y2）． （1）若m＝4，求抛物线的顶点坐标； （2）若存在实数k，使得y2﹣1＝k（y1﹣1），且1＜k＜2，求m的取值范围； （3）当m﹣1≤x≤2m+1时，随着x增大，y先减小再增大，y的最大值与y的最小值的和为，求m的值． 10．（2026•建邺区二模）已知二次函数y＝x2+bx+2的图象经过点（1，﹣1）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）若该函数的图象向右平移3个单位长度后经过点（2，m），求m的值． 11．（2026•同安区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点A（m，n），B（5﹣m，n）． （1）求b+5a的值； （2）已知该二次函数的最小值为，若P（x1，t），Q（x2，t）为该二次函数图象上不同的两点，且t≠0，求证：． 12．（2026•上城区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）． （1）求a与b的关系式． （2）若a＜0，当﹣1≤x≤4时，函数y的最大值与最小值之差为9，求a的值． （3）在（2）的条件下，若点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上，且﹣9＜n≤m，求t的取值范围． 考点四：二次函数与一元二次方程 13．（2025秋•淄博期末）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）若c＝﹣3，且二次函数象经过点（﹣1，﹣2），求函数顶点坐标； （2）若b+c＝﹣3， ①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点； ②若b＞c，点A（m，n）在该二次函数图象上，当﹣3≤m≤1时，n的最小值是﹣6，求b的值． 14．（2025秋•高青县期末）已知二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）． （1）求证：无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点； （2）若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，求它与x轴的交点坐标． 15．（2026•楚雄市二模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣5a（a，b是实数，a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点． （2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（2，1），求b2﹣2a的最小值． 16．（2026•哈密市模拟）已知二次函数y＝mx2+4mx﹣5m（m为非零常数）经过点（﹣1，﹣8）． （1）求m的值； （2）若原二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求S△ABC的值； （3）当﹣3≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差． 考点五：二次函数与实际问题 17．（2026•南充模拟）为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据： x（单位：万条） 200 300 y（单位：万元） 700 860 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）． 18．（2026•合阳县二模）某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度OA为10米，最高点到水平地面OA的距离为4米，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在拱门上悬挂一条横幅MN，MN∥x轴，MN＝4米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅MN（宽度忽略不计）到地面的距离． 19．（2026•榆林模拟）如图1是某图书馆阅览区的大门，其外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，点O、A为抛物线与地面的交点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），米，抛物线的最高点到OA的距离为米，管理员计划在门外墙壁上固定两个矩形区域（图中阴影部分），分别作为规章制度牌和功能标识牌、已知规章制度牌（矩形BCDH）的顶点B在抛物线上，BC∥OA，米，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，图中所有的点与线都在同一平面内． （1）求该抛物线大门的函数表达式； （2）若规章制度牌的最高处到地面OA的距离不大于2米，则视为方便读者阅览，已知点B到y轴的距离为2米，计算并判断该规章制度牌是否方便读者阅览？ 20．（2026•新疆三模）如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m、宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 考点六：二次函数综合 21．（2026春•南通期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）． （1）若a＝1，求此函数与x轴的交点坐标； （2）对于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0），当a＜0，﹣2≤x≤7时，y的最大值与最小值的差为5，求a的值； （3）将y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）在﹣2≤x≤7间的图象记为G，若图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点，请求出a的取值范围． 22．（2026•莘县校级模拟）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A（1，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）求直线BC对应的函数表达式； （3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值． 23．（2026•顺德区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx经过点（2，0）． （1）求抛物线的对称轴方程； （2）若a＝﹣1，点A（x1，y1）和B（x2，y2）分别在抛物线y＝ax2+bx和y＝x2﹣（4t﹣2）x上（A，B与原点都不重合）． ①当x1＝x2，且1≤x1≤2时，y2﹣y1的最小值为﹣1，求t的值； ②当x1y2＝2x2y1时，若是一个与x1无关的定值，求t的值． 24．（2026•邯山区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为点M，抛物线的顶点为点N． （1）求抛物线L1的解析式及顶点M的坐标； （2）第一象限内一点D到x轴的距离为8，当抛物线L2经过点M时，点D也恰好落在L2上，求点D的坐标； （3）记抛物线L1与L2相交于点P，直线CP与L2的另一个交点为Q． ①试说明点Q的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线MN，当直线CP与直线MN交于点Q时，直接写出k的值． 第26章二次函数6大考点集训-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 参考答案与试题解析 1．【解答】解：A、不是整式，故此选项不符合题意； B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意； C、y是二次函数，故此选项符合题意； D、不是整式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．【解答】解：根据二次函数的概念逐项分析判断如下： y＝2x2﹣x3+25，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； y＝22+2x，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； y＝3x2﹣12，符合y＝ax2+bx+c（a≠0）形式，且a＝3≠0，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 3．【解答】解：由已知可得m﹣2≠0，m2﹣2＝2， 解得：x＝﹣2． 故选：C． 4．【解答】解：∵函数y＝xm+1是关于x的二次函数， ∴m+1＝2， ∴m＝1． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 5．【解答】解：∵三条抛物线的解析式均为y＝ax2的形式， ∴二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）， 故答案为：顶点坐标为（0，0）（答案不唯一）． 6．【解答】解：抛物线y＝a（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）， 当a＜0时，抛物线开口向下， 取a＝﹣1，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2， 故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）． 7．【解答】解：根据题意可知|a|＞3， ∴可取a＝4， 故答案为：4（答案不唯一）． 8．【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象的顶点坐标是（2，3）． 故答案为（2，3） 9．【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣2mx（m≠0）的图象经过点A（2m+1，y1），点B（m﹣1，y2） 若m＝4，则y＝x2﹣8x＝（x﹣4）2﹣16， ∴顶点坐标（4，﹣16）； （2）把x＝2 m+1代入得，， 把x＝m﹣1代入得，， ∵y2﹣1＝k（y1﹣1）， ∴， ∵1＜k＜2， ∴， ∴﹣4＜m＜﹣2； （3）∵对称轴为， ∴当m﹣1≤x≤2m+1时，随着x的值增大，y的值先减小再增大， ∴点B（m﹣1，y2）在对称轴x＝m的左侧，点A（2m+1，y1）在对称轴x＝m的右侧， ∴当x＝m时，y的最小值是﹣m2， 若2m+1﹣m＞m﹣（m﹣1），即m＞0，y的最大值是2m+1， ∴． 解得，（舍去）， 若2m+1﹣m＜m﹣（m﹣1），即﹣1＜m＜0，y的最大值是1﹣m2， ∴， 解得，（舍去）， 综上，m的值是或． 10．【解答】解：（1）将点（1，﹣1）代入y＝x2+bx+2得， 1+b+2＝﹣1， 解得b＝﹣4， 所以二次函数解析式为y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， 所以该函数图象的顶点坐标为（2，﹣2）； （2）由题知， 将该函数的图象向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为y＝（x﹣5）2﹣2， 将点（2，m）代入函数解析式得， m＝7， 所以m的值为7． 11．【解答】解：（1）由题意可得：A（m，n），B（5﹣m，n）关于对称轴对称， ∴， ∴b＝﹣5a， ∴b+5a＝﹣5a+5a＝0； （2）证明：已知该二次函数的最小值为， ∵b＝﹣5a， ∴， 由于二次函数有最小值， ∴a＞0，且， 解得a＝1或a＝﹣26（舍去）， ∴y＝x2﹣5x+6， P（x1，t），Q（x2，t）为该二次函数图象上不同的两点， ∴x1、x2是方程x2﹣5x+6＝t的两个根， ， ∴， 且x1+x2＝5，x1x2＝6﹣t， ， 化简得原式， ∵， ∴． 12．【解答】≤解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象与y轴交于点（0，﹣1），且过点（2，﹣1）， ∴1， ∴b＝﹣2a； （2）由（1）可知y＝ax2﹣2ax﹣1， ∵a＜0，对称轴为直线x＝1， ∴当﹣1≤x≤4时，x＝1时，函数y有最大值为a﹣2a﹣1＝﹣a﹣1，x＝4时，y有最小值为16a﹣8a﹣1＝8a﹣1， ∵最大值与最小值之差为9， ∴﹣a﹣1﹣（8a﹣1）＝9， ∴a＝﹣1； （3）由（2）知y＝﹣x2+2x﹣1，对称轴x＝1 x＜1，n＞m，x≥1，n≤m，x＝1，y＝0 ∵点M（t，m），点N（t+1，n）两点在该函数图象上， ∴m＝﹣t2+2t﹣1，n＝﹣（t+1）2+2（t+1）﹣1＝﹣t2， ∵﹣9＜n≤m， ∴﹣9＜n≤m≤0 ∴﹣9＜﹣t2≤﹣t2+2t﹣1≤0， ， 解得t＜3． 13．【解答】（1）解：∵c＝﹣3，且二次函数象经过点（﹣1，﹣2）， ∴c＝﹣3，和（﹣1，﹣2）代入y＝x2+bx+c中 ∴（﹣1）2﹣b﹣3＝﹣2，解得b＝0， ∴y＝x2﹣3， ∴顶点坐标为（0，﹣3）； （2）证明：①∵b+c＝﹣3， ∴c＝﹣3﹣b， ∴y＝x2+bx+c＝x2+bx﹣3﹣b， ∵Δ＝b2﹣4×1×（﹣3﹣b）＝b2+4b+12＝（b+2）2+8＞0， ∴二次函数的图象和x轴有两个交点； ②解：∵点A（m，n）在该二次函数y＝x2+bx+c＝x2+bx﹣3﹣b的图象上， ∴n＝m2+bm﹣3﹣b＝（m）2b﹣3， ∵b＞c， ∵c＝﹣3﹣b， ∴b＞﹣3﹣b， ∴b， ∴， ∵当﹣3≤m≤1时，n的最小值是﹣6， ∵n＝（m）2b﹣3，开口向上，对称轴是直线：m， ∴当﹣3，即b≤6， 当m时，n取最小值﹣6， ∴﹣6， 整理得b2+4b﹣12＝0，解得b1＝2，b2＝﹣6， 当3，即b＞6时，当m＝﹣2时，n有最小值﹣6， ∵n＝m2+bm﹣3﹣b， ∴﹣6＝4﹣2b﹣3﹣b，解得b6，不符合题意，舍去， 综上所述，b的值为2或﹣6． 14．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）， ∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×[﹣（2k+1）] ＝4k2+8k+4 ＝4（k2+2k+1） ＝4（k+1）2， ∴Δ＝4（k+1）2≥0， 即无论k为何值时，该二次函数的图象与x轴都有交点． （2）∵y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数y＝x2﹣2kx﹣（2k+1）图象的对称轴为直线x＝1， ∴k＝1， 即y＝x2﹣2×1×x﹣（2×1+1）＝x2﹣2x﹣3， 依题意，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴它与x轴的交点坐标分别为（3，0），（﹣1，0）． 15．【解答】（1）证明：令y＝0，得一元二次方程ax2+bx﹣5a＝0， Δ＝b2﹣4•a•（﹣5a）＝b2+20a2， ∵a≠0， ∴a2＞0， ∴20a2＞0， 又∵b2≥0， ∴b2+20a2＞0，即Δ＞0， ∴函数的图象与x轴一定有两个不同的交点； （2）解：∵图象过点（2，1）， ∴1＝4a+2b﹣5a，即a＝2b﹣1， ∵x≥0时，总有y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向下，且对称轴在y轴左侧或与y轴重合，即a＜0，且对称轴， ∴b≤0， 将a＝2b﹣1代入b2﹣2a，得 b2﹣2a＝b2﹣2（2b﹣1）＝b2﹣4b+2＝（b﹣2）2﹣2， ∵二次项系数1＞0，开口向上，对称轴为b＝2， ∴当b≤2时，b2﹣2a的值随着b的增大而减小， 又∵b≤0， ∴当b＝0时，b2﹣2a有最小值，最小值为（0﹣2）2﹣2＝4﹣2＝2． 16．【解答】解：（1）二次函数y＝mx2+4mx﹣5m（m为非零常数）经过点（﹣1，﹣8）．将点（﹣1，﹣8）代入得： ﹣8＝m﹣4m﹣5m， 解得：m＝1； （2）当m＝1时，y＝x2+4x﹣5， ∵二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， 当y＝0时，得：x2+4x﹣5＝0， 解得：x＝1或x＝﹣5； 将x＝0时，得：y＝﹣5， ∴AB＝1﹣（﹣5）＝6，点C坐标为（0，﹣5）， ∴ ＝15； （3）由题意得y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴对称轴为直线x＝﹣2，且a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∴当x＝﹣2时，y有最小值为﹣9， ∵a＞0，且直线x＝2比直线x＝﹣3距离对称轴较远， ∴将x＝2代入y＝（x+2）2﹣9可得y的最大值为7， ∴当﹣3≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为：7﹣（﹣9）＝7+9＝16． 17．【解答】解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得， ， 解得， ∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）； （2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500， ∵﹣0.002＜0， ∴当x600时，W有最大值， ∴m＝0.1时，600m+n＝1000， ∴n＝940， ∴m，n的值分别为0.1，940． 18．【解答】解：（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为（5，4），且过（0，0）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+4， 则0＝a（0﹣5）2+4， 解得：， ∴． （2）∵， ∴对称轴为x＝5， ∵MN∥x轴，MN＝4米， ∴点M的横坐标为， ∴点M的纵坐标为米， ∴横幅MN（宽度忽略不计）到地面的距离3.36米． 19．【解答】（1）解：∵点O与点A关于抛物线的对称轴对称，，抛物线的最高点到OA的距离为米， ∴抛物线顶点坐标为． ∴可设抛物线大门的函数表达式为， ∵图象过原点O（0，0）， ∴， ∴， ∴抛物线大门的函数表达式为； （2）解：由题意得，点B的横坐标为2， ∴，则， ∴B为， ∵BC∥OA，四边形BCDH为矩形， ∴BC⊥BH，即BH⊥x轴， ∵， ∴H，即， ∵， ∴该规章制度牌方便读者阅览． 20．【解答】解：（1）由题意知，，B（0，4）， 将点B（0，4），代入中，得 ，解得， ∴， ， ∴抛物线的顶点坐标为D（6，10）， ∴拱顶D到地面OA的距离为10m； （2）如图，设两排灯的截面图分别为点P、Q． 当时，由抛物线的对称性可知：点Q的横坐标为， 将代入得：， 根据图象，易知当灯离地面的高度y≥8时，， 即灯离地面的最小高度是8m． 21．【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a＝x2﹣4x﹣5， 令y＝0，即x2﹣4x﹣5＝0， 解得：x＝5或﹣1， 即此函数与x轴的交点坐标为（5，0）和（﹣1，0）； （2）对于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5a可得其对称轴为直线x＝2， 当a＜0时，图象开口向下， 故﹣2≤x≤7时，即在x＝2处，取得最大值，ymax＝﹣9a， 在x＝7处，取得最小值，ymin＝16a， ∵y的最大值与最小值的差为5， ∴﹣9a﹣16a＝5， 解得：a； （3）联立y＝ax2﹣4ax﹣5a与y＝﹣x+5， 整理可得ax2﹣（4a﹣1）x﹣5a﹣5＝0， 则Δ＝（4a﹣1）2﹣4a（﹣5a﹣5）＝36a2+12a+1＝（6a+1）2≥0， 即抛物线与直线总有交点． 当x＝﹣2时，二次函数y＝7a，一次函数y＝7； 当x＝7时，二次函数y＝16a，一次函数y＝﹣2， 将y＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）在﹣2≤x≤7间的图象记为G， 当图象G与直线y＝﹣x+5有2个不同的交点时， 当a＞0时，即满足7a≥7且16a≥﹣2， 解得：a≥1； 当a＜0时，即满足7a≤7且16a≤﹣2， 解得：a； 当Δ＝0时，即Δ＝（6a+1）2＝0，解得a， 则此时在﹣2≤x≤7间只存在一个交点，不满足题意， 综上，a的取值范围为a≥1或a且a． 22．【解答】解：（1）由题可得，抛物线过点A（1，0），C（0，5）， 把点A和C代入抛物线的解析式，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5； （2）当y＝0，则x2﹣6x+5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 所以点B（5，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+m， 把点B和C代入解析式得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5； （3）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5）， ∵MN∥y轴， ∴N（x，﹣x+5）， ∴MN＝﹣x+5﹣x2+6x﹣5， ∴MN在处取得最大值，最大值为． 23．【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx经过点（2，0）．代入得： 4a+2b＝0， 整理得：b＝﹣2a， 抛物线对称轴公式为直线，代入b＝﹣2a得：， 即抛物线的对称轴是直线x＝1； （2）①当x1＝x2，且1≤x1≤2时，、 设x＝x1＝x2，且1≤x≤2，则， ∵该二次函数开口向上， 分三种情况讨论： 当t＜1时，函数在1≤x≤2上随x增大而增大， 最小值在x＝1处取得：2×12﹣4t×1＝﹣1， 解得，符合t＜1； 当1≤t≤2时，函数最小值在x＝t处取得：﹣2t2＝﹣1， 解得：，均不在1≤t≤2范围内，舍去； 当t＞2时，函数在1≤x≤2上随x增大而减小， 最小值在x＝2处取得：2×22﹣4t×2＝﹣1， 解得：，不符合t＞2，舍去； 综上所述，； ②由题意得：，， ∵A，B与原点都不重合， ∴x1≠0，x2≠0， 已知x1y2＝2x2y1，代入得：， 两边同除以x1x2得：x2﹣（4t﹣2）＝2（﹣x1+2）， 整理得x2＝﹣2x1+4t+2， 则：， 是与x1无关的定值， ∴4t+2＝0， 解得：． 24．【解答】解：（1）抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线L1的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点M的坐标为（1，﹣4）； （2）已知抛物线L2：y＝x2﹣6x+k﹣3经过点M（1，﹣4），将点M的坐标代入得： 1﹣6+k﹣3 ＝﹣4， 解得：k＝4， ∴抛物线L2的解析式为y＝x2﹣6x+1． ∵点D在第一象限内，且到x轴的距离为8， ∴点D的纵坐标为8， 将y＝8代入抛物线L2的解析式y＝x2﹣6x+1中，得： x2﹣6x+1＝8， 解得：x＝7或x＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为（7，8）； （3）①联立得：， 解得：． 将代入y＝x2﹣2x﹣3中，得：． 已知点C（0，﹣3），， 设直线CP的方程为y＝mx+n，将点C，点P的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线CP的方程为． 联立得：， 解得：或x＝4． ∵点P的横坐标为， ∴点Q的横坐标为4，即点Q的横坐标始终为定值4， 因此，点Q的横坐标始终为定值4； ②k的值为10．理由如下： 已知抛物线L2：y＝x2﹣6x+k﹣3，其顶点N的横坐标为，纵坐标为32﹣6×3+k﹣3＝k﹣12， ∴顶点N的坐标为（3，k﹣12）． 已知点M（1，﹣4），N（3，k﹣12），设直线MN的方程为y＝px+q， 将点M、N的坐标代入直线方程可得： ， 解得， ∴直线MN的方程为． ∵直线CP与直线MN交于点Q，点Q的横坐标为4， 将x＝4代入直线CP的方程中， 可得， 将x＝4代入直线MN的方程，可得． 因为点Q是直线CP与直线MN的交点， ∴k﹣1116， 解得：k＝10， 因此，k的值为10． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $