第2章 圆与方程（单元分层自测·基础通关卷）数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学第2章“圆与方程”基础通关单元卷，全面覆盖圆的方程、直线与圆位置关系等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，适配单元复习，培养几何直观、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|圆的标准方程（第1题）、直线与圆相切（第2题）、两圆位置关系（第10题）|基础题占比高，多选题考查综合辨析（如第11题对称圆性质）| |填空题|3题/15分|弦长计算（第12题）、圆心坐标求解（第13题）|聚焦核心技能，强调运算准确性| |解答题|5题/77分|三角形外接圆方程（第15题）、直线过定点与弦中点轨迹（第18题）|分层设计，如第19题结合斜率定值证明，培养推理能力与模型意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 3．已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 5．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 7．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 10．已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 11．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线被圆所截得的弦长为_____． 13．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 14．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16．（15分） 已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 17．（15分） 已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 18．（17分） 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 19．（17分） 已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆与方程·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B C A C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为．（6分） （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）将两圆的方程写成标准方程为， ，所以两圆的圆心和半径分别为 ，， 两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，即，解得或.（10分） （2）当时，，所以两圆相交.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即；（5分） （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离.（10分） ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为.（4分） （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧.（9分） （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得．（3分） （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得， 即的取值范围是．（6分） （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值．（12分） （2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，（15分） 同理可得圆心到直线的距离为， 故直线和直线间的距离为， 所以，即．（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2．已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【解析】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. 3．已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 4．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 5．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知：，：， 则直线的直线方程为：， 整理得：. 6．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【解析】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 7．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 8．直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于,当时,,当时,,所以,, 所以.圆的圆心为,半径, 圆心到直线的距离为, 即直线与圆相离,所以点P到直线的距离的最大值为, 点P到直线的距离的最小值为, 所以面积的最大值为,最小值为, 所以面积的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 【答案】ABC 【解析】由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确； 当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确； 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错. 10．已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或. 故选：AD 11．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】对A，因为关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以.故A正确； 对B，根据两点式，直线的方程为：即.故B正确； 对C，因为，，，所以， 所以与相交，故两圆有2条公切线.故C错误； 对D，.故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线被圆所截得的弦长为_____． 【答案】 【解析】圆可化为 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 13．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【解析】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 14．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 【答案】 【解析】设，， 由可得； 因为直线与圆有两个交点，故，解得， 因为，故； 根据韦达定理可得，； 则； 因为，； 则，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【解析】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 16．（15分） 已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 【解析】（1）将两圆的方程写成标准方程为， ，所以两圆的圆心和半径分别为 ，， 两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，即，解得或. （2）当时，，所以两圆相交. 17．（15分） 已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 【解析】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）①以、为直径的圆的方程为， 整理得，故该圆的圆心为，半径为， 故圆心到直线的距离为， 故直线与圆的位置关系为相离. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 18．（17分） 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【解析】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得，该轨迹为圆内部的圆弧. （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 19．（17分） 已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 【解析】（1）将直线的方程代入圆的方程，可得． （ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ）设，，由根与系数的关系得 所以． 即直线的斜率之和为定值． （2）设直线和圆交于点，直线与圆交于点． 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接，则， 所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为， 同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学单元自测 第2章 圆与方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 3．已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 5．已知圆：与圆：的交点为，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 7．已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．直线分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆上,则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，圆：，则（    ） A．圆的半径为 B．圆心坐标为 C．当直线平分圆时， D．当直线与圆相切时， 10．已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（ ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 11．已知关于直线对称，，则（    ） A． B．经过的直线方程为 C．与的公切线的数量为3 D．若，分别是圆与圆上的点，则的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线被圆所截得的弦长为_____． 13．已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 14．已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16．（15分） 已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 17．（15分） 已知两直线，． (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，， ①判断直线与以A，B为直径的圆D的位置关系； ②动点P在直线运动，求的最小值． 18．（17分） 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 19．（17分） 已知圆． (1)若直线与圆交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值． (2)若直线和直线将圆的周长四等分，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $