直线、圆、椭圆的方程单元测试卷2-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

南京市励志高级中学创新班 直线、圆、椭圆的方程单元测试卷2 命题人：蒋恒峰 审核人：蒋恒峰 （时间:120分钟 满分:150分） 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（    ） A． B． C． D． 2．虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．设为实数，若矩形的边所在的直线方程分别为，，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则以线段为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，过向圆引切线交椭圆于点为坐标原点，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（    ） A．或0 B． C．或0 D．0 8．已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（    ） A． B． C．8 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0 B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．点关于直线的对称点为 C．过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D．直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为 11．已知实数x，y满足方程，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．圆心为，半径为的圆在x轴上截得的弦长等于 . 13．直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 ． 14．已知P是椭圆位于第一象限上的一点，，分别是C的左、右焦点，，点Q在的平分线上，O为坐标原点，，且，则C的离心率为 . 四、解答题（本题共6小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．已知两点A(－1，2)、B(m，3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 16．已知椭圆中，，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于、两点，求. 17．如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点． (1)求圆C的标准方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 18．直线与椭圆相交于不同的两点，若的中点的横坐标为，求： (1)的值； (2)弦长的值． 19．已知直线：和圆：. (1)求与直线垂直且经过圆心的直线方程； (2)求与直线平行且与圆相切的直线方程. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B C A A AB ABD 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解. 【详解】由椭圆定义可得， 由光学性质可知，为的角平分线， 所以. 故选：C 2．C 【分析】由已知可得，，进而可得离心率. 【详解】由已知可得，， 即，， 所以离心率， 故选：C. 3．C 【分析】根据题意可知两直线平行，列式求解，并代入检验. 【详解】由题意可知：直线与平行， 则，解得或， 若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意； 若，两直线分别为、，两直线平行，符合题意； 综上所述：的值为或. 故选：C. 4．C 【分析】根据题意，设切点为、，求出圆的半径，根据锐角三角函数可得，进而可得 . 【详解】过点作圆的两条切线，设切点为、， 而圆，即，则圆的半径为2，圆心, , 故，故，进而可得， 故选：C． 5．B 【分析】根据点，，且线段为直径，可知圆心，直径，半径，进而得到圆的方程. 【详解】由中点坐标公式可知，的中点坐标为,点为以线段为直径的圆的圆心； 半径，所以以线段为直径的圆的方程为. 故选：B 6．C 【分析】先画出图形，由得，进而得，，然后由椭圆的定义可得，由勾股定理，从而即可得到离心率. 【详解】由题意画出图形，如下图： 设切点为M，连接，由已知，∴， ∵，∴，又是的中点， 圆的半径为， ，， ∴，即，得， . 故选：C. 7．A 【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的公式建立方程求解即可. 【详解】由题易知两圆不可能相交或相切， 如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大， 此时圆心到对称轴的距离为4， 所以，即，解得或. 故选：A. 8．A 【分析】设直线与直线的两个交点为，设，则，代入直线，即可得点，进而可得到直线的方程，再求交点到的距离，利用面积公式计算即可. 【详解】设直线与直线的两个交点为，且设， 则由题意可知，点关于点的对称点在上， 所以，解得， 所以，， 所以, 因为直线过点，，所以直线的斜率， 所以直线的方程为：，即， 联立：，解得的交点坐标为， 所以到直线的距离为， 所以这三条直线围成的三角形面积为. 故选：A. 9．AB 【分析】根据倾斜角和斜率的关系逐项判断即可. 【详解】当时，其斜率，所以A正确； 根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以 B正确； 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，且. ，故C不正确； 直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确； 故选：AB. 10．ABD 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可. 【详解】对A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确； 对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为， 可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对C：设直线与轴交点为，则与轴交点为， 当时，直线过原点，斜率为，故方程为； 当时，直线的斜率，故直线方程为， 即，故C错误； 对D：设直线的倾斜角为，则， 又因为，故，故D正确， 故选：ABD. 11．AB 【分析】A选项，表示的几何图形为单位圆位于轴右侧的部分（包括轴上两点），几何意义为上的点到的距离的平方，数形结合得到最值，得到取值范围；B选项，几何意义为上的点与的连线的斜率，数形结合得到最值，得到取值范围；C选项，设，则，为直线与轴的交点的纵坐标，画出图形，数形结合得到最值，得到答案；D选项，的几何意义为上的点到的距离，画出，数形结合得到最值，得到答案. 【详解】A选项，，两边平方得， 故方程表示的几何图形为单位圆位于轴右侧的部分（包括轴上两点）， 其中，， 几何意义为上的点到的距离的平方， 故为最小值，最小值为1， 或取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为，A正确； B选项，几何意义为上的点与的连线的斜率， 设过点的直线为， 则，解得，此时为最小斜率， 直线的斜率为最大值，即， 的取值范围是，B正确； C选项，设，则，为直线与轴的交点的纵坐标， 当与的图形相切于时，取得最小值，取得最大值， 由，解得（负值舍去）， 当过点时，取得最大值，取得最小值， ，解得， 的取值范围是，C错误； D选项，的几何意义为上的点到的距离， 过点作⊥直线于点，与的图形交于点， 则即为上的点到的距离最小值， 其中，故， 过点作⊥直线于点， 则即为上的点到的距离最大值， 最大值为， 故的取值范围是， 的取值范围为，D错误. 故选：AB 12．8 【分析】根据弦长公式可求出结果. 【详解】圆心到轴的距离，圆的半径， 圆在x轴上截得的弦长等于. 故答案为：. 13．或 【分析】考虑截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程. 【详解】当截距为0时，设， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 当截距不为0时，设直线的方程为， 将代入直线方程，，解得， 故直线的方程为， 故直线的方程为或. 故答案为：或 14．/ 【分析】延长OQ交于点A，利用得A为的中点，根据角平分线及，得，结合椭圆定义及勾股定理列式化简得，即可求解离心率. 【详解】设，，延长OQ交于点A. 由题意知，O为的中点，故A为的中点. 由，，得是等腰直角三角形， 则化简得即 代入得，即. 因为，所以，所以，所以. 故答案为： 15．（1）当m＝－1时， x＝－1，当m≠－1时， y－2＝(x＋1);（2）α∈. 【详解】(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1， 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝； ②当m≠－1时，m＋1∈ (0，]， ∴k＝∈(－∞，－]，∴α∈. 综合①②，直线AB的倾斜角α∈. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再结合，即可求解； （2）设，，联立直线与椭圆方程消得到关于的方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题知，，即， 又，解得， 所以椭圆方程为. （2）设，， 联立直线与椭圆方程得， 整理得， 则，，. 所民认 . 17．(1) (2)该船没有触礁的危险 【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程； （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【详解】（1）如图所示，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 得：，解得， 故所以圆C的方程为， 圆心为，半径， （2）该船初始位置为点D，则， 且该船航线所在直线l的斜率为, 故该船航行方向为直线， 由于圆心C到直线l的距离， 故该船没有触礁的危险 18．(1) (2) 【分析】（1）利用点差法构造关于的方程，即可求得的值； （2）联立直线方程与椭圆方程，得出和的值，利用弦长公式代入计算即可． 【详解】（1）设，中点为， 因为在直线上， 所以， 由，得：， 所以，即， 解得． （2）由（1）得，直线方程为， 由，得，则，， 所以． 19．(1) (2)或 【分析】（1）设直线为，将圆心坐标代入，求得a的值，即得答案； （2）设直线为，根据直线和圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列式求出c，即得答案. 【详解】（1）设与直线垂直的直线为 圆可化为，圆心为， 又因为直线经过圆心，所以，即， 故所求直线方程为. （2）设与直线平行的直线为. 又因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 所以，或5， 故所求直线方程为或. 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $