第2章 圆与方程（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 苏教版高二上“圆与方程”单元拔尖卷，120分钟150分，19题覆盖选择（11题）、填空（3题）、解答（5题），以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融入拱桥（题5）、太极图（题7）等情境，适配单元复习，可检测数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|圆心半径、圆位置关系、外接圆|题5拱桥问题，体现几何直观与应用意识| |多选|3/18|圆的方程、公切线、动点轨迹|题11结合轨迹求最值，考查推理能力| |填空|3/15|对称圆、公共弦长、直线与曲线交点|题14直线与曲线交点，检测数学思维| |解答|5/77|直线方程、圆方程、切线、阿波罗尼斯圆|题19以数学史为背景，综合考查模型构建与逻辑推理|

第2章 圆与方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【解答过程】将圆的一般方程，化为标准方程得到， 所以圆的圆心为，半径为. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·四川达州·期末）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解题思路】求出、和即可由它们的大小关系得解. 【解答过程】由题可得圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 所以两圆心距离为，且， 所以， 故圆与圆的位置关系为相交. 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解题思路】判断两圆的位置关系，可得出两圆的公切线条数. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，所以两个圆相交， 所以圆与圆的公切线条数为条. 故选：C. 4．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【解答过程】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D. 5．（5分）（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【解答过程】如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：；， 解得，. 故圆的方程为， 令，解得（负根舍去），， 可得题目数据中能安全过桥的最高值为3.1（米）. 故选：B. 6．（5分）（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求得圆心到直线的距离为，结合题意，得到，进而求得的取值范围，得到答案. 【解答过程】由圆，可化为， 则圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆上至少有3个点到直线的距离为3，则满足， 即，可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7．（5分）（25-26高三·全国·暑假作业）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【解答过程】表示点与点连线的斜率， 由题图可知，过点且与以为圆心，为半径的半圆（轴右侧）相切的一条切线的斜率最小， 设切线方程为，即， 由，解得（舍去）或， 所以的最小值是. 故选：B. 8．（5分）（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【解答过程】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，    ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【解答过程】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则 ， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以 ，所以的取值范围为． 故选：BCD. 10．（6分）（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 【答案】AC 【解题思路】选项A：运用圆心距与半径比较确定两圆位置关系；选项B：由两圆方程相减求得两圆相交弦方程；选项C：运用两圆相交即可判断其公切线条数；选项D：运用弦长公式结合圆心到直线的距离与半径计算. 【解答过程】对于A，由圆：，可得其圆心为，半径， 圆：，配方得， 即该圆的圆心为，半径， 圆心距，由知两圆相交，故A正确； 对于B，将两圆方程左右相减得， 即，化简得，故B错误； 对于C，因两圆相交，则两圆有且仅有两条公切线，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离，则，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 【答案】ACD 【解题思路】易知动点的轨迹为圆.易知A正确；对于B，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的最短距离即可判断；对于C，先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定点的连线所在直线的斜率最大值即可；对于D：先分析出的几何意义，再由数形结合分析圆上一点到圆外定直线的最短距离即可判断. 【解答过程】可整理为， 设，故点的轨迹为以为圆心，半径的圆. 对于A：点的横坐标最大值为，故A正确； 对于B：的几何意义为动点（即圆上一点）到点的距离. 易知，当点位于点与点的连线与圆的交点时， 此时点到点的距离最短，最短距离， 即的最小值为， 故的最小值为，故B错误； 对于C：的几何意义为动点（即圆上一点）与连线所在直线的斜率. 设，易知，当直线过点且与圆相切于轴上方时， 动点与连线所在直线的斜率最大，即最大， 易知此时，又由相切可知，， 故，故， 因此的最大值为1，故C正确； 对于D：的几何意义是动点（即圆上一点）到直线的距离. 易知，动点到直线距离的最小值为圆心到直线的距离， 再减半径，即， 因此的最小值为，故的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆关于直线对称的圆的标准方程为___________. 【答案】 【解题思路】求出圆心关于直线的对称点的坐标后可得． 【解答过程】将圆整理得，则圆心为，半径. 设圆心关于直线的对称点为， 所以解得， 所以所求对称圆的标准方程为． 故答案为：． 13．（5分）（25-26高二上·山东·阶段检测）圆：与圆：的公共弦长为___________. 【答案】 【解题思路】两圆作差得到公共弦所在直线方程，再利用圆的弦长公式求解. 【解答过程】已知圆：，圆：，两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离，圆的半径为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】由题曲线可化为，即表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分，根据直线和圆的位置关系，结合图形求得答案. 【解答过程】直线，即，过定点， 曲线，可化为，表示以为圆心，半径为1的圆的上半部分， 画出直线和半圆的图形如下图所示， 设，则， 当直线和半圆相切时，则，解得或（舍去）， 所以要使得直线和曲线有两个交点，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出的斜率，再利用点斜式求解； （2）设圆的一般方程，代入已知点，解方程组求出系数，进而求解． 【解答过程】（1）已知，则， 所在直线方程为，即． （2） 设圆的一般方程为， 代入点得①， 代入点得②， 代入点得③， 联立①②③解得， 圆的一般方程为，标准方程为． 16．（15分）（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）先求出线段的中垂线方程，然后再与直线联立可求得圆心，再求出半径，即可求解； （2）将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为，再利用垂径定理可求公共弦的弦长. 【解答过程】（1）由题可知直线的斜率为，线段的中点坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上， 由，得，所以圆心， 又， 所以圆的方程为. （2）将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以由圆的弦长公式得. 故公共弦的方程为；公共弦的长为. 17．（15分）（25-26高二上·上海普陀·期末）已知圆． (1)若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）结合题意对直线斜率是否存在进行讨论，再结合直线与圆相切的性质建立方程，求解参数，进而得到直线方程即可. （2）先根据题意求出圆心，取中点为，求出，在直角中结合勾股定理求出半径，即可得出答案. 【解答过程】（1）若，，则圆的方程为， 而直线过点，且与圆C相切，则讨论直线的斜率， 当的斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆相切，符合题意， 当的斜率存在时，设斜率为，圆心到直线的距离为， 则直线方程为，化简得， 由题意得圆心，，而直线与圆相切，则， 由点到直线的距离公式得， 则，解得，得到直线方程为， 整理可得直线方程为. （2）由圆的方程得圆心， 因为圆心在直线上， 所以，解得，可得圆心坐标为， 取中点为，连接，所以， 由点到直线的距离公式得到直线的距离如下， 为，因为，所以， 在直角中，由勾股定理得， 故圆的方程为. 18．（17分）（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)（或）；点在该圆上； (2)或； (3)25 【解题思路】（1）设圆的一般方程，代入三点坐标求得方程，即可判断； （2）通过斜率存在和不存在两类情况讨论即可求解； （3）由与直线垂直时，四边形面积最小，结合点到线的距离公式即可求解. 【解答过程】（1）设经过，，三点的圆的方程为， 则， 解方程组可得，，， 所以圆的方程为（或）； 又点的坐标满足上述圆的方程， 点在圆上； （2）由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 当斜率不存在时，方程为，与圆相切，成立； 当斜率存在时，设过点的直线方程为，即， 所以可得，可得， 所以直线为， 所以所求切线方程为或； （3） 由（1）知，圆的方程为，圆心为，半径为5， 四边形面积等于2倍三角形的面积，， ， 又，即最小时，最小，此时三角形的面积最小， 即四边形面积最小， 当最小时，即与直线垂直时，四边形面积最小， 此时圆心到直线的距离， 四边形EMTN面积最小值为. 19．（17分）（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【解答过程】（1）设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． （2）曲线的圆心到直线的距离， 所以． （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆与方程（举一反三单元自测·拔尖卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 2．（5分）（25-26高二上·四川达州·期末）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 3．（5分）（25-26高二上·湖北黄冈·期末）圆与圆的公切线条数为（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．（5分）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·广东深圳·期末）中国拱桥一般分为圆弧线型、抛物线型和悬链线型．如图在一个圆弧线型拱桥中，圆拱跨度米，拱高米，现有一船，宽8米，露出水面的高度为米，则下列数据中能安全过桥的最高值为（   ）米（参考数据：） A．3.0 B．3.1 C．3.2 D．3.3 6．（5分）（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高三·全国·暑假作业）“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包含边界）的动点，则的最小值为（    ） A．-1 B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 10．（6分）（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 11．（6分）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）已知动点满足，则（   ） A．x的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为1 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆关于直线对称的圆的标准方程为___________. 13．（5分）（25-26高二上·山东·阶段检测）圆：与圆：的公共弦长为___________. 14．（5分）（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 16．（15分）（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 17．（15分）（25-26高二上·上海普陀·期末）已知圆． (1)若，，直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆心C在直线上，圆C与直线相交于两点，且，求圆C的方程． 18．（17分）（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知，，，. (1)求经过，，三点的圆的方程，并判断点是否在该圆上 (2)过点作（1）中圆的切线，求切线方程； (3)设（1）中圆的圆心为，点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形面积的最小值. 19．（17分）（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $