第十三章 三角形综合复习卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 三角形综合复习卷通过基础巩固、中档应用、拓展探究三层设计，覆盖三角形概念、性质及综合应用，梯度合理，助力知识从单一到综合的进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、中线/高/角平分线概念、等腰三角形性质|选择1-10题、填空16-17题，直接考查基本概念与简单计算，培养抽象能力与运算能力| |中档|三角形内角和与外角性质、面积计算、多知识点综合|选择11-15题、填空18-19题、解答20-25题，结合图形分析与推理，发展推理意识与几何直观| |拓展|角平分线综合、变式探究、跨知识点应用|解答26-27题，通过拓展提问与变式，培养创新意识与数学思维，体现数学语言表达现实世界|

第十三章 三角形综合复习卷 一．选择题（共15小题） 1．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．5，3，3 C．6，6，12 D．6，8，10 2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（　　） A．15 B．16 C．20 D．19 3．等腰三角形的一边为3，另一边为6，则这个三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．13 D．12或15 4．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 5．如图，∠E＝∠F＝∠ADC＝90°，以下说法不正确的是（　　） A．AD是△ABC的边BC上的高 B．CE是△ACE的边AC上的高 C．AF是△ABF的边BF上的高 D．BF是△ABC的边AC上的高 6．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A．145° B．155° C．165° D．150° 8．如图，已知AB∥CD，且AB平分∠EAD，若∠D＝35°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 9．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 10．若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 11．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积是（　　） A．32 B．36 C．28 D．30 12．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°，则∠A的度数为（　　） A．75° B．80° C．90° D．110° 13．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　） A．∠ADC＝90° B．∠ACE＝∠BCE C． D．AC＝EC 14．下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 15．如图，∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的平分线相交于点E，则下列结论错误的是（　　） A．∠E＝∠A B．∠DBE＝90° C．2∠D＝∠A D．∠E+∠DCF＝90°+∠ABD 二．填空题（共4小题） 16．如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24cm，AB比AC长3cm．则△ACD的周长为　 　 cm． 17．已知三角形的三边长分别为2，a，4，则化简|a﹣1|+|a﹣7|的结果为　 　 ． 18．若a，b，c是△ABC的三条边长，则|c+a﹣b|﹣|c﹣a﹣b|﹣|b+2c|的化简结果为　 　 19．如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　 　 ． 三．解答题（共8小题） 20．若等腰三角形的周长为20cm，腰长为xcm． （1）求x的取值范围； （2）若该三角形的一边长是6cm，求该三角形的另两边长． 21．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠C＝∠DAC，∠B＝∠ADB，∠BAC＝87°，求∠DAC的度数． 22．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数； （2）写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系．并写出理由． 23．如图，在△ABC中，点D、P分别在边AC、BC上． （1）若∠BAC＝50°，∠C＝60°，且∠1＝∠2，求∠APD的度数； （2）若∠B＝∠C，∠ADP＝∠APD，试说明：∠1＝2∠2． 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝40°，求∠AEF的度数； （2）求证：∠AEF＝∠AFE． 25．等腰△ABC中，AB＝AC，边AC上的中线BD把△ABC的周长分成15cm和6cm两部分． 求边AB、BC的长． 26．如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　 　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　 　 ． 27．【问题情境】 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，如果∠A＝60°，求∠BIC的度数　 　 ； 【问题探究】 （2）如图2，在△ABC中，作△ABC外角∠CBE，∠BCF的平分线交于点O．求∠O和∠A的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠CBE与∠BCF的平分线交于点O，延长BI，OC交于点P，在△PBO中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则∠P＝　 　 ． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形综合复习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（　　） A．2，3，4 B．5，3，3 C．6，6，12 D．6，8，10 【分析】根据三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此判断即可． 【解答】解：A、2+3＞4，能构成三角形，故A不符合题意； B、3+3＞5，能构成三角形，故B不符合题意； C、6+6＝12，不能构成三角形，故C符合题意； D、6+8＞10，能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 2．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝7．若△ACD的周长为18，则△ABD的周长为（　　） A．15 B．16 C．20 D．19 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝CD，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ACD的周长为18， ∴AC+AD+CD＝18， ∴AD+CD＝18﹣7＝11， ∴△ABD的周长为：AB+AD+BD＝8+AD+CD＝11+8＝19， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 3．等腰三角形的一边为3，另一边为6，则这个三角形的周长为（　　） A．12 B．15 C．13 D．12或15 【分析】需分两种情况分类讨论，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论： ①当3为腰长时，三角形三边长为3，3，6， ∵3+3＝6，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴该情况不能构成三角形，舍去； ②当3为底边长时，三角形三边长为3，6，6， ∵3+6＝9＞6，6+6＝12＞3，满足三角形三边关系， ∴该情况能构成三角形，周长为3+6+6＝15． 综上所述，这个三角形的周长为15， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是相关知识的熟练掌握． 4．下面四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的定义进行判断即可． 【解答】解：由三角形的高的定义可知，如果线段BD是△ABC的高，那么BD⊥AC，垂足是点D． 四个选项中，只有D选项中BD⊥AC． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．理解定义是关键． 5．如图，∠E＝∠F＝∠ADC＝90°，以下说法不正确的是（　　） A．AD是△ABC的边BC上的高 B．CE是△ACE的边AC上的高 C．AF是△ABF的边BF上的高 D．BF是△ABC的边AC上的高 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠ADC＝90°， ∴AD⊥BC， ∴AD是△ABC的边BC上的高，故正确，不符合题意； B、∵∠E＝90°， ∴CE⊥AE， ∴CE是△ACE的边AE上的高，不是边AC上的高，故错误，符合题意； C、∵∠F＝90°， ∴AF⊥BF， ∴AF是△ABF的边BF上的高，故正确，不符合题意； D、∵∠F＝90°， ∴BF⊥AC， ∴BF是△ABC的边AC上的高，故正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【解答】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形相关线段的知识点判断，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α的度数是（　　） A．145° B．155° C．165° D．150° 【分析】先利用三角形外角的性质求出∠CFD，再利用三角形的内角和为180°求出∠FDC，进行求解即可． 【解答】解：如图： ∵在△ABF中，∠A＝90°，∠B＝30°， ∴∠CFD＝∠A+∠B＝120°， ∵∠C＝45°， ∴∠FDC＝180°﹣45°﹣120°＝15° ∴∠a＝180°﹣∠FDC＝180°﹣15°＝165°， 故选：C． 【点评】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 8．如图，已知AB∥CD，且AB平分∠EAD，若∠D＝35°，则∠C的度数为（　　） A．50° B．45° C．40° D．35° 【分析】根据平行线的性质，∠D＝∠BAD＝35°，因为AB平分∠EAD，所以∠EAB＝∠BAD＝35°，再由平行线的性质，即可求得∠C＝∠EAB＝35°． 【解答】解：∵∠D＝35°，AB∥CD， ∴∠D＝∠BAD＝35°， ∵AB平分∠EAD， ∴∠EAB＝∠BAD＝35°， ∵AB∥CD， ∴若∠D＝35°，则∠C＝∠EAB＝35°， 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的性质，角平分线，掌握相关知识是解题的关键． 9．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【解答】解：A、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据，不符合题意； B、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据，不符合题意； C、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形，符合题意； D、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性，直线的性质及线段的性质，熟知以上知识是解题的关键． 10．若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据题意，利用多边形的外角和360°除以60°即可得出答案． 【解答】解：∵多边形的内角和为360°，一个多边形的每一个外角都是60°， ∴这个多边形的边数为：360°÷60°＝6． 故选：A． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AC，BD，AE的中点，若阴影部分的面积为4，则△ABC的面积是（　　） A．32 B．36 C．28 D．30 【分析】根据三角形中线的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点F为AE的中点，阴影部分的面积为4， 所以△ADE的面积为8． 因为点E为BD的中点， 所以△ABD的面积为16． 因为点D为AC的中点， 所以△ABC的面积为32． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角平分线、中线和高，熟知三角形中线的性质是解题的关键． 12．如图，已知∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°，则∠A的度数为（　　） A．75° B．80° C．90° D．110° 【分析】连接AD，延长AD到E．只要证明∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC，即可解决问题． 【解答】解：连接AD，延长AD到E． ∵∠BDE＝∠B+∠BAE，∠CDE＝∠C+∠CAE， ∴∠BDC＝∠B+∠C+∠BAE+∠CAE＝∠B+∠C+∠BAC， ∵∠BDC＝142°，∠B＝42°，∠C＝20°， ∴∠BAC＝∠BDC﹣∠B﹣∠C＝142°﹣42°﹣20°＝80°， 则∠A的度数为80°， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的外角解决问题，属于中考常考题型． 13．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中不正确的是（　　） A．∠ADC＝90° B．∠ACE＝∠BCE C． D．AC＝EC 【分析】根据三角形高、角平分线、中线的定义判断选项即可． 【解答】解：A、CD是△ABC的高，即CD⊥AB，所以∠ADC＝90°，所以选项A正确，不符合题意； B、CE是△ABC的角平分线，即CE平分∠ACB，所以∠ACE＝∠BCE，所以选项B正确，不符合题意； C、CF是△ABC的中线，即F是AB中点，所以，所以选项C正确，不符合题意； D、AC＝EC无法由△ABC的高、角平分线、中线得出，所以选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 14．下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④ 【分析】根据三角形的内角和定理逐一计算判断即得答案． 【解答】解：①若∠A+∠B＝∠C，因为∠A+∠B+∠C＝180°， 所以2∠C＝180°，即∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则， 所以△ABC是直角三角形，符合题意； ③若∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝∠C＝60°， 所以△ABC不是直角三角形，不符合题意； ④若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°， 所以△ABC是直角三角形，符合题意， 综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②④． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和和直角三角形的定义，熟练掌握三角形的内角和是180°是关键． 15．如图，∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的平分线相交于点E，则下列结论错误的是（　　） A．∠E＝∠A B．∠DBE＝90° C．2∠D＝∠A D．∠E+∠DCF＝90°+∠ABD 【分析】根据角平分线的定义和平角判定选项B；由角平分线的定义可得∠DCF＝∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定C；由三角形外角的性质可得∠GBC+∠ACF＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定A；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定D． 【解答】解：∵∠GBC＝∠A+∠ACB，∠ACF＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠GBC+∠ACF＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A， ∵BE平分∠GBC，CD平分∠ACF， ∴∠GBC＝2∠EBC，∠ACF＝2∠DCF＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠BCE＝90°+∠A， ∵∠E+∠EBC+BCE＝180°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+BCE）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣∠A，故A错误； 设BD与AC交于O点， ∵CD平分∠ACF， ∴∠DCF＝∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴2∠D＝∠A，故C正确； ∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBG，∠ABC+∠CBG＝180°， ∴∠DBE＝90°，故B正确； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴∠E+∠DCF＝90°﹣∠A+∠DBC+∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD，故D正确； 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 二．填空题（共4小题） 16．如图，AD是△ABC的中线，△ABD的周长为24cm，AB比AC长3cm．则△ACD的周长为　21　 cm． 【分析】由三角形的中线定义得到BD＝CD，由△ABD的周长＝24cm，即可得到△ACD周长＝24﹣3＝21（cm）． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵AB比AC长3cm， ∴AC＝AB﹣3， ∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝24cm， ∴△ACD周长＝AC+CD+AD＝AB+BD+AD﹣3＝24﹣3＝21（cm）． 故答案为：21． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的中线的定义． 17．已知三角形的三边长分别为2，a，4，则化简|a﹣1|+|a﹣7|的结果为　6　 ． 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【解答】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a＜4+2， 即2＜a＜6． ∴|a﹣1|+|a﹣7|＝a﹣1+7﹣a＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 18．若a，b，c是△ABC的三条边长，则|c+a﹣b|﹣|c﹣a﹣b|﹣|b+2c|的化简结果为　﹣3b 【分析】根据三角形的三边关系可得c+a﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，b+2c＞0，再去绝对值，最后合并同类项即可． 【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三条边长， ∴c+a﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，b+2c＞0， ∴原式＝c+a﹣b﹣[﹣（c﹣a﹣b）]﹣（b+2c） ＝c+a﹣b+c﹣a﹣b﹣b﹣2c ＝﹣3b． 【点评】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边是解题的关键． 19．如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　　 ． 【分析】以CE为底、AB为高表示面积，再以AE为底、CD为高表示面积，根据同一个三角形面积相等建立等式，代入已知线段长度，求出CD的长． 【解答】解：∵∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴以CE为底时，△AEC的高为AB，， ∵∠D＝90°，即CD⊥AD， ∴以AE为底时，△AEC的高为CD，， ∴， ∴CE•AB＝AE•CD， 把AE＝3，CE＝2，AB＝2.5，代入得： 2×2.5＝3•CD， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 20．若等腰三角形的周长为20cm，腰长为xcm． （1）求x的取值范围； （2）若该三角形的一边长是6cm，求该三角形的另两边长． 【分析】（1）根据等腰三角形的周长＝腰长×2+底边长，可得出底边长与x的函数关系式，根据三角形两边之和大于第三边，即可求解； （2）当腰长为6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8（cm），当底边为6cm时，腰长＝7cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．． 【解答】解：（1）由题意得，底边长＝20﹣2x；∵两边之和大于第三边，2x＞20﹣2x， 所以x＞5，同时20﹣2x＞0， 所以x＜10， 所以x的取值范围是：5＜x＜10； （2）∵等腰三角形的周长为20cm， ∴当腰长为6cm时，底边为：20﹣6﹣6＝8（cm）， ∴当底边为6cm时，腰长为：＝7（cm）， ∴该三角形的另两边长为6cm和8cm或7cm和7cm． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 21．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，∠C＝∠DAC，∠B＝∠ADB，∠BAC＝87°，求∠DAC的度数． 【分析】设∠C＝∠DAC＝x，利用三角形外角的性质知∠ADB＝2x＝∠B，则x+2x＝93°，即可得出答案． 【解答】解：∵∠C＝∠DAC， ∴设∠C＝∠DAC＝x， 则∠ADB＝2x＝∠B， ∵∠BAC＝87°， ∴∠B+∠C＝93°， ∴x+2x＝93°， ∴x＝31°， ∴∠DAC＝31°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 22．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数； （2）写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系．并写出理由． 【分析】（1）由三角形的外角性质推出∠DCE＝∠B+∠E＝68°，由角平分线的定义得到∠ACE＝∠DCE＝68°，于是得到∠BAC＝∠E+∠ACE＝94°； （2）由三角形的外角性质得到∠ACE＝∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵∠B＝42°，∠E＝26°， ∴∠DCE＝∠B+∠E＝68°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝68°， ∠BAC＝∠E+∠ACE＝94°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下： ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠B+∠E， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠B+2∠E． 【点评】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 23．如图，在△ABC中，点D、P分别在边AC、BC上． （1）若∠BAC＝50°，∠C＝60°，且∠1＝∠2，求∠APD的度数； （2）若∠B＝∠C，∠ADP＝∠APD，试说明：∠1＝2∠2． 【分析】（1）通过“外角性质和∠1＝∠2”的条件，直接推导出∠ADP+∠PAD＝110°，然后根据三角形内角和可得∠APD的度数．核心是三角形外角等于不相邻两内角和的灵活使用． （2）根据三角形外角性质，再结合已知条件可证明∠1＝2∠2． 【解答】（1）解：∵∠ADP是△PDC的外角， ∴∠ADP＝∠C+∠2． ∵∠C＝60°， ∴∠ADP＝60°+∠2． ∵∠PAD＝∠BAC﹣∠1，∠BAC＝50°， ∴∠PAD＝50°﹣∠1 在△APD中，∠APD+∠ADP+∠PAD＝ 180°， ∴∠APD＝180°﹣∠ADP﹣∠PAD． ∵∠1＝∠2， ∴∠APD＝ 180°﹣（60°+∠2）﹣（50°﹣∠1）＝180°﹣60°﹣∠2﹣50°+∠1＝70°． （2）证明：∵∠ADP是△PDC的外角， ∴∠ADP＝∠C+∠2． ∵∠ADP＝∠APD， ∴∠APD＝∠C+∠2． ∵∠APC ＝∠APD+∠2， ∴∠APC＝（∠C+∠2）+∠2＝∠C+2∠2． 又∵∠APC是△ABP的外角， ∴∠APC＝∠B+∠1， ∵∠B＝∠C， ∴∠APC＝∠C+∠1． ∴∠C+∠1＝∠C+2∠2． ∴∠1 ＝2∠2． 【点评】此题考查的是三角形内角和、外角和性质的综合应用，关键是三角形外角等于不相邻两内角和的灵活使用． 24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝40°，求∠AEF的度数； （2）求证：∠AEF＝∠AFE． 【分析】（1）求出∠BAD的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出∠ABD的度数，接着根据角平分线的定义求出∠ABE的度数即可得到答案； （2）由角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，由直角三角形两锐角互余得到∠CBE+∠BFD＝90°，∠ABE+∠AEF＝90°，则可证明∠AEF＝∠BFD，再由∠AFE＝∠BFD，即可证明∠AEF＝∠AFE． 【解答】解：（1）解：∵∠BAC＝90°，∠CAD＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝70°，即∠AEF＝70°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CBE+∠BFD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形的两个锐角互补是解题的关键． 25．等腰△ABC中，AB＝AC，边AC上的中线BD把△ABC的周长分成15cm和6cm两部分． 求边AB、BC的长． 【分析】设AB＝xcm，BC＝ycm，分两种情况，列出方程组，分别求出方程组的解，应用三角形三边关系定理来判断，即可求解． 【解答】解：设AB＝xcm，BC＝ycm， ∴AC＝AB＝xcm， ∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝xcm， 当AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm时， ∴， ∴， ∴AB＝10cm，BC＝1cm， 10+1＞10，满足三角形三边关系定理； 当AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm时， ∴， ∴， ∴AB＝4cm，BC＝13cm， ∵4+4＜13，不满足三角形三边关系定理， ∴此种情况不成立． 综上所述：AB＝10cm，BC＝1cm． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，关键是要分两种情况讨论． 26．如图1，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝40°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，则∠DAE＝　15°　 ； 【拓展提问】 若将条件“∠B＝70°，∠C＝40°”改为∠B﹣∠C＝20°（∠B＞∠C），其余条件不变，求∠DAE的度数； 【拓展变式】 如图2，在△ABC中，AE平分∠BAC，在AE的延长线上任取一点M，过点M作MD⊥BC于点D．直接写出∠M、∠B、∠C的数量关系　∠M＝（∠B﹣∠C）　 ． 【分析】根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答；【拓展提问】根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答； 【拓展变式】过点A作AN⊥BC于点N，根据三角形内角和定理，垂直的性质及角平分线的定义即可得解． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝70°，∠C＝40°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝35°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 在△DAC中，∠DAC+∠ADC+∠C＝180°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣40°＝50°， ∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝50°﹣35°＝15°． 故答案为：15°； 【拓展提问】解：在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣∠B﹣∠C， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADE＝90°， 在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°﹣∠B， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD ＝90°﹣∠B﹣∠C﹣（90°﹣∠B） ＝（∠B﹣∠C） ＝×20°， ＝10°， 答：∠DAE的度数为10°； 【拓展变式】如图，过点A作AN⊥BC于点N， ∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC ＝（180°﹣∠B﹣∠C） ＝90°﹣（∠B+∠C）， ∵AN⊥BC， ∴∠ANB＝90°， ∴∠BAN＝90°﹣∠B． ∴∠NAE＝∠BAE﹣∠BAN ＝90°﹣（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠B） ＝（∠B﹣∠C）， ∵AN⊥BC，MD⊥BC， ∴∠ANE＝∠MDE＝90°， ∴AN∥MD． ∴∠M＝∠NAE＝（∠B﹣∠C），即∠M＝（∠B﹣∠C）． 故答案为：∠M＝（∠B﹣∠C）． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 27．【问题情境】 （1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，如果∠A＝60°，求∠BIC的度数　120°　 ； 【问题探究】 （2）如图2，在△ABC中，作△ABC外角∠CBE，∠BCF的平分线交于点O．求∠O和∠A的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图3，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠CBE与∠BCF的平分线交于点O，延长BI，OC交于点P，在△PBO中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，则∠P＝　18°或22.5°或67.5°或72°　 ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，再根据角平分线得出，进而求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的性质同（1）求解即可； （3）首先求出∠PBO＝∠PBC+∠CBO＝90°，得到∠P+∠O＝90°，然后分4种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． ∵BI，CI分别是∠ABC，∠ACB的平分线， ∴，， ∴． ∵∠A＝60°， ∴∠IBC+∠ICB＝60°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝120°， 故答案为：120°； （2）∵∠EBC＝180°﹣∠ABC，∠FCB＝180°﹣∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠EBC+∠FCB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A， ∵△ABC外角∠CBE，∠BCF的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴； （3）∵BO是∠CBE的平分线，BP是∠ABC的平分线， ∴，， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴， ∴∠P+∠O＝90°， ①当∠PBO＝4∠P时，90°＝4∠P， ∴∠P＝22.5°； ②当∠PBO＝4∠O时，90°＝4∠O， ∴∠O＝22.5°， ∴∠P＝90°﹣∠O＝67.5°； ③当∠O＝4∠P时， ∴∠P+4∠P＝90°， ∴∠P＝18°； ④当∠P＝4∠O时， ∴4∠O+∠O＝90°， ∴∠O＝18°， ∴∠P＝4∠O＝72°； 综上所述，∠P＝18°或22.5°或67.5°或72°． 故答案为：18°或22.5°或67.5°或72°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/8 15:51:52；用户：刘银银；邮箱：15198321411；学号：39141288 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $