2026-2027学年人教版数学八年级上册常用辅助线作法习题

**基本信息** 聚焦八年级几何辅助线核心作法，以题载法系统呈现构造全等、转化线段等技巧，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |构造垂线|2（填空1-2）|过顶点作垂线构造直角三角形，利用AAS证全等|从直角三角形性质到角平分线性质的应用迁移| |延长中线|2（解答3、9）|倍长中线构造全等三角形（SAS），集中分散条件|中点中线概念到三角形三边关系的推理链条| |连接线段|4（解答5-8）|连垂直平分线端点、公共边等，利用等腰/等边三角形性质|从垂直平分线性质到全等判定（ASA/SAS）的综合应用|

八年级上常用辅助线作法习题 一．填空题（共2小题） 1．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，4），则点A的坐标为 　 　 ． 2．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝4，那么PC的长为 　 　 ． 二．解答题（共8小题） 3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝35°，求∠C的度数． 4．[问题发现]：如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是线段AB上一点，过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F． （1）若BF＝8，AE＝3，则EF＝　 　 ； （2）在图1中，线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由． [拓展应用]：（3）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是△ABC内部一点，且BP⊥CP，连接AP，若CP＝5，求△ACP 的面积． 5．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O． （1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （2）若∠BAC＝100°，求∠MON的度数． 6．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，BC＝BD，则△ABC与△ABD是“共边黄金三角形”，∠A是黄金角． （1）如图2，△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，BC＝CD，∠BAD＝62°，则△ABC与△ADC的“黄金角”的度数为　 　 ； （2）图2中，在（1）的条件下，若AD＝5，点C到直线AB的距离是2，△ACD的面积是　 　 ； （3）如图3，已知AC平分∠BAD，AB＝AE，△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，试说明CD＝CE． 7．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F． （1）若∠AFD＝152°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，求证：． 8．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形． （1）观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE与BD之间的数量关系为　 　 ；∠APB＝　 　 ． （2）如图②，若点B，C，E在同一条直线上，F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明． （3）深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点．（1）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （4）连接CP，求证：PC平分∠BPE． 9．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围． （1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 　 　 ． A．AASB．SSSC．SASD．HL （2）BC边上的中线AD的取值范围是 　 　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于点F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC． 【拓展提升】 如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 　 　 ． 10．（1）基础夯实：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，AD＝5，DE＝2，则BE的长为 　 　 ． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线AM、AN上．∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF． （3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，点E在线段AD上，∠BED＝∠BAC，若DE：BE：AE＝1：2：5，则S△BDE：S△ACD＝　 　 ． 八年级上常用辅助线作法习题答案 一．填空题（共2小题） 1．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，4），则点A的坐标为 　（﹣6，3）　 ． 【解答】解：作AE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠CFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠CBF＝90°﹣∠BCF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∵C（﹣2，0），（1，4）， ∴CE＝BF＝4，AE＝CF＝1﹣（﹣2）＝3， ∴OE＝CE+OC＝4+2＝6， ∴点A的坐标是（﹣6，3）， 故答案为：（﹣6，3）． 2．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝4，那么PC的长为 　8　 ． 【解答】解：如图所示：过点P作PH⊥OB， ∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA，PD＝4， ∴PH＝PD＝4， ∵PC∥OA， ∴∠HCP＝∠HOD＝∠AOP+∠BOP＝15°+15°＝30°， ∴PC＝2PH＝2×4＝8， 故答案为：8． 二．解答题（共8小题） 3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝35°，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点， ∴AD垂直平分CE， ∴AC＝AE， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC； （2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°， ∴∠BAE＝∠B＝35°， ∴∠AED＝2∠B＝70°． 4．[问题发现]：如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是线段AB上一点，过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F． （1）若BF＝8，AE＝3，则EF＝　5　 ； （2）在图1中，线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由． [拓展应用]：（3）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是△ABC内部一点，且BP⊥CP，连接AP，若CP＝5，求△ACP 的面积． 【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠BCF＝90°， ∵AE⊥CE，BF⊥CE， ∴∠E＝∠BFC＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF＝3，CE＝BF＝8， ∴EF＝CE﹣CF＝5， 故答案为：5； （2）BF＝EF+AE． 理由：由（1）可知△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∴CE＝EF+CF＝EF+AE＝BF， 即BF＝EF+AE． （3）如图2，过点A作AD⊥CP，交CP的延长线于点D， ∴∠BPC＝∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCP＝90°＝∠ACD+∠CAD， ∴∠CAD＝∠BCP， 又∵AC＝BC， ∴△ACD≌△CBP（AAS）， ∴AD＝CP＝5， ∴S△ACPCP×AD． 5．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O． （1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； （2）若∠BAC＝100°，求∠MON的度数． 【解答】解：（1）点O在BC的垂直平分线上；理由如下： 连接AO、BO、CO， ∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O． ∴AO＝BO，CO＝AO， ∴BO＝CO， ∴点O在BC的垂直平分线上； （2）∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO＝∠ANO＝90°， ∵∠BAC＝100°， ∴∠MOM＝360°﹣∠AMO﹣∠BAC﹣∠ANO＝80°． 6．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 任务： 共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，BC＝BD，则△ABC与△ABD是“共边黄金三角形”，∠A是黄金角． （1）如图2，△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，BC＝CD，∠BAD＝62°，则△ABC与△ADC的“黄金角”的度数为　31°　 ； （2）图2中，在（1）的条件下，若AD＝5，点C到直线AB的距离是2，△ACD的面积是　5　 ； （3）如图3，已知AC平分∠BAD，AB＝AE，△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，试说明CD＝CE． 【解答】（1）解：∵△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，BC＝CD， ∴∠CAB＝∠DAC， ∵∠BAD＝62°， ∴， 即△ABC与△ADC的“黄金角”的度数为31°； 故答案为：31°； （2）解：∵∠CAB＝∠DAC，点C到直线AB的距离是2， ∴点C到直线AD的距离是2， ∵AD＝5， ∴△ACD的面积是； 故答案为：5； （3）证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠EAC， 在△ABC和△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（SAS）， ∴BC＝EC， ∵△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，∠BAC＝∠EAC， ∴BC＝CD， ∴CD＝CE． 7．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F． （1）若∠AFD＝152°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，求证：． 【解答】（1）解：∵∠AFD＝152°， ∴∠DFC＝28°， ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠AED＝90°， 在Rt△FDC中， ∴∠C＝90°﹣28°＝62°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝62° ∴∠EDF＝360°﹣62°﹣152°﹣90°＝56°． （2）证明：连接BF， ∵AB＝BC，且点F是AC的中点， ∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC， ∴∠CFD+∠BFD＝90°， ∠CBF+∠BFD＝90°， ∴∠CFD＝∠CBF， ∴∠CFD∠ABC． 8．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形． （1）观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE与BD之间的数量关系为AE＝BD ；∠APB＝　60°　 ． （2）如图②，若点B，C，E在同一条直线上，F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明． （3）深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点．（1）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （4）连接CP，求证：PC平分∠BPE． 【解答】（1）解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CD＝CE， ∵∠ACD＝60°，∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE． 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD （SAS）， ∴∠EAC＝∠DBC，AE＝BD， ∴∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP ＝180°﹣∠BAC﹣∠CAE﹣∠ABP ＝180°﹣∠BAC﹣∠BCD﹣∠ABP ＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC ＝180°﹣60°﹣60° ＝60°， 故答案为：AE＝BD；60°； （2）解：FH∥BE； 证明：同（1）可证△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD． 在△CAH和△CBF中， ， ∴△CAH≌△CBF （ASA）， ∴CH＝CF． ∵∠FCH＝60°， ∴△CFH为等边三角形， ∴∠CHF＝60°， ∴∠DCE＝∠CHF， ∴FH∥BE； （3）解：（1）中的结论仍成立； 证明：如图③，△ABC和△DCE都是等边三角形，设BD与AC交于点O． ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CD＝CE， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE． 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE （SAS）， ∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE． ∵∠APB＝180°﹣∠CAE﹣∠AOP，∠ACB＝180°﹣∠CBD﹣∠BOC，∠AOP＝∠BOC， ∴∠APB＝∠ACB＝60°． （4）证明：连接CP，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M，N，如图④． 由（3）得△BCD≌△ACE， ∴BD＝AE，S△BCD＝S△ACE， ∴， ∴CM＝CN， ∴PC平分∠BPE． 9．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围． （1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 C ． A．AAS B．SSS C．SAS D．HL （2）BC边上的中线AD的取值范围是 　4＜AD＜11　 ． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于点F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC． 【拓展提升】 如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 　4　 ． 【解答】【问题情境】（1）解：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选：C； （2）解：△ABC中，若AB＝15，AC＝7， 由（1）可知：△ADC≌△EDB， ∴AC＝DE＝7， ∵DE＝AD， ∴AE＝2AD 在△ABE中，由三角形三边之间的关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， 即15﹣7＜2AD＜15+7， ∴8＜2AD＜22， ∴4＜AD＜11， ∴BC边上的中线AD的取值范围是：4＜AD＜11， 故答案为：4＜AD＜11； 【初步运用】证明：延长AD到H，使DH＝AD，连接BH，如图2所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDH和△CDA中， ， ∴△BDH≌△CDA（SAS）， ∴BH＝AC，∠H＝∠EAF， ∵∠EAF＝∠EFA，∠EFA＝∠BFH， ∴∠H＝∠BFH， ∴BF＝BH， ∴BF＝AC； 【拓展提升】解：延长GE到K，使EK＝EG，连接BK，如图3所示： 设AF＝a， ∵AB＝15， ∴BF＝AB﹣AF＝15﹣a， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠CAD， ∵EF∥AD， ∴∠AFG＝∠FAD，∠G＝∠CAD， ∴∠AFG＝∠G， ∴AG＝AF＝a， ∵AC＝7， ∴CG＝AC+AG＝7+a， ∵点E为边BC的中点， ∴BE＝CE， 在△BEK和△CEG中， ， ∴△BEK≌△CEG（SAS）， ∴BK＝CG＝7+a，∠K＝∠G， ∵∠AFG＝∠G，∠AFG＝∠BFK， ∴∠K＝∠BFK， ∴BF＝BK， ∴15﹣a＝7+a， 解得：a＝4， ∴AF＝a＝4． 故答案为：4． 10．（1）基础夯实：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，AD＝5，DE＝2，则BE的长为 　3　 ． （2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线AM、AN上．∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF． （3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，点E在线段AD上，∠BED＝∠BAC，若DE：BE：AE＝1：2：5，则S△BDE：S△ACD＝　1：15　 ． 【解答】（1）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD＝90°﹣∠BCE， 在△CBE和△ACD中， ， ∴△CBE≌△ACD（AAS）， ∴CE＝AD＝5，BE＝CD， ∵DE＝2， ∴BE＝CD＝CE﹣DE＝5﹣2＝3， 故答案为：3； （2）证明：∵∠AEB+∠BED＝180°，∠CFA+∠CFD＝180°，且∠BED＝∠CFD， ∴∠AEB＝∠CFA， ∵∠BED＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（AAS）； （3）解：如图3，在AD上截取AL＝BE，连接CL， ∵∠BED＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠BED﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝∠CAL， 在△ABE和△CAL中， ， ∴△ABE≌△CAL（SAS）， ∴S△ABE＝S△CAL， ∵DE：BE：AE＝1：2：5， ∴DE：AL：AE＝1：2：5， 设DE＝m，则AL＝2m，AE＝5m， ∴AD＝DE+AE＝m+5m＝6m， ∵， ∴S△ABE＝S△CAL＝5S△BDE， ∵， ∴S△ACD＝3S△CAL＝3×5S△BDE＝15S△BDE， ∴， 即 S△BDE：S△ACD＝1：15， 故答案为：1：15． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/1 9:13:41；用户：何莲清；邮箱：13843365898；学号：25612560 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $