2026-2027学年人教版数学八年级上册常用辅助线作法习题

八年级上常用辅助线作法习题

一．填空题（共2小题）

1．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，4），则点A的坐标为 　         　 ．

2．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，若PD＝4，那么PC的长为 　   　 ．

二．解答题（共8小题）

3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．

（1）求证：BE＝AC；

（2）若∠B＝35°，求∠C的度数．

 

 

 

 

 

 

4．[问题发现]：如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是线段AB上一点，过点A作AE⊥CP交CP延长线于点E，过点B作BF⊥CP于点F．

（1）若BF＝8，AE＝3，则EF＝　   　 ；

（2）在图1中，线段AE、BF、EF有怎样的数量关系？请说明理由．

 

[拓展应用]：（3）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是△ABC内部一点，且BP⊥CP，连接AP，若CP＝5，求△ACP 的面积．

5．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，直线DM、EN交于点O．

（1）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；

（2）若∠BAC＝100°，求∠MON的度数．

 

 

 

 

 

 

 

 

6．下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．

任务：

共边黄金三角形是在两个不全等的三角形中，有两组边对应相等，其中一组是公共边，另一组等边所对的角对应相等，就称这两个三角形为“共边黄金三角形”，相等的边所对的相等的角称为“黄金角”．如图1，BC＝BD，则△ABC与△ABD是“共边黄金三角形”，∠A是黄金角．

（1）如图2，△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，BC＝CD，∠BAD＝62°，则△ABC与△ADC的“黄金角”的度数为　      　 ；

（2）图2中，在（1）的条件下，若AD＝5，点C到直线AB的距离是2，△ACD的面积是　   　 ；

（3）如图3，已知AC平分∠BAD，AB＝AE，△ABC与△ADC是“共边黄金三角形”，试说明CD＝CE．

7．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．

（1）若∠AFD＝152°，求∠EDF的度数；

（2）若点F是AC的中点，求证：．

 

 

 

 

 

 

8．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形．

（1）观察发现：如图①，若点B，C，E在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点，则线段AE与BD之间的数量关系为　        　 ；∠APB＝　      　 ．

（2）如图②，若点B，C，E在同一条直线上，F为线段BD，AC的交点，H为线段AE，CD的交点，连接FH，猜想FH与BE的位置关系，并证明．

（3）深入探究：如图③，若点B，C，E不在同一条直线上，P为线段AE，BD的交点．（1）中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（4）连接CP，求证：PC平分∠BPE．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9．【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝15，AC＝7，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．容易证得△ADC≌△EDB，再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围．

（1）由已知和作图得到△ADC≌△EDB，依据是 　   　 ．

A．AASB．SSSC．SASD．HL

（2）BC边上的中线AD的取值范围是 　          　 ．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

【初步运用】

如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于点F，且∠EAF＝∠EFA．求证：BF＝AC．

【拓展提升】

如图③，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E为边BC的中点，过点E作EF∥AD，交AB于点F，交CA的延长线于点G，若AB＝15，AC＝7，则AF＝ 　   　 ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10．（1）基础夯实：如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，AD＝5，DE＝2，则BE的长为 　   　 ．

（2）探索证明：如图2，点B，C分别在射线AM、AN上．∠MAN的边AM、AN上，AB＝AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．

（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，点E在线段AD上，∠BED＝∠BAC，若DE：BE：AE＝1：2：5，则S△BDE：S△ACD＝　       　 ．