学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（江苏泰州专用，新教材苏科版八年级上册第1～2章：三角形+实数的初步认识）

**基本信息** 聚焦苏科版八年级上册第1~2章，通过新定义（如“青一区间”“积等三角形”）、动态几何等问题设计，考查抽象能力、推理能力与应用意识，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|三角形三边关系、无理数识别、全等判定|基础概念辨析，如第3题碎玻璃全等判定| |填空题|10/20|等腰三角形、中线性质、垂直平分线|几何性质应用，如第10题中线与平行结合求长度| |解答题|9/68|新定义、动态几何、面积探究|创新应用，如25题“积等三角形”综合考查推理与模型意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1 2 3 4 5 6 B D D B C D 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．17.32 8．3.142 9．7.2 10．3 11．0 12．20 13．1 14．3 15． 16． 三、解答题：本题共9小题，共68分。 17．（6分） 解：（1） ；······································3分 （2） ＝4．·········································6分 18．（6分） 解：（1）原方程变形为：4x2＝9， 所以或；··································3分 （2）原方程变形为（x﹣1）3＝﹣27， 所以x﹣1＝﹣3， 所以x＝﹣2．·····································6分 19．（6分） 解：（1）∵22＝4，32＝9，而4＜5＜9， ∴23， 即的整数部分是2，小数部分a2， 又∵34， ∴的整数部分b＝3， ∴a+b2+31， ∴a+b的平方根为±1；·····························3分 （2）∵12， ∴11＜1012， 又∵10x+y，其中x是整数部分，且0＜y＜1， ∴x＝11，y＝10111， ∴x﹣y＝111＝12．······························6分 20．（8分） （1）解：在△ABC中，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D， ∴， ∴， ∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB， ∴∠EDC＝50°， ∵∠A＝2∠BDF， ∴∠BDF＝40°， ∴∠FDC＝180°﹣40°﹣50°＝90°；·····························3分 （2）证明：在线段CF上取一点H，使CH＝CE，连接DH，如图： ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCE＝∠DCH， 在△DCE和△DCH中， ， ∴△DCE≌△DCH（SAS），································5分 ∴∠DEC＝∠DHC，DE＝DH， ∵DE＝GD， ∴DH＝DG， ∵∠DEC为△ABE的一个外角， ∴∠DEC＝∠A+∠ABE， ∵∠DHC为△BDH的一个外角， ∴∠DHC＝∠BDH+∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠A＝∠BDH， ∵∠A＝2∠BDF， ∴∠GDF＝∠HDF， 在△DFG和△DFH中， ， ∴△DFG≌△DFH（SAS）， ∴FG＝FH， ∵CF＝FH+CH， ∴CF＝FG+CE．····································8分 21．（8分） （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAF+∠CAE＝60°， ∵AD⊥BN， ∴∠ADB＝90°， ∵∠MBN＝30°， ∴∠BFD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BFD＝∠BAF+∠ABG＝60°， ∴∠ABG＝∠CAE；····································2分 （2）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， 由（1）可知，∠ABG＝∠CAE， 在△GBA与△EAC中， ， ∴△GBA≌△EAC（ASA）， ∴AE＝BG；······································4分 （3）解：如图1，取BF的中点K，连接AK， ∵△GBA≌△EAC， ∴∠BAE＝∠CBG， ∵∠ABG+∠CBG＝60°， ∴∠BFD＝∠ABF+∠BAF＝60°， ∵AD⊥BN， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DBF＝30°， ∴BF＝2DF， ∵AD＝BF， ∴BF＝2AF， ∴AF＝BK＝FKBF， ∴△FAK是等腰三角形， ∴∠FAK＝∠FKA， ∵∠BFD＝∠FAK+∠FKA＝2∠AKF， ∵∠BFD＝60°， ∴∠AKF∠BFD＝30°， ∵△GBA≌△EAC， ∴AG＝CE，BG＝AE，∠AGB＝∠AEC， ∴KG＝BG﹣BK＝AE﹣AF＝FE， 在△GAK与△ECF中， ， ∴△GAK≌△ECF（SAS）， ∴∠CFE＝∠AKG＝30°．·································8分 22．（8分） 解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD•AE）：（CD•AE）＝1：1， 故答案为：1：1；···································2分 （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝m：n；····················4分 （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝10， ∴S△ABD＝10， ∵AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝5：3， ∴S△ACD＝6， ∴S△ABC＝10+6＝16， 故答案为：16．····································8分 23．（8分） 解：（1）∵32＝9＜13＜42＝16， ∴的“青一区间”为（3，4）； ∵42＝16＜23＜52＝25， ∴的“青一区间”为（4，5）， ∴的“青一区间”为（﹣5，﹣4）； 故答案为：（4，5）；（﹣5，﹣4）；··························2分 （2）∵无理数（a为正整数）的“青一区间”为（3，4），的“青一区间”为（3，4）， ∴32＜a＜42，32＜a+4＜42， ∴9＜a＜12， ∵a为正整数， ∴a的值为10或11， ∴2或；···································5分 （3）∵实数x﹣3，y﹣4分别为一个正数的两个平方根， ∴x﹣3+y﹣4＝0， ∴x+y＝7， ∴， ∵22＝4＜7＜32＝9， ∴的“青一区间”为（2，3）．······························8分 24．（8分） 解：（1）∵等边△ABC的边长为4厘米， ∴∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝4cm， ∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设点P，Q运动t秒时，△PBQ是直角三角形， ∴AP＝BQ＝tcm，PB＝（4﹣t）cm， 分两种情况讨论： 当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠QPB＝30°， ∴BP＝2BQ，即4﹣t＝2t， 解得，；·····································1分 当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，即2（4﹣t）＝t， 解得， 故当t为秒或秒时，△PBQ是直角三角形；·······················2分 （2）∠CMQ的度数不变化；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠ABQ＝∠CAP＝∠ACB＝60°， ∵点P，Q的速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ和△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠MAC+∠ACP＝∠MAC+∠BAQ＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ＝60°， 故∠CMQ的度数不变化；································5分 （3）t＝2s时，△AMC为等腰三角形；理由如下： ∵∠CMQ＝60°， ∴∠AMC＝120°， ∵△AMC为等腰三角形， ∴AM＝CM， ∴， ∴∠BCP＝60°﹣30°＝30°＝∠ACM， ∴AP＝BP＝2cm， ∴t＝2÷1＝2（s）， 故t＝2s时，△AMC为等腰三角形．···························8分 25．（10分） 解：（1）过点A作AH⊥BC于H，如图1， ∵△ABP与△CBP是积等三角形， ∴S△ABP＝S△ACP， ∴， ∴B P＝C P， ∵BP+CP＝BC， ∴BP＝CP＝2；····································2分 （2）如图2，延长AD至N，使DN＝AD，连接CN， ∵△ABD与△ACD为积等三角形， ∴BD＝CD， 在△ADB和△NDC中， ， ∴△ADB≌△NDC（SAS）， ∴AB＝NC＝2， 在△ACN中，AC﹣CN＜AN＜AC+CN， ∵AC＝4， ∴4﹣2＜AN＜4+2， ∴2＜AN＜6， ∴2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3， ∵AD为正整数， ∴AD＝2；·······································5分 （3）积等三角形； 证明：如图3，过点E作EH⊥AB于点H， ∵MN⊥AC， ∴∠ACD＝∠AHE＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH﹣∠DAH＝∠DAE﹣∠DAH， ∴∠EAH＝∠DAC， 在△HAE和△CAD中， ， ∴△HAE≌△CAD（AAS）， ∴AC＝AH，EH＝CD， ∵， ∵AB＝AC， ∴， ∴S△BAE＝S△ACD， ∴△ABE与△ACD为积等三角形．····························10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7._______________ 11. ______________ 15. ______________ 8. _______________ 12. ______________ 16. ______________ 9. ________________ 13.________________ 10. ________________ 14. ________________ 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） （1） 　 　　 　； 23．（8分） （1）　 　　 　；　 　　 　； 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，5cm，3cm B．8cm，5cm，6cm C．5cm，2cm，8cm D．1cm，5cm，6cm 2．在﹣1.414，，π，，3.212212221…，3.14，，这些数中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 3．有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 4．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝13cm，CF＝6cm，BD长为（　　）cm． A．6 B．7 C．12 D．13 5．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△ABC的（　　） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3条角平分线的交点处 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AC的延长线于点F，连接DF，则下列结论中不成立的是（　　） A．AB＝AF B．AC+CD＝AB C．BD＝DF D．BE＝CD 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若，，则 　 　 ． 8．圆周率π＝3.141592653…精确到千分位的近似数是　 　 ． 9．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一腰长是底边长的2倍，则此等腰三角形的一腰长 为　 　 cm． 10．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　 　 ． 11．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝　 　 ． 12．如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB＝70°，则∠BAD＝　 　 °． 13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　 　 ． 14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　 　 ． 15．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 　 　 ． 16．如图，△ABC的面积为14，D、E分别是AC，AB上的点，且AD＝CD，AE：BE＝2：1，连接BD，CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H，则四边形BEFH的面积为 　 　 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分。 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）求下列各式中x的值． （1）（﹣2x）2﹣3＝6； （2）3（x﹣1）3＝﹣81． 19．（6分）阅读下列材料：因为，即23，所以的整数部分为2，小数部分为2．请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的平方根； （2）已知10x+y，其中x是整数部分，且0＜y＜1，求x﹣y． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠FDC的度数； （2）求证：CF＝FC+CE． 21．（8分）如图，在等边△ABC中，射线BM、BN分别交线段AC于点G、H，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F． （1）求证：∠ABG＝∠CAE； （2）求证：AE＝BG； （3）若AD＝BF，连接CF，求∠CFE的度数． 22．（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　 ； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 23．（8分）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n），例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2），的“青一区间”为（﹣2，﹣1），请回答下列问题： （1）的“青一区间”为　 　 ，的“青一区间”为　 　 ． （2）若无理数（a为正整数）的“青一区间”为（3，4），的“青一区间”为（3，4），求的值； （3）实数x﹣3，y﹣4分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 24．（8分）如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒． （1）连接PQ，在点P、Q运动过程中，当△PBQ是直角三角形时，求t的值； （2）连接AQ、CP相交于点M，在点P、Q运动过程中，∠CMQ的度数是否变化？请说明理由； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，△AMC为等腰三角形？请说明理由． 25．（10分）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，BC＝4，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求BP的长； 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，5cm，3cm B．8cm，5cm，6cm C．5cm，2cm，8cm D．1cm，5cm，6cm 2．在﹣1.414，，π，，3.212212221…，3.14，，这些数中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 3．有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 4．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝13cm，CF＝6cm，BD长为（　　）cm． A．6 B．7 C．12 D．13 5．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△ABC的（　　） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3条角平分线的交点处 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AC的延长线于点F，连接DF，则下列结论中不成立的是（　　） A．AB＝AF B．AC+CD＝AB C．BD＝DF D．BE＝CD 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若，，则 　 　 ． 8．圆周率π＝3.141592653…精确到千分位的近似数是　 　 ． 9．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一腰长是底边长的2倍，则此等腰三角形的一腰长 为　 　 cm． 10．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　 　 ． 11．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝　 　 ． 12．如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB＝70°，则∠BAD＝　 　 °． 13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　 　 ． 14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　 　 ． 15．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 　 　 ． 16．如图，△ABC的面积为14，D、E分别是AC，AB上的点，且AD＝CD，AE：BE＝2：1，连接BD，CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H，则四边形BEFH的面积为 　 　 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分。 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）求下列各式中x的值． （1）（﹣2x）2﹣3＝6； （2）3（x﹣1）3＝﹣81． 19．（6分）阅读下列材料：因为，即23，所以的整数部分为2，小数部分为2．请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的平方根； （2）已知10x+y，其中x是整数部分，且0＜y＜1，求x﹣y． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠FDC的度数； （2）求证：CF＝FC+CE． 21．（8分）如图，在等边△ABC中，射线BM、BN分别交线段AC于点G、H，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F． （1）求证：∠ABG＝∠CAE； （2）求证：AE＝BG； （3）若AD＝BF，连接CF，求∠CFE的度数． 22．（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　 ； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 23．（8分）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n），例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2），的“青一区间”为（﹣2，﹣1），请回答下列问题： （1）的“青一区间”为　 　 ，的“青一区间”为　 　 ． （2）若无理数（a为正整数）的“青一区间”为（3，4），的“青一区间”为（3，4），求的值； （3）实数x﹣3，y﹣4分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 24．（8分）如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒． （1）连接PQ，在点P、Q运动过程中，当△PBQ是直角三角形时，求t的值； （2）连接AQ、CP相交于点M，在点P、Q运动过程中，∠CMQ的度数是否变化？请说明理由； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，△AMC为等腰三角形？请说明理由． 25．（10分）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，BC＝4，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求BP的长； 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版八年级上册第1~2章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．1cm，5cm，3cm B．8cm，5cm，6cm C．5cm，2cm，8cm D．1cm，5cm，6cm 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，逐项验证即可求解． 【解答】解：A、1+3＜5，不能组成三角形，不符合题意； B、5+6＞8，能组成三角形，符合题意； C、2+5＜8，不能组成三角形，不符合要求； D、1+5＝6，不能组成三角形，不符合要求； 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 2．在﹣1.414，，π，，3.212212221…，3.14，，这些数中，无理数的个数为（　　） A．5 B．2 C．3 D．4 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数）判断每个数是否为无理数即可． 【解答】解：无理数有：，π，，3.212212221…，共4个， 故选：D． 【点评】本题考查的是无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 3．有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断． 【解答】解：A、B、C中的两块玻璃只能知道三角形玻璃的一个角的大小，不能订制和原来一样的大小的玻璃，故A、B、C不符合题意； D、由ASA判定能订制和原来一样的大小的玻璃，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：ASA． 4．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝13cm，CF＝6cm，BD长为（　　）cm． A．6 B．7 C．12 D．13 【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE＝∠EFC，再由ASA可求出△ADE≌△CFE（ASA），根据全等三角形的性质即可求出AD的长，再由AB＝13cm即可求出BD的长． 【解答】解：∵AB∥CF，E为DF的中点， ∴∠ADE＝∠EFC，DE＝EF， 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD＝CF＝6cm， ∵AB＝13cm， ∴BD＝13﹣6＝7（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理及性质，解题的关键在于证明△ADE≌△CFE（ASA）． 5．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在△ABC的（　　） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3条角平分线的交点处 【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答． 【解答】解：要使电动车充电桩到3个出口的距离都相等， 那么充电桩应建在△ABC的3条边的垂直平分线的交点处， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，交AC的延长线于点F，连接DF，则下列结论中不成立的是（　　） A．AB＝AF B．AC+CD＝AB C．BD＝DF D．BE＝CD 【分析】判定△ABE≌△AFE（ASA），推出AB＝AF，判定△ACD≌△BCF（ASA），推出CD＝CF，得到AC+CD＝AF，因此AC+CD＝AB，由AE垂直平分BF，得到BD＝FD，过E作EH⊥AF于H，得到BE＞CD． 【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， ∵AE⊥BF， ∴∠AEB＝∠AEF＝90°， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴AB＝AF， 故A不符合题意； ∵∠BED＝∠ACB＝90°，∠BDE＝∠ADC， ∴∠CAD＝∠CBF， ∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCF， ∴△ACD≌△BCF（ASA）， ∴CD＝CF， ∴AC+CD＝AC+CF＝AF， ∵AB＝AF， ∴AC+CD＝AB， 故B不符合题意； ∵△ABE≌△AFE（ASA）， ∴BE＝EF， ∵AE⊥BF， ∴AE垂直平分BF， ∴BD＝FD， 故C不符合题意； 过E作EH⊥AF于H， ∴EF＞EH， 显然EH＞CD， ∵BE＝EF， ∴BE＞CD， 故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质，关键是判定△ABE≌△AFE（ASA），△ABE≌△AFE（ASA）． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．若，，则 　17.32　 ． 【分析】由题意得出被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【解答】解：∵，， ∴被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ∴， 故答案为：17.32． 【点评】本题考查了求算术平方根，关键是算术平方根定义的掌握． 8．圆周率π＝3.141592653…精确到千分位的近似数是　3.142　 ． 【分析】精确到千分位，即保留到千分位，由于千分位1后面的5大于4，故进1，得3.142． 【解答】解：由于千分位1后面的5大于4，故进1， 圆周率精确到千分位的近似数是3.142， 故答案为：3.142． 【点评】本题考查了近似数和精确度，理解近似数和精确度的概念是解题的关键． 9．用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一腰长是底边长的2倍，则此等腰三角形的一腰长 为　7.2　 cm． 【分析】设等腰三角形的底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得等腰三角形的一腰长． 【解答】解：设等腰三角形的底边长为xcm， ∵腰长是底边的2倍， ∴腰长为2xcm， ∵三角形的周长为18cm， ∴2x+2x+x＝18， 解得x＝3.6， ∴2x＝2×3.6＝7.2（cm）， ∴等腰三角形的一腰长为7.2cm， 故答案为：7.2． 【点评】考查等腰三角形的性质，设出未知数列出一元一次方程是解题的关键． 10．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　3　 ． 【分析】因为△ABC中，AD是BC边上的中线，所以BD＝CD，由AE＝13，AF＝7，求得EF＝AE﹣AF＝6，由BE∥CF，得∠E＝∠CFD，而∠BDE＝∠CDF，可根据“AAS”证明△BED≌△CFD，得DE＝DFEF＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵点F在线段AE上，AE＝13，AF＝7， ∴EF＝AE﹣AF＝6， ∵BE∥CF， ∴∠E＝∠CFD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DFEF＝3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AED≌△CFD是解题的关键． 11．已知a、b、c为△ABC的三边，则化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|＝　0　 ． 【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可． 【解答】解：|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|， ＝（a+b+c）﹣（﹣a+b+c）﹣（a﹣b+c）﹣（a+b﹣c）， ＝a+b+c+a﹣b﹣c﹣a+b﹣c﹣a﹣b+c， ＝0， 故答案为：0． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理． 12．如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB＝70°，则∠BAD＝　20　 °． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出CD＝BD，AD＝BD，由等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠ACD，∠DBC＝∠BCD，∠BAD＝∠DBA，求出∠CAD+∠DBC＝∠ACB＝70°，由三角形内角和定理求出∠BAD+∠DBA＝40°，得到∠BAD40°＝20°． 【解答】解：∵DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线， ∴CD＝BD，AD＝BD， ∴CD＝AD， ∴∠CAD＝∠ACD，∠DBC＝∠BCD，∠BAD＝∠DBA， ∴∠CAD+∠DBC＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝70°， ∴∠BAD+∠DBA＝180°﹣∠ACB﹣（∠CAD+∠DBC）＝40°， ∴∠BAD40°＝20°． 故答案为：20． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是BD的中点，若BC＝4，AD＝1，则S△DEC＝ 　1　 ． 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线性质得DF＝AD＝1，进而得S△BCDBC•DF＝2，再根据点E是BD的中点得DE＝BE，由此得S△BEC＝S△DEC＝1/2S△BCD＝1，据此可得出答案． 【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示： ∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，AD＝1， ∴DF＝AD＝1， 又∵BC＝4， ∴S△BCDBC•DF4×1＝2， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， ∵△DEC的边DE上的高和△BEC的边BE上的高相同， ∴S△BEC＝S△DECS△BCD＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键． 14．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是　3　 ． 【分析】过P作PD⊥OB于点D，在Rt△OPD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM＝PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN＝2求出DN的长，由OD﹣MN即可求出OM的长． 【解答】解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中， ∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°， ∴∠OPD＝30°， ∴， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2， ∴， ∴OM＝OD﹣MD＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点评】考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 15．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入x的值是64时，输出的y值是 　　 ． 【分析】按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． 【解答】解：当x值为64时，取算术平方根得8，取立方根得2，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． 16．如图，△ABC的面积为14，D、E分别是AC，AB上的点，且AD＝CD，AE：BE＝2：1，连接BD，CE交于点F，连接AF并延长交BC于点H，则四边形BEFH的面积为 　　 ． 【分析】如图，作DJ∥EC交AB于J，交AH于K，作DG∥BC交AH于G．想办法证明EF：FC＝1：3，BH：CH＝1：2，求出△BEF，△BFH的面积即可． 【解答】解：如图，作DJ∥EC交AB于J，交AH于K，作DG∥BC交AH于G． ∵DJ∥EC，AD＝DC， ∴AJ＝JE，AK＝KF， ∴EF＝2JK，DJ＝2EF，CF＝2DK， 设JK＝m，则EF＝2m，DJ＝4m，DK＝3m，CF＝6m， ∴EF：CF＝1：3， ∵AE＝2BE， ∴BE＝EJ， ∵EF∥DJ， ∴BF＝DF， ∵GD∥BH， ∴∠GDF＝∠FBH， ∵∠GFD＝∠HFB，BF＝DF， ∴△DFG≌△BFH（ASA）， ∴DG＝BH， ∵DG∥CH，AD＝DC， ∴AG＝GH， ∴CH＝2DG， ∴BH＝2CH， ∵BEAB， ∴S△BECS△ABC， ∵EFEC， ∴S△BEFS△BEC，S△BFC， ∵BHBC， ∴S△BHF， ∴S四边形BEFH， 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的面积，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：本题共9小题，共68分。 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先化简绝对值和二次根式、计算负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得． 【解答】解：（1） ； （2） ＝4． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 18．（6分）求下列各式中x的值． （1）（﹣2x）2﹣3＝6； （2）3（x﹣1）3＝﹣81． 【分析】（1）原方程变形后利用平方根的定义求解即可； （2）原方程两边同时除以3后，再利用立方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）原方程变形为：4x2＝9， 所以或； （2）原方程变形为（x﹣1）3＝﹣27， 所以x﹣1＝﹣3， 所以x＝﹣2． 【点评】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握二者的定义是关键． 19．（6分）阅读下列材料：因为，即23，所以的整数部分为2，小数部分为2．请你观察上述的规律后试解下面的问题： （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的平方根； （2）已知10x+y，其中x是整数部分，且0＜y＜1，求x﹣y． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数，的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到10得到大小，确定x、y的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵22＝4，32＝9，而4＜5＜9， ∴23， 即的整数部分是2，小数部分a2， 又∵34， ∴的整数部分b＝3， ∴a+b2+31， ∴a+b的平方根为±1； （2）∵12， ∴11＜1012， 又∵10x+y，其中x是整数部分，且0＜y＜1， ∴x＝11，y＝10111， ∴x﹣y＝111＝12． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE． （1）当∠A＝80°时，求∠FDC的度数； （2）求证：CF＝FC+CE． 【分析】（1）根据三角形内角和与角平分线定义可得∠DBC+∠DCB＝50°，再根据外角性质即可求出∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°，据此求解即可； （2）在线段CF上取一点H，使CH＝CE，连接DH，证明△DCE≌△DCH，得到∠DEC＝∠DHC，DE＝DH，利用全等三角形的性质与外角性质得出DH＝DG，∠A＝∠BDH，证明△DCE≌△DCH，从而得到FG＝FH，即可证明结论． 【解答】（1）解：在△ABC中，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°， ∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D， ∴， ∴， ∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB， ∴∠EDC＝50°， ∵∠A＝2∠BDF， ∴∠BDF＝40°， ∴∠FDC＝180°﹣40°﹣50°＝90°； （2）证明：在线段CF上取一点H，使CH＝CE，连接DH，如图： ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCE＝∠DCH， 在△DCE和△DCH中， ， ∴△DCE≌△DCH（SAS）， ∴∠DEC＝∠DHC，DE＝DH， ∵DE＝GD， ∴DH＝DG， ∵∠DEC为△ABE的一个外角， ∴∠DEC＝∠A+∠ABE， ∵∠DHC为△BDH的一个外角， ∴∠DHC＝∠BDH+∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠A＝∠BDH， ∵∠A＝2∠BDF， ∴∠GDF＝∠HDF， 在△DFG和△DFH中， ， ∴△DFG≌△DFH（SAS）， ∴FG＝FH， ∵CF＝FH+CH， ∴CF＝FG+CE． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确的作辅助线是解决问题的关键． 21．（8分）如图，在等边△ABC中，射线BM、BN分别交线段AC于点G、H，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F． （1）求证：∠ABG＝∠CAE； （2）求证：AE＝BG； （3）若AD＝BF，连接CF，求∠CFE的度数． 【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，再求得∠BFD＝60°，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再证明△GBA≌△EAC，然后由全等三角形的性质即可得到结论； （3）先证明△FAK是等腰三角形，得∠FAK＝∠FKA，再证明∠AKF∠BFD＝30°，进而证明KG＝FE，然后证明△GAK≌△ECF（SAS），即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAF+∠CAE＝60°， ∵AD⊥BN， ∴∠ADB＝90°， ∵∠MBN＝30°， ∴∠BFD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BFD＝∠BAF+∠ABG＝60°， ∴∠ABG＝∠CAE； （2）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， 由（1）可知，∠ABG＝∠CAE， 在△GBA与△EAC中， ， ∴△GBA≌△EAC（ASA）， ∴AE＝BG； （3）解：如图1，取BF的中点K，连接AK， ∵△GBA≌△EAC， ∴∠BAE＝∠CBG， ∵∠ABG+∠CBG＝60°， ∴∠BFD＝∠ABF+∠BAF＝60°， ∵AD⊥BN， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DBF＝30°， ∴BF＝2DF， ∵AD＝BF， ∴BF＝2AF， ∴AF＝BK＝FKBF， ∴△FAK是等腰三角形， ∴∠FAK＝∠FKA， ∵∠BFD＝∠FAK+∠FKA＝2∠AKF， ∵∠BFD＝60°， ∴∠AKF∠BFD＝30°， ∵△GBA≌△EAC， ∴AG＝CE，BG＝AE，∠AGB＝∠AEC， ∴KG＝BG﹣BK＝AE﹣AF＝FE， 在△GAK与△ECF中， ， ∴△GAK≌△ECF（SAS）， ∴∠CFE＝∠AKG＝30°． 【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 22．（8分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝　1：1　 ； （2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，连接BE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值． 【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案． 【解答】解：（1） 过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点， ∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD•AE）：（CD•AE）＝1：1， 故答案为：1：1； （2） 过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线， ∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB•DE）：（AC•DF）＝m：n； （3） ∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝10， ∴S△ABD＝10， ∵AC＝3，AB＝5，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝5：3， ∴S△ACD＝6， ∴S△ABC＝10+6＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． 23．（8分）新定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“青一区间”为（﹣n﹣1，﹣n），例如：因为12＜2＜22，所以的“青一区间”为（1，2），的“青一区间”为（﹣2，﹣1），请回答下列问题： （1）的“青一区间”为　（3，4）　 ，的“青一区间”为　（﹣5，﹣4）　 ． （2）若无理数（a为正整数）的“青一区间”为（3，4），的“青一区间”为（3，4），求的值； （3）实数x﹣3，y﹣4分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 【分析】（1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用平方根的定义得x+y＝7，再根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可． 【解答】解：（1）∵32＝9＜13＜42＝16， ∴的“青一区间”为（3，4）； ∵42＝16＜23＜52＝25， ∴的“青一区间”为（4，5）， ∴的“青一区间”为（﹣5，﹣4）； 故答案为：（4，5）；（﹣5，﹣4）； （2）∵无理数（a为正整数）的“青一区间”为（3，4），的“青一区间”为（3，4）， ∴32＜a＜42，32＜a+4＜42， ∴9＜a＜12， ∵a为正整数， ∴a的值为10或11， ∴2或； （3）∵实数x﹣3，y﹣4分别为一个正数的两个平方根， ∴x﹣3+y﹣4＝0， ∴x+y＝7， ∴， ∵22＝4＜7＜32＝9， ∴的“青一区间”为（2，3）． 【点评】本题考查无理数的估算，理解并掌握“青一区间”的定义和确定方法，是解题的关键． 24．（8分）如图，点P、Q分别是边长为4厘米的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设运动时间为t秒． （1）连接PQ，在点P、Q运动过程中，当△PBQ是直角三角形时，求t的值； （2）连接AQ、CP相交于点M，在点P、Q运动过程中，∠CMQ的度数是否变化？请说明理由； （3）在（2）的条件下，当t为何值时，△AMC为等腰三角形？请说明理由． 【分析】（1）设点P，Q运动t秒时，则AP＝BQ＝tcm，PB＝（4﹣t）cm，分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，根据含30°角的直角三角形性质计算即可． （2）根据等边三角形的性质得AB＝CA和∠ABQ＝∠CAP，根据运动得AP＝BQ，即可得△ABQ≌△CAP（SAS），得到∠BAQ＝∠ACP，根据三角形的外角的性质解答即可； （3）根据∠CMQ＝60°，得出∠AMC＝120°，则AM＝CM，，得出∠BCP＝60°﹣30°＝30°＝∠ACM，则AP＝BP＝2cm，即可求解． 【解答】解：（1）∵等边△ABC的边长为4厘米， ∴∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝4cm， ∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1厘米/秒，设点P，Q运动t秒时，△PBQ是直角三角形， ∴AP＝BQ＝tcm，PB＝（4﹣t）cm， 分两种情况讨论： 当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠QPB＝30°， ∴BP＝2BQ，即4﹣t＝2t， 解得，； 当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，即2（4﹣t）＝t， 解得， 故当t为秒或秒时，△PBQ是直角三角形； （2）∠CMQ的度数不变化；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CA，∠ABQ＝∠CAP＝∠ACB＝60°， ∵点P，Q的速度相同， ∴AP＝BQ， 在△ABQ和△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠MAC+∠ACP＝∠MAC+∠BAQ＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ＝60°， 故∠CMQ的度数不变化； （3）t＝2s时，△AMC为等腰三角形；理由如下： ∵∠CMQ＝60°， ∴∠AMC＝120°， ∵△AMC为等腰三角形， ∴AM＝CM， ∴， ∴∠BCP＝60°﹣30°＝30°＝∠ACM， ∴AP＝BP＝2cm， ∴t＝2÷1＝2（s）， 故t＝2s时，△AMC为等腰三角形． 【点评】本题属于三角形综合题，考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含30°角的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 25．（10分）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，BC＝4，P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积等三角形，求BP的长； 【理解运用】 （2）如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，求AD的长． 【综合应用】 （3）如图3，在Rt△ABC中∠BAC＝90°，AB＝AC，过点C作MN⊥AC，点D是射线CM上一点，以AD为边作Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，连接BE．请判断△BAE与△ACD是否为积等三角形，并说明理由． 【分析】（1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明△ADB≌△NDC，推出AB＝NC＝2，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点E作EH⊥AB于点H，先证明△HAE≌△CAD，则AC＝AH，EH＝CD，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H，如图1， ∵△ABP与△CBP是积等三角形， ∴S△ABP＝S△ACP， ∴， ∴B P＝C P， ∵BP+CP＝BC， ∴BP＝CP＝2； （2）如图2，延长AD至N，使DN＝AD，连接CN， ∵△ABD与△ACD为积等三角形， ∴BD＝CD， 在△ADB和△NDC中， ， ∴△ADB≌△NDC（SAS）， ∴AB＝NC＝2， 在△ACN中，AC﹣CN＜AN＜AC+CN， ∵AC＝4， ∴4﹣2＜AN＜4+2， ∴2＜AN＜6， ∴2＜2AD＜6， ∴1＜AD＜3， ∵AD为正整数， ∴AD＝2； （3）积等三角形； 证明：如图3，过点E作EH⊥AB于点H， ∵MN⊥AC， ∴∠ACD＝∠AHE＝90°， ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH＝∠DAE＝90°， ∴∠CAH﹣∠DAH＝∠DAE﹣∠DAH， ∴∠EAH＝∠DAC， 在△HAE和△CAD中， ， ∴△HAE≌△CAD（AAS）， ∴AC＝AH，EH＝CD， ∵， ∵AB＝AC， ∴， ∴S△BAE＝S△ACD， ∴△ABE与△ACD为积等三角形． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][V1[/] 一、单项选择题： 本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共10小题， 每小题2分，共20分。 9. 10. 11. 12 13. 4 15. 16. 三、解答题：本题共9小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) 20.(6分) E C 21.(8分) M G HN D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) (1) B 图1 图2 图3 23.(8分) (1) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) E A A D B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！