21.3实践与探索 专项练习 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 以一元二次方程应用为核心，构建“概念-公式-模型-应用”四层方法体系，覆盖数字、经济、几何三大领域，突出建模思想与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数字循环传播|18题|数位表示法、单双循环公式、两轮传染模型|从具体数字问题到抽象传播模型，培养抽象能力与符号意识| |增长率利润|23题|a(1±x)ⁿ=b公式、总利润=单件利润×销量|经济问题建模，发展数据观念与应用意识| |面积动态几何|32题|图形平移法、动态变量表示、分类讨论|几何问题代数化，提升几何直观与推理能力|

第21章21.3 实践与探索 【新教材华东师大版】 知识点1 数字、循环、传播问题 1、数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 2、循环问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场.双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 3、传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 【题型1 数字问题】 1．根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（     ） 有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3倍，最后加上4，运算结果是这个数的2倍？ A．1 B．4 C． D．1或4 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 3．读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意；周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 5．“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在积幻方中，个小方格中的正整数互不相等，且每行、每列、每条对角线上的三个数的乘积相等．如图，已知一个“积幻方”只呈现了个小方格中的数，则其中的值是_________． 6．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 7．如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【题型2 单循环与双循环问题】 1．某班2026年元旦晚会上，某合唱小组每两位同学间互赠贺卡，共赠贺卡30张，该合唱小组人数为（     ） A．5 B．6 C．29 D．30 2．某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 6．某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【题型3 传播问题】 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 3．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（   ） A．第一轮后有个人患了流感 B．第二轮后又增加个人患流感 C．依题意可列方程 D．按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 4．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达到，每轮传播人，列出的方程是（   ） A． B． C． D． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 7．化学老师手把手教会了若干名同学“高锰酸钾制取氧气”的实验操作，这些同学回到班上后每个人又手把手教会了同样多名同学，这样恰好全班56名同学都会做这个实验了，若设化学老师教会了名同学，依题意可列方程______． 知识点2 平均增长率及利润问题 1. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b，则增长率公式为，降低率公式为． 2. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 【题型4 增长率问题】 1．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 2．郑州某超市1月份的营业额为90万元，1月、2月和3月的总营业额为万元．设平均每月营业额的增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为325万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到468万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率（     ） A． B． C． D． 4．某加工厂九月份加工了吨干果，十一月份加工了吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为，根据题意可列方程为_____． 5．我市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是________． 6．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 7．松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【题型5 销售利润问题】 1．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 3．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 4．某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300元，若售价为420元，则平均每天可售出20件．经调查发现，每件衬衫每降价10元，商场平均每天可多售出1件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．设每件衬衫降价元 (1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含的代数式表示） (2)若商场每天要盈利1920元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？ 5．请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 6．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 知识点3 面积问题 面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． 【题型6 边框与甬通道问题】 1．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 3．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 5．如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路，四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的倍，道路占地总面积为，设道路宽为，则可列方程______． 6．综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 (1)当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ (2)若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 7．如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长、宽的矩形劳动实践基地扩建为矩形，使其总面积达到．经规划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为（即）． (1)求长和宽各增加了多少米？ (2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为的十字形小路，剩余部分为试验园地，求试验园地的面积． 8．根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计）．    方案甲 如图所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形．    方案乙 如图所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形．    (1)任务一：用含的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为________，底面宽为________． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长的值 (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内．   【题型7 围墙类问题】 1．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 2．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段长的铁丝网在院墙（墙长）的一边恰好围成了一个矩形鸡舍，其面积为．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个宽的门（由其他材料构成），则该鸡舍的长度为（     ） A．或 B．或 C． D． 3．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 4．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 5．（1）如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为． ①设的长为，用含的代数式表示的长； ②若建成的饲养室总占地面积为时，求的长； （2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，问每天传染中平均一只鸡传染了几只鸡． 6．体育场准备利用一堵呈“”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，已知，米，米，现计划用总长为121米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在每个篮球场开一个宽2米的门，如图所示（细线表示围网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点必须在线段上． (1)如图，设的长为米，则_____________米；（用含的代数式表示） (2)若围成的篮球场的面积为1500平方米，求篮球场的宽的长；（围网及墙体所占面积忽略不计） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【题型8 动态几何问题】 1．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 2．如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么： (1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________． (2)当为何值时，的面积为8？ (3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论． 3．如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，厘米，厘米．动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向点D移动，当点P到达点B时，两动点同时停止．问：    (1)两动点经过几秒时，使得； (2)两动点经过几秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)连接，两动点经过几秒，使很是等腰三角形． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，动点P从点A开始，沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒 个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连接两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连接PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． (1)当t=3时，求PD的长？ (2)当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的一半？ (3)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 第21章21.3 实践与探索答案与详细解析 【题型1 数字问题】 1．D 【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， 则，移项可得， 因式分解可得，解得，． 故有这样的数，为1或4． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 3．B 【分析】设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为，根据“个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄”，列出方程，即可得出答案． 【详解】解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则周瑜逝世时的年龄的十位数字为， 根据题意，可得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，正确列出方程． 4．31 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 5．16 【分析】根据题意，得到，整理得，再根据解一元二次方程的方法解方程，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，可得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 因式分解，得， 解得，， ∵个小方格中的正整数互不相等， ∴，即的值是16． 6．（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 7．9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先观察这四个数的特点可知左上角最小数与右下最大数的差是8，再设未知数，根据乘积等于153列出方程，求出解即可. 【详解】解：设最小数为x，则最大数为，根据题意，得 ， 解得（舍去），， 所以这个最小数为9. 故答案为：9. 【题型2 单循环与双循环问题】 1．B 【分析】根据互赠贺卡的总张数与人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设该合唱小组人数为人，根据题意，得 ． 整理得， 解得或（舍去）， ∴该合唱小组人数为6． 2．A 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 3．D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 4．D 【分析】解题思路为：明确每家公司的签约数量，去掉重复计算的部分，根据总签约合同数列出等量关系即可得到方程． 【详解】解：∵共有家公司参加商品交易会，每两家公司之间签订一份合同， ∴每家公司要和除自身外的家公司签订合同， ∵同一份合同会被两家公司各重复计算一次， ∴所有公司签订合同的总份数为， 已知总合同数为45份，因此可列方程． 5．8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 6． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 【题型3 传播问题】 1．C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 3．D 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 即：． 故选：D． 5． 【分析】设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 6．9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 7． 【分析】本题考查了列一元二次方程． 设化学老师教会了x名同学，则这些同学每人又教会x名同学，会做实验的学生总人数为x与之和，等于56，由此列方程即可． 【详解】解：化学老师直接教会x名同学， 这些同学每人又教会x名同学， 因此总会做实验的同学人数为， 根据全班56名同学都会做这个实验，得． 故答案为：． 【题型4 增长率问题】 1．B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 2．D 【分析】根据月平均增长率分别表示2月、3月的营业额，结合三个月总营业额列方程 【详解】解：设平均每月营业额的增长率为x，2月份营业额为万元，3月份营业额为万元， ∵1月、2月、3月总营业额为万元， ∴ 3．B 【分析】设两次数据扩容的平均增长率为，再根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：设两次数据扩容的平均增长率为， 由题意得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴这两次数据扩容的平均增长率为． 4． 【分析】十一月加工量=九月加工量（+月平均增长率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设该厂加工干果重量的月平均增长率为， 根据题意，可列方程为：． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为． 5． 【分析】设平均每次下调的百分率为x，列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x， 根据题意得 解得或（舍去）, ． 6．(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 7．(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 【题型5 销售利润问题】 1．A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 2．(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 3．应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元 【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据总利润每千克的利润销售量固定成本建立方程求解即可． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元， 根据题意得：， 整理得, 解得，, ∵要更多地让利消费者， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 4．(1)元，件 (2)每件衬衫应降40元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润单件利润件数，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每件衬衫降价元，则每件衬衫的盈利为元，每天可售出的衬衫件； （2）解：由题意可得，， 解得，（舍去），， 故每件衬衫应降40元． 5．(1)10月份至12月份报名人数的月平均增长率为； (2)降低团费后每人的团费为元. 【分析】（1）设月平均增长率为，10月人数为基础量1000人，连续增长两个月到12月1440人，根据平均增长率公式：列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低元，则单人团费变为元；每降元多人，每组人数变为人．总团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费元筛选合理解． 【详解】（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 6．(1)月平均增长率为 (2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4月产量和6月产量的关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）本题为销售利润问题，利用“总利润单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽可能实惠”的要求，选择较小的解即可． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 【题型6 边框与甬通道问题】 1．D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 2．A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 3．A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 4． 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 5． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据道路宽与中间正方形边长的关系，结合矩形面积公式列出方程，再化为一般形式即可． 【详解】解：设道路宽为， 则中间正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得， 故答案为： ． 6．(1)车道宽度符合标准 (2)每个车位月租金上涨25元 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． （2）解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 7．(1)长增加了，宽增加了 (2) 【分析】（1）设，则，根据扩建后总面积达到，列方程求解即可； （2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可； 【详解】（1）解：设，由得， 扩建后矩形的长为，宽为， 根据总面积列方程：，整理得：， 解得：，（长度不能为负，舍去）， 因此，， 即长增加了，宽增加了； （2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为，宽为， 将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度， 因此试验园地面积为：． 8．(1)； (2)裁去小正方形的边长的值为 (3)书本能完全放入该收纳盒内 【分析】（1）根据方案甲长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，可得长和宽为原来的长和宽分别减去； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：依题意，方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为，底面宽为． （2）解：∵无盖收纳盒的底面长，底面宽，底面积为， ， 解得或， 底面宽，即， 舍去， ， 答：裁去小正方形的边长的值为； （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为，，， ，，， ∴书本能完全放入该收纳盒内． 【题型7 围墙类问题】 1．A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 2．D 【分析】设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得：，再求解即可． 【详解】解：设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得： 整理，得： 解这个方程，得： 当时，． 因为墙长只有，而，所以不符合题意，舍去． 当时，． 因为，符合题意． 所以该鸡舍的长度为． 3．(1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 4．(1) ，； ； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】 根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解： ， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 5．（1）①；②的长为8米或10米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，列代数式，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解． （1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长； （2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量； 【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米， ∴边长为：； ②根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：饲养室总占地面积能为240平方米，此时的长为8米或10米； （2）设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，依题意得： ， 整理得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：一只鸡每天平均传染7只鸡． 6．(1) (2)米 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据围成的篮球场的面积为1500平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设的长为x米， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， 解得，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意， 答：篮球场的宽的长为米． 【题型8 动态几何问题】 1．(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 2．(1)厘米，厘米，厘米，厘米 (2)或 (3)平方厘米， 结论：在、运动过程中，四边形的面积始终保持不变，为平方厘米，且等于矩形面积的一半 【分析】（1）根据“路程速度时间”及线段之间的和差关系即可直接得出答案； （2）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可求出的值； （3）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得（平方厘米），（平方厘米），由于（平方厘米），根据可得（平方厘米），于是可得结论． 【详解】（1）解：根据“路程速度时间”，点的速度是1厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 点的速度是2厘米秒， （厘米）， 厘米， （厘米）， 故答案为：厘米，厘米，厘米，厘米； （2）解：四边形是矩形， ， ， ，，， ， 整理，得：， ， 或， 解得：，， 答：当或时，的面积为8； （3）解：四边形是矩形， ， （平方厘米）， （平方厘米）， 又（平方厘米）， （平方厘米）． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用（动态几何问题），因式分解法解一元二次方程，三角形的面积公式，列代数式，整式加减的应用，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 3．(1)两动点经过秒时，使得； (2)两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； (3)当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【分析】（1）等量关系为：，即； （2）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和三种情况． 【详解】（1）解：设两动点经过t秒时，使得． 则， 解得． 答：两动点经过秒时，使得； （2）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的． 则，即， 解得． 答：两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （3）解：两动点经过秒，使得是等腰三角形 ①当时，过点Q作于点H．    则， 所以， 整理得， 解得，； ②当时，． 则， 整理得． 解得，； ③当时，， 即， 整理得，， 解得，（与点B重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过秒或4秒或秒时，使得是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． 4．(1)4 (2)当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半 (3)存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形 【分析】（1）由题意得，AD=5，AP=3，由勾股定理即可求得PD的长；（2）∠C=90°，BC=8，AC=6，得S△ABC=，因为S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD=S△ABC，根据等量关系列出方程即可求得t的值；（3）由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD，可知当BQ=PD时，四边形BQPD为平行四边形，可列 t＝8﹣2t，解方程即可． 【详解】（1）解：当t=3时，AD=5，AP=3， ， ； （2）解：∵由题意可得：CQ＝2t，AP＝t， ， ∴BQ＝8﹣2t，CP＝8﹣t， 又∵PD⊥AC， ， ∵∠C=90°，BC=8，AC=6， 得S△ABC=， ∵S四边形BQPD＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△APD= S△ABC， ∴ ， 解得 ， （不合题意，应舍去）， ∴当 时，四边形BQPD的面积为三角形ABC面积的一半； （3）解：存在 ， 由BQ⊥AC，PD⊥AC得BQ∥PD， 若BQ与PD相等，则四边形BQPD为平行四边形， 即： t＝8﹣2t 解得t＝2.4． 答：存在t的值，当t＝2.4时，使四边形PDBQ为平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、勾股定理、动点问题的求解，根据转化思想列面积等式等知识方法，正确用t的代数式表示线段的长度是解题的关键． $