25.3 实际问题与一元二次方程（2）学历案—传播问题和增长率问题 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学学历案聚焦传播问题和增长率问题，以一元二次方程应用为核心学习任务，通过课前预习检测、典例剖析与变式练习、公式步骤归纳、阶梯训练等学习支架，帮助学生掌握建模方法与解题步骤。 特色在于以真实情境问题（如病毒传播、植树增长）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过列方程推理培养数学思维，建立增长率模型发展数学语言表达能力，注重学生自主预习与分层训练，结合教师点拨提升问题解决与创新意识。

25.3 实际问题与一元二次方程（2）学历案 —传播问题和增长率问题 一、新课导入：自主预习，检测预习效果 （一）学习目标 1．能根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系建立数学模型，列出一元二次方程并利用它解决具体问题； 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理； 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键． （二）课前预习 【检测1】儿童节那天，幼儿园的小朋友们都将自己制作的祝福卡片向全班其他小朋友各送一张，若全班共有x个小朋友，那么每个小朋友送出 张祝福卡片，全班共送出__________张祝福卡片． 【检测2】某厂今年1月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，则：2月份总产量为 吨；3月份总产量为 吨．（用含有x的式子表示） 二、典型问题：典例剖析，名师点拨解疑 例1 2026年一个名叫“温柔杀手Ⅱ”的电脑病毒开始传播，其传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有169台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 分析：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台，则容易表示出第一轮、第二轮分别感染了多少台，然后根据“被感染的总数”为等量关系，列出方程解方程即可． 变式1 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，求全班共有多少名学生． 例2为了绿化家乡，第三实验中学在2023年植树400棵，计划到2025年底，使这三年的植树总数达到1324棵．求此校植树平均每年增长的百分数． 分析：设平均每年增长的百分数为x，则2024年为400（1+x），2025年为400（1+x），然后根据“植树总数”这一等量关系，列出方程求解即可． 变式2 2026年A市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后三年都以相同的增长率来实现，并且2028年全市国民生产总值要达到1726亿元． （1）求全市国民生产总值的年平均增长率（精确到1%）； （2）求2027年至2029年全市三年可实现国民生产总值多少亿？（精确到1亿元） 三、归纳小结：回味反思，领悟才能提高 1．平均增长率或降低率问题：若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有：（常见n=2）； 2．列一元二次方程解应用题的步骤为：①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥检验并作答． 四、阶梯训练：自主练兵，会做才算懂了 A组：基础练习 1．今年春季甲流世界范围内大流行，其传播速度奇快，某地区有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）． A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．2023年6月我市申报了“省级园林化城市”，当时已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，截止2025年6月增加到363公顷．若设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）． A．300(1＋x)=363 B．300(1＋x)2=363 C．300(1＋2x)=363 D．363(1－x)2=300 3．杨叔叔在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x，则列方程为__________________． 4．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是 ． 5．某种商品的原价为32元，由于连续两次降价，现在每件18元，求平均每次的降价率． B组：拓展练习 6．10月份韩国发生禽流感的养鸡场100家，后来11、�12月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设11、12月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）． A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1－x）2=250 D．100（1+x）2 7．一个容器盛满纯酒精20升，第一次倒出若干升后用水加满，第二次又倒出同样多的液体，再用水加满，这时容器内剩下的纯酒精是5升，则每次倒出液体 升． 8．电动汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．凯利汽车销售公司2023年盈利1500万元，到2025年盈利2160万元，且从2023年到2025年每年盈利的年增长率相同． （1）该公司2024年盈利多少万元？ （2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2026年盈利多少万元？ 五、考题链接：挑战经典，课后自主演练 9．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）． A ． B． C． D． 10．某市2023年、2025年商品房每平方米平均价格分别为4000元、5760元，假设2023年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为x，试列出关于x的方程： ． 11.随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某商场高效节能灯的年销售量2025年为5万只，预计2027年将达到7.2万只．求该商场2025年到2027年高效节能灯年销售量的平均增长率． 第7课时 实际问题与一元二次方程（1）参考答案： 【检测1】（x－1），x（x－1） 【检测2】500（1+x）；500（1+x） 例1 解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，依题意得： 1+x+（1+x）x=169， （1+x）=169 1+x=13或1+x=－13 x=12或x=－14（舍去） 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染12台电脑． 变式1 解：设全班有x名同学，每人送出（x－1）张相片．则共有x（x－1）张，根据题意得：x（x－1）=2550， x2－x－2550=0， （x－51）（x+50）=0， x1=51，x2=－50． 答：全班有51人． 例2 解：设该校植树平均每年增长的百分数为x，根据题意： 400+400(1+x)+400(1+ x)2=1324， 解得x1=0.1=10%，x2=－3.1(不合题意，舍去) 答：此校植树平均每年增长的百分数为10％． 变式2 解：（1）设年平均增长率为x，根据题意，得 1376（1+x）2＝1726， 解得　x1≈0.12，x2＝-2.12（不合题意，舍去）． （2）1376×（1+0.12）≈1541.12，1726×（1+0.12）≈1933.12， 1541.12+1726+1933.12≈5200（亿元）． 答：年平均增长率为12%，全市三年国民生产总值为5200亿元 1．B 2．B 3．400（1+x）2=484 4．x（x－1）=182 5．解：设平均每次降价的百分率是x， 由题意得32（1－x）2=18， 解得x1==25%，x2=（不合实际舍去）． 答：每次降价25%． 6．B 7．10 8．解：（1）设每年盈利的年增长率为x ，根据题意得 ， 解得（不合题意，舍去）． ． 答：盈利1800万元． （2） ． 答：预计盈利2592万元． 9．B 10． 11.解：设年销售量的平均增长率为，依题意得： ． 解这个方程，得，． 因为为正数，所以． 答：高效节能灯年销售量的平均增长率为． 学科网（北京）股份有限公司 $