25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦“实际问题与一元二次方程——循环问题”，核心知识点为单循环和双循环问题的方程建模。课堂以排球邀请赛单循环情境导入，先计算总比赛场次，再引导学生用含x的代数式表示单循环总场次，建立方程求解，搭建从实际问题到数学模型的学习支架，衔接一元二次方程解法与实际应用。 该资料特色在于以真实情境（排球赛、元宇宙击拳、高铁站点）驱动，培养学生用数学眼光观察现实世界的数量关系。通过对比单循环（握手、对角线）和双循环（主客场、往返车票）的总次数公式，发展推理意识，强调对方程解的实际意义检验，强化模型意识。实例丰富如凸多边形对角线问题，帮助学生掌握建模方法提升应用能力，也为教师提供结构化教学流程和典型案例，便于高效教学。

25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题 课题 实际问题与一元二次方程——循环问题 课型 新授课 教学内容 教材第23页的探究3内容 教学目标 1．通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤． 2．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准． 教学重难点 教学重点：通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题． 教学难点：理解循环问题中“单循环”和“双循环”的区别，准确将实际问题转化为数学方程． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【探究】单循环问题 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他　（x－1）　支球队各赛1场． 思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛　28　场，比赛的总场次用含x的代数式表示为　x（x－1）　场，所以可列得方程　x（x－1）=28　．解方程，得x1=　8　，x2=　－7（不合题意，舍去）　．因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛． 归纳总结：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量． 2.探索新知，归纳知识 【探究】双循环问题 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛．如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n（n－1）． 解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n（n－1）=300. 解方程，得n=． 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数． 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对． 归纳总结：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量． 3.学以致用，应用新知 【例1】一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个多边形是n边形. 根据题意，得n(n−3)/2=20. 解得n1=8，n2=−5（不合题意，舍去）. 故该多边形是八边形. 不存在有18条对角线的多边形.理由如下： 若n(n−3)/2=18,则 n=3±3√17/2. ∵ n不是正整数，∴ 不存在这样的多边形. 【例2】“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛. 解：设共有x支球队参加比赛. 根据题意得x(x-1)=240. 解得x1=16，x2=-15(不合题意，舍去). 答：共有16支球队参加比赛. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在某元宇宙平台举办的行业峰会上，每位参会者都通过VR 设备与其他所有参会者进行了一次击拳致意，若系统后台显示共有15次击拳记录，则参加这次会议的人数是___. 答案：6 （2）云南铁路从高原到大海，从中国铁路运输的末梢，逐渐变成面向南亚东南亚的铁路运输枢纽中心.某高铁交通路线从昆明南站出发，最终到达广州南站，若从昆明南站到广州南站共设计了42种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？ 解：设这条线路共有 x 个站点. 根据题意，得x(x−1)=56. 解得x1=8，x2=−7（不合题意，舍去）. 答：这条线路共有8个站点. 5.课堂小结，自我完善 掌握用“循环问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题． 6.布置作业 课本P23练习。 以实际问题引入，激发学生兴趣.思考并探究单循环指所有参赛选手只相遇一次，从而进行列方程解决问题. 双循环(互相进行)含义：任意两者之间互相发生两次行为，你来我往. 根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与一元二次方程——循环问题 循环问题 用一元二次方程解决循环问题。 教后反思 教学过程中，强调解决循环问题时，区分单循环和双循环的区别，并考虑实际，对方程的根进行取舍。 学科网（北京）股份有限公司 $